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3．4.2 基本不等式的应用1.理解基本不等式及其变形公式的运用．2.掌握运用基本不等式求最大(小)值问题的常用方法．3．掌握运用基本不等式解决实际问题中的最优化问题．, [学生用书P62])1．基本不等式与最值 已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小． 2．基本不等式的其他形式与拓展 (1)四个重要不等式：①a 2＋b 2≥2ab ；(a ，b ∈R )②ab ≤a 2＋b 22；(a ，b ∈R )③a ＋b ≥2ab ；(a ≥0，b ≥0)④ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.(a ，b ∈R )注意：1.①②④三种形式的前提条件是a 、b 为实数，③形式的前提条件是a 、b 为非负数．2．四种形式等号成立的条件都是a ＝b .(2)平方平均数 a 2＋b 22，算术平均数a ＋b 2，几何平均数ab ，调和平均数21a ＋1b 的大小顺序为a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b. 注意：这里a 、b 都为正实数，当且仅当a ＝b 时，a 2＋b 22＝a ＋b 2＝ab ＝21a ＋1b. 3．利用基本不等式求最值时，应注意的问题(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断． (2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值． (3)确保等号成立．以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”．(4)另外，连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (2)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( )(3)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( )解析：(1)正确．当a ，b ∈R 时，若a 与b 的和为定值，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以ab 有最大值．(2)错误．当x ，y >0时，x ＋y 的最小值为4；当x ，y <0时，x ＋y 的最大值为－4.(3)正确．f (x )＝x 2＋1＋2x 2＋1－1≥2（x 2＋1）·2x 2＋1－1＝22－1，当且仅当x 2＋1＝2x 2＋1，即x 2＝2－1时等号成立． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________． 解析：因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝40，所以xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．答案：4003．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.答案：16利用基本不等式求最值[学生用书P63](1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．【解析】 (1)因为x >2， 所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 （x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.(3)因为x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋4y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋4y x ＋x y≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝13，y ＝16时取等号． 【答案】 (1)6 (2)116(3)9若把本例(1)中的条件“x >2”改为“x <2”，求y ＝x ＋4x －2的最大值．解：因为x <2， 所以2－x >0，所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎡⎦⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）⎝⎛⎭⎫42－x ＋2＝－2， 当且仅当2－x ＝42－x，得x ＝0或x ＝4(舍去x ＝4)， 即x ＝0时，等号成立．故f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.(1)应用基本不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．(2)常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．1.设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值．解：因为0<x <32，所以3－2x >0，所以y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．因为34∈⎝⎛⎭⎫0，32. 所以函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. 利用基本不等式求含有限制条件的最值[学生用书P63]设x，y均为正数，若x>y，且xy＝1，求x2＋y2x－y的最小值．【解】因为xy＝1，所以x2＋y2x－y＝（x－y）2＋2xyx－y＝（x－y）2＋2x－y＝x－y＋2x－y.又x>y>0⇒x－y>0，所以x－y＋2x－y≥2 （x－y）2x－y＝22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝1，x－y＝2x－y，即⎩⎪⎨⎪⎧x＝6＋22，y＝6－22时取等号．所以当x＝6＋22，y＝6－22时，x2＋y2x－y取得最小值2 2.运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型及处理技巧(1)若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式，进而解出该不等式．(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式．2.设x，y均为正数．(1)若lg x＋lg y＝1，求5x＋2y的最小值；(2)若x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．解：(1)由lg x＋lg y＝1，得xy＝10，又x>0，y>0，所以5x＋2y≥210xy＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5x＝2y，xy＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧x＝5，y＝2时取等号．所以当x＝5，y＝2时，5x＋2y取最小值2.(2)因为x＋2y＝1，所以1x＋1y＝x＋2yx＋x＋2yy＝1＋2yx＋xy＋2＝3＋⎝⎛⎭⎫2yx＋xy≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝1，2yx＝xy，即⎩⎪⎨⎪⎧x＝2－1，y＝2－22时取等号．所以当x＝2－1，y＝2－22时，1x＋1y取最小值3＋2 2.利用基本不等式解实际应用题[学生用书P64]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 【解】 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝20 10x.所以S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意的基础上，设变量一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)建立相应的函数解析式，将实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内(使实际问题有意义的自变量取值范围)，求出函数的最大值或最小值； (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案，回答实际问题．3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解：(1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120 S ＋20S . 所以S ＋6S －160≤0， 即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，。
