高中数学《三角函数的诱导公式》公开课优秀课件

x
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －

x
3

tan

( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=


(1)解:原式=
( +)( +)


(°+°)+(°+°)

=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a

-
2

cos( -)=sin
2
c
α
b

sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角

2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的

sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
1.3三角函数旳诱导公式
三角函数旳诱导公式（第一课时）
学习目的 :
（1）了解识记诱导公式（二、三、四）； （2）了解和掌握公式旳内涵及构造特征，会 初步利用诱导公式求三角函数旳值； （3）会进行简朴三角函数式旳化简和证明。
一.复习回忆
任意角三角函数旳定义
设α是一种任意角，它旳终边与单位圆交于点P(x，y)，
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
cos
5
6
cos
6
3 2
例2 化简
cos180 • sin 360 sin 180 • cos 180 .
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
2sin3 cos 2 tan
练习：利用定义和公式一求下列角旳三个三角
函数值：
(1)30 (2)750 （3）210
(4) - 30
360 2 30
180 30
观察所画旳图并思索： ①（１）与（２）旳角旳终边有什么关系？
②（１）与（３）旳角旳终边有什么关系？
③（１）与（４）旳角旳终边有什么关系？
问题探究
相等
1.终边相同旳角旳同一三角函数值有什么关系?
3
4
3
4
3
4
3
2

谢谢聆听
02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。

例2．已知sin
3
，且
是第四象限角，求
tan [cos(3
)
5
sin(5
)]
旳值。
理论迁移
例3 求下列各三角函数旳值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(- 16 )
3
(4)cos(-2040 )
例4 已知cos(π＋x)＝ 1 ，求下列
各式旳值：
3
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
2
公式八： cos（3 ）=sin
2
tan（3 ） cot
2
奇变偶不变，符号看象限.
利用诱导公式，能够求任意角旳三角 函数，其基本思绪是：
任意负角旳 三角函数
任意正角旳 三角函数
锐角旳三角 函数
0～2π旳角 旳三角函数
这是一种化归与转化旳数学思想.
例1．已知： tan 3
，求
2 cos( ) 3sin( ) 旳值。 4 cos( ) sin(2 )
tan( ) tan
sin(
)
cos
2
公式五： cos（ ）=sin
2
tan（ ） cot2源自sin()cos
2
公式六： cos（ ）=-sin
2
tan（ ） cot
2
sin( 3 ) cos
2
公式七： cos（3 ）= sin
2
tan（3 ） cot
2
sin( 3 ) cos
2
化简：
[思绪点拨]
例2 已知 cos( ) 2 ，求 sin( 2 )
旳值
6
3
3
例3 已知 sin(30 ) 1 ，求

02
诱导公式推导与理解
周期性及对称性质
周期性
三角函数具有周期性，即函数值 在一定周期内重复出现。正弦函 数和余弦函数的周期为$2pi$，正 切函数的周期为$pi$。
对称性质
正弦函数和余弦函数具有轴对称 和中心对称性。正弦函数关于原 点对称，余弦函数关于$y$轴对称 。正切函数具有周期性对称。
奇偶性质
本题主要考察三角方程与 不等式的求解方法。通过 诱导公式和同角三角函数 关系式，我们可以将方程 转化为更简单的形式进行 求解。
求不等式 sin^2x - 3sinx + 2 < 0 的解集。
本题主要考察三角函数不 等式的求解方法。通过诱 导公式和因式分解等方法 ，我们可以将不等式转化 为更简单的形式进行求解 。
弧度。
角度与弧度的转换公式
03
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
任意角三角函数定义
正弦函数sinx
正切函数tanx
在直角三角形中，任意锐角的对边与 斜边的比值。
在直角三角形中，任意锐角的对边与 邻边的比值。
余弦函数cosx
在直角三角形中，任意锐角的邻边与 斜边的比值。
三角函数性质与图像
05
课堂小结与拓展延伸
总结本节课所学知识点和技能点
掌握了三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切等函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等；
学习了三角函数的诱导公式，包括和差化积、积化和差、倍角公式等，能够灵活运 用这些公式进行三角函数的化简和计算；
通过例题和练习，提高了分析问题和解决问题的能力，培养了数学思维和逻辑推理 能力。
强调诱导公式在解题中的重要性
诱导公式是三角函数中的重要内 容，它可以将复杂的三角函数式 化简为简单的形式，从而方便求

公式三
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
y
P(x,y)
α
O
x
-α
P(x,-y)
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
α
α
O
x
公式二 公式三 公式四
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
公式一～公式六 叫到诱导公式
例3
证明
:1
sin
3
2
cos
;
2
cos
3
2
sin.
1 sin
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2

02
基础知识回顾
2024/3/28
7
三角函数定义及性质
2024/3/28
三角函数的定义
正弦、余弦、正切等函数在直角三 角形中的定义及在各象限的符号规 律。
三角函数的性质
周期性、奇偶性、单调性、最值等 性质。
8
角度制与弧度制转换
角度制与弧度制的定义
角度制以度为单位，弧度制以弧长为单位。
角度制与弧度制的转换公式
16
利用诱导公式化简问题
例题3
化简$tan(16pi + frac{pi}{4})$。
分析
利用诱导公式，将$16pi + frac{pi}{4}$表示为$4pi + frac{pi}{4}$，然后应用$tan(pi + alpha) = tan alpha$和 特殊角三角函数值求解。
解答
$tan(16pi + frac{pi}{4}) = tan(4pi + frac{pi}{4}) = tan frac{pi}{4} = 1$。 2024/3/28
18
05
学生自主练习与反馈
2024/3/28
19
基础练习题选讲
题目一
利用三角函数的诱导公式，化简 表达式 $sin(180^circ - alpha)$。
题目二
求 $cos(-alpha)$ 的表达式，并 指出其与 $cos alpha$ 的关系。
题目三
利用诱导公式，证明 $tan(360^circ - alpha) = -tan
2024/3/28
03
三角函数的求值与应用
通过实例演示如何利用诱导公式求解三角函数的值，以及三角函数在几
何、物理等领域的应用。

公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
α + k ·2 π ( k ∈ Z ) , －α,π±α的三角 函数值,等于α的 同名函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原 函数值的符号.
例1.利用公式求下列三角函数值:
(1) cos225; (2)sin( ); (3) tan120.
（4）角 与角 的三角函数值有什么关
系？ 公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P`(-x,-y)
未命1.gsp
自主探究
(1) 同学们, 根据角 终边,那如何找到
角 和角 的终边呢?
(2)这两个角的终边和角 的终边有怎
2
例2、证明（1）sin( ) cos;(2) cos( ) sin
2
2
证明：（1）sin(
2
)
sin
2
(
)
cos(
)
cos
(2) cos(
2
)
cos2
( )
sin(
)
sin
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
3
解：(1) cos 225 cos(180 45) cos 45 2 ; 2
(2) sin( ) sin 3 ;

(3)tan(-1560 )
3π 11 π 3π π π(2) π 2 + 4 4 4 4 4
(3) -1560 1560 4 360 +120 120


° °
°
180 - 60
°
°
60°
三角函数的诱导公式
应用数学
变式训练
π 变式一： 求 sin(kπ + ) (k Z) 的值。 6
π 1 当K为偶数时， 原式＝ sin = 6 2 π 1 当K为奇数时， 原式＝ -sin = 6 2
1 变式二： 已知：cos = - , [0, 2 ] 2 试求： 的值。
π 2 π 4 α = π- = π 或 α = π+ = π 3 3 3 3
解后反思
求任意角的三角函数值的具体算法
课外作业
(1). (合作探究)用本课知识方法探究终边关 于y=x对称的角的三角函数的关系。 (2).教材P24： 13, 14
建构数学
诱导公式 sin( + α) = -sinα sin(α + 2kπ) = sinα cos(α + 2kπ) = cosα cos( + α) = -cosα tan(α + 2kπ) = tanα tan( + α ) = tan α (k Z)
O
β
P (x,-y)
x
sinβ -sinα tanβ = = = -tanα cosβ cosα
特别地，可取 β = -α
自主探究
探究3(自主)
如果角α与β的终边关于y 轴对称，那么角α与β的三 角函数值有关系吗？
y

任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
布置作业
P29习题1.3 A组 第一题 （1）（3）（5） 第三题 （1）（2）
1.3三角函数的诱导公式二、三、四
学习目标：
1.借助单位圆推导诱导公式二、三、四； 2.记住诱导公式一~四，并能运用诱导公式进行 求值与化简.
复习回顾
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
sin y
y
α 的终边
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数之间的关系 是什么？
25π＋cos
35π＋cos
45π－tan
2π 3
－tan
π； 3
解析：(1)原式＝cos
π5＋cos
25π＋cos(π－25π)＋cos(π－π5)－tan(π－π3)－tan
π 3
＝cos
π5＋cos
25π－cos
25π－cos
π5－(－tan
π3)－tan
π 3
＝tan
π3－tan
π 3
＝0.
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
1．求下列三角函数式的值：
cos
π5＋cos
解析：因为 sin(π－α)＝sin α＝ 55，
所以