7.2.1同底数幂的乘法(一)

辅导教案学员姓名：学科教师：周乔乔年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题幂的运算（一）教学内容《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．幂的运算（一）知识结构模块一：同底数幂的乘法知识精讲内容分析1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘． 例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()53-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示()33333-⨯⨯⨯⨯，527⎛⎫⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号． （3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：()239-=，()3327-=-．特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．【例1】 下列各式正确吗？不正确的请加以改正． （1）347()()x x x -⋅-=-； （2）246()()x x x --=-； （3）()()121m m m a a a ++--=；（4）5552b b b ⋅=；（5）4610b b b +=； （6）55102x x x ⋅=；（7）5525x x x ⋅=；（8）33c c c ⋅=．【难度】★【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为：()()4626x x x x --=-=--；（3）不正确，正确为：()()()12121m m m m a a a a +++--=-=-；（4）不正确，正确为：5510b b b ⋅=；（5）不正确，不能计算；（6）不正确，正确为：5510x x x ⋅=；（7）不正确，正确为：5510x x x ⋅=； （8）不正确，正确为：34c c c ⋅=． 例题解析【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，注意算式中的符号．【例2】 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）567(2)(2)(2)-⨯-⨯-； （2）23a a a ⋅⋅；（3）24()()a b a b +⋅+；（4）235()()()x y x y x y -⋅-⋅-．【难度】★【答案】（1）182；（2）6a ；（3）()6a b +；（4）()10x y -． 【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加．【例3】 计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）()()334333x x x x x x x x ⋅+⋅⋅+-⋅-⋅；（2）()()()()()3224a a a a a ---+--；（3）12211m n m n m n a a a a a a -++-+⋅+⋅+⋅． 【难度】★【答案】（1）73x ；（2）0；（3）13m n a ++．【解析】（1）原式77773x x x x =++=； （2）原式660a a =-=；（3）原式11113m n m n m n m n a a a a ++++++++=++=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，然后进行合并同类项的运算．【例4】 计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()()()332a a a --⋅--；（2）()()23x y y x --；（3）()()()212222m m x y x y x y -+---．【难度】★★【答案】（1）8a ；（2）()5y x -；（3）()232m x y +-．【解析】（1）原式358a a a =⋅=； （2）原式235()()()y x y x y x =-⋅-=-；（3）原式21223(2)m m m x y a +-+++=-=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“-”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正．【例5】 如果2111m n n x x x -+⋅=，且145m n y y y --⋅=，试求m 、n 的值． 【难度】★★【答案】64m n ==，．【解析】根据同底数幂的计算法则，可得2111145m n n m n -++=⎧⎨-+-=⎩，解方程组得64m n =⎧⎨=⎩．【总结】考查同底数幂相乘的运算法则．【例6】 求值： （1）已知：29m n n m x x x +-⋅=，求()59n-+的值．（2）已知：()4233x +-=，求x 的值．【难度】★★【答案】（1）116-；（2）2-．【解析】（1）由同底数幂乘法法则，可得29m n n m ++-=，解得3n =，()359116-+=-；（2）()()422333x +-==-，可得42x +=，解得2x =-．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意一定要让底数相等的前提下保证幂相等．【例7】 若2216m n ⋅=，求48m n m n ++⋅的值． 【难度】★★★ 【答案】432．【解析】由同底数幂的乘法计算，可得422m n +=，由此4m n +=，原式=4444832⨯=． 【总结】本题主要考查同底数幂计算中整体思想的应用．【例8】 解关于x 的方程： （1）21134151294x x x x ++⋅=-⋅； （2）已知351327648x x ++-=． 【难度】★★★ 【答案】（1）32x =；（2）13x =．【解析】（1）22223321512324x x x x ⋅⋅=-⋅⋅ （2）3333393648x x ++⋅-= 2671512x ⋅= 3338648x +⋅= 2362166x == 3343813x +== 32x =13x =【总结】解此种类型的方程主要根据乘方的定义把含有未知数的项变作相同的项，再根据相互之间的关系转化求解．【例9】 若312x y z==，且99xy yz xz ++=，求2222129x y z ++的值． 【难度】★★★ 【答案】594． 【解析】由312x y z==，可得32x y z y ==，，22223261199xy yz xz y y y y ++=++==，则有29y =，所以()()2222222212923129266594x y z y y y y ++=⨯++⨯==．【总结】考查整体思想的应用，等量代换的方法．1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()m n mn a a =（m 、n 都是正整数）【例10】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()42a -；（2）24()a -； （3）2()n n a ； （4）()832；（5）()432⎡⎤-⎣⎦； （6）()33b -；（7）()43x -；（8）323()()x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦．【难度】★【答案】（1）8a -；（2）8a ；（3）22n a ；（4）242；（5）122；（6）9b -；（7）12x ；（8）()9x y +．【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【总结】本题主要考查幂的乘方的运算．【例11】 当正整数n 分别满足什么条件时，()(),n nn n a a a a -=-=-？【难度】★【答案】n 为偶数时，()nn a a -=；n 为奇数时，()nn a a -=-．【解析】幂的运算中，奇负偶正．【例12】已知：2n a =（n 为正整数），求()()2223nn a a -的值．【难度】★★【答案】48-．【解析】原式=()()4646462248n n n n a a a a -=-=-=-．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算，以及运算中整体思想的应用． 知识精讲例题解析模块二：幂的乘方【例13】 计算（1）()2122n n n a a a +++；（2）()()()3834222632x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】（1）223n a +；（2）0【解析】（1）原式22222223n n n a a a +++=+=； （2）原式18181820x x x =-+=． 【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．【例14】计算：（1）()()()22121n n n a b b a a b -+⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦；（2）()()3223a b b a ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦． 【难度】★★ 【答案】（1）()61n a b --；（2）0．【解析】（1）原式2222161()()()()n n n n a b a b a b a b -+-=-⋅-⋅-=-；（2）原式66()()0a b a b =---=．【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．【例15】已知23m n a a ==，，求23m n a +的值．【难度】★★ 【答案】108．【解析】()()2323232323108m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⨯=．【总结】本题注意考查幂的乘方运算中整体思想的应用．【例16】 已知2673x x y m m a a a b a b ++⋅⋅⋅=（x 、y 、m 都是正整数），且y 不大于3，求2x y m +-的值． 【难度】★★★ 【答案】3-．【解析】依题意有221673x y m m a b a b +++=，由此可得()217x y ++=，63m m +=，解得3x y +=， 3m =，由此23x y m +-=-．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用．【例17】比较大小：（1）比较下列一组数的大小：在552，443，334，225； （2）比较下列一组数的大小：31416181279，，； （3）比较下列一组数的大小：4488，5366，6244． 【难度】★★★【答案】（1）443355223425>>>；（2）31416181279>>；（3）488366244456>>． 【解析】（1）()()()()11111111555114441133311222112232338144645525========，，，，可得：443355223425>>>；（2）()()()31416131412441312361212281332733933======，，，可得：31416181279>>； （3）()()()11211211248841123663112244211244256551256636======，，，可得：488366244456>>．【总结】本题中，指数幂运算结果都是很大的数，不可能直接算出来，采用间接法，利用幂的乘方运算法则，要么化作指数相同，比较底数大小，要么化作底数相同，比较指数大小．【例18】已知()()2222221123451216n n n n ++++++=++L ，求222224650++++L 的值．【难度】★★★ 【答案】22100．【解析】原式=()()()()()222222222212223225212325⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+++⋅⋅⋅+，代入公式，可得：()()14252512251221006⨯⨯⨯+⨯⨯+=．【总结】本题主要考查对相关公式的变形运用． 模块三：积的乘方1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘： ()nn n ab a b =（n 是正整数）3、积的乘方的逆用：()n n n a b ab =．【例19】计算：（1）()333m n -；（2）43213a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()32242a b--；（4）541103⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）9327m n -；（2）128181a b ；（3）61264a b ；（4）2010243-．【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．【例20】计算：（1）342(-)a b ；（2）3532()4x y ；（3）23[()]a b -+．【难度】★【答案】（1）68a b ；（2）91518x y ；（3）()6a b -+．【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．【例21】计算：（1）()()233232x x +；（2）()()32223332x y x y -；例题解析知识精讲（3）()()433648a b a b -+-；（4）232()[()]a b b a -⋅-．【难度】★【答案】（1）617x ；（2）66x y ；（3）0；（4）()8a b -． 【解析】（1）原式6669817x x x =+=；（2）原式66666632x y x y x y =-=； （3）原式122412240a b a b =-=；（4）原式268()()()a b a b a b =-⋅-=-．【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．【例22】计算：（1）32332()()y y y ⋅⋅；（2）2323[()]a a a -⋅⋅-；（3）()()3222632x y x y ⎡⎤⎡⎤---+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】（1）15y ；（2）11a -；（3）12665x y ． 【解析】（1）原式26615y y y y =⋅⋅=；（2）原式5611a a a =-⋅=-；（3）原式1261261266465x y x y x y =+=．【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．【例23】用简便方法计算：（1）818139⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（2）()66720030.1252-⨯；（3）128184⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（4）61245⨯．【难度】★★【答案】（1）9；（2）4-；（3）1；（4）1210． 【解析】（1）原式=()888928111399999999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）原式=()()()()6676676676672001230.125220.125240.125844-⨯⨯=-⨯⨯=-⨯⨯=-；（3）原式=()()1212121281232421111222414444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）原式=()()61221212121225252510⨯=⨯=⨯=．【总结】主要根据积的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法，将底数变成易于计算的数字．【例24】简便计算：（1）()()16170.1258⨯-；（2）20022001513135⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()315150.1252⨯．【难度】★★【答案】（1）8-；（2）513；（3）1． 【解析】（1）原式=()()()()()1616160.125880.125888⨯-⨯-=⨯-⨯-=-⎡⎤⎣⎦；（2） 原式=200120012001551355135131351313513⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3） 原式=()()()151515330.12520.12521⨯=⨯=．【总结】考查积的乘方简便运算，把握好乘方的定义，同时注意一定指数相同时才能进行积的乘方的逆运算．【例25】已知57,19m n m x x +==，求3n x 的值．【难度】★★★ 【答案】27．【解析】57m n m n x x x +=⋅=，由19m x =，可得3n x =，则()333327n n x x ===．【总结】本题主要是幂的运算中整体思想的应用．【例26】已知：1123326x x x ++-⋅=，求x 的值．【难度】★★★ 【答案】4．【解析】由题目条件，根据积的乘方逆运用，()11233266x x x ++-⨯==，可得123x x +=-，解方程得：4x =．【总结】本题主要考查积的乘方的逆用．【例27】计算：()99991111...1123 (98991009998)32⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭．【难度】★★★ 【答案】99100．【解析】原式=999911112398991001009998⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查积的乘方的逆用．【例28】2009201025⨯的积有多少个0？是几位数？【难度】★★★【答案】有2009个0，是2010位数． 【解析】()20092009201020092009200925255255105⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯，可知式子乘积有2009个0， 是2010位数．【总结】本题主要考查积的乘方的逆用，注意指数的变化．【习题1】 计算：（1）()3523124m m ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）322373127y y y ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；随堂检测（3）431()()4x y x y ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．【难度】★【答案】（1）2112m ；（2）137192y ；（3）()71256x y +【解析】（1）原式6152111(32)642m m m =-⋅-=； （2）原式3661337971249192y y y y =⋅⋅=；（3）原式43711()()()256256x y x y x y =+⋅+=+．【总结】本题主要考查幂的运算，注意运算法则的准确运用以及计算过程中的符号．【习题2】 计算：（1）()()842263x x x x ⋅+⋅；（2）()()()()224252232a a a a ⋅-⋅；（3）()()()33252352123y y y y y ⎛⎫⋅⋅+-⋅- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）182x ；（2）14a ；（3）25132127y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】（1）原式216612182x x x x x =⋅+⋅=； （2）原式10486142a a a a a =⋅-⋅=；（3）原式252566325101313131222(1)272727y y y y y y y y =⋅⋅+⋅=+⋅=+．【总结】本题主要考查幂的运算，注意运算法则的准确运用以及计算后注意合并同类项．【习题3】 计算：()()()()213325m m ma b b a a b b a ++⎡⎤⎡⎤-⋅--⋅-⋅--⎣⎦⎣⎦． 【难度】★ 【答案】()620m a b +--．【解析】原式=()()()()34215m m m a b a b a b a b ++⎡⎤-⋅--⋅-⋅-⎣⎦()34215m m m a b +++++=--()620m a b +=--．【总结】本题主要考查幂的运算，计算过程中注意符号的变化．【习题4】 填空题：（1）n 为自然数，那么()1n-=______；()21n-=_______；()211n +-=________；（2）当n 为____________数时，()()2110n n-+-=； （3）当n 为____________数时，()()2112nn-+-=． 【难度】★★【答案】（1）111±-，，；（2）奇；（3）偶． 【解析】主要考查幂的运算中的符号，奇负偶正．【习题5】 若n 是自然数，并且有理数,a b 满足10a b+=，则必有( )A ．210nna b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；B ．21210n nab +⎛⎫+= ⎪⎝⎭；C ．2210nnab ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；D ．212110n n ab ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】B 【解析】a 和1b互为相反数，则必为一正一负，根据“奇负偶正”可知两幂运算指数必为一 奇一偶． 【总结】本题主要考查积的乘方以及相反数的相关概念．【习题6】 填空：（1）计算：()()5333a b b a --=__________； （2）计算：43()()()m n n m n m ---=__________；（3）计算：()()222x y y x ⎡⎤--⋅-⎣⎦=__________． 【难度】★★【答案】（1）()83a b --；（2）()8m n -；（3）()6x y -． 【解析】（1）原式538(3)[(3)](3)a b a b a b =-⋅--=--； （2）原式448()()()m n n m m n =-⋅-=-； （3）原式426()()()x y x y x y =-⋅-=-．【总结】本题主要考查幂的综合运算，计算过程中注意符号．【习题7】 用简便方法计算： （1）()()2200320030.045⎡⎤⨯-⎣⎦；（2）200720072 1.53⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭；（3）1111127331982⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）1；（2）1-；（3）32-【解析】（1）原式=()()()200320032003220.0450.0451⨯=⨯=；（2）原式=20072 1.513⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭；（3）原式=1111111173337333311982298222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯-=-⨯⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【总结】考查幂的运算的应用，一般将指数化作相同，用积的乘方逆运算应用计算．【习题8】 如果2228162n n ⋅⋅=，求n 的值． 【难度】★★ 【答案】3．【解析】将式子两边化作等底数幂，即有()()347122281622222nnn n n +⋅⋅=⨯⨯==，故7122n +=，解得3n =．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用．【习题9】 已知a 、b 互为负倒数，a 、c 互为相反数，d 的绝对值为1，则()()20152016201412ab a c d ++-=__________． 【难度】★★【答案】32-．【解析】依题意有101ab a c d =-+==，，，代入可得：()2015201620141310122⨯-+-=-． 【总结】本题中注意d 的取值以及负倒数的概念．【习题10】 已知有理数x ，y ，z 满足()2|2|367|334|0x z x y y z --+--++-=，求3314n n n x y z x --的值． 【难度】★★ 【答案】0．【解析】依题意有2036703340x z x y y z --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩，可解得：3131x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，代入可得：313134311131333333033n n nn n ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⋅⨯-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】当几个非负数的和为零时，则这几个数分别为零．【习题11】 已知2326212a b c ===，，，求a b c ，，之间的一个数量关系． 【难度】★★ 【答案】2a c b +=．【解析】由3×12=36=6×6，根据题意代换可得：2222a c b b ⋅=⋅，即为222a c b +=．由此可得：2a c b +=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用．【习题12】 小杰在学习幂的乘法时，发现()32236a a a ⨯==，()23326a a a ⨯==，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的，于是他在计算()32a -与()23a -时，认为结果也应是相同的，你同意他的观点吗？说说你 的理由． 【难度】★★ 【答案】不同意．【解析】这两个幂的乘法运算可视作积的乘方运算，积的乘方运算的结果是积中的每个因式 分别乘方，会产生类似()1n-的运算，n 分别为奇偶时会产生不同的运算结果，奇负偶正， 即要注意好运算符号，两个式子计算结果不相等．【总结】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负．【习题13】 三个互不相等的有理数，既可表示为1，a b +，a 的形式，又可表示为0，ba， b 的形式，则19921993a b += ．【难度】★★★ 【答案】2．【解析】三个有理数互不相等，则1ba≠，可得1b =，进而可得01a b a +==-，，代入可得：()19921993112-+=．【总结】本题主要考查对题目条件的理解，以及幂的运算的考查．【习题14】 已知：3982ba ==，求22211125525a b a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】64-．【解析】由已知，即得()333998222b a ====，由此29a b ==，，对代数式化简，结果为：2222a a b -，代入数值计算得：222222964⨯-⨯⨯=-．【总结】本题中注意要先根据已知条件将等式转化为底数相同的幂，再根据指数相同求出相应的字母的值，最后再求出代数式的值．【作业1】 下列计算正确的是（ ）课后作业A ．234235a a a +=B ．()32528a a =C ．3252()2a a a -=-D ．226212m m a a a ⋅=【难度】★ 【答案】C【解析】考查幂的运算法则，熟练计算．【作业2】 计算： （1）22234xy ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）33223a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）()42313x y a b ⎡⎤--⋅⎢⎥⎣⎦．【难度】★ 【答案】（1）2481256x y ；（2）96827a b -；（3）()8124181x y a b - 【解析】考查幂的运算法则，熟练计算． 【作业3】计算：()()2436234341233a b a b b a ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭【难度】★【答案】912410239a b ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭．【解析】原式=12412491249124110232399a b a b a b a b ⎛⎫++⨯=+⨯ ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查幂的综合运算．【作业4】 简便计算： （1）20021220028113834⎛⎫⎛⎫-⋅+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()201120101294313343⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅--⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2；（2）3527-．【解析】（1）原式=2002122002122002121111343423434⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=⨯+⨯= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）原式=2010201093944311413533343332727⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯⨯=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查利用积的乘法法则完成简便运算．【作业5】 计算：62262224()()()()()kk k k kx y x y x y x y x y +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋅---⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【难度】★★ 【答案】()8kx y -．【解析】原式=()()()()2662228k k k k kx y x y x y x y ++--⋅---+-=()()()888kkkx y x y x y ---+-()8kx y =-．【总结】本题主要考查幂的乘方的运用．【作业6】 求值：（1）已知102103m n ==，，求3210m n +． （2）已知54n n x y ==，，求()32n x y ．【难度】★★【答案】（1）72；（2）2000．【解析】（1）()()3232323210101010102372m n m n m n +=⋅=⋅=⨯=；（2）()()()32323232542000nn n n n x y x y x y ==⋅=⨯=．【总结】本题主要考查整体思想的应用．【作业7】 求值：（1）若23n a =，求()43n a 的值．（2）如果()23612m n a b a b ⋅=，求m n ，的值．【难度】★★【答案】（1）729；（2）32m n ==，．【解析】（1）()()46312263729n n n a a a ====；（2）()2326612m n m n a b a b a b ⋅==，由此26612m n ==，，可解得32m n ==，．【总结】本题主要考查整体思想的应用．【作业8】 若a 、b 、c 都是正数，且22a =，33b =，44c =，比较a 、b 、c 的大小． 【难度】★★★ 【答案】b a c >=．【解析】22a =，则有()22224a ==，即44a =，又44c =，且a 、c 都是正数，可得a c =；由22a =，33b =，则有()()322633622839a a b b ======，，即66a b <，可知a b <；综上所述，b a c >=．【总结】本题主要考查幂的乘法的综合运算，以及幂的大小比较，注意将不同的幂化成同底数或者是同指数．【作业9】 已知999990991199X Y ==，，比较X 与Y 的大小．【难度】★★★ 【答案】X=Y ．【解析】()999999999999011999119119999X Y ⨯⨯=====． 【总结】本题主要考查幂的大小比较，根据幂的乘方法则进行转化．【作业10】 已知：252000x =，802000y =，求11x y+的值． 【难度】★★★ 【答案】1． 【解析】由题意()1125200025xxx==，()1180200080yyy==，两式相乘，得：11200025802000x y+=⨯=，故111x y+=． 【总结】本题一方面考查整体思想的运用，另一方面考查幂的乘方的计算．。

§14．1 整式的乘法§14．1．1 同底数幂的乘法广西岑溪市南渡镇第一中学林志媚教学目标：（一）知识与技能1．理解同底数幂的乘法法则．2．感受生活中幂的运算的存在与价值．（二）过程与方法1．经历自主探索同底数幂乘法的运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这一性质，并会运用它们熟练地进行计算．2．通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．（三）情感态度与价值观体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．教学重点：正确理解同底数幂的乘法法则．教学难点：正确理解和应用同底数幂的乘法法则．教学方法：自主探究、发现教学过程：一．提出问题，创设情境1.复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数， •n是指数．2.相应的习题来进行复习（课件展示）；3.提出问题：10210325 22 a3 a2 5m 5n观察上面四组幂，有什么共同点？（学生小组讨论）二．发现归纳，探究新知1．做一做 ,看看计算结果有什么规律：（1）25×22（2）a3·a2（3）5m·5n（m、n都是正整数）（4）a m ·a n2．猜一猜你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．【归纳】我们可以发现下列规律：（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．【师生共析】a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n=(a·a·…·a)·(a·a·…·a)= a·a·…·a =a m+n于是有a m·a n=a m+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m表示n个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n=a m+n．4．想一想当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质？5..判断（课件展示）6．做一做[例1]计算：（1）x2·x5（2）a·a6 （3）（-2）×（-2）4×（-2）3（4）x m·x3m+1【课件演板】分析：（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．（3）也可以先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．三．反馈练习，巩固新知1．课本96页练习2．例2（课件展示）（1）-a2﹒a6 （-x）×（-x）3四．课时小结这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？1．在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．2．同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n=a m+n（m、n是正整数）．。

北师大版七年级数学下册第一章同底数幂的乘法说课稿（公开课）同底数幂的乘法说课稿各位老师：大家好!前面我已经将同底数幂的乘法这节课讲授完了，下面我将从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程设计这四个方面对这节课进行阐述。

总体设计思想：本节课需要掌握“同底数幂的乘法”的运算性质，这个性质是整式乘法运算的基础，是在幂的基础上进行教学的，教师通过回顾旧知——情境引入——探究发现——巩固新知为教学主线，让学生感受探索发现的过程，使学生初步理解“从特殊到一般”的认知规律，培养学生的计算能力，加强学生的合作意识，从而在学生头脑中构建起幂运算的基础模型。

一、教材分析教材的地位及作用《同底数幂的乘法》是学生在七年级上册中学习了有理数的乘方和整式的加减法运算之后编排的，这为本课的学习奠定了基础，但这两个内容学过的时间过长，在教学过程中我将进行适当的复习，唤起学生对这部分知识的记忆。

同底数幂的乘法的性质是对幂的意义的理解、运用和深化，是幂的三个性质中最基本的一个性质，学好这个性质，对其他两个性质以及整式乘法和除法的学习能起到积极作用。

为此，根据课标的要求和教材的编排意图，结合学生的认知规律和素质教育的要求，我确定本课的教学目标和教学重难点如下：二、教学目标分析1、知识与技能目标：在推理判断中得出同底数幂乘法的法则，并能正确地运用法则进行有关计算以及解决一些实际问题。

2、过程与方法目标：经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，在探索过程中,通过教师引导、学生自主探究，发展学生的数感和符号感，培养学生的观察、猜想、发现、归纳、概括等探究创新能力，发展推理能力和有条理表达能力。

使学生初步理解“特殊----一般------特殊”的认知规律。

体会具体到抽象再到具体、转化的数学思想3、情感、态度、价值观目标：通过本课的学习使学生在合作交流中体会数学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神。

体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生热爱数学的情感。

七年级数学下册第一单元同底数幂的乘法一、引言数学是一门非常重要的学科，它贯穿于我们的日常生活中。

数学的学习需要按部就班地进行，从易到难地学习，将知识点逐渐渗透进脑海之中。

本文将从数学七年级下册第一单元——同底数幂的乘法这一主题展开讨论。

同底数幂的乘法是一种基本的数学运算，我们将通过本文详细地讲解和分析这一知识点。

二、同底数幂的定义在进行同底数幂的乘法时，我们需要先了解一下同底数幂的概念。

同底数幂是指指数相同的幂之间的运算。

具体来说，就是指底数相同而指数不同的幂。

例如，2的3次方和2的4次方就是同底数幂。

三、同底数幂的乘法规则在进行同底数幂的乘法时，我们可以用以下的规则来简化运算：1.底数相同的两个数的幂相乘，保持底数不变，指数相加。

2.也就是说，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。

四、实例分析为了更好地理解同底数幂的乘法规则，我们来看一些实际的例子。

例如：2的3次方乘以2的4次方等于2的3+4次方即2的7次方，结果为128。

五、同底数幂的乘法的应用同底数幂的乘法在现实生活中有许多应用，比如在科学研究、工程技术、计算机等方面都有广泛的应用。

例如在计算机程序设计中，程序员需要频繁地进行数值计算，同底数幂的乘法规则能够帮助他们简化计算过程，提高工作效率。

六、同底数幂的乘法综合练习为了更好地掌握同底数幂的乘法规则，我们需要多进行一些练习。

以下是一些综合练习题：1. 3的4次方乘以3的5次方等于？2. 5的2次方乘以5的3次方等于？3. 10的6次方乘以10的8次方等于？七、总结同底数幂的乘法是数学中一种非常基础的运算方式，掌握好同底数幂的乘法规则，对后续的数学学习起着至关重要的作用。

通过细致的讲解和实例分析，相信读者对同底数幂的乘法规则有了更深入的理解。

希望大家在学习数学的过程中能够认真对待，勤加练习，取得更好的成绩。

1.1同底数幂的乘法一、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变吧，指数相加。

同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n （同底，幂乘，指加）逆用：a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）二、要点1、法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、正确理解：在底数相同的情况下，两个幂相乘，底数不变，其指数相加。

也就意味着如果是两个不同底数的幂相乘，要用法则，就必须转化成同底。

三、注意同底数幂的乘法法则:(m,n 都是正数)课时训练一、选择。

1．设a m =8，a n =16，则a m+n =()A．24B．32C．64D．1282．计算（－a）2·（－a）3的结果是（）A．－a 5B．a 5C．－a 6D．a 63．下列各式中，正确的是（）A．5532t t t ⋅=B．426t t t +=C．3412t t t ⋅=D．235t t t ⋅=4．计算()23()()m m m ⋅⋅---，正确的是（）A．3m -B．5m C．6m D．6m -5．计算24a a ⋅的结果为（）A．2a B．4a C．6a D．8a 6．a x ＝3，a y ＝4，则a x +y ＝（）A．3B．4C．7D．127．计算：a •a 2的结果是（）A．3a B．a 3C．2a 2D．2a 38．化简32()()x x --，结果正确的是（）A．6x -B．6x C．5x D．5x -9．下列式子计算结果为22x 的是（）A．x x +B．2x x ⋅C．2(2)x D．632x x ÷10．计算()23a a -⋅的结果是（）A．5a B．5a -C．6a D．6a -二、填空。

11．若38m a a a a ⋅⋅=，则m =________．12．若3m x =，2n x =-，则2m n x +=______．13．计算：3×9×27×3n =________；22(8)2n n +⋅-⋅=_______.14．如果1216n n a a a +-=，则n =_______.15．计算：（-2）3×（-2）2=_______，（-22）×（-2）3=______．16．一台电子计算机每秒可作1012次运算，它工作5×106秒可作_________次运算.三、解答。

同底数幂的乘法说课稿——汝城七中朱思敏各位领导、各位老师：大家下午好！首先，感谢濠头学校的领导和老师的精心准备和热情招待，非常感谢七年级1班的班主任陈老师贴心地给我准备了座位表，让我可以加快对学生的认识。

今天我说课的题目是七年级数学下册《同行数据的乘法》，下面，我将从教材分析. 教学目标、教学方法这几个方面进行阐述。

一、教材分析《同底数幂的乘法》是在七年级上册已经学习了有理数的乘方和整式的加减运算的基础上.再对幂的含义的理解、运用和深化。

是为了学习整式的乘法而学习的幂的基本性质。

也是学习整式的乘法的基础，在本章中具有举足轻重的作用。

二、教学目标和重难点.1、知识与技能目标理解同底数幂乘法法则的推导过程，能够运用同底数幂乘法的法则进行有关计算2、过程与方法目标通过学生自主探究、培养学生的观察、发现、归纳、概括的能力。

3、情感与价值目标让学生在合作交流中后感受数学其中的乐趣，激发学生探索创新的精神。

重点：正确理解同底数雾乘法法则难点：正确理解和运用同底数幂的乘三、教学方法根据教学目标，要让学生经历探索之后得出结论，因此，我在教学方法上采用以问题的形式，引导学生进行思考、探索，再通过讨论交流发现性质，通过教师的引导与适当讲授使学生正确理解同底数幂乘法法则，再通过练习巩固，力求突出重点，突破难点，使学生运用知识来解决问题的能力得到进一步提升。

四、教学反思最后，我将对这节课教学的不足之处进行反思：1、教学环节的临时改动。

计划赶不上变化，因为网络问题教学环节中的手机拍照投屏环节没有展现给大家，这是一个遗憾，但也给了我一个感悟，生活中的意外无处不在，那我们能做的就是尽可能地做好发生意外的准备。

2、教学时间观念还需加强。

尽管发生了一些小插曲，但是作为一名教师的我们要牢牢把握好时间，加强时间观念，在最有效的时间里让学生沉浸在知识的海洋里。

以上是我关于“同底数幂的乘法”这一节的说课内容，不足之处、请各位领导老师批评指正，谢谢！。

同底数幂的乘法的教案设计案例教学目标：1. 理解同底数幂的乘法概念和规则。

2. 能够运用同底数幂的乘法解决实际问题。

教学内容：第一章：同底数幂的乘法概念介绍1.1 引入同底数幂的乘法概念1.2 解释同底数幂的乘法规则第二章：同底数幂的乘法运算规则2.1 展示同底数幂的乘法运算规则2.2 举例说明同底数幂的乘法运算步骤第三章：同底数幂的乘法应用3.1 运用同底数幂的乘法解决实际问题3.2 练习题：解答与同底数幂的乘法相关的问题第四章：同底数幂的乘法练习题4.1 提供同底数幂的乘法练习题4.2 学生独立完成练习题并互相检查第五章：总结与复习5.1 总结同底数幂的乘法概念和运算规则5.2 复习练习题中的重要知识点教学方法：1. 采用问题导入法，引导学生思考同底数幂的乘法概念。

2. 通过示例讲解和练习题，让学生掌握同底数幂的乘法运算规则。

3. 提供实际问题，培养学生的应用能力。

4. 通过练习题和互相检查，巩固学生对同底数幂的乘法的理解和运用。

教学评估：1. 课堂练习题的解答情况，观察学生对同底数幂的乘法的理解和运用能力。

2. 学生之间的互相检查，了解学生对同底数幂的乘法的掌握程度。

教学资源：1. 同底数幂的乘法PPT演示文稿。

2. 同底数幂的乘法练习题和学习资料。

教学步骤：1. 引入同底数幂的乘法概念，解释同底数幂的乘法规则。

2. 展示同底数幂的乘法运算规则，举例说明运算步骤。

3. 提供实际问题，让学生运用同底数幂的乘法解决。

4. 学生独立完成练习题，互相检查并讨论答案。

5. 总结同底数幂的乘法概念和运算规则，复习练习题中的重要知识点。

教学反思：本教案通过问题导入法、示例讲解、练习题和实际问题解决等方式，帮助学生理解和掌握同底数幂的乘法概念和运算规则。

通过互相检查和讨论，促进学生之间的交流和学习。

在教学过程中，要注意观察学生的理解程度，及时进行反馈和解释。

进一步加强学生的应用能力，提高他们对同底数幂的乘法的掌握程度。

幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。

用式子表示为：nm nma a a -=÷。

(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。

) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。

三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。

用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。