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高中数学必修4公开课课件1.3 三角函数的诱导公式(一)

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1.3三角函数的诱导公式课件(公开课)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

1.3三角函数的诱导公式课件(公开课)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
1.3三角函数旳诱导公式
三角函数旳诱导公式（第一课时）
学习目的 :
（1）了解识记诱导公式（二、三、四）； （2）了解和掌握公式旳内涵及构造特征，会 初步利用诱导公式求三角函数旳值； （3）会进行简朴三角函数式旳化简和证明。
一.复习回忆
任意角三角函数旳定义
设α是一种任意角，它旳终边与单位圆交于点P(x，y)，
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
cos
5
6
cos
6
3 2
例2 化简
cos180 • sin 360 sin 180 • cos 180 .
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
2sin3 cos 2 tan
练习：利用定义和公式一求下列角旳三个三角
函数值：
(1)30 (2)750 （3）210
(4) - 30
360 2 30
180 30
观察所画旳图并思索： ①（１）与（２）旳角旳终边有什么关系？
②（１）与（３）旳角旳终边有什么关系？
③（１）与（４）旳角旳终边有什么关系？
问题探究
相等
1.终边相同旳角旳同一三角函数值有什么关系?
3
4
3
4
3
4
3
2

1.3三角函数的诱导公式-课件(人教A版必修4)

1.3三角函数的诱导公式-课件(人教A版必修4)
堂互动探究
cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
菜单
第24页，共51页。
新课标 ·数学 必修4
学教法分析
思想方法
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化
为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360°，再利用诱
学方案设计
导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．若这时角是
●教学建议
思想方法
1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，
学方案设计因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线 y＝x、
原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利
当堂双基
用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐
前自主导学
标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)
菜单
新课标 ·数学 必修4
思想方法
第8页，共51页。
当堂双基 课时作
学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
菜单
新课标 ·数学 必修4
思想方法
第9页，共51页。
当堂双基 课时作
学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
菜单
新课标 ·数学 必修4
思想方法
第10页，共51页。
当堂双基 课时作
90°到 180°间的角，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°～90°当堂双基
前自主导学间的角的三角函数；若这时角是 180°～270°间的角，则用 180° ＋α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是
270°～360°间的角，则利用 360°－α 的诱导公式化为 0°～90°
学教法分析

1.3《三角函数的诱导公式》课件

1.3《三角函数的诱导公式》课件




因 为s in 公 式4 s in 2 2
cos

公 式5 s in
2
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2

诱导公式（六）
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
α k 2π(k Z), α, α π 的三角函数值，等于α 的 同名函数值，前面加上 一 个把α看成锐角时原函 数 值的符号。
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan( 2k ) tan 。
2 2 3 3 cos( ) sin cos( ) sin 2 2 共同点：遇到 / 2 a 时候
函数名改变,函数名前面的+、-符号与前面的括号 里面角在第几象限来确定。
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇偶指的是
k
2 符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)
-1
• 如上图我观察到的东东是如下：
• 第一：ɑ和π­ɑ的角的终边关于y轴对称
• 第二：所以这两个角的终边与单位圆的焦点 p＇ 和p两个点关于y轴对称
• 第三：这个两个点的横坐标互为相反数，纵坐标 相同

1.3三角函数的诱导公式(一) 课件(人教A版必修4)

1.3三角函数的诱导公式(一) 课件(人教A版必修4)

知识点 2 化简三角函数式或证明三角恒等式 tan2π－αsin－2π－αcos6π－α 【例 2】 求证： ＝－tan α. cosα－πsin5π－α 思路点拨： 运用诱导公式把各三角函数都转化为 α 的三角函数值．
自学导引 1．公式一是说，2kπ＋α(k∈Z)与 α 的三角函数值______ 相等 ，即 终边相同的角的三角函数值相等， 应用公式一可以将任意角的三角 函数化为______ [0,2π) 的三角函数．
sin α；cos(π＋α)＝ － cos α ； 2．公式二：sin(π＋α)＝－ ______ ______ tan α tan(π＋α)＝______. 公式三：sin(－α)＝________ －sin α ；cos(－α)＝________ cos α ； －tan α tan(－α)＝________. sin α ；cos(π－α)＝－cos α； 公式四：sin(π－α)＝______ tan(π－α)＝ ______. － tan α
π π 解：存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．理由如下：
π sin3π－α＝ 2cos －β， sin α＝ 2sin β， 2 由 得 3cos α＝ 2cos β， 3cos－α＝－ 2cosπ＋β， 1 2 2 2 两式平方相加得 sin α＋3cos α＝2，得到 sin α＝2，即 sin α＝ π π 2 π π π ± 2 .因为 α∈ －2，2 ，所以 α＝4或 α＝－4.将 α＝4代入 3cos α＝ 3 π π 2cos β，得 cos β＝ 2 ，由于 β∈(0，π)，所以 β＝6.将 α＝－4代入 1 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－2，由于 β∈(0，π)，这样的角 β 不存 π π 在．综上可知，存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．

高中人教版数学必修4课件：1.3公式二、公式三和公式四

高中人教版数学必修4课件：1.3公式二、公式三和公式四
3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用 用，培养学生的数学运
诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、 算素养.
证明问题．(难点)
自主 预习 探新 知
1．诱导公式二 终边关系
图示
角 π＋α 与角 α 的终边 关于 原点 对称
公式
sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ，
思考：(1)诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要 求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．下列说法中正确的是( ) A．公式二～四对任意角α都成立 B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β) C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C D．以上说法均错误
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－31，α为第四象限角
→
求sinα－75°
→ 用sin180°＋α＝－sin α求值
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝sin
(2)化简：
1＋2sin 290°cos 430° sin 250°＋cos 790° .
[解]
(1)原式＝－sisninπ＋α－αs－in cαos－αcsoins
α α
＝－－sinsiαnα－s－incαos－αscions αα＝－1.
(2)原式＝
1＋2sin360°－70°cos360°＋70° sin180°＋70°＋cos720°＋70°

1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)

1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)

π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求

1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四


2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x

高中数学《诱导公式》课件


sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六

高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)


3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3

高中数学人教版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(共27张PPT)


2
2
cos x
1


1
2


3.
2
2
4.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ),
5
则tanx等于（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
cos x 3 0.
5
5
x ( , 3 ).
锐角的三角函数值有何关系呢？
数学探究
给定一个角α
(1)角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?
它们的三角函数值之间有什么关系?
关于原点对称
sin(π＋α) = －sinα
cos(π＋α) = －cosα 公式二
y
P(x,y)
tan(π＋α) = tanα
π +α α
O
x
作用：第三象限角→锐角.
P(－x, － y)
数学应用
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) c os11
=

2 2
;(2) sin 10
=

3 2
;
4
(3)tan 480 =
3
3
;(4) sin 17 =
1 2
;
6
小结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化 为锐角函数的一般步骤:
“负化正，正化主，主化锐。”
学习目标
1. 识记诱导公式； 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征， 会初步运用诱导公式求三角函数的值， 并进行简单三角函数式的化简和证明。
重、难点：
函数名称与正负号的正确判断。
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x
诱导公式（二）
sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan.
y
诱导公式（三）
P1(x, y) sin( ) sin ,
O
x cos( ) cos,
P3 (x, y)
tan( ) tan.
y
P4 (x, y)
O
诱导公式（四）
P1(x, y) sin( ) sin, cos( ) cos,
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三 角函数
用公式二或四
0～2 的角的
三角函数
例2.化简 cos180 sin 360 sin 180cos180 .
解： sin 180 sin 180 sin180 sin sin,
cos180 cos 180
（公式三）
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan .
（公式四）
讨论：观察四组公式，如何用一句话来概括？它们的作用 是什么？
k 2(k Z), , 的三角函数值，等
于α的同名函数值，前面加上一个把α看成 锐角时原函数值的符号.
函数名不变，符号看象限.
sin( k 2) sin ; cos( k 2) cos ; tan( k 2) tan .
答：作用是把求任意角的三角函数值转化为求0 ～ 2
范围内的角的三角函数值.
思考2: 给定一个角α. （1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α的终边与角α的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？in 16 sin(5 )= (sin ) 3 ;
3
3
3
32
(4)cos2 040 cos 2 040 cos6360 120 cos120
cos180 60 cos 60 1 .
2
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函 数的步骤吗？
x
tan( ) tan.
提升总结：
sin( 2k) sin (k Z)， cos( 2k) cos (k Z)， tan( 2k) tan (k Z).
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan .
（公式一）
（公式二）
sin() sin ， cos() cos ， tan() tan.
－的终边
＋的终边
y
r =1
α
O
α的终边
P1(x, y)
x A(1,0)
－的终边
y
角α的终边与单位圆的交点坐标
为P1(x,y).
P1(x, y) 角 的终边与单位圆的交点 P2
O
x 的坐标为 x, y
．
P2
由三角函数的定义得：
sin y, cos x,
tan y ,
x
sin( ) y, cos( ) x, tan( ) y .
2.作用: 将任意角的三角函数转化为锐角三角函数解决.
悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老。 ——拜伦
cos180 cos,
所以
原式
cos sin
sin cos
1.
1.将下列三角函数转化为锐角三角函数：
1 cos 13
9
cos 4
9
3sin( )
5
2sin 1
sin1
4cos706
sin
5
cos 706
2.利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
1 2
2sin( 7 )
作用是把任意角的三角函数，转化成锐角的三角函数.
例1.利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225;
(2)sin 11 ; 3
(3) sin( 16 ); 3
(4)cos2 040.
解：
搞清用哪一组公式
(1) cos 225 cos 180 45 cos 45 2 ;
2
(2) sin 11 sin(4 ) sin 3 ;
1.3 三角函数的诱导公式（一）
1.理解四组诱导公式及其探究思路; (难点） 2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值; （重点） 3.利用四组诱导公式会进行简单的化简与证明.（重点）
思考1: 前面学习的诱导公式（一）的内容是什么？它的 作用是什么？
答：诱导公式（一）： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
6
1 2
3sin1320 3 4 cos( 79 ) 3
2
6
2
3.化简
1sin 180cos sin 180
sin2 cos
2sin3 cos2 tan
sin4
3 sin(1440 ) cos( 1080)
cos(180 ) sin( 180)
1
1.三角函数诱导公式的推导过程,可以这样记忆和理解: “函数名不变，符号看象限”.