2020届高考数学一轮复习单元检测五平面向量与复数提升卷单元检测理含解析新人教A版

高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.3 平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积，记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影|b |cos θ叫做向量b 在a方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 符号表示 坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a·b )·c ＝a·(b·c )．( × ) 教材改编题1．(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )B ．a·b ＝b·c ，则a ＝cC ．a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0D ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 D2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________． 答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0， 故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝______；a ·b ＝______. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·邹城模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →|＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316 AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝__________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b |a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则c ＝(7，2)， ∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. (2)(2021·新高考全国Ⅰ改编)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则 ①|OP 1—→|＝|OP 2—→|； ②|AP 1—→|＝|AP 2—→|； ③OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→； ④OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→.以上结论正确的有________．(填序号) 答案 ①③解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故①正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故②错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故③正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故④错误．题型三 平面向量的实际应用例5 (2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论不正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 B解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ， 则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线， 则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°，故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·四川乐山第一中学模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·宜昌模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋－32＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )C．a·b≤|a||b|D．|a－b|≤|a|＋|b|答案 B解析根据数量积的分配律可知A正确；选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影为－2 2C．2m＋n＝4D．mn的最小值为2答案 C解析对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝15×2＝1010，所以向量a在b上的投影为|a |cos θ＝5×1010＝22，故B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 错误．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方， 得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·南昌模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233， 在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·恩施质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( )A ．12B ．－12C ．20D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD →＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的角平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ，∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________．答案 1 1120 解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ，∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( )A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≥|a |＋1答案 A解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 错误．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 (1)m·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ，又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12， 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。

课后跟踪训练(三十三)基础巩固练一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12 B ．cos n π2 C.n ＋12π D ．cos n ＋22π[解析] 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．故选D.[★答案★] D2．(2019·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2017＝( )A ．1B ．0C ．2017D ．－2017[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2017＝a 1＝1.故选A.[★答案★] A3．某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，给出下列各式：①a n ＝22[1＋(－1)n ]；②a n ＝1＋(－1)n ；③a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n 为偶数)，0(n 为奇数).其中可作为{a n }的通项公式的是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③[解析] 把每个式子中的前四项算出来与已知对照一下即可． [★答案★] D4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658 C.8258 D ．108[解析] 根据题意并结合二次函数的性质可得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋3＋8418，∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.故选D. [★答案★] D5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( ) A.64 B ．32 C ．16 D ．8[解析] 由a n ＋1·a n ＝2n，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，故a n ＋2a n＝2，又a 1＝1，可得a 2＝2，故a 10＝25＝32.故选B.[★答案★] B 二、填空题6.在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．[解析] 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．[★答案★] 107.(2019·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝________. [解析] ∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32， ∴255a 13－63a 13＝32， ∴a 1＝12. [★答案★] 128.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．[解析] 由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1，a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0，∴a 2017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1.[★答案★] －1 1 三、解答题9.(1)(2018·广东化州第二次模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．(2)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n∈N *，均有2S n ＝a n ＋a 2n ，求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，,当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，,所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2(2)∵2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21.又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n (n ∈N *)． 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若{a n }为递增数列，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)解法一：因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *， 所以－k 2<32，注意比较对象，即得k >－3.解法二：因为{a n }是递增数列，则a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4.解得：k >－3.∴k 的取值范围为(－3，＋∞)．能力提升练11．(2019·湖南六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12[解析] ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18.那么a 5＝a 3·a 2＝132.故选A.[★答案★] A12．已知a n ＝n －2017n －2018(n ∈N *)，则数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 50D ．a 44，a 45 [解析] a n ＝n －2017n －2018＝n －2018＋2018－2017n －2018＝1＋2018－2017n －2018，要使a n 最大，则需n －2018最小，且n －2018>0，∴n ＝45时，a n 最大．同理可得n ＝44时，a n 最小．故选D.[★答案★] D13．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.[解析] 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.[★答案★] 2814．(2019·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．[解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1， ∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N *)． (2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．拓展延伸练15．(2019·陕西咸阳二模)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝n2D ．a n ＝n 22[解析] ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2， ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n (n －1)2(n ≥2)，两式相减得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)，(*) 又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1适合(*)， ∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B. [★答案★] B16．(2019·湖南永州二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }单调递减，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，3)C ．(－∞，4)D ．(－∞，5) [解析] ∵S n ＝3n (λ－n )－6，① ∴S n －1＝3n －1(λ－n ＋1)－6，n ≥2，②①－②得a n ＝3n －1(2λ－2n －1)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3λ－9，不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3λ－9，n ＝1，3n －1(2λ－2n －1)，n ≥2，∵{a n }为单调递减数列， ∴a n >a n ＋1(n ≥2)，且a 1>a 2，∴3n －1(2λ－2n －1)>3n (2λ－2n －3)(n ≥2)，且λ<2，化为λ<n ＋2(n ≥2)，且λ<2，∴λ<2，∴λ的取值范围是(－∞，2)．故选A.[★答案★] A感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

第五单元平面向量与解三角形、复数B 卷 滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2020广西高三一模】若集合{}|2A x y x ==+，{}2|1B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[)1,+∞B ．[][)2,11,--+∞ C ．[)2,+∞ D ．[][)2,12,--+∞【答案】B【解析】∵[)2,A =-+∞，(][),11,B =-∞-+∞，∴[][)2,11,A B =--+∞.故选B2. 【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是（ ） A ．310- B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为i i i i 1131313(13)(i 13)1010z +===+--+， 所以复数113iz =-的虚部为310.故选D ．3. 【2020安徽省高三三模（理）】函数()3sin e e x xx xf x -+=+的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】定义域为R ，定义域关于原点对称，()()()33sin sin x x x xx x x x f x e e e e---+-+-==-++，()f x 是奇函数，排除C ，D ；当x π=时，()33sin 0e e e ef x π-ππ-ππ+ππ==>++，排除B ； 故选A ．4. 【2020年高考全国III 卷理数】已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b A ． 3135-B ． 1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选D ．5. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4- D ．()4,6-【答案】A 【解析】如图，AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式， 可知AP AB ⋅等于AB的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选A ．6.【2020嘉祥县第一中学高三其他】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ）A ．32B 3C ．12D ．2【答案】D【解析】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 22165242⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选D.7. 【2019山东邹城高三期中】设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ）A ．233B ．253C ．263D ．283【答案】B【解析】3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得：3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去） 4b =，ABC ∆的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =． 故选B8. 【2020宁夏银川一中高三模拟】在ABC ∆中，39AB AC ==，2AC AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，PA BC ⋅=A ．24B ．C ．92D ．24-【答案】A【解析】由2AC AB AC ⋅=可得：2cos AC AB A AC =，则cos 3AB A AC ==，即,2BC AC C π⊥∠=，以C 点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,0A ，(B ，设(),P x y ，则：()(2222222223PA PB PC x y x y x y ++=-+++-++2236381x x y =-+-+()(223181x y ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，当1,x y ==(1,P 时222PA PB PC ++取得最小值，此时((2,0,24PA BC ⋅=-⋅-=.故选A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.【2020山东省临沂第一中学月考】下列命题中，是真命题的是（ ） A ．已知非零向量,a b ，若,a b a b +=-则a b ⊥B ．若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数【答案】ABD【解析】对A ，222222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=，所以a b ⊥，故A 正确； 对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确； 对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=， 所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对D ，设函数()()()F x ff x =，其定义域为R 关于原点对称，且()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D 正确；故选ABD.10.【2020山东青岛高三二模】已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQB ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD【解析】 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选BD11.【2020山东济南高三其他】已知复数ππ1cos 2sin 222z i θθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z的实部为12【答案】BCD 【解析】因为ππ22θ-<<，所以π2πθ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01+cos22θ<≤，所以A 选项错误；当sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈-⎪⎝⎭，时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确；()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 222cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 选项正确；故选BCD.12. 【2019山东潍坊高三月考】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B 依次成等差数列C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列 【答案】ABD【解析】ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列， 则：211tan tan tan B A C=+， 利用sin tan cos ααα=， 整理得：2cos cos cos sin sin sin B C AB C A=+，利用正弦和余弦定理得：2222222222222a c b a b c b c a abc abc abc+-+-+-⋅=+，整理得：2222b a c =+，即：222,,a b c 依次成等差数列.此时对等差数列222,,a b c 的每一项取相同的运算得到数列a ，b ，c 3a ，3b ，3c ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a b c ==，但题目没有说ABC 是等边三角形， 故选ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________．【答案】【解析】设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=++++，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====.故答案为14.【2020云南高三一模】设向量()1,1a =，()1,3b =-，()2,1c =，且()λ-⊥a b c ，则λ=____________． 【答案】3【解析】(1,13)λλλ-=+-a b ，()22130a b c λλλ-⋅=++-=，解得3λ=． 故答案为315. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为14-. 16. 【2019山东临沂高三期中】ABC ∆中，D 为AC 上的一点，满足13AD DC =．若P 为BD 上的一点，满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则mn 的最大值为_________；41m n+的最小值为_________．【答案】11616【解析】如图所示，由13AD DC =得14AD AC =， 所以4AP mAB nAD =+，所以41m n +=()0,0m n >>，所以21141(4)()44216m n mn m n +=⋅≤=，等号成立当且仅当11,28m n ==， 所以mn 的最大值为116.因为414116()(4)816n m m n m n m n m n +=++=++≥，等号成立当且仅当11,28m n ==， 所以41m n+的最小值为16.故答案为：116；16.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2,5,13a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 【答案】（Ⅰ）π4C =213 （Ⅲ）226【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由余弦定理及2,5,13a b c ===，有2222cos 2a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =． （Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==．（Ⅲ）由a c <及13sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=， 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=． 18．【2020宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC △的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．【答案】（1（2【解析】（1）因为A 、B 、C 成等差数列，则：2A+C =B ，又A B C ++=π，所以60B =︒，因为：sin sin b a a B A=⇒=2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒=，（负值舍）；ABC ∴△的面积11sin 22S ac B === （2）2222cos b a c ac B =+-；即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤；即S 的最大值为4．19．【2020山东高三其他】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(cos ,2)m C b =-，(cos )n A =，//m n ．（1）求角A 的大小；（2）若ABC 22212b a c -=，求b 的值． 【答案】（1）6A π=；（2）3b =.【解析】（1）法一： 因为//m n cos (2)cos C b A =，cos 2sin cos sin A C B A A C =，得3sin()2sin cos A C B A +=，即3sin 2sin cos B B A =， 因为sin 0B >，所以3cos 2A =， 又(0,)A π∈，所以6A π=． 法二： 因为//m n ，所以3cos (23)cos a C b c A =-，易知222cos 2a b c C ab +-=，222cos 2b c a A bc+-=，代入上式得， 2222223(23)22a b c b c a a b c ab bc+-+-⨯=-⨯， 整理得，2223bc b c a =+-，所以2223cos 22b c a A bc +-==， 又(0,)A π∈，所以6A π=．（2）由（1）得2223bc b c a =+-，又22212b ac -=，所以3c b =， 又11133sin 22223ABC S bc A b b ==⨯⨯=，得29b =，所以3b =． 20. 【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（15；（2）211.【解析】（1）在ABC △中，因为3,2,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C=，所以sin C = （2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角， 而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C ==则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯. 21. 【2020新泰市第二中学高三其他】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①26AB AB BC +=-②2252b c +=③ABC的面积为在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b －c =2，cosA =14-， ． （1）求a ；（2）求cos(2)6C π+的值．【答案】（1）不论选哪种条件，a =8（2【解析】方案一：选择条件①：（1）2()AB AB BC AB AB BC +=+ cos 6AB AC bc A ===- ∵1cos 4A =- ∴bc =24由2b c ⎨-=⎩解得4c ⎨=⎩或6c ⎨=-⎩（舍去） ∴22212cos 3616264()644a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=∴a =8 （2）222cos 2a b c C ab+-= 643616286+-=⨯⨯78=∴sin C == ∴217cos 22cos 132C C =-=sin 22sin cos 32C C C ==∴cos(2)cos 2cos sin 2sin 666C C C πππ+=-64= 方案二：选择条件②：（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去） ∴22212cos 3616264()644a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=∴a =8（2）同方案一方案三：选择条件③： （1）∵1cos 4A =-∴sin A1sin 2ABC S bc A ===△∴bc =24由2b c ⎨-=⎩解得4c ⎨=⎩或6c ⎨=-⎩（舍） ∴22212cos 3616264()644a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=∴a =8（2）同方案一. 22. 【2020邢台市第二中学高二期末】已知函数222,0,()0,0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上是单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）求不等式()()0f x f x x--<的解集. 【答案】（1）2；（2）13a ；（3）()(),22,x ∈-∞-+∞. 【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以2()2f x x x -=--因为()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+所以2m =（2）()f x 的图像为因为函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增所以121a -<-≤所以13a（3）由()()0f x f x x--<可得2()0f x x <，即()0xf x <当0x >时()0f x <，由图像可得2x > 当0x <时()0f x >，由图像可得2x <- 综上：()(),22,x ∈-∞-+∞。

高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.5 复 数考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 是实部，b 是虚部，i 为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0其中，当a ＝0时为纯虚数.(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． 4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． 5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .( × ) (2)复数可以比较大小．( × )(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( × )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 教材改编题1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D2．复数z ＝(3＋i)(1－4i)，则复数z 的实部与虚部之和是________． 答案 －4解析 z ＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i ＋i ＋4＝7－11i ，故实部和虚部之和为7－11＝－4. 3．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －3题型一 复数的概念例1 (1)(2021·浙江)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 方法一 因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3. 方法二 因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋i i ＝1－3i ，所以a ＝－3.(2)(2022·新余模拟)若复数z 满足z 1＋i i 32－i ＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 答案 C解析 ∵z 1＋i i 32－i＝1－i ，∴z (1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)， ∴z (1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z ＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部为1. 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i 答案 D解析 因为z ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i ，所以z ＝i.2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2， |z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)| ＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知x 1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由x1＋i ＝1－y i ，得x 1－i 1＋i 1－i ＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i ， ∴⎩⎨⎧x2＝1，x2＝y ，解得x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ， ∴其共轭复数为2－i.(2)已知z ＝1－3i ，则|z －i|＝________. 答案5解析 ∵z ＝1－3i ，∴z ＝1＋3i ， ∴z －i ＝1＋3i －i ＝1＋2i ， ∴|z －i|＝12＋22＝ 5. 题型二 复数的四则运算例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知z ＝2－i ，则z (z ＋i)等于( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2i D ．4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.(2)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.给出下列命题： ①若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3； ②若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3；③若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|； ④若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2. 其中所有正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析 由|i|＝|1|，知①错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故②正确； |z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z 2＝z 3，所以|z 2|＝|z 2|＝|z 3|，故③正确，令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故④错误． 教师备选1．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i1＋2i 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 D 解析2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.2．在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 －2 解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2， 且z 2＝2＋i 1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ， 故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)设i z ＝4＋3i ，则z 等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i答案 C解析 方法一 (转化为复数除法运算) 因为i z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i i ＝4＋3i －i i －i ＝－4i －3i 2－i 2＝3－4i.方法二 (利用复数的代数形式) 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i. 方法三 (巧用同乘技巧)因为i z ＝4＋3i ，所以i z ·i ＝(4＋3i)·i ，所以－z ＝4i －3， 所以z ＝3－4i.(2)若z ＝i 2 0231－i ，则|z |＝________；z ＋z ＝________.答案221 解析 z ＝i2 0231－i ＝－i 1－i ＝1－i2，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22，z ＋z ＝12－12i ＋12＋12i ＝1.题型三 复数的几何意义例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析2－i 1－3i＝2－i 1＋3i 10＝5＋5i 10＝1＋i 2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点在第一象限．(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ， 所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ， 2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以3＋a 2＋1＋b 2＝4， ①3－a2＋1－b 2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →， 则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →， 且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2， 可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3. 故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3. 教师备选1．(2020·北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z 等于( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 由题意知，z ＝1＋2i ， ∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.2．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 跟踪训练3 (1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i ＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.(2)设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是( ) A ．3 B ．2 3 C ．1＋2 2 D ．4 答案 D解析 |z |＝1表示单位圆上的点，那么|z ＋22＋i|表示单位圆上的点到点(－22，－1)的距离，求最大值转化为点(－22，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－22，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.在如图的复平面中，r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，tan θ＝ba(a ≠0)．任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．我们把r (cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z ＝a ＋b i 叫做复数的代数形式．复数乘、除运算的三角表示：已知复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 例1 (1)⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 等于( )A.32＋332iB.32－332i C ．－32＋332i D ．－32－332i 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6 ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－32＋332i. (2)复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n ＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3， 由复数相等的定义，得 ⎩⎨⎧ cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )， ∴n ＝6k －1(k ∈Z )．(3)复数z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5－α＝0的一个根，那么α的值等于( ) A.32＋12i B.12＋32i C.32－12i D ．－12－32i 答案 B解析 由题意得，α＝⎝⎛⎭⎫cos π15＋isin π155 ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i. 例2 已知i 为虚数单位，z 1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z 2＝22(sin 30°－icos 30°)，则z 1·z 2的三角形式是( )A ．4(cos 90°＋isin 90°)B ．4(cos 30°＋isin 30°)C．4(cos 30°－isin 30°)D．4(cos 0°＋isin 0°)答案 D解析∵z2＝22(sin 30°－icos 30°)＝22(cos 300°＋isin 300°)，∴z1·z2＝2(cos 60°＋isin 60°)·22(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)＝4(cos 0°＋isin 0°)．课时精练1．(2022·福州模拟)已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于() A．－10 B．10 C．－8 D．8答案 A解析∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z 1z 2＝－9－1＝－10.3．(2022·长春实验中学模拟)若复数z 的共轭复数为z 且满足z ·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A.35B ．－35i C.35i D ．－35 答案 A解析 z ·(1＋2i)＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝1－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－1－3i 5＝－15－35i ， ∴z ＝－15＋35i ， ∴复数z 的虚部为35. 4．已知i 是虚数单位，则复数z ＝i 2 023＋i(i －1)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z ＝i 2 023＋i(i －1)＝－i －1－i ＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．5．(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p ，q 为实数，1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 C解析 因为1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的另一根，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋i ＋1－i ＝－p ，1＋i 1－i ＝q ，解得p ＝－2，q ＝2，所以p ＋q ＝0.6．(2022·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)·z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 答案 B解析 由(1＋i)·z ＝5＋3i 得z ＝5＋3i 1＋i ＝5＋3i 1－i 1＋i 1－i＝8－2i 2＝4－i ， 所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋－12＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 错误．7．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝________. 答案 －i解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i ＝－3i 3＝－i.8．(2022·温州模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且z 1－i ＝3＋2i ，则a ＝________，b ＝________.答案 5 1解析 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则z ＝a －b i ，所以z 1－i＝1＋i 2(a －b i) ＝a ＋b 2＋a －b 2i ＝3＋2i ， 故a ＋b 2＝3，a －b 2＝2，所以a ＝5，b ＝1. 9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为①实数；②虚数；③纯虚数． 解 ①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10. 如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i ，∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，∴B 所对应的复数为1＋6i.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项不正确的是( )A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模长等于12 D ．i 6e π的共轭复数为12－32i 答案 D解析 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， 因为π2<2<π， 即cos 2<0，sin 2>0，复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i 2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，i 2e π为纯虚数， B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i＝cos x ＋isin x 3－i 3＋i 3－i ＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ， 于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x i 3＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42 ＝12， C 正确； 对于D ，i 6e π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 其共轭复数为32－12i ，D 不正确． 12．(2022·武汉模拟)下列说法中，正确的个数有( )①若|z |＝2，则z ·z ＝4；②若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0；③若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等；④“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 若|z |＝2，则z ·z ＝|z |2＝4，故①正确；设z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，可得|z 1＋z 2|2＝(a 1＋a 2)2＋(b 1＋b 2)2＝|z 1－z 2|2＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2则a 1a 2＋b 1b 2＝0，而z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i＝2a 1a 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i 不一定为0，故②错误；当z ＝1－i 时，z 2＝－2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故③错误；若复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数，则a 2－1≠0，即a ≠±1，所以“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故④正确．13．(2022·上外浦东附中模拟)若⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝________. 答案 1解析 ∵⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝(a －i)(1＋i)－(b －2i) ＝a ＋a i －i ＋1－b ＋2i＝(a ＋1－b )＋(a ＋1)i ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－b ＝0，a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1， ∴a 2＋b 2＝1.14．(2022·上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数m ＋n i n ＋m i为虚数的概率为________．答案 56 解析 ∵复数m ＋n i n ＋m i ＝m ＋n i n －m i n ＋m in －m i ＝2mn ＋n 2－m 2i m 2＋n 2， 故复数m ＋n i n ＋m i为虚数需满足n 2－m 2≠0， 即m ≠n ，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m ＋n i n ＋m i 为虚数的概率为306×6＝56.15．(2022·青岛模拟)已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为( )A ．1 B.2－1 C. 2 D.2＋1答案 B解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.16．(2022·张家口调研)已知复数z 满足z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＋a ＝2，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝c ＋d i(c <0，d <0)，则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，d ＝1(舍去)． ∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ， ∴1＋z 1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＝i 2 023＝i 2 020＋3＝i 505×4＋3＝－i ， ∴|a －i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝±3.。

平面向量的概念及线性运算1．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于(D)A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积之比是(B) A.13 B.12 C.23 D.34由CP →＝2PA →知，PA ∶PC ＝1∶2，所以S △PAB S △PBC ＝PA PC ＝12. 3．设a ，b 是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是(C) A ．a ＝－b B ．a∥bC ．a ＝2bD ．a∥b 且|a|＝|b|因为向量a |a|的方向与a 相同，向量b |b|的方向与b 相同，且a |a|＝b |b|，所以向量a 与b 的方向相同，故可排除A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a|＝2b |2b|＝b |b|， 故a ＝2b 是a |a|＝b|b|成立的充分条件． 4．(2018·石家庄一模)△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD →＝12DA →，设CB →＝a, CA →＝b ，则CD→＝(B)A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b因为AB →＝CB →－CA →＝a －b .因为BD →＝12DA →，所以AD →＝23AB →＝23a －23b ，所以CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23a －23b ＝23a ＋13b.5．已知a ，b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a ，12b ，t (a ＋b )三向量的终点在一条直线上，则实数t ＝13.因为a ，12b ，t (a ＋b )的终点在一条直线上，所以t (a ＋b )－a ＝λ(a －12b )， 即(t －λ－1)a ＋(t ＋12λ)b ＝0，又因为a ，b 不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧t －λ－1＝0，t ＋12λ＝0，解得t ＝13.6．(2018·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝ 3 .由题意可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)，即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，所以xy＝3.7．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作平行四边形AOBD ，C 为OD 与AB 的交点，若BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，试用a ，b 表示MN →.因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b .所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b . 又OD →＝a ＋b ，故ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .8．(2019·石家庄市第一次模拟)已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是(B)A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)OD →＝|OD →||OC →|OC →＝|OD →||OC →|(λOA →＋μOB →)＝λ|OD →||OC →|OA →＋μ|OD →||OC →|OB →，因为A ，B ，D 共线，所以λ|OD →||OC →|＋μ|OD →||OC →|＝1， 所以λ＋μ＝|OC →||OD →|，由题意易知|OC →||OD →|>1，所以λ＋μ∈(1，＋∞)．9．在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，若△ABC 的面积为12 cm 2，则△PBC 的面积为 8 cm 2.因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝AP →＋PB →，所以PC →＝2AP →，所以点P 是CA 的三等分点， 所以S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23. 因为S △ABC ＝12 cm 2，所以S △PBC ＝23×12＝8 cm 2.10．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示AD →，AG →； (2)求证：GA →＋GB →＋GC →＝0.(1)AD →＝12(a ＋b )，AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，(2)证明：由(1)知GA →＝－13(a ＋b )，设BC →＝c ，同理可得： GB →＝－13(－a ＋c )，GC →＝－13(－b －c )，所以GA →＋GB →＋GC →＝－13(a ＋b －a ＋c －b －c )＝0.平面向量的基本定理与坐标表示1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为(A) A ．(35，－45) B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)注意与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|.2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b (C) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限角平分线因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴，故选C.3．设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a∥b”的(A) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件当a∥b 时，有2×4－(x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝±3.所以x ＝a∥b ，但a∥b x ＝3.故“x ＝3”是“a∥b ”的充分不必要条件．4．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a∥b ，则b ＝(D) A ．(32，－12) B ．(32，12) C ．(－32，－12) D ．(32，12)或(－32，－12)设b ＝(x ，y )，由条件得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3y －3x ＝0，所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)． 5．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为 (5,14) .设B (x ，y )，由AB →＝3a 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14，即B 的坐标为(5,14)．6．(2017·山东卷)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝ －3 .因为a ∥b ，所以2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.7．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，若AP →＝AB →＋tAC →(t ∈R )，试求t 为何值时，点P 在第二象限？设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,1)＝(x －2，y －1)， AB →＋tAC →＝(3,5)－(2,1)＋t [(3,2)－(2,1)]＝(1,4)＋t (1,1)＝(1,4)＋(t ，t )＝(1＋t,4＋t )， 由AP →＝AB →＋tAC →得(x －2，y －1)＝(1＋t,4＋t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1＋t ，y －1＝4＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝5＋t ，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t <0，y ＝5＋t >0.所以－5<t <－3，即当－5<t <－3时，点P 在第二象限．8．(2018·广州一模)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1,1)，若|a ＋b|＝|a|＋|b|，则实数m ＝ 2 .由|a ＋b|＝|a|＋|b|可知，向量a 与b 共线且同向，所以m ×1－2×1＝0，所以m ＝2.9．(2018·深圳市第二次调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，点A ，B 在圆C 上，且|AB |＝23，则|OA →＋OB →|的最小值是 8 .(方法一)设AB 的中点为D ，则CD ＝1.延长CD 交圆C 于点E ，则D 为CE 的中点．因为|OA →＋OB →|＝|OC →＋CA →＋OC →＋CB →|＝|2OC →＋CE →|， 设E (4＋2cos θ，3＋2sin θ)，所以|OA →＋OB →|＝|(8,6)＋(2cos θ，2sin θ)| ＝|(8＋2cos θ，6＋2sin θ)| ＝＋2cos θ2＋＋2sin θ2＝104＋θ＋4cos θ＝104＋θ＋φ≥104－40＝8.(方法二)因为|OA →＋OB →|＝|OC →＋CA →＋OC →＋CB →|＝|2OC →＋CE →|≥2|OC →|－|CE →|＝2×5－2＝8.10．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α，α∈[0，2π3]，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →， 得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，所以α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.平面向量的数量积1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝(12，32)，BC →＝(32，12)，则∠ABC ＝(A)A ．30° B．45° C ．60° D．120°因为BA →＝(12，32)，BC →＝(32，12)，所以|BA →|＝1，|BC →|＝1， BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32， 所以cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤〈BA →，BC →〉≤180°， 所以∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝(B) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b .因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以原式＝2×12＋1＝3.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b|＝1，则|a ＋b|＝(B) A. 3 B.7 C ．3 D ．7|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝|a|2＋2|a||b|cos 60°＋|b|2＝4＋2×2×1×12＋1＝7，故|a ＋b|＝7.4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b ，且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为(B) A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3因为2a ＋3b 与k a －4b 垂直，所以(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＋(3k －8)a·b ＝2k －12＝0， 解得k ＝6.5．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝ 2 .因为a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.6．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为 311.由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， 所以AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311.7．已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角；(2)求a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以|a|2－|b|2＝12， 又因为|a|＝1，所以|b|＝|a|2－12＝22.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22， 所以θ＝45°.(2)因为(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，所以|a －b|＝22. (a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52， 所以|a ＋b|＝102. 设a ＋b 与a －b 的夹角为α，则cos α＝a －b ·a ＋b|a －b||a ＋b|＝1222×102＝55.8．(2018·深圳一模)在△ABC 中，AB ⊥AC ，|AC |＝2，BC →＝3BD →，则AD →·AC →＝(D) A.263B ．22 C ．23 D.233因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)，所以AD →·AC →＝AB →·AC →＋13(AC →2－AB →·AC →)，＝13AC →2＝23＝233.9．(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是 4 ，最大值是 2 5 .设a ，b 的夹角为θ.因为|a |＝1，|b |＝2， 所以|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b2＋a －b2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ.因为θ∈[0，π]，所以cos 2θ∈[0,1]，所以y 2∈[16,20]，所以y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．10．(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈[π6，7π6]， 从而－1≤cos(x ＋π6)≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量的应用1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则(B) A ．|v 1|<|v 2| B ．|v 1|>|v 2|C ．|v 1|＝|v 2|D ．|v 1|与|v 2|的大小不确定2．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则(A) A ．a⊥b B ．|a |＝|b | C ．a∥b D ．|a|>|b|(方法一)因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a ＋b |2＝|a －b |2.所以a 2＋b 2＋2a ·b ＝a2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b .(方法二)利用向量加法的平行四边形法则． 在ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .3．已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的(C)A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心．由NA →＋NB →＋NC →＝0知，N 为△ABC 的重心． 由PA →·PB →＝PB →·PC→PA →－PC →)·PB →＝CA →⊥PB →，同理，AP →⊥BC →，CP →⊥AB →，所以P 为△ABC 的垂心．4．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为(D)A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3]因为a ⊥b ，所以2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，则z ＝2x ＋3y ，x ，y 满足不等式||x ＋||y ≤1， 画出可行域如下：当z ＝2x ＋3y 经过点A (0,1)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值3，当z ＝2x ＋3y 经过点C (0， －1)时，z ＝2x ＋3y 取得最小值－3.5．两人一起提重为|G |的书包时，两拉力的夹角为θ，每人用力均为|F |，则|F|与|G|的关系是 |F|＝|G|2cosθ2.按力的平行四边形法则有|F|＝|G|2cosθ2.6．在正三角形ABC 中，D 是BC 边上的点，若AB ＝3，DC →＝2BD →，则AB →·AD →＝ 152 .如图，在△ABD 中，AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝9＋|AB →|·|BD →|·cos 120° ＝9－32＝152.7．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2，3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(1)因为m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，所以OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．所以|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)因为OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n ),即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得：m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，由图可知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.8．(2018·天津卷)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为(C)A ．－15B ．－9C ．－6D ．0如图，连接MN .因为BM →＝2 MA →，CN →＝2NA →，所以AM AB ＝13＝AN AC ，所以MN ∥BC ，且MN BC ＝13，所以BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)， 所以BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2) ＝3(2×1×cos 120° －12)＝－6.9．已知A (a,0)，B (3,2＋a )，直线y ＝12ax 与线段AB 的交点为M ，且AM →＝2MB →，则a ＝－4或2 .设M (x 0，y 0)，由AM →＝2MB →，得(x 0－a ，y 0)＝2(3－x 0,2＋a －y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0－a ＝6－2x 0，y 0＝4＋2a －2y 0，又y 0＝12ax 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＝6＋a ，12ax 0＝4＋2a －ax 0，解得a ＝－4或2.10．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E ，求证：BE ＝14BA .如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BD →＝13a ，OD →＝b ＋13a ，设OE →＝m a ＋n b ，因为O ，E ，D 三点共线，所以m n ＝13.①AE →＝OE →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AB →＝b －a ，又A ，E ，B 三点共线，所以m －1－1＝n1，即m ＋n －1＝0.② 由①②解得m ＝14，n ＝3m ＝34，故OE →＝14a ＋34b .所以BE →＝OE →－OB →＝14a ＋34b －b ＝14a －14b ，又BA →＝a －b ，所以BE →＝14BA →，即BE ＝14BA .复数的概念与运算1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(D) A ．3－2i B ．3＋2iC ．－3－2iD ．－3＋2ii(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i.2．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)(1＋i )2(1－i )3＝(D)A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i(1＋i )2(1－i )3＝2i －2i (1－i )＝－11－i ＝－1＋i (1－i )(1＋i )＝－12－12i.3．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝3－b i ，则a ＋b i1－i＝(B) A ．2－i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋i因为a ＋i ＝3－b i ，所以a ＝3，b ＝－1， 则a ＋b i 1－i ＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋i ，故选B. 4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是(D)A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i因为CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →，所以CA →对应的复数为－1－3i －(2＋i)＝－3－4i.5．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝(B)A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i因为z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，所以z －＝1－i.6．(2018·深圳一模)已知a ∈R, i 为虚数单位，若复数z ＝a ＋i1－i ，且|z |＝1，则a ＝(D)A ．±2B ．1C ．2D ．±1(方法一)z ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(a ＋1)i2，所以|z |＝(a －12)2＋(a ＋12)2＝1，解得a ＝±1. (方法二：利用模的性质)|z |＝|a ＋i||1－i|＝a 2＋12＝1，得a 2＋1＝2，所以a ＝±1.(方法三：代入验证法)a ＝1时，z ＝1＋i1－i ＝i ，满足|z |＝1；a ＝－1时，z ＝－1＋i1－i＝－1，满足|z |＝1.故选D.7．i 是虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则复数z1＋i对应的点是(D)A ．EB ．FC ．GD ．H由复数的几何意义知z ＝3＋i.因为z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－i.所以z1＋i对应的点为H (2，－1)．8．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为(C)A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D ．[916，7]由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ， 由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4 ＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4 ＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈[－916，7]．9．(2017·江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是 10 .(方法一)因为z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，所以|z |＝(－1)2＋32＝10.(方法二)|z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.10．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为 －2 .因为a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，所以－a ＋25＝0，所以a ＝－2.11．(2018·湖北5月冲刺试题)已知复数2－a i1＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a ＝ 2 .因为2－a i 1＋i ＝(2－a i )(1－i ))(1＋i )(1－i )＝(2－a )－(2＋a )i 2对应的点在虚轴上，所以2－a ＝0，所以a ＝2.12．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是 3 .|z ＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z －2－2i|表示圆上的点到点(2,2)的距离，利用数形结合可知，其最小值为3.。

单元检测五平面向量与复数（提升卷）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共4页.2 .答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应 位置上.3 .本次考试时间100分钟，满分130分.4 .请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）1.若复数z 满足iz = 3+ 4i ，则|z|等于（ ）A . 1B . 2 C. ,5 D . 5 答案 D3+ 4i解析 因为 z =— =- （3 + 4i ）i = 4-3i ,所以|z|= ■- 42 + - 3~ 5.2 .若 Z 1 = （1 + i ）2, z 2= 1 — i ，则z 等于（ ）z A . 1 + i B . — 1 + i C . 1 — i D .— 1 — i 答案 B解析•/ 可=(1 + i)2= 2i , Z 2= 1 — i ,3.设平面向量 m = (—1,2), n = (2, b),若 m // n ,则 |m + n |等于( )A. 5B. 10C. 2 D . 3 5 答案 A解析 由 m / n , m = (— 1,2), n = (2, b),得 b =— 4,故 n = (2, — 4),所以 m + n = (1, — 2),故 |m + n |= ,5,故选 A.4.如图所示，向量0A = a , 0B = b , 0C = c ,点A , B , C 在一条直线上，且AC =— 4CB ,则（ ）• z 1 Z 22i = 2Q + i) _ 1 — i 1 — i 1 + i—2 + 2i=—1 + i.答案 D解析 c = OB + BC = OB + ^AB = OB + *(0B — 0A)= 4OB — goA = 3b — 3a .故选 D. a = （x,1）, b = （1, — ,3），且a 丄b ,则向量a — ,3b 与b 的夹角为（）答案 因为 a 丄 b ,所以 x —\；3 = 0，解得 x = 3，所以 a = ( 3, 1), a —3b = (0,4)，则cos 〈 a —(3b , b 〉=但—严 • =；|¥= — ¥，所以向量a — V3b 与b 的夹角为 詈 故选|a —V3b ||b | 4X 2 26D.6.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若OB = a j oA + a ? 0190C ,且A , B , C 三点共线（0为 该直线外一点），则S 2 019等于（）2 019A . 2 019B . 2 020C —2D . 1 010答案 C解析 A , B , C 三点共线，且 OB = a 1OA + a 2 019OC ,贝U a 1+ a 2 019= 1，所以 S 2 019 = 2 ；19（a 1 2 019 ”卄 c+ a 2 019） = 2 ，故选 C.7 .设a , b 是非零向量，则“ a b = |a ||b |”是“ a // b ”的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 B解析 由 a b = |a ||b |,得 cos 〈a , b >= 1，所以 a // b ;反之，a // b 不能推得 cos < a , b >= 1, 所以“a b = |a ||b |”是“a / b ”的充分不必要条件，故选B.1 3A . c = 2a + 2b C . c =— a + 2b1 4D . c =— 3a + 3b5.设向量 nA.6 nB.32 n 5 n CE D .6解析B . c =2a —2b8.如图，在△ ABC 中，AB = AC= 3, cos/ BAC = 3, DC = 2BD，则AD BC的值为（）A . 2B .— 2C . 3D 3 答案 B—> —> —> —> —> f - > 2 ~\ —>_ - > 2 ~> - > "1 —> (2 ~1 - > I —>解析 AD BC = (AC + CD)BC = [AC + 3CB ;BC =AC + §(AB — AC^BC =吕AB + §AC j (ACT 2 T 21 1 T 2—AB)=— 3ABI + §AB AC + 3|AC|=—6+ 1 + 3=— 2,故选 B.等于（）答案 D故选D.=—1,则 BA CA 等于（ ）A . 5 C . 7 答案 C9.已知 a = (2, cos x), b = (sin x , — 1),当 x = B 时, 函数f （x ） = a b 取得最大值,贝 y si np B+nnA.7.2 10B.^ C .亚D —座10 D . 10解析 f(x)= a b = 2sin x — cos x = *?5sin(x — 妨，其中 sin 片 , cos 片 ,B- A 2k 计2,k € Z ,解得 nB= 2k n+ + 0, k € Z ,所以 sin B= cos1cos B=— sin 0=—— 所以sin 2 B=2si n0cos0=— 4, cos 2 B= 1 — 2sin 2B=— 3，所以 sin2 B+j ¥(sin 2 B+ cos 2B )= —晋,10.如图，在△ ABC 中，D 是BC 的中点, E , F 是AD 上的两个三等分点,BE CE = 2,BF C Ffi D C解析B E CE = ED2—B D2= 4FD2—BD2= 2, B F CF = FD2— EB D2=— 1,所以FD2= 1, B D2= 2,—T—T — Q — Q — Q—T Q因此BA CA = AD2—BD2= 9FD2—BD2= 7,故选 C.|a x b |=|a ||b |sin 0,其中 B 为向量 a 与 b 的夹角，若 |a |= 2, |b |= 5,••• mn + m 的最小值为 2.第n 卷（非选择题共70分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上 ）13. 若复数（a + i ）2在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上，则实数 a 的值是 — 答案 —1 解析 因为复数(a + i)2= (a 2 — 1) + 2ai ,11. （2018西宁检测）定义: a b =-6,贝U |a x b |等于( 答案解析 cos 0= — |a ||b | 103，且 4 0€ [0, n,故选 D. 12.在厶ABC 中，CM = 2MB ,过点M 的直线分别交射线 AB , AC 于不同的两点P , Q ,若AP=mAB , AQ = nAC , 则mn + m 的最小值为（A . 6 ,3B . 2 3 答案 D解析由已知易得,AM — |AB + 1AC ,又M , P , Q 三点共线,• — + 丄=1 3m 3n '2n•- m = ，易知 3n — 1>0.3n — 12nmn + m = m( n + 1)= (n + 1)3n — 1-l_3n— 1+ 3^ + 5》2,当且仅当 m = n = 1时取等号.所以其在复平面内对应的点的坐标是 (a 2 — 1,2a).又因为该点在y 轴负半轴上， ]'a 2— 1 = 0,所以有 解得a =— 1.2a<0,14. (2018石家庄检测)已知若对任意一个单位向量 e ,满足(a + b ) e < 2成立，则a b 的最大值是 _______ . 答案 1 解析(a + b ) e = |a + b | |e |cos 〈a + b , e > < |a + b |w 2,当且仅当a + b , e 同向共线时取等号， 设a =(治，y",b = (x 2, y 2),则(x 1 + X 2)2 + y + y 2)2<4,2 2X 1 + X 2 y 〔 + y 21a b = X 1X 2+ 丫1丫2三 4 + 4 三 4 x4=1，当且仅当X1 =X 2, y 1 = y 2 时取等号，故 a b的最大值是1.15. 欧拉在1748年给出了著名公式 e i 0= cos 0+ isin 9(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一， 其中，底数e = 2.718 28…，根据欧拉公式 e i 0= cos 0+ isin 0,任何一个复数 z = r(cos 0+ isin 0),in=1 + 3i , Z 2= e 2 = cos n+ isin 寸=i , 1+炯U +问-i =书—i i (-i ) — 7复数z 在复平面内对应的点为 Z( .3,— 1),点Z 在第四象限.16. 已知点OABC 内一点，且满足 OA + OB + 4OC = 0•设△ OBC 与厶ABC 的面积分别为S 1, S 2,则曇= _______ .答案1 解析 设E 为AB 的中点，连接 OE ，延长OC 到D ,使OD = 4OC ，因为点O ABC 内一都可以表示成z = re i 0的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数 .ni71e 2，则复数z =」在复平面内对应的点在第 ____________ 象限.Z 2 答案四解析因为Z = 2e 3 = 2i_n 2e 3,Z 2 =n cos3+isin 3所以z =;点，且满足(5A+ O B + 4OC = 0，所以OA + OB + OD = 0,则点O是厶ABD的重心，贝U E, O,1 1CD 共线，OD : OE = 2 ：1,所以OC : OE = 1 : 2,则CE : OE= 3 : 2，则Si^ S A BCE =£& ABC,3 6所以S1=1S2 6三、解答题(本题共4小题，共50分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12 分)在平面直角坐标系xOy 中，点A(- 1,—2), B(2,3), C(-2,—1).(1) 求以线段AB , AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；⑵在平面内一点D满足OD = AB-tOC，若△ ACD为直角三角形，且A为直角，试求实数t 的值. 解⑴由题意得AB = (3,5), A C=(-1,1),故AB + AC= (2,6), A B-A C = (4,4),所以|AB+ AC|= 2 .10 , |A B-AC| = 4 2,故所求对角线的长分别为 2 10, 4,2.(2) 由题设知OD = AB-tOC = (3 + 2t,5+ t),故D(3 + 2t,5+ t),则AD = (2t+ 4, t+ 7).n由厶ACD为直角三角形，且A= ,得A D A C = 0,即(2t+ 4, t + 7) (- 1,1)= 0,解得t= 3.所以满足题意的实数t的值为3.18. (12 分)已知a = (3, - 2), b= (2,1), O 为坐标原点.(1)若m a+ b与a- 2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；⑵设OA= a, OB= 0求厶OAB的面积.解(1) •/ a= (3,- 2), b= (2,1),…m a + b= (3m + 2, —2m+ 1) , a—2b= (—1, —4),令(m a+ b) (-a —2b)<0,即一3m —2+ 8m—4<0，解得m<-,51 1••当m=—㊁时，m a + b= —-a+ b, a —2b与m a + b方向相反，夹角为平角，不合题意.•••若m a + b与a —2b的夹角为钝角，m的取值范围为-j U「—6；.⑵设/ AOB = 0, △ OAB面积为S,“ 1则S= -|a| |b|sin 0...2 2 fab••• sin 0= 1-cos 0= 1-面帀'•- 4S2= |a|2|b|2 sin202 2 2=|a | |b| —(a b)=65 —16 = 49.S=7.19. （13分）如图，在厶OAB中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足AP =泊B （1）若匸-，用向量O A,O B表示O P；⑵若|OA|= 4, |OB|= 3,且/ AOB = 60 ° 求OP AB取值范围.~》 1 ~> -> 1 -> ->解(1) •/ AP= 2PB, •OP—OA = 2(OB—OP),• 3O P=O A+|oB,g卩OP= |OA+^OB.(2)•/ OA OB = |OA| |OB| cos 60 =6, AP = FB(»0),——————————————• OP —OA = X OB —OP), (1 + R OP = OA+ QB~- 1 -- 入一-•- OP = OA+ OB.1+入1+入••• AB = O B -O A ,1 O 入 OOA + OB1 +入 1+入—16+ 9 入 + 6— 6 入 3 入一10 13 = = =3 — .1+入 1 +入 1 +入13••• Q0, • 3 —€ (— 10,3)・1+入•- OPAB 的取值范围是(一10,3).20. (13 分)已知向量 m = (J/3sin 4，1 ) n = (cos 4，cos% j,记 f(x) = m n . (1)若 f(x)= 1,求 cos[x + 点的值；⑵在锐角三角形 ABC 中，内角A , B , C 的对边分别是 a, b , c ,且满足(2a — c)cos B = bcos C , 求f(2A)的取值范围.解 (1)f(x)= m n = 3sin £cos 弓 + cos 2£4 4 4 3 x 1 x 1=-ysi n + 2cos 2 + 2 =血!|+ n+2.由 f(x) = 1，得 sin | + 6 = 2, 所以 cos[x + n = 1 — 2sin 2g + 点= ⑵因为(2a — c)cos B = bcos C ,由正弦定理得(2sin A — sin C)cos B = sin Bcos C , 所以 2sin Acos B — sin Ccos B = sin Bcos C , 所以 2sin Acos B = sin(B + C).因为 A + B + C = n 所以 sin(B + C)= sin A ，且 sin A 工0,1所以 cos B =-.••• OP AB =(OB — OA)一丄 OA 2+)OB 2 +1 +入 1 +入n n 2 2 又o<B<2，所以B=3，则A+ C=A=3n- C.又o<C<n，则n<A<n，得n<A+n<2n n，所以-2<sin A + 6 三1.f(2A) = sin A+ f + 2,又因为故函数f(2A)的取值范围是2。

单元质检卷五平面对量、复数(时间:120分钟满分:100分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设=(-3,3),=(-5,-1),则等于()A.(-2,4)B.(1,2)C.(4,-1)D.(-1,-2)2.已知i为虚数单位,则i+i2+i3+…+i2 019等于()A.0B.1C.-1D.-i3.设复数z满足i z=7-i-|3-4i|,则复数z的共轭复数=()A.-1-2iB.-1+2iC.1-2iD.1+2i4.设非零向量a,b满足(a-2b)⊥a,则“|a|=|b|”是“a与b的夹角为”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在复平面内,复数z=,则复数z的共轭复数对应的点所在象限为()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限6.已知向量=(2,3),=(3,t),且的夹角不大于,则t的取值范围为()A.,+∞B.,+∞C.D.,+∞7.在△ABC中,=0,=2,||=λ||,若=9,则实数λ=()A.B.C.D.8.若平面对量a,b,e满足|a|=2,|b|=3,|e|=1,且a·b-e·(a+b)+1=0,则|a-b|的最小值是()A.1B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知复数z=,则以下说法正确的是()A.复数z的虚部为B.|z|=C.z的共轭复数D.在复平面内与z对应的点在其次象限10.(2024辽宁大连其次十四中学高三模拟)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是()A.|a+b|=1B.a⊥bC.(4a+b)⊥bD.a·b=-111.欧拉公式e i x=cos x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由瑞土著名数学家欧拉发觉的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,依据此公式可知,下面结论中正确的是()A.eπi+1=0B.|e i x|=1C.cos x=D.e12i在复平面内对应的点位于其次象限12.已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足+2=0,=2,记△APQ的面积为S,则下列说法正确的是()A.B.C.>0D.S=4三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法,形成由各点都对应复数的“复平面”,后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+b i,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样“代数化”.若复数z满足(3+4i)·z=7+i,则z对应的点位于第象限.14.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影的数量的确定值为,则m=.15.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=3,D,E与M,N分别是AB,AC的三等分点,且=-1,则tan A=,=.16.在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点.若BE⊥AD,垂足为E,则的值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.18.(12分)如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.(1)试用向量a,b来表示;(2)AM交DN于点O,求的值.19.(12分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos x,-sin x),x∈0,.(1)求|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.20.(12分)已知向量a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R).(1)若x∈-,且a∥(b+c),求x的值.(2)若函数f(x)=a·b,求f(x)的最小值.(3)是否存在实数k,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)如图,扇形OAB所在圆的半径为2,它所对的圆心角为,C为弧AB的中点,动点P,Q分别在线段OA,OB上运动,且总有OP=BQ,设=a,=b.(1)若,用a,b表示;(2)求的取值范围.22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.(1)求的值.(2)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈0,,f(x)=-2m+||.若f(x)的最小值为g(m),求g(m)的最大值.参考答案单元质检卷五平面对量、复数1.D因为=(-3,3),=(-5,-1),所以=(-2,-4),所以=(-1,-2),故选D.2.C i+i2+i3+…+i2024==i2=-1.故选C.3.B由题可知z==-1-2i,故其共轭复数为-1+2i.故选B.4.C(a-2b)⊥a,则(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,即|a|2-2|a||b|cos<a,b>=0,若|a|=|b|,则cos<a,b>=,即a与b的夹角为,充分性满足;若a与b的夹角为,则|a|2-|a||b|=0,因为|a|≠0,所以|a|=|b|,必要性满足.所以“|a|=|b|”是“a与b的夹角为的充要条件.故选C.5.C由题意z==-1+2i,则=-1-2i,所以所对应点的坐标为(-1,-2),在第三象限.故选C.6.B由题意得||=,||=||=()=3t-7.设的夹角为θ,则cosθ=,∵0,∴0≤cosθ≤1,即01,解得t,即t的取值范围为,+∞.故选B.7.D由=0,知O为△ABC的重心,所以)=).又因为=2,所以所以9=3()·()=-2+3,所以2=3,λ=故选D.8.B由题意得|a+b-e|==2又因为|a+b|-|e|≤|a+b-e|≤|a+b|+|e|,所以2-1≤|a+b|≤2+1,当a+b与e同向时,|a+b|=2+1,当a+b与e反向时,|a+b|=2-1.又因为|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=26,所以|a-b|min=,故选B.9.BD复数z==-i,则复数z的虚部为,故A错误;|z|=,故B正确;z的共轭复数=-,故C错误;在复平面内与z对应的点-在其次象限,故D正确.故选BD.10.CD分析知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°.a·b=1×2×cos120°=-1≠0,故B错误,D正确;因为(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=1-2+4=3,所以|a+b|=,故A错误;因为(4a+b)·b=4a·b+b2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥b,故C正确.故选CD.11.AB eπi+1=cosπ+isinπ+1=0,故A正确;|e i x|=|cos x+isin x|=1,故B正确;cos x=,故C错误;依题可知e i x表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x,sin x),故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos12,sin12),明显该点位于第四象限,故D错误.故选AB.12.BD由+2=0,=2,可知P为AC的三等分点,Q为AB延长线上的点,且B为AQ的中点,如图所示.对于A,因为P为AC的三等分点,B为AQ的中点,所以PB与CQ不平行,故A错误;对于B,)=,故B正确;对于C,=||||cosπ=-||||<0,故C错误;对于D,设△ABC的高为h,S=|AB|h=3,即|AB|h=6,则△APQ的面积S=|AQ|h=2|AB|h=6=4,故D正确.故选BD.13.四z==1-i,则z对应的点位于第四象限.14.2或-2由题意可知,向量a在b上的投影的数量的确定值为=,两边平方,可得=5,解得m=-2或m=2.15-,=·==5cos A-4=-1,∴cos A=,∴0<A<,sin A=,∴tan A=()==3×3-32=-16.如图所示,过点C作CF⊥AD于点F,易知△BED≌△CFD,故,=||·||cos∠ACF=||·||),故,故||=依据等面积法,可得|·||=|·||sin∠BAC,解得||=故17.解 (1)=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i.又z1+z2=1+i,z1=4-i,z2=-3+2i.(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,18.解 (1)∵AN=AB,a,a-b.∵BM=BC,b,=a+b.(2)∵A,O,M三点共线,∴设==λa+b,λ∈R.∵D,O,N三点共线,∴设=,μ∈R.=-,=+(1-μ)a+(1-μ)b.∵a,b不共线,∴有解得,19.解 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(cos x,-sin x),所以a+b=(2cos x,0),因此|a+b|=2|cos x|.因为x∈0,,所以|a+b|=2|cos x|=2cos x.(2)由f(x)=a·b-|a+b|可得,f(x)=cos2x-sin2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2,当cos x=,即x=时,函数f(x)有最小值-;当cos x=0或cos x=1,即x=或x=0时,函数f(x)有最大值f=2=-1或f(0)=2=-1.所以f(x)的最大值为-1,最小值为-20.解 (1)∵b+c=(sin x-1,-1),a∥(b+c),∴-(2+sin x)=sin x-1,即sin x=-又x∈-,∴x=-(2)∵a=(2+sin x,1),b=(2,-2),∴f(x)=a·b=2(2+sin x)-2=2sin x+2.∵x∈R,∴-1≤sin x≤1,∴0≤f(x)≤4,∴f(x)的最小值为0.(3)存在.∵a+d=(3+sin x,1+k),b+c=(sin x-1,-1),若(a+d)⊥(b+c),则(a+d)·(b+c)=0,即(3+sin x)(sin x-1)-(1+k)=0,∴k=sin2x+2sin x-4=(sin x+1)2-5.由sin x∈[-1,1],得k∈[-5,-1],∴存在k∈[-5,-1],使得(a+d)⊥(b+c).21.解 (1)由题知△BOC,△AOC均为等边三角形,所以四边形OACB为菱形.所以=a+b.所以a-a-b=-a-b,b-a-b=-a-b.(2)设=x=x a,则=(1-x)=(1-x)b,x∈[0,1].=x a-a-b=(x-1)a-b,=(1-x)b-a-b=-a-x b.=[(x-1)a-b](-a-x b)=2∵x∈[0,1],∴当x=时,上式取最小值为x=;当x=0或1时,上式取最大值为2.的取值范围为,2.22.解 (1)由题意知A,B,C三点满足,可得),所以),即,即=2,则||=2||,所以=2.(2)由题意,=1+cos x,cos x,=(cos x,0),所以函数f(x)=-2m+||=1+cos x+cos2x-2m+cos x=(cos x-m)2+1-m2.因为x∈0,,所以cos x∈[0,1],当m<0时,当cos x=0时,f(x)取得最小值g(m)=1;当0≤m≤1时,当cos x=m时,f(x)取得最小值g(m)=1-m2;当m>1时,当cos x=1时,f(x)取得最小值g(m)=2-2m.综上所述,g(m)=可得函数g(m)的最大值为1,即g(m)的最大值为1.。