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高等数学拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一种广泛存在的实用的数学工具，它根据特定的条件来求解动态系统和分析问题的难度。
它可以帮助人们更好地理解和解决许多自然现象、物理现象和各种实际问题。
在几何学、矩阵论和定性理论中，拉普拉斯方程可以被看作是最重要的代数方程之一。
拉普拉斯方程的出现可以追溯到17世纪的法国数学家兰泽特·德·昂格勒，他把它命名为“拉普拉斯方程”，是以他的名字命名的，后来被称为“拉普拉斯方程”。
拉普拉斯方程可以描述不同物理变量之间的关系，例如密度、压力、速度和位置等。
它也可以被用来刻画力学和重力场中的现象，并用于求解某些难题。
在数学上，拉普拉斯方程可以被写成如下形式：
\nabla^2y=f(x,y)
在此方程中，y是一种未知的函数，\nabla是拉普拉斯算子，f(x,y)是任意定义的函数。
这种方程可以用来求解圆形区域内的特定问题，例如磁场、重力场和电场等。
拉普拉斯方程在科学研究中应用广泛。
它可以被用来把复杂的物理系统表示成一种更容易求解的形式。
例如，它可以用于模拟物理场（如磁力场、电场和重力场），也可以用于求解某些数学难题，例如普拉兹方程和傅立叶变换等。
同时，与其他许多数学方程不同，拉普拉斯方程由于其可求解性而被应用于科学软件的动画设计中。
以上就是拉普拉斯方程的简要介绍。
拉普拉斯方程至今仍然是高等数学中重要的方法之一。
它可以用来研究复杂的物理系统，并可以用来求解某些难题。
此外，它在科学软件动画设计中也被广泛使用。
拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
它描述了一个物理系统中的稳态情况，即在没有时间变化的情况下，物理量的分布情况。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯方程的完整求解方法，包括数学推导和物理应用。
一、数学推导拉普拉斯方程的一般形式为：∇^2ϕ=0其中，∇^2为拉普拉斯算子，表示对空间中各个方向的二阶导数之和。
ϕ为待求函数。
为了求解该方程，我们需要先确定边界条件。
边界条件指的是在物理系统的边界上，待求函数的取值或导数的取值已知。
常见的边界条件包括：1. Dirichlet 边界条件：在边界上，待求函数的取值已知。
2. Neumann 边界条件：在边界上，待求函数的法向导数已知。
3. Robin 边界条件：在边界上，待求函数的取值或法向导数与外界参数成比例。
根据不同的边界条件，我们可以采用不同的数学方法求解拉普拉斯方程。
下面我们分别介绍三种常见的方法。
1. 分离变量法当边界条件为 Dirichlet 边界条件时，我们可以采用分离变量法求解拉普拉斯方程。
具体来说，我们假设待求函数可以表示为以下形式：ϕ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)将该式代入拉普拉斯方程，得到：X''/X+Y''/Y+Z''/Z=0由于等式左侧的三个部分只依赖于x、y、z 中的一个，因此它们必须都等于一个常数λ。
于是我们得到三个独立的常微分方程：X''+λX=0Y''+λY=0Z''+λZ=0这些方程的解分别为：X(x)=Asin(√λx)+Bcos(√λx)Y(y)=Csin(√λy)+Dcos(√λy)Z(z)=Esin(√λz)+Fcos(√λz)其中，A、B、C、D、E、F 为待定常数。
将这些解代入待求函数的表达式中，再利用边界条件，我们就可以求出这些常数，从而得到完整的解。
拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是数学领域中经典的偏微分方程之一，它在物理学、工程学等众多领域中都有广泛应用。
本文将介绍拉普拉斯方程的概念、性质以及完整求解方法，希望读者能够对该方程有一个清晰的理解。
让我们来了解一下拉普拉斯方程的定义。
拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，其形式为∇²u=0，其中∇²表示拉普拉斯算子，u是未知函数。
这个方程描述了在没有任何外力或源的情况下，物质或场的分布如何变化。
它是一个齐次方程，即方程中不包含任何源项。
拉普拉斯方程的一个重要性质是它的解具有无穷可微性。
这意味着如果一个函数是拉普拉斯方程的解，那么它在定义域内的任何点处都具有无穷阶导数。
这个性质使得拉普拉斯方程的解在数学和物理上都具有很大的意义。
接下来，我们将介绍一些拉普拉斯方程的基本解。
对于二维情况下的拉普拉斯方程，基本解可以表示为G(x,y)=ln(r)，其中r=√(x²+y²)是点(x,y)到原点的距离。
对于三维情况下的拉普拉斯方程，基本解可以表示为G(x,y,z)=1/(4πr)，其中r=√(x²+y²+z²)是点(x,y,z)到原点的距离。
这些基本解可以用来构造特定边界条件下的拉普拉斯方程的解。
在实际应用中，我们常常需要求解带有边界条件的拉普拉斯方程。
这时，我们可以利用分离变量法来求解。
假设要求解的区域为Ω，边界为∂Ω，边界条件为u|∂Ω=g(x,y)，其中g是已知函数。
我们可以将未知函数u表示为u(x,y)=X(x)Y(y)，然后将这个形式代入拉普拉斯方程和边界条件中，得到一系列关于X(x)和Y(y)的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，我们可以得到u的解。
除了分离变量法，还有其他方法可以求解带有边界条件的拉普拉斯方程，如格林函数法、有限差分法等。
这些方法各有特点，适用于不同的问题。
在实际应用中，我们根据具体情况选择合适的方法来求解拉普拉斯方程。
满足拉普拉斯方程
（原创版）
目录
1.拉普拉斯方程的概述
2.拉普拉斯方程的求解方法
3.拉普拉斯方程在物理学中的应用
4.拉普拉斯方程的局限性
正文
1.拉普拉斯方程的概述
拉普拉斯方程是物理学中的一个重要方程，主要用于描述静电场、静磁场以及流体运动等领域。
它是以法国数学家和天文学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的名字命名的。
拉普拉斯方程在物理学和工程学的许多领域具有广泛的应用，例如电磁学、流体力学等。
2.拉普拉斯方程的求解方法
拉普拉斯方程是一个偏微分方程，可以通过多种方法求解，如分离变量法、格林函数法等。
分离变量法是将方程中的变量分离，然后分别求解得到解的方法。
格林函数法是利用格林函数来求解偏微分方程的一种方法，它能够求解许多复杂的偏微分方程。
3.拉普拉斯方程在物理学中的应用
拉普拉斯方程在物理学中有许多重要的应用，如求解静电场和静磁场。
在静电场中，拉普拉斯方程描述了电荷分布对电场的影响，可以求解出静电场的分布。
在静磁场中，拉普拉斯方程描述了电流对磁场的影响，可以求解出静磁场的分布。
此外，拉普拉斯方程还可以用于求解流体运动，如层流和湍流等。
4.拉普拉斯方程的局限性
虽然拉普拉斯方程在许多领域具有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，拉普拉斯方程是一个理想化的模型，它假设介质是无摩擦的、流体是完美的，这在实际应用中并不总是成立。
其次，拉普拉斯方程只能描述线性问题，对于非线性问题，需要采用其他方法求解。
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶的实函数φ ：上面的方程常常简写作：或其中div表示的（结果是一个），grad表示标量场的（结果是一个），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单组合起来，构造适用面更广的。
二维拉普拉斯方程（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
换言之，若z = x+ iy，并且那么f(z)是解析函数的是u(x,y)，v(x,y)可微，且满足下列柯西-黎曼方程：上述方程继续求导就得到所以u满足拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程的解引言拉普拉斯方程是数学物理领域中的一个基本方程，用于描述波动、电势分布以及其他物理现象。
解决拉普拉斯方程的问题在科学和工程领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍拉普拉斯方程的基本概念和性质，并讨论如何求解拉普拉斯方程及其应用。
拉普拉斯方程简介拉普拉斯方程是一个偏微分方程，可以用来描述空间中标量场的分布情况。
假设有一个标量函数u(x,y,z)，其中(x,y,z)表示三维空间中的一个点坐标，那么拉普拉斯方程可以表示为：△u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0其中，△表示拉普拉斯算子，用于表示二阶偏导数的和。
解析解与数值解求解拉普拉斯方程的方法主要有两种：解析解和数值解。
解析解是指用数学公式或方法直接求得方程的解，数值解是指通过数值计算的方法近似求解方程的解。
解析解对于简单的边界条件和几何形状，拉普拉斯方程可以通过分离变量或利用特殊函数（如调和函数、贝塞尔函数等）的性质求得解析解。
解析解具有数学性质好、计算效率高的优点，但只适用于简单的问题。
数值解对于复杂的边界条件和几何形状，通常无法直接找到解析解，此时需要使用数值方法进行求解。
数值解的求解过程涉及离散化、求解代数方程组和迭代等步骤。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
数值解具有适用范围广和求解能力强的特点，但计算量相对较大。
求解拉普拉斯方程的常用方法下面介绍两种常用的方法：有限差分法和有限元法。
有限差分法有限差分法是一种常用的求解偏微分方程的数值方法。
它将求解域离散化，将方程中的导数用差分近似来表示。
对于拉普拉斯方程，可以将空间域离散化为一个有限的网格，然后利用近邻节点之间的差分关系，通过代数方程组求解来得到数值解。
以二维情况为例，假设求解域为一个矩形区域，将其划分为NxN的网格。
设网格点(i,j)的坐标为(xi,yj)，则拉普拉斯方程可以近似表示为：(u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j)) / ∆x² + (u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1)) / ∆y²= 0其中，∆x和∆y分别表示网格的间距。
拉普拉斯方程求解技巧拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，被广泛运用于物理领域，尤其在电场、热传导、流体力学等领域。
其公式表达如下：$\nabla ^{2}\phi = 0$其中，$\phi$表示速度或电势等物理量，$\nabla ^{2}$则是拉普拉斯算符，表示二阶偏导数之和。
该方程的解又被称为调和函数，其具有良好的性质和广泛的应用价值。
在实际应用中，由于拉普拉斯方程的复杂性，其求解并不容易。
下面就介绍几种常用的求解方法，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一方程的求解技巧。
1. 分离变量法该方法是最为常用的一种求解拉普拉斯方程的方法，其基本思想是将解函数分解成多个单变量函数之积，进而降低求解难度。
具体步骤如下：（1）假设拉普拉斯方程解为$\phi$，引入一组坐标系$x_{1}, x_{2}, x_{3}$，从而有$\nabla ^{2}\phi = \frac {\partial^{2}\phi }{\partial x_{1}^{2}}+\frac {\partial ^{2}\phi }{\partialx_{2}^{2}}+\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{3}^{2}}$。
（2）将解函数按各自的坐标进行分解，即假设$\phi=X(x_{1})Y(x_{2})Z(x_{3})$。
（3）将分离后的函数代入原方程，并将各变量项分别移项整理，得到三个方程：$\frac {\partial ^{2}X}{\partialx_{1}^{2}}+\lambda X = 0$，$\frac {\partial ^{2}Y}{\partialx_{2}^{2}}+\mu Y = 0$，$\frac {\partial ^{2}Z}{\partialx_{3}^{2}}+\nu Z = 0$。
（4）记分离后的函数分别为$X_{n}(x_{1}), Y_{m}(x_{2}),Z_{l}(x_{3})$，则原方程的解为：$\phi(x_{1}, x_{2}, x_{3})=\sum _{n, m, l}C_{nml}X_{n}(x_{1})Y_{m}(x_{2})Z_{l}(x_{3})$。
拉普拉斯方程的完整求解△u=0其中△是拉普拉斯算子，表示空间坐标的二阶导数之和。
如果对二维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²如果对三维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²接下来我们将分别介绍二维和三维情况下的拉普拉斯方程的求解方法。
一、二维情况下的拉普拉斯方程求解。
在二维空间中，拉普拉斯方程的解可以用解析函数来表示。
由于存在解析函数的特性，我们可以采用分离变量法求解。
假设解为u(x,y)=X(x)Y(y)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)=0由于等式两边的第一项仅依赖于x，第二项仅依赖于y，所以它们必须都等于一个常数，记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=k²对于上面的两个常微分方程，我们可以分别求解。
对第一个方程，可得到：X(x) = Ae^(kx) + Be^(-kx)对第二个方程，可得到：Y(y) = Ccos(ky) + Dsin(ky)将X(x)和Y(y)代回原方程，得到解为：u(x,y) = (Ae^(kx) + Be^(-kx))(Ccos(ky) + Dsin(ky))其中A、B、C、D都是常数，通过边界条件可以确定它们的值。
二、三维情况下的拉普拉斯方程求解。
在三维空间中，拉普拉斯方程的求解方式可以类似于二维情况，通过分离变量法得到解析函数。
假设解为u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)Z(z)+X(x)Y''(y)Z(z)+X(x)Y(y)Z''(z)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)Z(z)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0同样地，等式两边的第一、第二、第三项都只依赖于x、y、z，所以它们必须都等于一个常数，分别记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=-k²Z''(z)/Z(z)=k²对于上述的三个常微分方程，我们可以分别求解。
拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式，也称为二维泊松方程式，是数学物理中的一个偏微分方程。
它描述了一个标量函数在二维空间中的分布情况，该函数满足的方程为拉普拉斯方程式。
拉普拉斯方程式在物理学、工程学和数学等领域都有广泛应用。
拉普拉斯方程式的一般形式是：∇²u = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，u是待求的标量函数，它表示空间中的某个物理量，可以是电势、温度、流体的速度等。
∇²u表示u在各个空间坐标轴上的二阶偏导数之和。
拉普拉斯方程式的解决方法通常是通过求解边界条件来获得。
边界条件是指在所考虑的区域的边界上给定的附加条件，用于确定解的形式。
常见的边界条件包括固定值边界条件、导数边界条件和混合边界条件等。
在中心扩展下，可以考虑一个圆形区域内的拉普拉斯方程式。
假设在某个圆形区域内，物理量u满足拉普拉斯方程式，即∇²u = 0。
如果在圆心处有一个点源，即一个特定的初始条件，可以通过求解拉普拉斯方程式来确定圆形区域内的物理量分布。
通过求解拉普拉斯方程式，可以得到物理量u在圆形区域内的解析解。
解析解是指可以用一种或多种数学函数表达的解，它能够给出物理量在整个区域内的分布情况。
解析解的优点是计算简单、精度高，但是在实际问题中往往很难得到解析解。
在实际问题中，常常需要使用数值方法来求解拉普拉斯方程式。
数值方法通过将区域离散化成网格，将偏导数转化为差分近似，然后利用代数方程组求解方法来获得物理量在各个网格点上的数值解。
数值方法的优点是适用范围广、灵活性高，但是计算量较大，需要计算机的支持。
在中心扩展下，拉普拉斯方程式可以描述许多实际问题。
例如，在电磁学中，可以使用拉普拉斯方程式来描述电势在空间中的分布情况；在热传导中，可以使用拉普拉斯方程式来描述温度在物体内部的分布情况；在流体力学中，可以使用拉普拉斯方程式来描述流体速度场的分布情况等。
拉普拉斯方程式是一个重要的偏微分方程，广泛应用于数学物理中。
拉普拉斯方程公式
摘要：
1.拉普拉斯方程的定义和意义
2.拉普拉斯方程的分类
3.拉普拉斯方程的解法简介
4.拉普拉斯方程在实际应用中的案例
5.拉普拉斯方程在现代科学中的重要性
正文：
拉普拉斯方程是数学中最重要、应用最广泛的方程之一。
它的全称是拉普拉斯波动方程，由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末提出。
拉普拉斯方程描述了波动在介质中的传播过程，包括声波、电磁波、水波等，因此在物理学、工程学、地球物理学等领域具有重要的意义。
根据波动类型的不同，拉普拉斯方程可以分为线性拉普拉斯方程和非线性拉普拉斯方程。
线性拉普拉斯方程是研究波动传播的基本方程，它的解法相对简单，可以通过分离变量、特征值法等方法求解。
非线性拉普拉斯方程则包含了非线性项，解法相对复杂，需要采用更高级的数学方法，如数值模拟、摄动法等。
在实际应用中，拉普拉斯方程有着广泛的应用。
例如，在地震勘探中，拉普拉斯方程被用来解释地震波的传播规律；在无线通信中，拉普拉斯方程被用来分析电磁波的传播特性；在声学中，拉普拉斯方程被用来研究声波在各种介质中的传播规律等。
拉普拉斯方程在现代科学中的重要性不言而喻。
它不仅为科学家提供了一种描述波动传播的数学工具，而且为工程师提供了一种预测和控制波动传播的方法。
随着科技的发展，拉普拉斯方程的应用范围将进一步扩大，成为研究复杂系统的基本工具。
总之，拉普拉斯方程是一种重要的数学方程，它在我国科学研究和工程技术中具有广泛的应用。
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：上面的方程常常简写作：或其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维拉普拉斯方程狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
换言之，若z = x+ iy，并且那么f(z)是解析函数的充要条件是u(x,y)，v(x,y)可微，且满足下列柯西-黎曼方程：上述方程继续求导就得到所以u满足拉普拉斯方程。
类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。
反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：则等式成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。
上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：所以可以通过一个线积分来定义ψ。
可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。
于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。
这样的解称为一对共轭调和函数。
这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。
譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数那么相应的解析函数为在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。
这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。
如果我们将函数f在复平面上以原点为中心，R为半径的圆域内展开成幂级数，即将每一项系数适当地分离出实部和虚部那么这便是f的傅里叶级数。
三维拉普拉斯方程基本解拉普拉斯方程的基本解满足其中的三维δ函数代表位于的一个点源。
由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。
如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理求得在以点源为中心，半径为r的球面上有所以经过类似的推导同样可求得二维形式的解格林函数格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。
譬如，可以满足现设u为在V内满足泊松方程的任意解:且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到u n和G n分别代表两个函数在边界S上的法向导数。
考虑到u和G满足的条件，可将上式化简为所以格林函数描述了量f和g对(x',y',z')点函数值的影响。
格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P'距球心需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。
于是可得格林函数为式中R表示距源点P的距离，R'表示距镜像点P'的距离。
从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。
设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。
此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。
于是球面内拉普拉斯方程的解为：式中这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。
于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。
水平集在数学领域中, 一个具有n变量的实值函数f的水平集是具有以下形式的集合{ (x1,...,x n) | f(x1,...,x n) = c }其中c是常数. 即, 使得函数值具有给定常数的变量集合.当具有两个变量时, 称为水平曲线(等高线), 如果有三个变量, 称为水平曲面, 更多变量时, 水平集被叫做水平超曲面.集合{ (x1,...,x n) | f(x1,...,x n) ≤ c }被称为f的子水平集 .其他名字水平集具有很多重要的应用, 在不同的应用领域通常具有不同的名称.例如, 水平曲线也被叫做隐式曲线(implicit curve)用来强调曲线是由隐函数(implicit function)定义的. 有时也使用等高线(isocontour)的名称, 表示一个具有相同高度(函数值)的轮廓. 在不同的应用领域, 等压线(isobar), 等温线(isotherm),同风向线(isogon), 等时线(isochrone)都属于等值高线.相应的, 水平曲面有时被叫做隐式曲面(implicit surface)或等值曲面(isosurface).最后, 更加一般的水平集被叫做纤维(fiber).例子例如, 指定一个半径 r, 圆的方程可以定义为一个等高线.r2=x2 + y2如果取 r=5, 那么等高值为 c=52=25.所有使得 x2+ y2=25 的点 (x,y) 构成了它的等高线. 这就是说他们属于等高线的水平集. 如果 x2+ y2小于 25 这个点 (x,y) 就在等高线的内部. 如果大于 25 , 这个点就在等高线外部.水平集与梯度考虑一个山形函数. 蓝色曲线是它的水平集. 红色曲线沿着梯度的方向. 换句话说, 保守的旅行者走的是蓝色路径, 大胆的旅行者走的是红色路径.定理.函数f在一点处的梯度与在该点处f的水平集垂直.这个定理是十分不寻常的. 为更好的理解定理的含义, 设想两个旅行者在一座山峰的统一位置.其中一个人很大胆, 决定从坡度最大的地方走. 另一个人比较保守; 他不想向上爬, 也不想走下去, 选择了一条在同一高度的路. 上面的定理就是说, 这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的.证明.设所考虑的点为x0 . 通过点x0的水平集是 {x | f(x) = f(x0)}. 考虑一条通过点x0并且属于水平集的曲线γ(t) , 不妨假设γ(0) = x0. 从而得到使用链锁规则, 在t = 0 处微分. 我们发现同时, f在x0处的雅可比行列式等于f在点x0的梯度.因此, f在点x0处的梯度与曲线在该点处的切线γ′(0) 垂直. 由于曲线γ(t) 是任意的, 因而断定梯度与水平集垂直.这一定理的直接推论是, 如果水平集穿过其自身 (不是一个光滑子流形或超曲面) 那么梯度向量在所有交叉点处一定是零. 那么, 每个交叉点都是f的临界点.水平集方法水平集方法 (Level Set Method) 是一种用于界面追踪和形状建模的数值技术. 水平集方法的优点是可以在笛卡尔网格(Cartesian grid)上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面参数化(这是所谓的欧拉法(Eulerian approach)).).[1]水平集方法的另一个优点是可以方便的追踪物体的拓扑结构改变. 例如当物体的形状一分为二, 产生空洞, 或者相反的这些操作. 所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具, 例如膨胀中的气囊，掉落到水中的油滴.理解水平集方法的最简单有效地方式是先学习相应的例子, 然后学习技术性很强的定义. 右侧的图片示例了水平集的几个重要思想. 在左上角有一个形状--由一个良性边界包围的有界区域. 在它的下面, 红色的曲面是相应的水平集函数φ的图像, φ的某个水平面决定了左上角的形状, 假设其中的蓝色平面即为x-y平面, 则形状的边界可以表示为φ的零水平集, 并且该形状是平面上满足φ大于等于零的点的集合.在上面的一行, 形状改变其拓扑结构, 分裂为两个形状. 如果用边界曲线参数表示形状, 这一演化过程是很难表达的. 这需要一个算法能够检测到形状分裂的时刻, 然后为分裂后的曲线构造新的参数. 另一方面, 从下面的一行可以看出水平集函数仅仅是向下方移动了一点. 由于在直接法中我们需要监视所有形状可能发生的变化情况, 水平集方法处理形状曲线要比直接方法容易得多.在二维情况下, 水平集方法意味着将平面上的闭曲线Γ (正如示例中的形状) 表示为二维辅助函数, 的零水平集然后通过函数φ隐式的处理曲线Γ. 这一函数便被叫做水平集函数. 假设φ在曲线Γ的内部取正值, 在曲线Γ的外部取负值.水平集方程如果零水平集以速度v沿着其法线运动, 这一运动可以表示为水平集函数的哈密顿-雅可比方程(Hamilton-Jacobi equation):这是一个偏微分方程, 并且可以求得数值解, 例如可以在笛卡尔网格上采用有限差分法.然而, 水平集方程的数值解需要复杂的技术.简单的有限差分法会很快导致不收敛. 迎风方法, 诸如Godunov 方法前进缓慢; 然而在水平对流场中, 水平集方法不保持水平集的体积和形状的守恒.总变差在数学领域, 实值函数 ? 定义在区间 [a, b] ? 'R的总变差(total variation)是一维参数曲线x→ ?(x) , x∈ [a,b]的弧长.当绿点遍历整个函数时, 绿点在y-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.定义连续可微函数的总变差, 可由如下的积分给出任意实值函数 ? 定义在区间 [a,b] 上的总变差, 由定义. 其中 sup P对区间 [a,b] 中的所有分划P取上界.[编辑]n维扩展定义在有界区域上的实值可积函数?的总变差, 定义为其中是Ω 中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, 是本质上确界范数.若 ? 可微, 上式可简化为次导数凸函数（蓝）和x0处的“次切线”（红）次导数、次切线和次微分的概念出现在凸分析，也就是凸函数的研究中。
