福建省泉州市2021年九年级上学期数学期末考试试卷(II)卷

2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列实数中，介于与之间的是（）A．B．C．D．π2．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a23．（4分）为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（）市文旅局获悉，A．1.7118×102B．0.17118×107C．1.7118×106D．171.18×104．（4分）图①是由五个完全相同的小正方体组成的立方体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．主视图、俯视图和左视图都改变5．（4分）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个6．（4分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．（4分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．45°B．60°C．72°D．90°8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴正半轴上，点A与原点重合，点D的坐标是（3，4），反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值为（）A．12B．15C．20D．329．（4分）完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m10．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：|﹣3|﹣sin30°＝．12．（4分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是．13．（4分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．14．（4分）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．15．（4分）等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是．16．（4分）动点A（m+2，3m+4）在直线l上，点B（b，0）在x轴上，如果以B为圆心，半径为1的圆与直线l 有交点，则b的取值范围是．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：18．（8分）如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．20．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？21．（8分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别家庭藏书m本学生人数A0≤m≤2520B26≤m≤50aC51≤m≤7550D m≥7666根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为，a＝；（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．22．（10分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．24．（12分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，②求BC：AC：AB的值．（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．25．（14分）已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S 取得最大值时点P的坐标．2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵＜＜＜＜π＜，∴介于与之间的是．故选：A．2．【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a＝3a，正确；C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×106．故选：C．4．【解答】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；②的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；故选：A．5．【解答】解：设袋子中有红球x个，根据题意得＝0.6，解得x＝4．经检验x＝4是原方程的解．答：袋子中有红球有4个．故选：A．6．【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．7．【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝，故选：B．8．【解答】解：如图，分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为M，N，∵点D的坐标是（3，4），∴OM＝3，DM＝4，在Rt△OMD中，OD＝＝5，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），∴BN＝OM＝3，∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，又∵CN＝4，∴C（8，4），将C（8，4）代入y＝，得，k＝8×4＝32，故选：D．9．【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b（a＞b），则a+3b＝n，阴影部分的周长为2n+2（m﹣a）+2（m﹣3b）＝2n+2m﹣2a+2m﹣6b＝4m+2n﹣2n＝4m，故选：D．10．【解答】解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．【解答】解：原式＝3﹣＝．故答案为：．12．【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，所以这组数据的中位数为＝9，故答案为：9．13．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，故答案为：4．14．【解答】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．故答案为15°．15．【解答】解：∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴CD＝AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝CD＝2，故答案为：2．16．【解答】解：∵动点A（m+2，3m+4）在直线l上，∴直线l解析式为y＝3x﹣2如图，直线l与x轴交于点C（，0），交y轴于点A（0，﹣2）∴OA＝2，OC＝∴AC＝＝若以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切于点D，连接BD∴BD⊥AC∴sin∠BCD＝sin∠OCA＝∴∴BC＝∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时，B点坐标为（﹣，0）或（+，0）∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是故答案为：三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：由不等式①得：x＞4．由不等式②得：x＞2．不等式组的解集：x＞4．18．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF∴∠ACB＝∠EFD，∵BF＝CE∴BC＝EF，且∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AC＝DF19．【解答】解：原式＝÷＝•＝1﹣x，当x＝1﹣时，∴原式＝1﹣（1﹣）＝；20．【解答】解：设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．21．【解答】解：（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），故答案为200，64；（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，故答案为0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×＝660（人）．答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．22．【解答】解：（1）方程的解为x1＝c，x2＝，验证：当x＝c时，∵左边＝c+，右边＝c+，∴左边＝右边，∴x＝c是x+＝c+的解，同理可得：x＝是x+＝c+的解；（2）方程整理得：（x﹣3）+＝（a﹣3）+，解得：x﹣3＝a﹣3或x﹣3＝，即x＝a或x＝，经检验x＝a与x＝都为分式方程的解．23．【解答】解：如图所示：（1）作∠A的平分线交BC于点P，点P即为所求作的点．（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，∴AB与圆相切，∵∠ACB＝90°，∵AC与圆相切，∴AC＝AE，设BD＝x，BE＝y，则BC＝6+x，BP＝3+x，∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，∴△PEB∽△ACB∴＝＝∴＝＝解得x＝2，答：BD的长为2．24．【解答】解：（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，∵∠ACB＝90°，∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，在Rt△BCE中∠BCE＝90°，∴BC＝，在Rt△ABC中，AB＝，∴BC：AC：AB＝．（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，∵Rt△ACD是“匀称三角形”．由②知：AC：AD：CD＝：2：，设AC＝，则AD＝2a，CD＝a，如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴，∵＝，解得a＝2，a＝﹣2（舍去），∴，判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，∴tan，又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝，BH＝4﹣，∴tan B＝，即∠AMC≠∠B，这与∠AMC＝∠B相矛盾，∴假设不成立，∴CM不是△ACD的“匀称中线”．25．【解答】解：（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＝，设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），则CM＝＝，则AB＝2CM＝，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，解得：a＝，函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣；（3）过点E作EF⊥PH，设：∠ACB＝α，则∠ACB＝∠HPE＝∠DEF＝α，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣，设点P（h，h2﹣h﹣），则点D（h，h﹣），故tan∠ACB＝tanα＝，则sinα＝，y D﹣y E＝DE sinα＝PD sinα•sinα，S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（y D﹣y E）＝××（h﹣﹣h2+h+＝﹣h2+h﹣，∵﹣＜0，∴S有最大值，当h＝时，S的最大值为：，此时点P（，﹣）．。

2021届九年级上学期期末考试数学试题（必刷卷二十四）一．选择题（共10小题，满分30分）1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.将二次函数y=﹣2x 2+6x﹣4配成顶点式为（ ） A. 2312()22yx B. 2312()22y x C. 2312()22y x D. 2312()22y x 3.根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）A. 锄禾日当午，汗滴禾下土B. 白日依山尽，黄河入海流C. 离离原上草，一岁一枯荣D. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟4.如图，AB 是﹣O 的直径，点C﹣D 在﹣O 上．若﹣ABD=55°，则﹣BCD 的度数为（ ）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°5.已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ﹣A. m<-1B. m>1C. m<1且m≠0D. m>-1且m≠06.已知⊙O 的直径CD=10cm﹣AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）cm 或 或7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）A. 49B. 13C. 29D. 198.已知函数y=﹣﹣x﹣m﹣﹣x﹣n﹣+3，并且a﹣b 是方程（x﹣m﹣﹣x﹣n﹣=3的两个根，则实数m﹣n﹣a﹣b 的大小关系可能是（ ）A. m﹣a﹣b﹣nB. m﹣a﹣n﹣bC. a﹣m﹣b﹣nD. a﹣m﹣n﹣b9.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出 20 元的费用﹣当房价定为多少元时﹣宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ﹣ A. ﹣180+x﹣20﹣﹣50﹣10x ﹣=10890 B. ﹣x﹣20﹣﹣50﹣18010x ﹣=10890 C. x﹣50﹣ 18010x ﹣﹣50×20=10890 D. ﹣x+180﹣﹣50﹣10x ﹣﹣50×20=10890 10.已知二次函数y=ax 2+bx+c﹣a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1﹣a+b+c﹣0﹣﹣2﹣﹣4a﹣b﹣﹣2a﹣3﹣abc﹣0﹣﹣4﹣5a﹣b+2c﹣0﹣ 其中正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（a﹣3），点B 的坐标是（4﹣b ），若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab=_____﹣12.一元二次方程x 2﹣4x+2=0的两根为x 1，x 2，则x 12﹣4x 1+2x 1x 2的值为_____．13.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，圆锥的母线是_____cm ﹣14.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．15.如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．16.如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD AK= ．三．解答题（共7小题，满分52分）17.解方程：（x+1﹣﹣x+2﹣=2x+4﹣18.如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2﹣问道路应多宽？19.将一块含30°角的直角三角板OAB和一块等腰直角三角板ODC按如图的方式放置在平面直角坐标系中．已知C﹣B两点分别在x轴和y轴上，∠ABO=∠D=90°﹣OB=OC﹣AB=3﹣﹣1）求边OC的长．﹣2）将直角三角板OAB绕点顺时针方向旋转，使OA落在x轴上的OA′位置，求图中阴影部分的面积．20.某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．21.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD﹣﹣1）求证：CD是⊙O的切线；﹣2）若AB=2﹣∠P=30°，求阴影部分的面积．22.某市城区新建了一“中央商场”,该商场的第4层共分隔成了27间商铺对外招租.据预测：当每间的年租金定为8万元时，可全部租出；每间的年租金每增加0.5万元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺改作其他服务（休闲）用途，每间每年需费用5 000元.﹣1）当每间商铺的年租金定为10万元时,能租出_______间；﹣2）当该商场第4层每间商铺的年租金定为多少万元时,该层的年收益（收益＝租金-各种费用）为199万元？﹣3）当每间商铺的年租金定为_______万元时, 该“中央商场”的第4层年收益最大，最大收益为_____﹣23.已知二次函数2y x bx c的图象过点A﹣3﹣0﹣﹣C﹣﹣1﹣0﹣﹣﹣1）求二次函数的解析式；﹣2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标；﹣3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当QAB的面积最大时，求点Q的坐标﹣2021届九年级上学期期末考试数学试题（必刷卷二十四）一．选择题（共10小题，满分30分）1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第1个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；第3个图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项错误；第4个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.将二次函数y=﹣2x 2+6x ﹣4配成顶点式为（ ） A. 2312()22yx B. 2312()22y x C. 2312()22y x D. 2312()22y x 【答案】B【解析】【分析】先提取-2，再利用完全平方公式进行配方即可得解．【详解】解：y=﹣2x 2+6x ﹣4=﹣2（x 2﹣3x+94）+92﹣4=﹣2（x﹣32）2+12．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，先把二次项系数化为1，再利用完全平方公式进行配方即可，熟记完全平方公式是解题的关键，难度不大．3.根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（）A. 锄禾日当午，汗滴禾下土B. 白日依山尽，黄河入海流C. 离离原上草，一岁一枯荣D. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】选项A，锄禾日当午，汗滴禾下土是必然事件；选项B，白日依山尽，黄河入海流是必然事件；选项C，离离原上草，一岁一枯荣是必然事件；选项D，春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件.故选D．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】C【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故选C．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．5.已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. m<-1B. m>1C. m<1且m≠0D. m>-1且m≠0【答案】D【解析】试题分析：根据题目2个条件，一个是二次方程，限定0m ，另一个为两个不等的实数根，则要求>0，即224m >0，故选：D ．考点：一元二次方程．6.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（）A. B. cm C. 或 D. 或【答案】C【解析】连接AC ，AO ，∵O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C 点位置如图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ，∴222254AM =3cm ，∴CM=OC+OM=5+3=8cm ，∴22224845CM cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm ，∴MC=5−3=2cm ，在Rt △AMC 中22224225CM cm.故选C.7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A. 49 B. 13 C. 29 D. 19【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49， 故选A ．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．8.已知函数y=﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）+3，并且a ，b 是方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）=3的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是（ ）A. m ＜a ＜b ＜nB. m ＜a ＜n ＜bC. a ＜m ＜b ＜nD. a ＜m ＜n ＜b【答案】D【解析】【分析】令抛物线解析式中y =0,得到方程的解为a ,b ,即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ,b ,再由抛物线开口向下得到a <x <b 时y 大于0,得到x =m 与n 时函数值大于0,即可确定出m ,n ,a ,b 的大小关系.【详解】函数y =﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）+3,令y =0,根据题意得到方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）=3的两个根为a ,b ,∵当x =m 或n 时,y =3>0,∴实数m ,n ,a ,b 的大小关系为a ＜m ＜n ＜b .故选D.【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点,熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键.9.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出 20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ）A. （180+x ﹣20）（50﹣10x ）=10890 B. （x ﹣20）（50﹣18010x ）=10890 C. x （50﹣ 18010x ）﹣50×20=10890 D. （x+180）（50﹣10x ）﹣50×20=10890 【答案】B【解析】【分析】设房价定为x 元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】设房价定为x 元，根据题意，得（x ﹣20）（50﹣18010x ）=10890． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握宾馆每天的总利润=每间每天利润已租出房间数量=（每间每天定价-每间每天支出）×已租出房间数量.10.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a ＜b ＜﹣2a（3）abc ＞0；（4）5a ﹣b+2c ＜0； 其中正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】由抛物线开口向上得到a 大于0，再由对称轴在y 轴右侧得到a 与b 异号，即b 小于0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可得出abc 的符合，对于（3）作出判断；由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c 小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a 大于0，得到-2a 小于0，在不等式两边同时乘以-2a ，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x=-1时对应的函数值大于0，将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c 大于0，又4a 大于0，c 大于0，可得出a-b+c+4a+c 大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．【详解】由图形可知：抛物线开口向上，与y 轴交点在正半轴，∴a >0，b <0，c >0，即abc <0，故(3)错误；又x =1时，对应的函数值小于0，故将x =1代入得：a +b +c <0，故(1)错误；∵对称轴在1和2之间， ∴122ba ，又a >0， ∴在不等式左右两边都乘以−2a 得：−2a >b >−4a ，故(2)正确；又x =−1时，对应的函数值大于0，故将x =1代入得：a −b +c >0，又a >0，即4a >0，c >0，∴5a −b +2c =(a −b +c )+4a +c >0，故(4)错误，综上，正确的有1个，为选项(2).故选:A.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数对图象的影响是解题的关键.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．【答案】12【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a=﹣4，b=﹣3，则ab=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.12.一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____．【答案】2【解析】【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12-4x1=-2、x1x2=2，将其代入x12-4x1+2x1x2中即可求出结论．【详解】∵一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12-4x1=-2，x1x2=2，∴x12-4x1+2x1x2=-2+2×2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于-ba、两根之积等于ca是解题的关键．13.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是_____cm．【答案】13【解析】试题解析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．设母线长为R，则：65ππ5R，解得:13.R cm故答案为：13.14.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．【答案】0.88【解析】分析：首先结合现实生活，对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法，然后再根据算术平均数的求法计算出这种幼树移植过程中统计的10次的成活率的平均数即可.详解：1(0.8650.9040.8880.8680.8750.8920.8820.8788.8790.881)0.88.x故答案为：100.88.点睛：本题主要考查的是利用频率估计概率，正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概率是解题的关键.15.如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．【答案】1．【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532，整理，得x2-35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．考点：一元二次方程的应用．16.如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD AK= ．【答案】3．【解析】试题分析：连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．考点：旋转的性质．三．解答题（共7小题，满分52分）17.解方程：（x+1）（x+2）=2x+4．【答案】x=﹣2或1【解析】【分析】先变形得到（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．【详解】原方程可变为：（x+1）（x+2）=2（x+2）．即（x+2）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣2或1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 18.如图所示，在长为32m 、宽20m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m 2，问道路应多宽？【答案】道路为1m 宽．【解析】试题分析：本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x ，可根据此关系列出方程求出x 的值，然后将不合题意的舍去即可．试题解析：设道路为x 米宽，由题意得：(322)(20)570x x ，整理得：236350x x ，解得：1x ，35x ，经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．答：道路为1m 宽．考点：一元二次方程的应用．19.将一块含30°角的直角三角板OAB 和一块等腰直角三角板ODC 按如图的方式放置在平面直角坐标系中．已知C 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，∠ABO=∠D=90°，OB=OC ，AB=3．（1）求边OC 的长．（2）将直角三角板OAB 绕点顺时针方向旋转，使OA 落在x 轴上的OA′位置，求图中阴影部分的面积．【答案】﹣274 【解析】【分析】（1）先利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB ，然后利用OC=OB 得到OC 的长；（2）先计算出OC 的长，然后根据扇形面积公式，利用S 阴影部分=S 扇形AOA′-S △OCD 进行即可．【详解】（1）在Rt △OAB 中，∵∠AOB=30°，∴∴（2）在Rt △OAB 中，∵∠AOB=30°，∴AB=2AB=6，∵△ODC 为等腰直角三角形，∴OD=CD=2OC=2，∴S 阴影部分=S 扇形AOA′﹣S △OCD =2606360﹣12=6π﹣274. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等腰直角三角形的性质．20.某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．【答案】(1)见解析（2）选择摇奖【解析】试题分析：（1）画树状图列出所有等可能结果，再让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率；（2）算出相应的平均收益，比较大小即可．试题解析：（1）树状图为：∴一共有6种情况，摇出一红一白的情况共有4种，∴摇出一红一白的概率=42 63；（2）∵两红的概率P=16，两白的概率P=16，一红一白的概率P=23，∴摇奖的平均收益是：16×18+23×24+16×18=22，∵22＞20，∴选择摇奖．【点睛】主要考查的是概率的计算，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（23.【解析】【分析】（1）连结OC，AC，由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°，∠ACP=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出DC=12AP=DA，由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，证出∠OCD=90°，即可得出结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得出BP=2AB=4，由勾股定理求出AP，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD的长即可．【详解】（1）连结OC，AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°，∠ACP=90°，∵点D是AP的中点，∴DC═AP=DA，∴∠DAC=∠DCA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵在Rt △ABP 中，∠P=30°，∴∠B=60°，∴∠AOC=120°，∴OA=1，BP=2AB=4，，∴=．【点睛】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键．22.某市城区新建了一“中央商场”,该商场的第4层共分隔成了27间商铺对外招租.据预测：当每间的年租金定为8万元时，可全部租出；每间的年租金每增加0.5万元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺改作其他服务（休闲）用途，每间每年需费用5 000元. （1）当每间商铺的年租金定为10万元时,能租出_______间；（2）当该商场第4层每间商铺的年租金定为多少万元时,该层的年收益（收益＝租金-各种费用）为199万元？（3）当每间商铺的年租金定为_______万元时, 该“中央商场”的第4层年收益最大，最大收益为_____．【答案】（1）23；（2）9万元或13万元；（3）11，207【解析】试题分析：（1）根据每增加0.5万元，少租出1间，通过计算即可得；（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，根据收益=租金-各种费用，列出方程即可得；（3）设每间商铺的年租金增加x 万元，年收益为w 万元，根据收益=租金-各种费用，列出函数关系式，根据函数的性质即可得.试题解析：（1）（1） 27-1080.5=23(间)，故答案为：23； （2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则2782710.51990.50.50.5x x x x ，2650x x ， ∴15x x 或，∴8+1=9或8+5=13，∴ 每间商铺的年租金定为9万元或13万元；（3）设每间商铺的年租金增加x 万元，年收益为w 万元，则有 w=2782710.50.50.50.5x x x x =-2(x-3)2+207， ∵-2<0，∴当x=3时，w 有最大值为207，即定价为3+8=11万元时，有最大收益为207万元， 故答案为：11，207.23.已知二次函数2y x bx c 的图象过点A （3，0）、C （－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y 轴交于点B ，二次函数图象的对称轴与直线AB 交于点P ，求P 点的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q ，当QAB 的面积最大时，求点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3;(2) P （1，2）．(3) Q （32，154）． 【解析】试题分析：（1）将A 、C 的坐标代入函数解析式，解方程组求出b 、c 的值，即可得到函数的解析式；（2）先令x ＝0求出B 点坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再在直线AB 解析式中令x ＝1即可得出点P 坐标；（3）设Q （m ，223m m ＋＋），△QAB 的面积为S ，连接QA ，QB ，OQ ，则S ＝S S S OBQ OAQ OAB ＋，用含m 的代数式表示S ，然后利用二次函数的最值即可求出点Q 的坐标．试题解析：（1）把点A （3，0）、C （－1，0）代入2y x bx c ＝＋＋中，得10,930b c b c ＋＝＋＋＝ 解得2,3b c ＝＝∴抛物线的解析式为223y x x ＝＋＋．（2）在223y x x ＝＋＋中，当x ＝0时y ＝3， ∴B （0，3），设直线AB 的解析式为y kx b ＝＋， ∴3,30b k b ＝＋＝， ∴1,3k b ＝＝，∴直线AB 的解析式为3y x ＝＋， 当x ＝1时，y ＝2，∴P （1，2）．（3）设Q （m ，223m m ＋＋），△QAB 的面积为S ， 连接QA ，QB ，OQ ，则S ＝SS S OBQ OAQ OAB ＋ ＝211123?222OB m OA m m OAOB ＋＋＋ 又∵3OA OB ＝＝， ∴S ＝2132332m m m ＋＋ 23327228m ＝＋ ＝2332m m ∴当32m ＝时S 最大， 此时223m m ＋＋＝154， ∴Q （32，154）．。

2021-2022学年九年级上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.有意义，则x 的取值范围为（）A.1x ≥-B.1x >-C.1≥xD.1x ≤2.下列各式计算正确的是（）A.﹣＝5 B.＝C. D.＝3.一元二次方程()20x x -=的解是（）A.0x =B.2x =C.10x =，22x = D.120x x ==4.已知某水库大坝的横断面为梯形，其中一斜坡AB 的坡度i =AB 的坡角α为（）A.30°B.45°C.60°D.150°5.下列一元二次方程两实数根和为-4的是（）A.2240x x +-=B.2340x x -+=C .2450x x ++= D.2440x x ++=6.有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A.1(1)452x x += B.1(1)452x x -= C.(1)45x x -= D.(1)45x x +=7.如图，点P 在ABC 的边AB 上，要判断ACP ABC △∽△，添加一个条件错误．．的是（）A.APC ACB ∠=∠B.ACP B∠=∠C.AP AC AC AB = D.AC ABCP BC=8.如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin BAC ∠的值为（）A.1B.2 2C.2D.310109.如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A.5B.6C.7D.1210.如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数kyx=的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）A.3B.4C.6D.8二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.如果45a bb-=，那么ab=______．12.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0没有实数根，则m的取值范围是______.13.某次体能测试，要求每名考生从跳绳、长跑、游泳三个项目中随机抽取一项参加测试，小东和小华都抽到游泳项目的概率是______．14.如图，O 是ABC 的重心，AN ，CM 相交于点O ，那么MON △与AOC △的周长的比是______．15.在边长为4dm 的正方形纸片（厚度不计）上，按如图的实线裁剪，将阴影部分按虚线折叠成一个有盖的正方体盒子，则这个盒子的容积为______3dm ．16.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m ；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算：4sin 60︒+．18.先化简，再求值：((1)x x x x +-+-，其中x =19.“网上购物”已成为现代人们的生活方式．某电商平台在A 地区随机抽取了100位居民进行调查，获得了他们每个人近七天“网上购物”消费总金额（单位：元），整理得到右边频率统计表：消费总金额x 频率0100x ≤<0.11100200x ≤<0.24200300x ≤<0.3300400x ≤<0.2400500x ≤<0.1500600x ≤<0.04600700x ≤<0.01（1）求被调查居民“网上购物”消费总金额不低于500元的频率；（2）假设同一组中的数据用该组数据所在范围的组中值（如100200x ≤<一组，取150x =）为准，求该地区消费总金额的平均值；（3）若A 地区有100万居民，该平台为了促销，拟对消费总金额不到200元的居民提供每人10元的优惠，试估计该平台在A 地区拟提供的优惠总金额．20.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．（1）在线段AC 上求作一点D ，使得2BDC A ∠=∠；（用尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹）（2）若22.5A ∠=︒，利用上述作图，求1tan A的值．21.如图，已知ABC 的三边BC 、AC 、AB 分别为a ，b ，c ，且2B A ∠=∠．求证：22b a ac =+．22.如果一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两根x 1，x 2均为正数，其中x 1＞x 2，且满足1＜x 1﹣x 2＜2，那么称这个方程有“友好根”．（1）方程（x （x ）＝0_____“友好根”（填：“有”或“没有”）；（2）已知关于x 的x 2﹣（t ﹣1）x+t ﹣2＝0有“友好根”，求t 的取值范围．23.在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a ，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a ，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a 的值．24.在ABC 中，P 是BC 边上任意一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥AC 交AB 于F ．（1）求证：AE PF =；（2）若2BC =，且BC 边上的高1AD =，设BP x =，用含x 的式子表示PEF 的面积；（3）问点P 在BC 上什么位置时，PEF 的面积最大?25.在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形ABCO 是平行四边形，O 为原点，点C 的坐标为(6,0)，点A 的坐标为(2,A（1）写出平行四边形ABCO 的顶点B 的坐标；（2）如图1，若点D 是边OC 上一点，且1OD =，连结AD ，以D 为顶点作EDC DAO ∠=∠，DE 与BC 交于点E ，求CE 的长；（3）若直线4y kx k =-与射线OC 交于点M ，与射线OA 交于点N ，试判断32OM ON+的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．。

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区九年级第一学期期末数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上3．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）4．已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经变换后得到抛物线y＝x2+2，则这个变换可以（）A．向左平移2个单位B．向上平移2个单位C．向下平移2个单位D．向右平移2个单位6．下列说法正确的是（）A．概率很小的事件不可能发生B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1C．必然事件发生的概率是1D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖7．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝2608．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C．D．9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm10．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜二．填空题（共6小题，每题4分）11．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是．12．若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是．13．已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．14．如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD ∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则▱ABCD面积为．15．已知⊙O的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为．16．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．19．如图，直线l1∥l2∥l3，点A，C分别在直线l1，l3上，连接AC交直线l2于E点，AE＝EC．（1）尺规作图：在直线l2上从左到右依次确定B，D两点，使得四边形ABCD是矩形（保留作图痕迹，不必写作法及证明）；（2）在（1）的情况下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周长．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，且D（1，0），BC与y轴交于点E，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．（1）直接写出点B的坐标；（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．22．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）求出y与x之间的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？24．如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF ⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选：A．2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，∴红球的个数比白球个数多，∴红球个数满足6个或6个以上，故选：D．3．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【分析】直接由抛物线的顶点式即可求得答案．解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），故选：A．4．已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】将x＝1代入x2﹣2x+c＝0得到关于c的方程，解之可得．解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+c＝0，得：1﹣2+c＝0，解得：c＝1，故选：C．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经变换后得到抛物线y＝x2+2，则这个变换可以（）A．向左平移2个单位B．向上平移2个单位C．向下平移2个单位D．向右平移2个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．解：y＝x2的顶点坐标是（0，0）．y＝x2+2的顶点坐标是（0，2）．所以将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度得到抛物线y＝x2+2，故选：B．6．下列说法正确的是（）A．概率很小的事件不可能发生B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1C．必然事件发生的概率是1D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解：A．概率很小的事件也可能发生，故A不符合题意；B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为，故B不符合题意；C．必然事件发生的概率是1，故C符合题意；D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票不一定会中奖，故D不符合题意；故选：C．7．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝260【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．故选：D．8．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C．D．【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D．9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．10．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b，则a＝，b ＝，二次函数的图象的顶点在第一象限，则﹣＞0，﹣＞0，即可求解．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，而t＝2a+b，则a＝，b＝，∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞0，﹣＞0，将a＝，b＝代入上式得：﹣＞0，解得：﹣1＜t＜，﹣＞0，解得：t≠，故：﹣1＜t＜，故选：D．二．填空题（共6小题，每题4分）11．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是．【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，所以满足不等式x+1＜2的概率是＝，故答案为：．12．若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是﹣3．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m的值．解：若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是﹣3．故答案为：﹣3．13．已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．【分析】根据弧长公式计算即可．解：此扇形的弧长＝＝，故答案为．14．如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD ∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则▱ABCD面积为8．【分析】设点D的坐标为（a，b），即可得到ab＝4，再根据AD＝a，AO＝b，即可得到▱ABCD面积．解：设点D的坐标为（a，b），∵双曲线y＝经过点D，∴ab＝4，∵AD∥x轴，∴AD＝a，AO＝b，又∵点O为AC的中点，∴AC＝2AO＝2b，∴▱ABCD面积＝2×AD×AC＝a×2b＝2ab＝8，故答案为：8．15．已知⊙O的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为4．【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径．解：如图所示，连接OA、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAM＝60°，∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝＝4，∴该圆的半径为4．故答案为：4．16．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣10）．【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故答案为：（3，﹣10）．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．19．如图，直线l1∥l2∥l3，点A，C分别在直线l1，l3上，连接AC交直线l2于E点，AE＝EC．（1）尺规作图：在直线l2上从左到右依次确定B，D两点，使得四边形ABCD是矩形（保留作图痕迹，不必写作法及证明）；（2）在（1）的情况下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周长．【分析】（1）以AC为直径作圆交直线l2于B，D，四边形ABCD即为所求．（2）证明△ABE是等边三角形，利用勾股定理求出AD即可解决问题．解：（1）如图，所作的四边形ABCD是矩形．（2）∵AE＝BE，∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵∠BAD＝90°，∴AD＝＝＝4，所以，矩形ABCD的周长为：2（AB+AD）＝8+8．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，且D（1，0），BC与y轴交于点E，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．（1）直接写出点B的坐标；（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．【分析】（1）根据已知条件得到OD＝1，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠DAO，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CH⊥x轴于H，得到∠CHD＝90°，根据余角的性质得到∠DCH＝∠CBH，根据三角函数的定义得到＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到结论．解：（1）∵点A（0，﹣2），∴OA＝2，∵D（1，0），∴OD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠BAO＝∠DAO，∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（ASA），∴OB＝OD＝1，∴点B坐标为（﹣1，0）；（2）过C作CH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，∵∠ADO＝∠CDH，∴∠DCH＝∠DAO，∴∠DCH＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝，∴＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，∴2+x＝4x，∴x＝，∴OH＝，CH＝，∴C（，），∴k＝×＝，∴y＝（x＞0）的函数表达式为y＝．22．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为16；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为3．【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；（2）画出树状图，即可得出答案；（3）由题意得出规律，即可得出答案．解：（1）画树状图如下：共有4种等可能结果，∴图③可表示不同信息的总个数为4；（2）画树状图如下：共有16种等可能结果，故答案为：16；（3）由图②得：当n＝1时，21＝2，由图④得：当n＝2时，22×22＝16，∴n＝3时，23×23×23＝512，∵16＜492＜512，∴n的最小值为3，故答案为：3．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）求出y与x之间的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，写出y与x的函数关系式；（2）该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，∴降价为80﹣70＝10（元），每条裤子的售价降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元．24．如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF ⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【分析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C 即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，即DF是⊙O的切线；（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，∴CF＝，∴BF＝a﹣，又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），解得：a＝3r，即r＝，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．。

2021-2022学年福建省泉州市石狮市九年级（上）期末数学试卷1.使二次根式√x+1有意义的x的取值范围是( )A. x≠1B. x≥−1C. x≥1D. x≠−12.若a2=b3，则a+bb的值为( )A. 13B. 23C. 53D. 353.如图，在△ABC中，DE//BC，AD=2，CD=3，BE=6，则AE的长( )A. 4B. 203C. 2D. 54.下列运算正确的是( )A. √2+√3=√5B. √18=2√3C. √2×√3=√5D. √2÷√12=25.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( )A. 12B. 34C. 112D. 5126.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=2，则BD的长为( )A. 10B. 8C. 6D. 47.若把方程x2−4x−1=0化为(x+m)2=n的形式，则n的值是( )A. 5B. 2C. −2D. −58.如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是( )A. AF=FCB. GF=BGC. AG=2GDD. EG=13CE9.如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC 相交于点P，tan∠CPN为( )A. 1B. 2C. √3D. √510.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=16，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连结CE，则CEAD的值为( )A. √353B. 13C. √35D. 311.计算：3√5−√5=______．12.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：移植的棵数n2005008002000500012000成活的棵数m1874467301790451010836成活的频率mn0.9350.8920.9130.8950.9020.903由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为______.(精确到0.1)13.实数3+√5的整数部分______．14.如图，某河堤迎水坡AB的坡比i=1：√3，堤高BC=5√3，则坡面AB的长是______．15.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程x2−14x+48=0的两根，则此三角形的斜边长为______．16.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2=BH⋅BD；⑤若CE：DE=1：3，则BH：DH=17：16．你认为其中正确是______ .(填写序号)17.计算：√12−√3+√1−tan30°．318.解方程：x2−4x−12=0．19.如图，在△ABC中，∠B=36°，AB=BC．(1)尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD=AD；(尺规作图，保留作图痕迹)(2)在(1)的基础上，连接AD，求证：AC2=CD⋅BC．20.某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，决定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元．(1)每件商品降价x元后，用含x的代数式表示可售出商品的件数；(2)若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．21.关于x的一元二次方程x2−3x+k+1=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果x1，x2是方程的两个解，令w=x1x22+x12x2+k，求w的最大值．22.如图所示，小明家住在30米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．(1)如果A、B两楼相距16√3米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？(2)如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？(结果保留根号)23.为了监控一条生产线上某种零件的生产过程，检验员每隔20分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：毫米).下表是检验员在一天内抽取的24个零件尺寸的数据统计：107.7107.8107.8108.1108.1108.4108.4108.4 108.5108.5108.9109.0109.0109.2109.3109.3 109.4109.6109.6109.7109.8110.1110.3110.4记零件尺寸的数据为x，根据尺寸的不同范围设置不同的零件等级如表(m为正数)：尺寸范围零件等级x<108.1超标零件108.1≤x<108.5三级零件108.5≤x<109.0−m二级零件109.0−m≤x<109.0+m一级零件109.0+m≤x<109.5二级零件109.5≤x<109.9三级零件x≥109.9超标零件(1)求这24个数据的中位数；(2)从这条生产线上随机抽取1个零件，求这个零件恰好是超标零件的概率；(3)记“这24个零件中一级零件不到20%”为事件A.求事件A必然成立的m的取值范围．24.如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−34x+3b(b>0)与x轴，y轴分别交于B点、A点，点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O 以1厘米/秒的速度移动．若点P，Q同时出发，运动时间为t秒．(1)当t=5s时，①P点的坐标为______；(用b来表示)②当△APQ为直角三角形时，求b的值；(2)当△APQ的面积为8平方厘米时，求b与t的数量关系，并求出b的最小值．25.【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．(1)求证：△BCE≌△CDG．【运用】(2)如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H.若HDHF =45，CE=9，求线段DE的长．【拓展】(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若AB BC =k，HDHF=45，求DEEC的值(用含k的代数式表示)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意得，x +1≥0， 解得x ≥−1． 故选：B ．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2.【答案】C【解析】解：设a2=b 3=k ，可得：a =2k ，b =3k ， 把a =2k ，b =3k 代入a+b b 中，可得：2k+3k3k=53，故选：C ．根据比例的性质解答即可．此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．3.【答案】A【解析】解：∵DE//BC ， ∴ADDC =AEEB ，∵AD =2，CD =3，BE =6， ∴23=AE 6， 解得：AE =4， 故选：A ．根据平行线分线段成比例定理列出比例式AD DC=AEEB ，把已知数据代入计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A．√2与√3不能合并，所以A选项错误；B.原式=3√2，所以B选项错误；C.原式=√2×3=√6，所以C选项错误；D.原式=√2×2=2，所以D选项正确．故选：D．利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5.【答案】D【解析】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P=2560=512，故选：D．随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF=2，∴EF是△OAB的中位线，则OB=2EF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2OB=8，故选：B．根据已知条件可以得到EF是△OAB的中位线，则OB=2EF=4，再利用平行四边形的性质得出BD 即可．本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．7.【答案】A【解析】解：∵x2−4x−1=0，∴x2−4x=1，∴x2−4x+4=5，∴(x−2)2=5，∴n=5，故选：A．根据一元二次方程的配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8.【答案】B【解析】【分析】由题意点G是△ABC的重心，利用三角形的中位线定理即可判断；本题考查三角形的重心，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：如图连接DE．∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴DF也是△ABC的中线，∴AF=FC，故A不符合题意，∵BE=AE，BD=CD，∴DE//AC，DE=12AC，∴EG CG =DGAG=DEAC=12，∴AG=2DG，EG=13CE，故C，D不符合题意，故选B．9.【答案】B【解析】解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC//MN，∠DMA=∠NMB=45°，DM=√2AD=2√2，MN=√2BM=√2，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=180°−∠DMA−∠NMB=180°−45°−45°=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM=DMMN =2√2√2=2，故选：B．连接格点MN、DM，可得MN//EC，由平行线的性质得出∠DNM=∠CPN，证出∠DMN=90°，由三角函数定义即可得出答案．本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：设DE与AC交于点F，∵∠BAC=90°，点D是边BC的中点，∴AD=BD=DC=12BC，∵DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠DAB，∴AB//DE，∴∠BAC=∠DFC=90°，∵DA=DC，∴DE是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∵EA=ED，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵AB//DE，∴∠B=∠EDC，∴∠DAB=∠ECD，∴△DCE∽△BAD，∴CE AD =DCBA，∵∠BAC=90°，cosB=ABBC =16，∴CDAB=3，∴CEAD=3，故选：D．设DE与AC交于点F，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得DA=DB，从而证明∠ADE=∠DAB，得到AB//DE，，进而得到DE是AC的垂直平分线，然后可得，最后证明△DCE∽△BAD，利用相似三角形的性质即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．11.【答案】2√5【解析】解：原式=2√5．故答案为：2√5．直接合并同类二次根式即可求解．本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．12.【答案】0.9【解析】解：根据表格数据可知：苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．故答案为：0.9．用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13.【答案】5【解析】解：∵4<5<9，∴2<√5<3，∴5<3+√5<6，∴整数部分是5，故答案为：5．用夹逼法估算无理数即可得出无理数的整数部分．本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．14.【答案】10√3【解析】解：∵坡比i=tan∠CAB=BCAC =√3=√33，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵BC=5√3，∴AB=2BC=10√3，故答案为：10√3．先根据坡比i=tan∠CAB=1：√3得出∠BAC=30°，再由直角三角形的性质可得AB=2BC=10m即可．本题主要考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡比的概念及直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．15.【答案】10【解析】解：∵x2−14x+48=0，∴(x−6)(x−8)=0，∴x=6或8；∴两直角边为6和8，∴此三角形的斜边长=√62+82=10，故答案是：10．先解方程x2−14x+48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．16.【答案】①②③④【解析】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠FBE=45°，∴∠ABF=∠DBE；∴①正确，符合题意；②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴AB BD =BFBE，又∵∠ABF=∠DBE，∴△ABF∽△DBE，∴②正确，符合题意；③∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB=∠EDB=45°，∴AF⊥BD；∴③正确，符合题意；④∵∠BEH=∠EDB=45°，∠EBH=∠DBE，∴△BEH∽△BDE，∴BE BD =BHBE，∴BE2=BD·BH，∵BE=√2BG，∴2BG2=BD·BH，∴④正确，符合题意；⑤∵CE：DE=1：3，∴设CE=x，DE=3x，∴BC=4x，在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE=√17x，∵BE2=BD×BH，∴17x2=4√2x×BH，∴BH=17√28x，∴DH=158√2x，∴BH：DH=17：15，∴⑤错误，不符合题意；故答案为：①②③④．①由∠ABD=∠FBE=45°，可知∠ABF=∠DBE；②根据△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得ABBD =BFBE，从而得到△ABF∽△DBE；③由②相似知：∠FAB=∠EDB=45°，可得AF⊥BD；④由∠BEH=∠EDB，∠EBH=∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可；⑤若CE：DE=1：3，设CE=x，DE=3x，则BC=4x，由勾股定理知BE=√17x，借助④的证明即可解答．本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．17.【答案】解：原式=2√3−√3+√33−√33=√3．【解析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：(x−6)(x+2)=0，x−6=0或x+2=0，所以x1=6，x2=−2．【解析】利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．19.【答案】(1)解：如图1，作AB的垂直平分线MN，交BC于点D，点D就是所求的点．理由：如图1，连结AD，∵MN垂直平分AB，且点D在直线MN上，∴BD=AD，∴点D就是所求的点．(2)证明：如图2，连接AD，∵AB=BC，∠B=36°，∴∠BAC=∠C=12×(180°−36°)=72°，∵BD=AD，∴∠DAB=∠B=36°，∴∠CAD=72°−36°=36°，∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，∴△DAC∽△ABC，∴AC BC =CDAC，∴AC2=CD⋅BC．【解析】(1)由BD=AD可知，点D在边AB的垂直平分线上，因此，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，只要作出边AB的垂直平分线与边BC的交点D即可；(2)先AB=BC得∠BAC=∠C，再由∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=36°计算出∠BAC=72°，则∠CAD=∠B=36°，可证明△DAC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例即可证得结论．此题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据线段的垂直平分线的性质完成作图是解题的关键．20.【答案】解：(1)每件商品降价x元后，可售出商品件(500+20x)件，其中x≥1；(2)根据题意得：(50−x)(500+20x)=28000，解得x1=10，x2=15，∵尽快清仓，∴x1=10舍去，答：x的值为15．【解析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．(1)降价1元，可多售出20件，降价x元，可多售出20x件，即可列出代数式；(2)根据日盈利=每件商品盈利的钱数×(原来每天销售的商品件数500+20×降价的钱数)，列出方程求解即可．21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−3x+k+1=0有实数根，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(k+1)≥0，解得：k≤54，∴k的取值范围为k≤54；(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−3x+k+1=0的两个解，∴x1+x2=3，x1⋅x2=k+1．∴w=x1x22+x12x2+k=x1x2(x1+x2)+k=3(k+1)+k=4k+3，∴k=54时，w的最大值为4×54+3=5+3=8．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=3，x1⋅x2=k+1，结合w=x1x22+x12x2+k，由增减性可求w的最大值．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；(2)利用根与系数的关系结合w=x1x22+x12x2+k，根据增减性可求w的最大值．22.【答案】解：(1)如图，过D作DE⊥CG于E，ED=16√3，∠CDE=30°，∴CE=DE⋅tan30°=16√3×√33=16(m)，故DF=EG=CG−CE=30−16=14(m)，答：A楼落在B楼上的影子有14m．(2)延长CD交GF于点H，当A楼的影子刚好不落在B楼上，则GH=CGtan30∘=30√33=30√3(m)，答：如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30√3米．【解析】(1)利用锐角三角函数关系得出CE的长，进而得出答案；(2)可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用锐角三角函数关系求解．本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．23.【答案】解：(1)这24个数据按顺序排列后，第12个和第13个分别是109.0和109.0，∴这24个数据的中位数是109.0+109.02=109.0；(2)由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，∴从这条生产线上随机抽取1个零件，估计这个零件恰好是超标零件的概率是624=14；(3)∵这24个零件中一级零件不到20%，且24×20%=4.8，∴一级零件的个数最多是4个，∴这四个零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.1．∵事件A必然成立，又109.0−108.6=0.4，109.3−109.0=0.3，0.3<0.4，∴m<0.3．【解析】(1)这根据中位数的定义即可得到结论；(2)由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，根据概率公式即可得到结论；(3)根据已知条件得到一级零件的个数最多是4个，得到这四个零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.1.根据事件A必然成立，确定m<0.3．本题考查了概率公式，中位数的定义，正确的理解题意是解题的关键．24.【答案】(4b−4,3)【解析】解：(1)①∵直线AB：y=−34x+3b(b>0)与x轴，y轴分别交于B点、A点，∴A(0,3b)，B(4b,0)，∴OA=3b，OB=4b，∴AB=5b，当t=5时，由点P和点Q的运动可知，AQ=BP=t=5，如图，过点P作PD⊥x轴于点D，则△PBD∽△ABO，∴PB：PD：BD=BA：AO：OB，即5：PD：BD=5b：3b：4b，∴PD=3，BD=4，∴OD =4b −4，∴P(4b −4,3)；故答案为：(4b −4,3)；②由上可知，AP =5b −5，AQ =5，若△APQ 是直角三角形，则有下面两种情况：当∠APQ 是直角时，△APQ∽△AOB ，若点Q 未到达点O ，则AP AO =AQ AB ， 即5b−53b =55b ，解得b =85；若点Q 到达点O ，则AP AO =AQ AB ， 即5b−53b =3b 5b， 解得b =2516； ②当∠AQP 是直角时，△AQP∽△AOB ，∴AQ AO =AP AB ，即53b =5b−55b， 解得b =83， 综上所述，当△APQ 为直角三角形时，b 的值为85或2516或83；(2)如图，过点P 作PC ⊥OA 于点C ，则PC =AP ⋅sin∠OAB =(5b −t)×4b 5b =45(5b −t)， ①当点Q 未到达点O 时，△APQ 的面积=12×t ×45(5b −t)=−25t 2+2bt =8，整理得：t 2−5bt +20=0，②当点Q到达点O时，△APQ的面积=12×6×45(5b−t)=8，整理得，15b−3t=10，综上可知，当△APQ的面积为8cm2时，b与t的关系式为t2−5bt+20=0或15b−3t=10．(1)①当t=5时，根据点P和点Q的与运动可分别求出AQ和BP的长，过点P作PD垂直x轴于点D，则△PBD∽△ABO，根据比例可求出BD和PD的长，进而可得到OD的长，即可得出点P的坐标；②根据点P和点Q的运动可表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；(2)过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．25.【答案】(1)证明：如图1中，∵△BFE是由△BCE折叠得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠BCE=90°，∴∠ECF+∠CGD=90°，∴∠BEC=∠CGD，∵BC=CD，∴△BCE≌△CDG(AAS)．(2)如图2中，连接EH．∵△BCE≌△CDG，∴CE=DG=9，由折叠可知BC=BF，CE=FE=9，∴∠BCF=∠BFC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，∴∠BCG=∠HGF，∵∠BFC=∠HFG，∴∠HFG=∠HGF，∴HF=HG，∵HD HF =45，DG=9，∴HD=4，HF=HG=5，∵∠D=∠HFE=90°，∴HF2+FE2=DH2+DE2，∴52+92=42+DE2，∴DE=3√10或−3√10(舍弃)，∴DE=3√10．(3)如图3中，连接HE．由题意HDHF =45，可以假设DH=4m，HG=5m，设DEEC=x．①当点H在点D的左侧时，∵HF=HG，∴DG=9m，由折叠可知BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC=90°，∵∠D=90°，∴∠ECF+∠CGD=90°，∵∠D=90°，∴∠ECF+∠CGD=90°，∴∠BEC=∠CGD，∵∠BCE=∠D=90°，∴△CDG∽△BCE，∴DG CE =CDBC，∵CD BC =ABBC=k，∴9m CE =k1，∴CE=9mk=FE，∴DE=9mxk，∵∠D=∠HFE=90°∴∴HF2+FE2=DH2+DE2，∴(5m)2+(9mk )2=(4m)2+(9mxk)2，∴x=√k2+93或−√k2+93(舍弃)，∴DE EC =√k2+93．②当点H在点D的右侧时，如图4中，同理HG=HF，△BCE∽△CDG，∴DG=m，CE=mk=FE，∴DE=mxk，∵HF2+FE2=DH2+DE2，∴(5m)2+(mk )2=(4m)2+(mxk)2，∴x=√9k2+1或−√9k2+1(舍弃)，∴DEEC=√9k2+1．综上所述，DEEC =√k2+93或√9k2+1．【解析】(1)根据AAS证明三角形全等即可．(2)如图2中，连接EH.根据HF2+FE2=DH2+DE2，求出DE即可解决问题．(3)如图3中，连接HE.由题意HDHF =45，可以假设DH=4m，HG=5m，设DEEC=x.分两种情形：①当点H在点D的左侧时，②当点H在点D的右侧时，如图4中，分别利用勾股定理构建方程求解即可．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（21）考试时间：120分钟试卷满分：150分考试范围：第1章-第8章一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•宜州区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1C．x2++5＝0D．x2+5x﹣6＝x22．（3分）（2021•惠城区一模）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n的值为（）A．1B．﹣1C．﹣3D．33．（3分）（2020•渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°4．（3分）（2019秋•南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O外B．点A在⊙O内C．点A在⊙O上D．不能确定5．（3分）（2020•龙湾区二模）若20件外观相同的产品中有3件不合格产品，现从这20件产品中任意抽取1件进行检测，则抽到合格产品的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）（2022春•雨花区校级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（）A．3B．5C．6D．77．（3分）（2022•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（）A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣68．（3分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x﹣2﹣101y0466下列结论不正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x＝C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．（3分）（2021秋•崆峒区校级月考）请任写一个二次函数解析式，使这个函数的图象具备以下两个特点：①开口向上；②对称轴为y轴．这个函数可以是．10．（3分）（2022•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝．11．（3分）（2021春•两江新区期末）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是．12．（3分）（2022秋•射阳县校级月考）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是．13．（3分）（2022秋•通榆县月考）抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，则此抛物线的顶点坐标是．14．（3分）（2022春•青岛期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是．15．（3分）（2020秋•赤峰期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴方程为x＝1．下列结论；①a＜0；②c＜0；③＝﹣1；④b2﹣4ac＜0；⑤图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）；⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的是．（填序号）16．（3分）（2020•浙江自主招生）将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1））每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n 个图形为“雪花曲线（n）”，其周长为l n，若“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，则l2013＝．三．解答题（共11小题，满分102分）17．（6分）（2021秋•娄星区校级月考）（1）用直接开平方法解下列方程：9x2﹣81＝0；（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．19．（8分）（2017秋•交城县期中）已知二次函数．（1）将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y＜0时x的取值范围；（3）当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值．20．（8分）（2021秋•中宁县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0．（1）当m取何值时，该方程有实数根？（2）当m＝0时，用合适的方法求此时该方程的解．21．（8分）（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．22．（10分）（2021秋•聊城期末）下面的表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．考试类别平时期中考试期末考试第一单元第二单元第三单元第四单元成绩889290869096（1）小明6次成绩的众数是分；中位数是分；（2）计算小明平时成绩的平均分；（3）计算小明平时成绩的方差；（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．23．（10分）（2022•岳池县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）．24．（10分）（2020•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．25．（12分）（2022•双峰县一模）为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？26．（12分）（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．（1）求证：∠CAG＝∠AGC；（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．27．（12分）（2021•烟台模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC＝．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．（1）求该抛物线的表达式；（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•宜州区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1C．x2++5＝0D．x2+5x﹣6＝x2解：A．ax2+3x+1＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项不合题意；B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程，故本选项符合题意；C．是分式方程，故本选项不合题意；D．x2+5x﹣6＝x2，整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不合题意；故选：B．2．（3分）（2021•惠城区一模）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n的值为（）A．1B．﹣1C．﹣3D．3解：∵m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴m+n＝3．故选：D．3．（3分）（2020•渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°解：∵AC为⊙O的直径，∴++的度数是180°，∴∠A+∠B+∠C＝90°，故选：C．4．（3分）（2019秋•南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O外B．点A在⊙O内C．点A在⊙O上D．不能确定解：∵点A到圆心O的距离d＝4，⊙O的半径r＝3，∴d＞r，则点A在⊙O外，故选：A．5．（3分）（2020•龙湾区二模）若20件外观相同的产品中有3件不合格产品，现从这20件产品中任意抽取1件进行检测，则抽到合格产品的概率是（）A．B．C．D．解：根据题意抽到合格产品的概率是＝，故选：D．6．（3分）（2022春•雨花区校级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（）A．3B．5C．6D．7解：∵一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，∴（2+1+4+x+6）÷5＝4，解得x＝7，故选：D．7．（3分）（2022•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（）A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣6解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m﹣4），∴关于y轴对称的抛物线的顶点（﹣2，m﹣4），∵它们的顶点与原点的连线互相垂直，∴2×[22+（m﹣4）2]＝42，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，∴m的值是2或6．故选：C．8．（3分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x﹣2﹣101y0466下列结论不正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x＝C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为解：由表格可得，，解得，∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，∵当x＝﹣2时，y＝0，∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；故选：C．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．（3分）（2021秋•崆峒区校级月考）请任写一个二次函数解析式，使这个函数的图象具备以下两个特点：①开口向上；②对称轴为y轴．这个函数可以是y＝2x2﹣1（答案不唯一）．解：∵抛物线的对称轴为y轴，∴该抛武线的解析式为y＝ax2+c，又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，故答案为：y＝2x2﹣1（答案不唯一）．10．（3分）（2022•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣2）．解：∵方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，∴2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣2），故答案为：2（x+2）（x﹣2）．11．（3分）（2021春•两江新区期末）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是27．解：将这组数据从小到大排列为：18，22，25，27，30，32，34，处在中间位置的一个数是27，因此中位数是27，故答案为：27．12．（3分）（2022秋•射阳县校级月考）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是7．解：设圆锥的母线长为l，设由题意得，14π＝πl×2，解得，l＝7，故答案为：7．13．（3分）（2022秋•通榆县月考）抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，则此抛物线的顶点坐标是（1，4）．解：把（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+k，3＝﹣1+kk＝4，∴抛物线的顶点坐标是（1，4）．故答案为：（1，4）．14．（3分）（2022春•青岛期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是．解：根据题意可得：指针落在阴影区域的概率是＝．故答案为：．15．（3分）（2020秋•赤峰期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴方程为x＝1．下列结论；①a＜0；②c＜0；③＝﹣1；④b2﹣4ac＜0；⑤图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）；⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的是①③．（填序号）解：由图象可知：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，故①正确，②错误；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴＝﹣1，故③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故④错误；∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），故⑤错误；当x＞1时，由图象可知y随x的增大而减小，故⑥错误；正确的是①③．故答案为①③．16．（3分）（2020•浙江自主招生）将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1））每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n 个图形为“雪花曲线（n）”，其周长为l n，若“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，则l2013＝2684．解：设图（1）中等边三角形的边长为a，∴第一个三角形的周长＝3a，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，第三个在第二个的基础上，多了其周长的．第二个周长：×3a，第三个周长：＝×3a；第四个周长：＝×3a；…故第n个图形的周长是第一个周长的（）n﹣1倍，即周长是3a×，∵“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，即2013＝3a×，则l2013＝3a×＝2013×＝2684，故答案为：2684．三．解答题（共11小题，满分102分）17．（6分）（2021秋•娄星区校级月考）（1）用直接开平方法解下列方程：9x2﹣81＝0；（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0．解：（1）9x2﹣81＝0，x2＝9，∴x＝±3，∴x1＝3，x2＝﹣3；（2）x2﹣6x﹣9＝0，x2﹣6x＝9，x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，∴x﹣3＝±3，∴x1＝3+3，x2＝3﹣3．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．解：（1）∵方程x2﹣4x+m＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m≥0，∴m≤4．（2）∵方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝4．∵5x1+2x2＝2，x1+x2＝4，∴x1＝﹣2，x2＝6，∴二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣6|＝8．19．（8分）（2017秋•交城县期中）已知二次函数．（1）将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y＜0时x的取值范围；（3）当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值．解：（1）＝，开口向上，顶点为（3，），对称轴为：直线x＝3，（2）如图所示，由图可知，当2＜x＜4时，y＜0；（3）当x＝0时，y有最大值4，当x＝3时，y有最小值﹣．20．（8分）（2021秋•中宁县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0．（1）当m取何值时，该方程有实数根？（2）当m＝0时，用合适的方法求此时该方程的解．解：（1）△＝（2m﹣3）2﹣4m2≥0，整理得﹣12m+9≥0，解得，所以，当时，方程有实数根；（2）当m＝0时，方程为x2+3x＝0，∴x（x+3）＝0，∴x＝0或x+3＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3．21．（8分）（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如图：共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，∴两次取出小球标号的和等于5的概率为＝．22．（10分）（2021秋•聊城期末）下面的表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．考试类别平时期中考试期末考试第一单元第二单元第三单元第四单元成绩889290869096（1）小明6次成绩的众数是90分；中位数是90分；（2）计算小明平时成绩的平均分；（3）计算小明平时成绩的方差；（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．解：（1）成绩从大到小排列为96，92，90，90，88，86，则中位数是：＝90分，众数是90分，故答案是：90，90；（2）小明平时成绩的平均分为＝89（分）；（3）小明平时成绩的方差为×[（88﹣89）2+（92﹣89）2+（90﹣89）2+（86﹣89）2]＝5；（4）89×10%+90×30%+96×60%＝93.5（分）．答：小明的总评分应该是93.5分．23．（10分）（2022•岳池县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）．（1）证明：连接OC，∵CF⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵，∴∠ABC＝∠CBD，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∴∠OCF＝∠CFD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CBD＝30°，∴∠ABC＝∠CBD＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AO＝AC＝5，∴BC＝AC tan60°＝5，∴△ABC的面积＝AC•BC＝×5×5＝，∵OA＝OB，∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝，∴阴影部分面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积＝﹣＝，答：阴影部分面积为：．24．（10分）（2020•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，解得t＝1．若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，解得t＝1.8．综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：∵直线y＝x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．∴∠AOC＝∠BOC．∴CN＝CM．又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，∴∠CND＝∠CMO．∴△CND≌△CMO（SAS）．∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．又∵∠AOB＝90°，∴MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．∴∠OCM+∠OCN＝90°．∴∠DCN+∠OCN＝90°．∴∠OCD＝90°．又∵CD＝CO，∴OD＝OC．∴ON+ND＝OC．∴OM+ON＝OC．②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：∵∠COD＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD＝OC．∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴MC＝NC．又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，∴∠DCN＝∠OCM．∴△CDN≌△COM（SAS）．∴DN＝OM．又∵OD＝OC，∴ON﹣DN＝OC．∴当2＜t＜3时，ON﹣OM＝OC；当t＞3时，OM﹣ON＝OC．当t＝3时，OM＝ON．25．（12分）（2022•双峰县一模）为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？解：（1）由题意得，w与x之间的函数关系式是w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，∵，解得：40＜x＜100，∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x2+280x﹣8000（40＜x＜100）；（2）由（1）可知，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∴当x＝70时，w取得最大值1800，答：当售价定为70元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元；（3）由（1）可得，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，令﹣2（x﹣70）2+1800＝1000，解得x1＝50，x2＝90，∵﹣2（x﹣70）2+1800≥1000，∴50≤x≤90，答：至少获得1000元的销售利润，销售价应在50≤x≤90这个范围内．26．（12分）（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．（1）求证：∠CAG＝∠AGC；（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．（1）证明：∵AH是⊙O的切线，∴AH⊥AB，∴∠GAB＝90°，∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，∴点E在AB上，CE＝CA，∴∠CEA＝∠CAE，∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，∴∠CAG＝∠AGC；（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，∴＝，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECD，∴∠ADC＝∠ECD，∴CF∥AD，∴＝，∵CE＝AC＝AD，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝；（3）解：如图1中，当OC∥AF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，则∠CAG＝∠ACD＝∠DCF＝∠AFG＝α，∵OC∥AF，∴∠OCF＝∠AFC＝α，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝3α，∵∠OAG＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，∵OC＝OF，OA＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFC＝22.5°，∴∠OF A＝∠OAF＝45°，∴AF＝OF＝OC，∵OC∥AF，∴＝＝，∵OA＝1，∴AE＝×1＝2﹣．如图2中，当OC∥AF时，连接OC，AD，设CD交AE点M．设∠OAC＝α，∵OC∥AF，∴∠F AC＝∠OCA＝α，∴∠COE＝∠F AE＝2α，∵∠AFG＝∠D，∠AGF＝∠D，∴∠AGC＝∠AFG＝∠AEC+∠F AE＝3α，∵∠AGC+∠AEC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，2α＝45°，∴△COM是等腰直角三角形，∴OC＝OM，∴OM＝，AM＝+1，∴AE＝2AM＝2+；如图3中，当AC∥OF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，∵∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝2α，∵AC∥OF，∴∠CFO＝∠ACF＝2α，∴∠CAO＝∠ACO＝4α，∵∠AOC+∠OAC+∠ACO＝180°，∴10α＝180°，∴α＝18°，∴∠COE＝∠ECO＝∠CFO＝36°，∴△OCE∽△FCO，∴OC2＝CE×CF，∴1＝CE（CE+1），∴CE＝AC＝OE＝，∴AE＝OA﹣OE＝．如图4中，当AC∥OF时，连接OC，OF，BF．设∠F AO＝α，∵AC∥OF，∴∠CAF＝∠OF A＝α，∴∠COF＝∠BOF＝2α，∵AC＝CE，∴∠AEC＝∠CAE＝∠EFB，∴BF＝BE，由△OCF≌△OBF，∴CF＝BF＝BE，∵∠BEF＝∠COF，∴△COF∽△CEO，∴OC2＝CE•CF，∴BE＝CF＝，∴AE＝AB+BE＝．综上所述，满足条件的AE的长为2﹣或2+或或，27．（12分）（2021•烟台模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC＝．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．（1）求该抛物线的表达式；（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3，∴OC＝3．∵sin∠OBC＝，∴∠OBC＝45°．∴OB＝OC＝3．∴B（3，0）．∵A（1，0），∴，∴．∴y＝﹣x2+4x﹣3．（2）相交．证明：∵BD⊥BC，∴∠OBE＝45°．∴OE＝OB＝3．∴E（0，3 ）．设直线BE为y＝kx+t，∴．∴，∴y＝﹣x+3，联立．解得，．∴D（2，1）．∴AD＝＝，∵AD＞OA，∴以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴相交．（3）存在，如图，过A点作OM的垂线交⊙A于第一象限内点P，垂足为H．此时，△OPM的面积最大．由，得．∴M（﹣2，5）．OM＝，∵∠ONM＝∠OHA＝90°，∠MON＝∠AOH，∴△ONM∽△OHA．∴．∴AH＝．∵AP＝，∴PH＝+，∴S△OPM＝OM⋅PH＝××（+）＝．。

福建省厦门双十中学思明分校2021~2022学年九年级上学期第二阶段考试数学试卷（12月 ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则反映直线l与圆O位置关系的图形（）A．B．C．D．3．用配方法解方程2890++=，变形后的结果正确的是（ ）x xA．()247x+=-B．()249x+=D．()24254x+=x+=-C．()2474．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（　）．5．已知O e 的半径为5cm,P 为O e 外一点，则OP 的长可能是（ ）．A ．6cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm6．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值67．如图，已知点O 是ABC V 的外心，∠40A =°，连结BO ，CO ，则BOC Ð的度数是（ ）．A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°8．如图，在⊙O 中，点C 是¼ADB 的中点，若65ABC Ð=°，则∠D 的度数是（ ）A ．75°B ．65°C ．50°D ．40°9．某数学兴趣小组研究二次函数2y x ax c =++的图象时，得出如下四个结论：甲：图象与x 轴的一个交点为()3,0；乙：图象与x 轴的一个交点为()1,0；丙：图象的对称轴为过点()1,0，且平行于y 轴的直线；丁：图象与x 轴的交点在原点两侧；若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．若点()()()()12311,,2,,,,3,A m B m C n m D m -在抛物线()20y ax bx c a =++¹上，且123m m m <<，则n 的值不可能是( )A ．5B ．3C ．2-D ．5-二、填空题11．点()3,2-关于原点O 对称的点的坐标为________．12．将二次函数()231y x =-+的图象向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为___________．13．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，若4AE =，1OE =，则CD 的长为_________．14．如图，AB 与O e 相切于点B ，AO 的延长线交O e 于点C ．若40A Ð=°，则∠C =_____．15．如图，在ABC V 中，AB AC =，70B Ð=°，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则BAP Ð的度数是_______．16．如图，AB 是O e 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC BD ，相交于点P ，连结AD OC ，． 已知OC BD ^于点E ，2AB =；下列结论：①90CAD OBC Ð+Ð=°；②若点P 为AC 的中点，则2CE OE =；③若AC BD =，则CE OE =；④224BC BD +=；其中正确的是______．三、解答题17．解方程：2210x x +-=18．已知：二次函数2y x ax b =++的图象过点(43)，和点(21)-，，求该函数的最小值．19．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应该邀请多少支球队参加比赛？20．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AD 平分BAC Ð，交BC 于点F ，交O e 于点D ，BE 平分ABC Ð，交AD 于点E ，连接BD ，求证：BD DE =．21．已知关于x的一元二次方程²20++=．其中m、n是常数．x mx n（1）若3=+，试判断该一元二次方程根的情况；m n（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点(),m n关于原点的对称点在直线2=+上，求m的值．y x22．如图，在Rt ABCD中，90Ð=°，点D为边AC上一点．C(1)尺规作图：在边AB上找一点E，使得2Ð=Ð．DEA BDE(2)在（1）的条件下以点E为圆心，EB为半径的圆分别与AB，BC交于M，N点，且DEM DENe相切．Ð=Ð．求证：AC与E23．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD 边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．参考答案：1．B【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B．是中心对称图形，符合题意；；C．不是中心对称图形，不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．2．D【分析】由圆的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，利用直线和圆的位置关系，圆的半径小于直线到圆心距离，则直线l与O的位置关系是相离．【详解】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，∵4＞3，即：d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离．故选D．【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切．3．C【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：2890x x++=方程移项得：289+=-，x x配方得：2816916++=-+，x x即()247x+=，故选：C．【点睛】本题考查解一元二次方程--配方法，解题的关键是熟练运用完全平方公式．4．D【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．﹣．【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°30°=150°故选D．【点睛】考点：旋转的性质．5．A【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r即可．【详解】当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm， B、C、D均不符．故选：A．【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题关键是理解确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．6．D【分析】根据二次函数2=-+的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有y x2(4)6最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数2=-+中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），2(4)6y x∴函数有最小值为6．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．7．C【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作Oe；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】ABCV的外接圆如下图∵∠40A=°∴280BOC AÐ=Ð=°故选：C．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．8．C【分析】利用等弧对相等的圆周角可求得65V中利用三角CAB ABCÐ=Ð=°，然后在ABC形的内角和即可求得CÐ，最后利用同弧所对的圆周角相等即可求解．【详解】解：∵点C是¼ADB的中点，∴»»=，AC BC∴AC＝BC，∴65Ð=Ð=°，CAB ABC∵180180656550C CAB ABCÐ=°-Ð-Ð=°-°-°=° ，∴50Ð=Ð=°，C D故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．∴25C Ð=°．故答案是：25°．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，求出AOB Ð的度数是解题的关键．15．15°或75°【分析】分①点P 在BC 的延长线上，②点P 在CB 的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P 在BC 的延长线上时，如图∵AB AC =，70B Ð=°，∴70B ACB Ð=Ð=°∴40CAB Ð=°∵以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，∴AC =PC∴Ð=ÐP CAP∵70Ð=Ð+Ð=°ACB B CAP∴35Ð=Ð=oP CAP ∴403575Ð=Ð+Ð=+=o o oBAP BAC CAP ②当点P 在CB 的延长线上时，如图由①得70C Ð=°，40CAB Ð=°∵AC =PC∴=55Ð=ÐoP CAP ∴-55-4015Ð=ÐÐ==o o oBAP CAP BAC 故答案为：15°或75°【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．16．①②③【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出CAD CAB Ð=Ð，由AB 是O e 的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点P 为AC 的中点，得出AP CP =，进而证明AAS APD CPE ≌（）V V 全等三角形的判定和性质，得出AD CE =，进而根据三角形中位线定理得出2AD OE =，等量代换得出2CE OE =即可判断②，连接OD ，根据垂径定理得出»»BC CD =，根据AC BD =得出»»AC BD=，则»»»AD BC CD ==，得出OBC △为等边三角形，由BD OC ^，即可得出CE OE =继而判断③；勾股定理得出2224AD BD AB +==，当¹BC AD 时，224BC BD +¹，即可判断④．【详解】解：①∵OC BD ^，∴»»CD BC =，∴CAD CAB Ð=Ð，∵AB 是O e 的直径，∴90ACB Ð=°，∴90CAB ABC Ð+Ð=°，∴90CAD ABC Ð+Ð=°故①正确，符合题意；②∵点P 为AC 的中点，∴AP CP =，∵AB 为直径，∴90ADP CEP Ð=°=Ð，∵APD CPE Ð=Ð，∴AAS APD CPE ≌（）V V ，∴AD CE =，∵OA OB ED EB，，==∴2AD OE=，∴2=，CE OE故②正确，符合题意；③连接OD，∵OC BD^∴»»=BC CD∵AC BD=，∴»»=AC BD∴»»»AD BC CD==，∴60Ð=Ð=Ð=°，AOD COD BOC∵OB OC=，∴OBC△为等边三角形，∵BD OC^，∴CE OE=，故③正确，符合题意；所以 ===DAB DAC DBC ABE CBE ÐÐÐÐÐ，，因为=+=+DBE DBC EBC DEB ABE DAB ÐÐÐÐÐÐ，，所以=DBE DEB ÐÐ，所以BD DE =．【点睛】本题考查了角的平分线，圆周角定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定是解题的关键．21．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）124m m ==【分析】（1）进行判别式的值得到△=m 2-4×2n ，把m=n+3代入后变形得到△=(n-1)2+8，则利用非负数的性质可判断△＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；（2）利用判别式的意义得到m 2-8n=0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得到-n=-m+2，即n=m-2，消去n 得到m 2-8(m-2)=0，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）∵m=n+3，且1a =，b m =，2c n =，∴24b ac=-V =m 2-4×2n=(n+3)2-8n=n 2-2n+9=(n-1)2+8，而(n-1)2≥0，∴(n-1)2+8＞0，即△＞0，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）根据题意得△=m 2-4×2n=0，∵点（m ，n ）关于原点的对称点为（-m ，-n ），且在直线2y x =+上，∴-n=-m+2，即n=m-2，把n=m-2代入m 2-8n=0得m 2-8(m-2)=0，整理得m 2-8m+16=0，即()240m -=，解得m 1=m 2=4，即m 的值为4．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由2DEA BDE Ð=Ð，DEA BDE DBE Ð=Ð+Ð，可知BDE DBE Ð=Ð，进而可知点E 在线段DB 的垂直平分线上，因此线段DB 的垂直平分线与AB 的交点即为点E ；（2）连接EN ．由HF 垂直平分BD ，可得ED EB =，利用圆周角定理可得2DEM DEN DBN Ð=Ð=Ð，结合2DEA BDE Ð=Ð可得BDE DBN Ð=Ð，进而依次推出BC DE ∥，90ADE C Ð=Ð=°，即可证明AC 与E e 相切．【详解】（1）解：如图，连结BD ，作BD 的垂直平分线HF ，与AB 交于点E ，点E 即为所求的点．证明如下：HF Q 垂直平分BD ，点E 在HF 上，ED EB \=，BDE DBE \Ð=Ð，2DEA BDE DBE BDE \Ð=Ð+Ð=Ð．（2）证明：如图，连接EN．由（1）知HF垂直平分BD，\=，ED EB\Ð=Ð，BDE DBEe的半径，Q是EBE\也是EDEe的半径．DEN DBNÐ=Ð，Ð=ÐQ，2DEM DENÐ=Ð，DEA DBN\Ð=Ð，即22DEM DBNQ，Ð=Ð2DEA BDE\Ð=Ð，BDE DBN\∥，BC DE90ADE C \Ð=Ð=°，DE AC \^，又DE Q 是E e 的半径，AC \与E e 相切．【点睛】本题考查作图——复杂作图，圆周角定理，切线的判定等，解第一问的关键是作出BD 的垂直平分线，解第二问的关键是设法证明BC DE ∥．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线性质，得到AEB EBC Ð=Ð；根据等腰三角形的性质，得到BEC EBC Ð=Ð，等量代换得到AEB BEC Ð=Ð即可．（2）如图，过点B 作BM EC ^，证明=BM BA CD CG ==，后证明BMH GCH V V ≌，得到=BH GH ，继而得到PH 是BCG V 中位线得证．【详解】（1）∵矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，使点B 落在AD 边上的点E 处，∴AD BC ∥，AB CD CG ==，CB CE =，=90BCD ECG Ð=а，∴AEB EBC Ð=Ð，BEC EBC Ð=Ð，∴AEB BEC Ð=Ð，∴BE 平分AEC Ð．（2）如图，过点B 作BM EC ^，∵BE 平分AEC Ð，∴=BM BA CD CG ==，∵90BHM GHCBMH GCH BM GC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴BMH GCH V V ≌，∴=BH GH ，∴PH 是BCG V 中位线，∴PH CG ∥．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，实践中中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键．24．（1）29；（2）10020m p =-；（3）当1025t ……时，240m t =-，当2537t ……时，【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，掌握配方法求二次函数的最值．。

2021-2022学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是()A. x<3B. x≠3C. x≤3D. x≥32.如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=6，AB=8，则sinC的值为()A. 43B. 34C. 35D. 453.已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为30和15，且BC=6，则EF的长为()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列运算正确的是()A. √4=±2B. √(−5)2=−5C. √5−√3=√2D. √12÷√3=25.下列事件中，是必然事件的是()A. 掷两次般子，点数和为10B. 一元二次方程有两个相等的实数根C. 相似三角形对应高的比等于相似比D. 汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯6.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：√3.坝高BC为4m，则AB的长度为()A. 4√3mB. 8mC. 8√3mD. 16m7.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》有题目：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)与长共六十步，问阔(宽)及长各几步．设阔(宽)有x步，那么下面所列方程正确的是()A. x(x+60)=864B. x(60−x)=864C. x(x−60)=864D. x2−60x−864=08.如图，在△ABC中，AB=10，BC=16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB=90°，则线段EF的长为()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知点A(2,y1)、B(3,y2)、C(−1,y3)均在抛物线y=ax2−4ax+c(a>0)上，则y1，y2，y3的大小关系为()A. y1<y2<y3B. y1<y3<y2C. y2<y1<y3D. y2<y3<y110.若已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，(2,0)，则关于x的一元二次方程a(x+1)2+bx=−b−c的解为()A. x=−1B. x=−2C. x=−2或x=1D. x=2或x=0二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.化简：√1=______．312.二次函数y=(x−2)2+3的顶点坐标是______．13.在不透明的袋子中装有3个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机提出1个球，是红球的概率为______．14.关于x的一元二次方程x2+3x−m=0的一个根是3，则另一个根是______．15.如图，点E是△ABC的重心，△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，则△EFG与△ABC的面积之比为______．16.如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，且DE=2CE，BE⊥AC于F，连结DF，有下列四个结论：①△CEF∽△ACB；②AF=2CF；③DF=AF；④tan∠ACD=√3.其中正确的3结论有______(填写序号即可)．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.计算：√12÷√6−√3×√6+2sin45°．18.解方程：x2−2√2x−2=0．19.已知关于x的一元二次方程x2−4x+m+2=0有两个不相等的实数根，(1)求m的取值范围；(2)当m=−2时，求出此时方程的两个根．20.某景区检票口有A，B，C共3个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票．(1)求甲选择A检票通道的概率；(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率．21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，DE⊥AB，AD=2DE．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)求sinB的值．22.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∠C=120°．(1)求作点E，使得四边形ABED为菱形(要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法)；(2)在(1)的作图条件下，延长DC、AB交于点F，求证：直线EF、AD、BC相交于同一点．23.鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．2018年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，到2020年底“熟客”们采购了7200箱．(1)求小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；(2)2020年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的4，由于鱼卷5受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调1至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在今年年底能获得的最大利润是多少元？24.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．(1)求证：BC平分∠ABF；(2)求证：BC2=2BF⋅BD；(3)过点A作AG//CE交FB的延长线于点G，连结CG，当BG=365，sin∠E=35时，求CG的长．25.已知直线y=kx+k+1与抛物线y=ax2+2ax交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与抛物线的对称轴交于点P，点P与抛物线顶点Q的距离为2(点P在点Q的上方)．(1)求抛物线的解析式；(2)直线OP与抛物线的另一个交点为M，抛物线上是否存在点N，使得tan∠NMO=13；若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，请说明直线BC过定点，并求出定点坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型.根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x−3≥0，∴x≥3．故选D．2.【答案】D【解析】解：∵∠A=90°，AC=6，AB=8，∴BC=√62+82=10，∴sinC=ABBC =810=45．故选：D．先利用勾股定理计算出BC，然后根据正弦的定义求解．本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边除以斜边=ac．3.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长分别为30和15，∴△ABC和△DEF的相似比为2：1，∵△ABC∽△DEF，BC=6，30∴3015=6EF，解得，EF=3，故选：B．根据相似三角形的周长比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、原式=2，故A不符合题意．B、原式=5，故B不符合题意．C、√5与√3不是同类二次根式，故C不符合题意．D、原式=√4=2，故D符合题意．故选：D．根据二次根式的性质以及二次根式的减法、除法运算法则即可求出答案．本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：A.掷两次般子，点数和为10，是随机事件，故A不符合题意；B.一元二次方程有两个相等的实数根，是随机事件，故B不符合题意；C.相似三角形对应高的比等于相似比，是必然事件，故C符合题意；D.汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，故D不符合题意；故选：C．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．本题考查了随机事件，根的判别式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1：√3，∴BCAC =√3，∵BC=4m，∴AC=4√3m，由勾股定理得：AB=√BC2+AC2=√42+(4√3)2=8(m)，故选：B．根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：设阔(宽)有x步，则长有(60−x)步，依题意得：x(60−x)=864．故选：B．设阔(宽)有x步，则长有(60−x)步，利用矩形的面积计算公式，结合直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=16，BC=8．∴DE=12∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=10，AB=5，∴DF=12∴EF=DE−DF=8−5=3．故选：B．BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得利用三角形中位线定理得到DE=12AB.所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．到DF=12本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．9.【答案】A【解析】解：∵y=ax2−4ax+c(a>0)，=2，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=−−4a2a∴x≥2时，y随x的增大而增大，∴C(−1,y3)关于直线x=2的对称点是(5,y3)，∵2<3<5，∴y1<y2<y3，故选：A．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=2，根据x≥2时，y随x 的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，(2,0)，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x2=2，∵a(x+1)2+bx=−b−c，∴a(x+1)2+b(x+1)+c=0，∴x+1=−1或x+1=2，∴x=−2或x=1．故选：C．根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x2=2，再把a(x+1)2+bx=−b−c看作关于(x+1)的一元二次方程，则x+1=−1或x+1=2，然后解两个一次方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11.【答案】√33【解析】解：原式=√1×33×3=√3√9=√33，故答案为√33．将被开方数的分子与分母同乘以3即可得出答案．本题考查了二次根式的性质与化简，是基础知识比较简单．12.【答案】(2,3)【解析】【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标为(ℎ,k)，注意符号问题．【解答】解：二次函数y=(x−2)2+3的图象的顶点坐标是(2,3)．故答案为(2,3)13.【答案】25【解析】解：∵共有5个球，其中红球有2个，∴P(摸到白球)=25，故答案为：25．用白球的个数除以所有球的个数即可求得抽到白球的概率．此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】−6【解析】解：设方程的另一个根是x1，依题意得：x1+3=−3，解得：x1=−6．故答案为：−6．设方程的另一个根是x1，根据两根之和等于−ba，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出x1，此题得解．本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于−ba是解题的关键．15.【答案】19【解析】解：∵点E是△ABC的重心，∴EA=2ED，∴EDAD =13．∵△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，∴△EFG∽△ABC，EF//AB，∴△DEF∽△DAB，∴EFAB =EDAD=13，∴S△EFGS△ABC =(EFAB)2=19，故答案为：19．根据三角形重心的性质可得EDAD =13，根据位似图形的概念得到△EFG∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可求解．本题考查的是三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了位似变换的概念和性质，掌握重心的性质、位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．16.【答案】①④【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，∠ABC=90°，∴∠ECA=∠CAB，∵BE⊥AC，∴∠EFC=90°，∴∠EFC=∠ABC=90°，∴△CEF∽△ACB，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，∵DE=2CE，∴CECD =13，∴CEAB =13，∵∠ECA=∠CAB，∠CFE=∠AFB，∴△CEF∽△ABF，∴CEAB =CFAF=13，∴AF=3CF，故②错误；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DAB=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠CAB=90°，∵FD≠CF，∴∠CDF≠∠DCF，∵∠ECA=∠CAB，∴∠CDF≠∠CAB，∴∠ADF≠∠DAF，∴DF≠AF，故③错误；∵DE=2CE，∴设CE=a，DE=2a，∴CD=DE+CE=3a，设AD=b，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°，AD=BC=b，∴∠DCA+∠ACB=90°，∵∠BFC=90°，∴∠ACB+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠DCA，∴△ADC∽△ECB，∴ADEC =DCCB，∴ba =3ab，∴b2=3a2，∴b=√3a，∴tan∠ACD=ADDC =b3a=√3a3a=√33，故④正确；所以，正确的结论有：①④，故答案为：①④．①利用矩形的性质可得AB//CD，∠ABC=90°，从而可得∠ECA=∠CAB，然后利用两角相等的两个三角形相似证明即可解答；②根据已知可得CECD =13，利用8字型相似证明△CEF∽△ABF即可解答；③要判断DF=AF，只要判断出∠DAF=∠ADF，进而只要判断出∠CDF=∠CAB即可解答；④先设CE=a，DE=2a，设AD=b，然后证明△ADC∽△ECB，利用相似三角形的性质找到a，b的关系，最后求出tan∠ACD的值即可．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】解：原式=√2−3√2+2×√22=√2−3√2+√2=−√2．【解析】根据特殊角的锐角三角函数、二次根式的加减运算以及乘除运算法则本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．18.【答案】解：x2−2√2x−2=0，这里a=1，b=−2√2，c=−2，∴Δ=(−2√2)2−4×1×(−2)=16>0，∴x=−b±√b2−4ac2a =2√2±42=√2±2，∴x1=√2+2，x2=√2−2．【解析】利用公式法求解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．19.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−4)2−4(m+2)>0，解得m<2；(2)当m=−2时，方程变形为x2−4x=0，x(x−4)=0，x=0或x−4=0，所以x1=0，x2=4．【解析】(1)利用判别式的意义得到Δ=(−4)2−4(m+2)>0，然后解关于m的不等式即可；(2)当m=−2时，方程变形为x2−4x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．20.【答案】解：(1)∵检票口有A，B，C共3个检票通道，∴甲选择A检票通道的概率是13．(2)根据题意画树状图为：共有9种等可能的情况数，其中甲乙两人选择的检票通道恰好不同的有6种情况，则甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率是69=23．【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；(2)画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；(2)解：∵AD=2DE，∠ADE=90°，∴AE=√AD2+DE2=√5DE2=√5DE，∴sin∠AED=ADAE =√5DE=2√55，∵△ADE∽△ACB，∴∠B=∠AED，∴sinB=2√55．【解析】(1)利用两角相等的两个三角形相似证明，即可解答；(2)先利用勾股定理求出AE=√5DE，然后求出sin∠AED的值，最后利用(1)的结论即可解答．本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】(1)解：如图所示：点E即为所求；(2)证明：如图，延长AD，BC交于点G，连接GE，BC与DE交于点H，∵四边形ABED为菱形，∴AB=AD，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，∴∠BDG=120°=∠DBF，∵∠BCD=120°．∴∠BCF=60°，∴∠CDB+∠CBD=60°，∵∠CDB+∠AFD=∠ABD=60°，∴∠CBD=∠AFD，∴△BDG∽△FBD，∴BDFB =DNBD，同理：BD=DE=BE，∠DEB=60°，∴BEFB =DNDE，∵四边形ABED为菱形，∴AD//BE，DE//AB，∴∠GDE=∠A=60°，∠EBF=∠A=60°，∴∠GDE=∠EBF，∴△GDE∽△EBF，∴∠GED=∠EFB，∴∠EBF+∠EFB+∠BEF=60°+∠EFB+∠BEF=180°，∴∠DEG+∠DEB+∠BEF=180°，∴N，E，F三点共线，∴直线EF、AD、BC相交于同一点G．【解析】(1)分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于E；(2)延长AD，BC交于点G，连接GE，BC与DE交于点H，根据(1)证明△ABD是等边三角形，然后证明△BDG∽△FBD，BDFB =DNBD，得BEFB=DNDE，然后证明△GDE∽△EBF，可得∠GED=∠EFB，所以得∠DEG+∠DEB+∠BEF=180°，可得N，E，F三点共线，进而可得直线EF、AD、BC相交于同一点G．本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，作图−复杂作图，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDG∽△FBD．23.【答案】解：(1)设小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，则5000(1+a)2=7200，整理得：(1+a)2=3625，解得：x1=20%.x2=−115(负根不合题意舍去)，答：小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为20%；(2)∵2020年底小张熟客们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的45，∴2020年小张年总销量为：7200÷45=9000(箱)，设今年总利润为w元，价格下调x元，则w=(15−x)(9000+1000x)=−1000x2+6000x+135000=−1000(x−3)2+ 144000，∵a=−1000<0，1≤x≤5，∴当x=3时，w有最大值，最大值为14400，所以小张在今年年底能获得的最大利润是144000元．【解析】(1)设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，则可得方程5000(1+a)2=7200，再解方程即可；(2)先求解今年的总的销量为9000箱，设今年总利润为w元，价格下调x元，则可建立二次函数为w=(15−x)(9000+1000x)，再利用二次函数的性质求解最大值即可．本题考查的是二次函数的应用，确定相等关系建立二次函数解析式是解题关键．24.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=BD，∴∠DCB=∠DBC，∵DC⊥CE，BF⊥CE，∴DC//BF，∴∠DCB=∠CBF，∴∠DBC=∠CBF，∴BC平分∠ABF；(2)由(1)知，∠ABC=∠CBF，∵BF⊥CE，∴∠ACB=∠CFB=90°，∴△ACB∽△CFB，∴BCAB =BFBC，∴BC2=BF⋅AB，∵AB=2BD，∴BC2=2BF⋅BD；(3)过点A作AG//CE交FB的延长线于点G，连结CG，∵AG//CE，∴∠BAG=∠E，∵BF⊥CE，∴AG⊥FG，∵sin∠E =35，BG =365， ∴sin∠BAG =BG AB =35， ∴AB =12，∴AD =DB =6=DC ，∴sin∠E =CD DE =6DE =35， ∴DE =10，∴BE =DE −BD =10−6=4，Rt △BEF 中，BF BE =sin∠E =35，∴BF =125，∴EF =√BE 2−BF 2=√42−(125)2=165，Rt △CDE 中，CE =√BE 2−CD 2=8，∴CF =8−165=245，∴GF =GB +BF =365+125=485，Rt △CFG 中，CG =√GF 2+CF 2=√(485)2+(245)2=24√55．【解析】(1)根据平行线的判定和性质解答即可；(2)根据相似三角形的判定和性质解答即可；(3)根据三角函数和勾股定理解答即可．此题考查相似三角形综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理和三角函数解答．25.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+2ax 的对称轴为直线x =−2a 2a =−1， ∴P(−1,1)，∵点P 与抛物线顶点Q 的距离为2(点P 在点Q 的上方)．∴Q(−1,−1)，把Q(−1,−1)代入y =ax 2+2ax ，得：−1=a −2a ，解得：a =1，∴抛物线的解析式为y =x 2+2x ；(2)抛物线上存在点N ，使得tan∠NMO =13． 如图1，在坐标系中取点E(−32,0)，F(0,32)，连接EF ，交OM 于点D ，设直线EF 的解析式为y =k 1x +b 1，把E(−32,0)，F(0,32)代入，得：{−32k 1+b 1=0b 1=32， 解得：{k 1=1b 1=32， ∴直线EF 的解析式为y =x +32，设直线OP 的解析式为y =k 2x ，把P(−1,1)代入，得：−k 2=1，解得：k 2=−1，∴直线OP 的解析式为y =−x ，联立方程组{y =−xy =x +32，解得：{x =−34y =34， ∴D(−34,34)，∵k 1⋅k 2=−1，∴EF ⊥OP ，∴∠MDE =∠MDF =90°，∵OE =OF =32， ∴∠OED =∠OFD =45°，∴△ODE 与△ODF 均为等腰直角三角形，∴∠EOD =∠FOD =45°，∴DE =DF =12EF =OD ，在Rt △OEF 中，EF =√2OF =3√22， ∴DE =DF =OD =3√24， 联立方程组{y =−x y =x 2+2x，解得：{x =0y =0或{x =−3y =3， ∴M(−3,3)，∴OM =√32+32=3√2， ∴DM =OM −OD =3√2−3√24=9√24， ∴tan∠EMD =tan∠FMD =13； 设直线ME 的解析式为y =mx +n ，把M(−3,3)，E(−32,0)代入，得：{−3m +n =3−32m +n =0，解得：{m =−2n =−3， ∴直线ME 的解析式为y =−2x −3，联立方程组，得：{y =−2x −3y =x 2+2x， 解得：{x =−3y =3或{x =−1y =−1， ∴N 1(−1,−1)；设直线MF 的解析式为y =m 1x +n 1，把M(−3,3)，F(0,32)代入，得：{−3m 1+n 1=3n 1=32， 解得：{m 1=−12n 1=32， ∴直线MF 的解析式为y =−12x +32，联立方程组，得：{y =−12x +32y =x 2+2x， 解得：{x =−3y =3或{x =12y =54， ∴N 2(12,54)；综上所述，点N 的坐标为N 1(−1,−1)，N 2(12,54)；(3)如图2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵过点A 作x 轴平行线交抛物线于点C ，∴C(−2−x 1,y 1)，∵y =kx +k +1，y =x 2+2x ，∴x 2+(2−k)x −k −1=0，∴x 1+x 2=k −2，x 1x 2=−k −1，设直线BC 的解析式为y =ex +f ，把B(x 2,y 2)，C(−2−x 1,y 1)代入，得：{x 2e +f =y 2(−2−x 1)e +f =y 1， ∴y 2−y 1=(x 1+x 2+2)e ，即k(x 2−x 1)=(k −2+2)e ，∴e =x 2−x 1，∵(x 2)2+2x 2=(x 2−x 1)⋅x 2+f ，∴f =2x 2+x 1x 2=2x 2−k −1，∴直线BC 的解析式为y =(x 2−x 1)x +2x 2−k −1，当x =−1时，y =(x 2−x 1)×(−1)+2x 2−k −1=x 1+x 2−k −1=k −2−k −1=−3，∴当k 变化时，直线BC 一定经过定点K(−1,−3)．【解析】(1)先求出抛物线的对称轴，得出P(−1,1)，进而可得Q(−1,−1)，再运用待定系数法即可求得答案；(2)如图1，在坐标系中取点E(−32,0)，F(0,32)，连接EF ，交OM 于点D ，利用待定系数法求出直线EF 、直线OP 的解析式，联立方程组可得出D(−34,34)，根据两直线的一次项系数乘积为−1，判断EF ⊥OP ，再运用勾股定理和三角函数定义可得tan∠EMD =tan∠FMD =13，运用待定系数法求出直线ME 、直线MF 的解析式，通过联立方程组即可求得对应的点N 的坐标；(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得：C(−2−x 1,y 1)，设直线BC 的解析式为y =ex +f ，运用待定系数法和根与系数的关系可求得：e =x 2−x 1，f =2x 2−k −1，即可得出直线BC 一定经过定点K(−1,−3)．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，三角函数定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根与系数的关系等，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，运用方程思想解决问题．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF的面积之比为（ ）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：12．下列四对图形中，是相似图形的是( )A ．任意两个三角形B ．任意两个等腰三角形C ．任意两个直角三角形D ．任意两个等边三角形3．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是 （ ） A ．120°，60° B ．95°，105° C ．30°，60° D ．90°，90°4．为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从市文旅局获悉，“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（ ） A ．1.7118×102B ．0.17118×107C ．1.7118×106D ．171.18×10 5．如图，在O 中，37B ∠=，则劣弧AB 的度数为（ ）A ．106B ．1?26C ． 74?D ． 536．如图，AB 是半圆的直径，AB ＝2r ，C 、D 为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（ ）。

A ．112πr 2B ．124πr 2C ．14πr 2D ．16πr 2 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED ＝∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE 和△BDF 相似的是( )A ．EA ED BD BF =B ．EA ED BF BD =C ．AD AE BD BF = D ．BD BA BF BC = 8．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．159．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为x ，则得方程（ ）A ．()2001722x -=⨯B ．()22001%72x -= C ．()2200172x -= D ．220072x = 10．四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题(每小题3分,共24分)11．把抛物线21y x =+（）向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 ．12．函数1x y +=x 的取值范围是________. 13．数据﹣3，6，0，5的极差为_____．14．在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ﹣1与x 轴交于点A ，如图所示依次作正方形A 1B 1C 1O 、正方形A 2B 2C 2C 1…、正方形A n B n ∁n C n+1，使得点A 1、A 2、A 3、…在直线l 上，点C 1、C 2、C 3、…在y 轴正半轴上，则点B ₃的坐标是_____，点B n 的坐标是_____．15．三角形的三条边分别为5，5，6，则该三角形的内切圆半径为__________16．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，M 是AD 边上的一点，且2AM =，点P 在矩形ABCD 所在的平面中，且90BPD ∠=︒，则PM 的最大值是_________．17．在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AD ∥BC ．请你再添加一个条件，使四边形ABCD 是菱形．你添加的条件是_________．(写出一种即可)18．反比例函数y ＝2x的图象经过（1，y 1），（3，y 1）两点，则y 1_____y 1．（填“＞”，“＝”或“＜”） 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，抛物线y ＝ax 2+2x+c 经过点A （0，3），B （﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长；（3）点F 在抛物线上运动，是否存在点F ，使△BFC 的面积为6，如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（6分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．21．（6分）如图，直线1:2l y x b =-+和反比例函数()0m y x x =>的图象都经过点()2,1P ，点(),4Q a 在反比例函数()0m y x x=>的图象上，连接,OP OQ ．（1）求直线1l 和反比例函数的解析式；（2）直线1l 经过点Q 吗？请说明理由；（3）当直线2:l y kx =与反比例数()0m y x x =>图象的交点在,P Q 两点之间.且将OPQ △分成的两个三角形面积之比为1:2时，请直接写出k 的值．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B(0，4)，OA ＝12OB ，点C(﹣3，n)在直线l 1上.(1)求直线l 1和直线OC 的解析式；(2)点D 是点A 关于y 轴的对称点，将直线OC 沿y 轴向下平移，记为l 2，若直线l 2过点D ，与直线l 1交于点E ，求△BDE 的面积.23．（8分）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润W （元）最大，最大是多少元？24．（8分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．25．（10分）如图，平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上（点A 在点B 的左侧），点C 在第一象限，满足ACB ∠为直角，且恰使OCA ∆∽△OBC ∆，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<经过A 、B 、C 三点．（1）求线段OB 、OC 的长；（2）求点C 的坐标及该抛物线的函数关系式；（3）在x 轴上是否存在点P ，使BCP ∆为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A （2，1），B 两点．（1）求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故选B．2、D【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；故选：D.【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．3、D【分析】根据两个直角互补的定义即可判断．【详解】解：∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，故选：D.考点：本题考查的是两角互补的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．4、C【分析】用科学记数法表示较大数的形式是10n a ⨯ ，其中110a ≤<，n 为正整数，只要确定a,n 即可.【详解】将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×1．故选：C ．【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键.5、A【解析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【详解】连接OA ，∵OA=OB ，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．故选：A【点睛】本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．6、D【分析】连接OC 、OD ，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积，然后计算扇形面积就可．【详解】连接OC 、OD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点，AB =1r ，∴∠AOC =∠BOD =∠COD =180°÷3=60°，OA =r ．∵OC =OD ，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD =60°，∴∠OCD =∠AOC =60°，∴CD ∥AB ，∴△COD 和△CDA 等底等高，∴S △COD =S △ACD ，∴阴影部分的面积=S 扇形COD 26013606r π⨯==πr 1． 故选D ．【点睛】本题考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积是解题的关键．7、C【解析】试题解析：C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.必须是夹角，但是A ∠不一定等于.B ∠故选C.点睛：三角形相似的判定方法：两组角对应相等，两个三角形相似.两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.三边的比相等，两三角形相似.8、D【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105=． 【详解】解：()21P 105==次品 ． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．9、C【分析】设调价百分率为x ，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．【详解】解：设调价百分率为x ，则：2200(1)72.x -=故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．10、B【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．【详解】解：∵四张卡片中中心对称图形有平行四边形、圆，共2个，∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为21=42， 故选B ．【点睛】 此题考查概率公式：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．二、填空题(每小题3分,共24分)11、22y x =-【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：把抛物线21y x =+（）向下平移2个单位得212y x =+-（），再向右平移1个单位，得22y x =-． 考点：抛物线的平移．12、x ≥－1且x ≠1.【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0可得关于x 的不等式组，解不等式组即可求得答案.【详解】解：根据题意，得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥－1且x ≠1. 故答案为x ≥－1且x ≠1.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，难度不大，属于基础题型.13、1【分析】根据极差的定义直接得出结论．【详解】∵数据﹣3，6，0，5的最大值为6，最小值为﹣3，∴数据﹣3，6，0，5的极差为6﹣（﹣3）＝1，故答案为1．【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．14、 (4，7) (2n ﹣1，2n ﹣1)【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A 1、A 2、A 3、A 4的坐标，结合图形即可得知点B n 是线段C n A n+1的中点，由此即可得出点B n 的坐标．【详解】解：∵直线l ：y ＝x ﹣1与x 轴交于点A ，∴A 1（1，0），观察，发现：A 1（1，0），A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），…，∴A n （2n ﹣1，2n ﹣1﹣1）（n 为正整数）．观察图形可知：B 1（1，1），B 2（2，3），B 3（4，7），点B n 是线段C n A n+1的中点，∴点B n 的坐标是（2n ﹣1，2n ﹣1）．故答案为：（4，7），（2n ﹣1，2n ﹣1）（n 为正整数）．【点睛】此题主要考查一次函数与几何，解题的关键是发现坐标的变化规律．15、1.5【分析】由等腰三角形的性质和勾股定理，求出CE 的长度，然后利用面积相等列出等式，即可求出内切圆的半径.【详解】解：如图，点O 为△ABC 的内心，设OD=OE=OF=r ，∵AC=BC=5，CE 平分∠ACB ，∴CE ⊥AB ，AE=BE=116322AB =⨯=， 在Rt △ACE 中，由勾股定理，得22534CE =-=，由三角形的面积相等，则ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=++， ∴11111()22222AB CE AC OD AB OE BC OF AC AB BC r •=•+•+•=•++•， ∴1164=(565)22r ⨯⨯⨯++， ∴ 1.5r =；故答案为：1.5；【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三线合一定理，勾股定理，掌握三角形的面积公式进行计算是解题的关键．16、5+13.【分析】由四边形是矩形得到内接于O ，利用勾股定理求出直径BD 的长，由90BPD ∠=︒确定点P 在O 上，连接MO 并延长，交O 于一点即为点P ，此时PM 最长，利用勾股定理求出OM ，再加上OP 即可得到PM 的最大值.【详解】连接BD ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90︒，AD=BC=8， ∴BD=10，以BD 的中点O 为圆心5为半径作O ，∵90BPD ∠=︒， ∴点P 在O 上，连接MO 并延长，交O 于一点即为点P,此时PM 最长，且OP=5，过点O 作OH ⊥AD 于点H, ∴AH=12AD=4， ∵AM=2， ∴MH=2，∵点O 、H 分别为BD 、AD 的中点， ∴OH 为△ABD 的中位线， ∴OH=12AB=3， ∴OM=22222313MH OH +=+=, ∴PM=OP+OM=5+13. 故答案为：5+13.【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，确定PM 的位置是重点，再分段求出OM 及OP 的长，即可进行计算.17、此题答案不唯一，如AB=BC 或BC=CD 或CD=AD 或AB=AD 或AC ⊥BD 等．【分析】由在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AD ∥BC ，可判定四边形ABCD 是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形ABCD 是菱形，则可求得答案． 【详解】解：如图，∵在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∴当AB=BC 或BC=CD 或CD=AD 或AB=AD 时，四边形ABCD 是菱形； 当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形．故答案为：此题答案不唯一，如AB=BC 或BC=CD 或CD=AD 或AB=AD 或AC ⊥BD 等． 【点睛】此题考查了菱形的判定定理．此题属于开放题，难度不大，注意掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键． 18、＞【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数2y x=，20k => ∴图象在一、三象限，y 随着x 的增大而减小 ∵23< ∴12y y > 故答案是：> 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，采用的是利用反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系进行的解答．三、解答题(共66分)19、（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）5（3）存在，理由见解析.【分析】（1）抛物线y=ax 2+2x+c 经过点A （0，3），B （-1，0），则c=3，将点B 的坐标代入抛物线表达式并解得：b=2，即可求解；（2）函数的对称轴为：x=1，则点D （1，4），则BE=2，DE=4，即可求解；（3）△BFC的面积=12×BC×|y F|=2|y F|=6，解得：y F=±3，即可求解．【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），则BE＝2，DE＝4，BD（3）存在，理由：△BFC的面积＝12×BC×|y F|＝2|y F|＝6，解得：y F＝±3，故：﹣x2+2x+3＝±3，解得：x＝0或2或1故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1，﹣3）或（，﹣3）；【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．20、（1）分别为120元、200元（2）有三种购买方案，见解析【解析】（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得y=x+80{10x+4y=2000，解得x=120{y=200．∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元．（2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有1600≤80000－120×20m－200×m≤24000，解得，78 21m24 1313≤≤．∵m为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案：（1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办 公桌椅，得出等式方程求出即可．（2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出不等式组求出即可．21、（1）2y x =；（2）直线1l 经过点Q ，理由见解析；（1）k 的值为3或43． 【分析】（1）依据直线l 1：y=-2x+b 和反比例数my x=的图象都经过点P （2，1），可得b=5，m=2，进而得出直线l 1和反比例函数的表达式；（2）先根据反比例函数解析式求得点Q 的坐标为1,42⎛⎫⎪⎝⎭，依据当12x =时，y=-2×12+5=4，可得直线l 1经过点Q ；（1）根据OM 将OPQ △分成的两个三角形面积之比为1:2，分以下两种情况：①△OMQ 的面积:△OMP 的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2；②OMQ 的面积:△OMP 的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，再过M ，Q 分别作x 轴，y 轴的垂线，设点M 的坐标为(a ，b)，根据平行线分线段成比例列方程求解得出点M 的坐标，从而求出k 的值． 【详解】解：（1）∵1:2l y x b =-+直线和反比例函数my x=的图象都经过点1(2)P ，， 12212mb ∴=-⨯+=,． 5,2,b m ∴==∴直线l 1的解析式为y=-2x+5，反比例函数大家解析式为2y x=； （2）直线1l 经过点Q ，理由如下.点(),4Q a 在反比例函数的图象上，214,2a a ∴=∴=．∴点Q 的坐标为1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭．当12x =时，12542y =-⨯+=． ∴直线1l 经过点Q ；（1）k 的值为3或43．理由如下：OM将OPQ△分成的两个三角形面积之比为1:2，分以下两种情况：①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2，如图，过点M作ME⊥x轴交PC于点E，MF⊥y轴于点F；过点Q作QA⊥x轴交PC于点A，作QB⊥y轴于点B，交FM于点G，设点M的坐标为(a，b)，图①∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（12，4），∴AE=a-12，PE=2-a，∵ME∥BC,QM:PM=1:2，∴AE:PE=1:2，∴2-a=2(a-12)，解得a=1，同理根据FM∥AP，根据QG:AG=QM:PM=1:2，可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=1．所以点M的坐标为（1，1），代入y=kx可得k=1；②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，如图②，图②同理可得点M的坐标为（32，2），代入y=kx可得k=43.故k的值为1或43．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数解析式．解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，同时需要注意分类讨论思想的应用．22、(1)直线I1的解析式：y＝2x+4，直线OC解析式y＝23x；(2)S△BDE＝16.【分析】(1)根据题意先求A的坐标，然后待定系数就AB解析式，把点C的坐标代入，可得n，即可求得直线OC解析式；(2)根据对称性先去D的坐标，根据直线平移，k不变，可求DE解析式，然后求E的坐标，即可求出面积.【详解】解：(1)∵点B(0，4)，OA＝12 OB，∴OA＝12OB＝142⨯＝2，∴A(﹣2，0)，设OA解析式y＝kx+b，∴420bk b=⎧⎨-+=⎩解得：24kb=⎧⎨=⎩，∴直线I1的解析式：y＝2x+4，∵C(﹣3，n)在直线l1上，∴n＝﹣3×2+4n＝﹣2∴C(﹣3，﹣2)设OC的解析式：y＝k1x∴﹣2＝﹣3k1k1＝23，∴直线OC解析式y＝23x；(2)∵D点与A点关于y轴对称∴D(2，0)设DE解析式y＝23x+b′，∴0＝23×2+b′，∴b′＝﹣43，∴DE 解析式y ＝23x ﹣43，当x ＝0，y ＝﹣43， 解242433y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：44x y =-⎧⎨=-⎩， ∴E(﹣4，﹣4)， ∴S △BDE ＝12×(2+2)(4+4)＝16. 【点睛】本题考查了两条直线相交与平行问题，用待定系数法解一次函数，一次函数的性质，关键是找出点的坐标．23、（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价1.5元时，商场获得的利润W 最大，最大利润是6125元． 【分析】(1) 设每次下降百分率为m ，，得方程()250132m -=，求解即可(2)根据销售利润=销售量×(售价−−进价)，列出每天的销售利润W(元))与涨价x 元之间的函数关系式．即可求解． 【详解】解：（1）设每次下降百分率为m ，根据题意，得()250132m -=，解得120.2, 1.8m m ==（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为20%； （2）设每千克涨价x 元，由题意得：()()1050020W x x =+-2203005000x x =-++()2207.56125x =--+∵200a =-<，开口向下，W 有最大值， ∴当7.5x =（元）时，6125W =最大值（元）答：每千克水果应涨价1．5元时，商场获得的利润W 最大，最大利润是6125元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案 24、（1）10500(3038)y x x =-+；（1）2a =． 【解析】（1）根据题意列函数关系式即可；（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-10-a ）（-10x+500）=-10x 1+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=1，a 1=58，于是得到a=1．【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+； （1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去），∴2a =． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．25、（1）OB=6，OC =（2）C 的坐标为3（；2y x x =+-（3）存在，1(00)P ，，2(6P -，3(40)P ，，4(6P + 【分析】（1）根据题意先确定OA ，OB 的长，再根据△OCA ∽△OBC ，可得出关于OC 、OA 、OB 的比例关系式即可求出线段OB 、OC 的长；（2）由题意利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C 点的坐标，并将C 点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；（3）根据题意运用等腰三角形的性质，对所有符合条件的P 点的坐标进行讨论可知有四个符合条件的点，分别进行分析求解即可．【详解】解：（1）由2ax 8ax 12a 0-+=（a 0<） 得1x 2=，2x 6=，即：OA 2=，OB 6= ∵ΔOCA ∽ΔOBC ∴2OC OA?OB 26==⨯∴OC 23=（23-舍去） ∴线段OC 的长为23. （2）∵ΔOCA ∽ΔOBC ∴AC OABC OC=，21233= 设AC k =， 则BC 3k =，由222AC BC AB +=得222k 3k 62+=-（）（）， 解得k 2=（-2舍去）， ∴AC 2=，BC 23=， 过点C 作CD AB ⊥于点D ，由面积得CD 3=，∴C 的坐标为33（，） 将C 点的坐标代入抛物线的解析式得3a 3=-∴2383y x x 4333=-+-. （3）存在1P 00（，），2P 6230-（，），3P 40（，），4P 6230+（，）①当P 1与O 重合时，△BCP 1为等腰三角形 ∴P 1的坐标为（0，0）；②当P 2B=BC 时（P 2在B 点的左侧），△BCP 2为等腰三角形 ∴P 2的坐标为（0）；③当P 3为AB 的中点时，P 3B=P 3C ，△BCP 3为等腰三角形 ∴P 3的坐标为（4，0）；④当BP 4=BC 时（P 4在B 点的右侧），△BCP 4为等腰三角形 ∴P 4的坐标为（0）；∴在x 轴上存在点P ，使△BCP 为等腰三角形，符合条件的点P 的坐标为：1P 00（，），2P 6-（），3P 40（，），4P 6+（）. 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，掌握由抛物线求二次函数的解析式以及用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识运用数形结合思维分析是解题的关键. 26、（1）2y x=，1y x =-；（1）B （﹣1，﹣1），x ＜﹣1或0＜x ＜1． 【分析】（1）先将点A （1，1）代入ky x=求得k 的值，再将点A （1，1）代入y x m =+，求得m 即可． （1）当反比例函数的值大于一次例函数的值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x 的取值范围． 【详解】解：（1）将A （1，1）代入ky x=中，得k=1×1=1， ∴反比例函数的表达式为2y x=，将A （1，1）代入y x m =+中，得1+m=1， ∴m=﹣1，∴一次函数的表达式为1y x =-；（1）解21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩ 所以B （﹣1，﹣1）；当x ＜﹣1或0＜x ＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．。

2021-2022学年度泉州市初中教学质量监测（一）2022.02初 三 数 学（满分：150分；考试时间：120分钟）友情提示：请认真作答，把答案准确地填写在答题卡上一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．下列二次根式中，最简二次根式是A.B.2C.D.2．若34a b =，则ab的值为 A.13 B.23C.34D.433A．BCD4．下列是必然事件的是A ．打开电视机，它正在播放篮球比赛B ．机选一注彩票，中百万大奖C ．从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球D ．抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面 5．把方程2630x x −+=配方成()2x m n −=的形式，则m 、n 的值分别是A .3、6B . 3、6−C . 3−、6D . 3−、6−6．如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ， 直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，若3AB =，2BC =，则DEDF等于 A. 23B. 25C. 35D. 32(第6题图）A BC D FE 1l2l3l7．如图，在正六边形ABCDEF 的内部以CD 为边作正方形CDGT ，连接BT ，则tan ABT ∠的值为 A.14B.13C. 12D. 18．在如图所示的网格图中，若P'Q'R'△与PQR △是以点O 为位似 中心的同侧位似图形，且其位似比为2:1，则点Q 的对应点Q'的位置应是 A. 点A B. 点B C. 点CD. 点D9．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍， 勾股之田十亩无零数. 九十股差方为界，勾差十步分明许. 借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩. 算的二田无误处，智能才华算中举.”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC 是10亩整.股差90AD =步，勾差10BF =步.请问黍田、芝麻各多少亩？(1亩=240平方步)答：A ．芝麻田3.75亩，黍田6.25亩B ．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C ．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D ．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩10. 如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒,AD BC ⊥于点D ，ACB ∠的平分线CE 交AB 于点E ，交AD 于点F .若BD a =，DF b =，DC c =，则关于x 的一元二次方程240ax bx c ++=的根的情况A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 无实数根二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。