9.1.2 分层随机抽样

9.1.2分层随机抽样课标要求素养要求1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围.2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值.在分层随机抽样的实施过程中，掌握分层随机抽样的抽样步骤，发展学生数据分析素养.教材知识探究某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.问题 1.上述问题中总体有什么特征？2.采用抽签法合适吗？若不合适，应该用什么方法抽取样本？提示 1.该总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异.2.不合适，若用抽签法，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.应该用分层随机抽样抽取样本.1.分层随机抽样的相关概念分层随机抽样总体是由差异明显的各层组成的(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.2.样本平均数的计算公式在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N ，抽取的样本量分别为m 和n ，第1层和第2层样本的平均数分别为x －和y －，则样本的平均数ω－＝m m ＋n x －＋n m ＋n y －__＝M M ＋N x －＋N M ＋N y －__. 教材拓展补遗[微判断]1.在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体的个体数的大小.(×)2.分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本量较少，这是不公平的.(×)3.从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样.(×)提示 1.在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本量大小外，还要依据总体的构成情况.2.根据抽样的意义，对每个个体都是公平的.3.适合用简单随机抽样.[微训练]1.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是( )A.简单随机抽样B.抽签法C.随机数法D.分层随机抽样解析 从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.答案 D2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.解析根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.答案60[微思考]1.分层随机抽样的总体具有什么特性？提示分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体.2.简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？提示(1)区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分别抽取样本.(2)联系：①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样.题型一对分层随机抽样概念的理解是否适合用分层随机抽样，首先判断总体是否可以“分层”【例1】(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()A.抽签法B.随机数C.简单随机抽样D.分层随机抽样(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行()A.每层等可能抽样B.每层可以不等可能抽样C.所有层按同一抽样比等可能抽样D.所有层抽取的个体数量相同解析(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.(2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.答案(1)D(2)C规律方法 1.使用分层随机抽样的前提分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小.2.使用分层随机抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.【训练1】下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量解析A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异但个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.答案 B题型二分层随机抽样的应用抓住抽样比，即nN是解题的关键【例2】某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程.解抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为20160＝18.第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人).第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人.第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.规律方法分层随机抽样的步骤【训练2】一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.解因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法.具体过程如下：第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层.第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60.第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本.第四步，将300人合到一起，即得到一个样本.题型三分层随机抽样中的计算问题【探究1】在分层随机抽样中，N为总样本量，n为样本量，如何确定各层的个体数？提示每层抽取的个体的个数为n i＝N i×nN，其中N i为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数，nN为抽样比.【探究2】 在分层随机抽样中，总体的个体数、样本量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？提示 设总体的个体数为N ，样本量为n ，第i (i ＝1，2，…，k )层的个体数为N i ，各层抽取的样本量为n i ，则n i N i＝n N ，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个. 【探究3】 (1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A.101B.808C.1212D.2012(2)将一个总体分为A ，B ，C 三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取________个个体.(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________.解析 (1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以抽取驾驶员的抽样比为1296＝18，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷18＝808.(2)∵A ，B ，C 三层个体数之比为5∶3∶2，又由总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C 中抽取100×210＝20(个)个体.(3)ω－＝2020＋30×3＋3020＋30×8＝6. 答案 (1)B (2)20 (3)6规律方法 (1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系①样本量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.(2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：ω－＝m m ＋n x －＋n m ＋n y －＝M M ＋N x －＋N M ＋N y －. 【训练3】 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人解析先求抽样比nN＝903 600＋5 400＋1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×1120＝30(人)，乙校抽取5 400×1120＝45(人)，丙校抽取1 800×1120＝15(人)，故选B.答案 B一、素养落地1.通过学习分层随机抽样的概念及实施步骤，重点培养学生数据分析的核心素养.2.对于分层随机抽样中的比值问题，常利用以下关系式求解：(1)样本量n总体的个体数N＝该层抽取的个体数该层的个体数；(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比.3.选择抽样方法的规律：(1)当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法.(2)当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法.(3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽样.二、素养训练1.某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A.抽签法B.简单随机抽样C.分层随机抽样D.随机数法解析根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样.答案 C2.某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为() A.30 B.25 C.20 D.15解析样本中松树苗为4 000×15030 000＝4 000×1200＝20(棵).答案 C3.某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生.解析C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样原理，应抽取120×4001 200＝40(名).答案404.一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，从这批产品中抽取一个容量为20的样本.请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程.解第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以抽样比为20200＝110，第二步，确定各层抽取的样本量，一级品：100×110＝10，二级品：60×110＝6，三级品：40×110＝4.第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本.第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.基础达标一、选择题1.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个.方法2：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.对于上述问题，下列说法正确的是()①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是1 5；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征.A.①②B.①③C.①④D.②③解析根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是nN，故①正确，②错误.由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确，④错误.故①③正确. 答案 B2.某校为了解高一学生的学习规划情况，在高一年级6个班级中任选两个班级，并在所选的班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是()A.简单随机抽样B.分层随机抽样C.先用分层随机抽样，再用随机数法D.先用抽签法，再用分层随机抽样解析采用抽签法从6个班级中抽取两个班级，然后采用分层随机抽样的方法在所选的班级中按男女比例抽取样本，故D项正确.答案 D3.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A.7B.6C.5D.4解析由已知可得抽样比为：2040＋10＋30＋20＝15，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10＋20)×15＝6.答案 B4.当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户.若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中低收入家庭的住房问题，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A.40B.30C.20D.36解析由题意可知90×360360＋270＋180＝40.答案 A5.在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球()A.33个B.20个C.5个D.10个解析设应抽红球x个，由1001 000＝x50，则x＝5.答案 C二、填空题6.一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人.按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________.解析抽取女运动员的人数为2898×(98－56)＝12.答案127.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生.解析高二年级学生人数占总数的310，样本量为50，则50×310＝15.答案158.某分层随机抽样中，有关数据如下：此样本的平均数为________.解析 ω－＝4545＋35×4＋3545＋35×8＝5.75. 答案 5.75三、解答题9.一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解 用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人).(3)在各层分别用随机数法抽取样本.(4)汇总每层所抽取的个体，组成样本.10.某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的几率是0.18.(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？解 (1)由x 3 000＝0.18得x ＝540，所以高二年级有540名女生.(2)高三年级人数为：y ＋z ＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900.∴3003 000×900＝90，故应从高三年级抽取90名学生.能力提升11.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A.100B.150C.200D.250解析 法一 由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二 由题意，抽样比为703 500＝150，总体的个体数为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×150＝100. 答案 A12.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本.试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.解 (1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc 4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%，50%，10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.创新猜想13.(多选题)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则( )A.应采用分层随机抽样抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的解析 由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A 正确； 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1 200＝y 6 000＝z 2 000，x ＋y ＋z ＝46，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝30，z ＝10.所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C 正确；由分层随机抽样的意义可知D 也正确.答案 ACD14.(多填题)高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则(1)高一、高二抽取的样本量分别为________；(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________.解析 (1)由题意可得高一年级抽取的样本量为160450＋350×450＝90，高二年级抽取的样本量为160450＋350×350＝70. (2)高一和高二数学竞赛的平均分约为ω－＝9090＋70×80＋7090＋70×90＝84.375(分). 答案 (1)90，70 (2)84.375。