2021年高中数学必修第一册5.5.2《简单的三角恒等变换》同步课件（含答案）

3
π
3
2π
，
3
∴－ 2 ≤sin (2x－ 3 )≤1，∴－ 2 ≤f(x)≤1，
π
3
即f(x)在[0， 2 ]上的值域为[－ 2 ，1].
3
cos
2
2x.
题型 4 三角恒等变换的实际应用
π
例4 (见教材5.5.2例10)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，
3
C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当
解析：∵sin θ＝5 ，
∴cos θ＝－ 1
5π θ 3π
θ
∵ 4 <2< 2 ，∴sin2＝－
cos
θ
＝－
2
1−cos θ
2 5
＝－
，
2
5
θ
1+cos θ
5
θ sin2
＝－
，tan
＝
＝2.
2
5
2 cosθ
2
题后师说
利用半角公式求值的步骤
跟踪训练1 已知π＜θ＜2π，且cos
A．－3
3
1
1
恒等变换．
(3)掌握三角恒等变换在三角函数中的应用．
题型 1 半角公式
【问题探究1】 (1)我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，
对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，则能得到什么结论？
α
α
α
(2)根据上述结果，试用cos α表示sin ，cos ，tan .
2
α
2
α
2
1+cos α
.
2
α
2
α
2
提示：(1)cosα＝2cos2 －1＝1－2sin2 ＝cos2 －sin2 .

1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6

3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3



5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6



1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .

又
2
<

2

∴
2

<


2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=

2
=
1+
2

2
15
= −4.
1+17
2
=
3



，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −

1 +

1 −
= ±
， = ±
， = ±
，

第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表
回答问题。
知识清单
1．半角公式
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ)
b
(其中 tan θ＝a)．
小试牛刀
α
1．已知 180°＜α＜360°，则 cos 的值等于(
2
A．－
1－cos α
2
1＋cos α
2
B．




θ
又 cos2＝a，
θ
∴sin4＝－
答案：D
θ
1－cos
2
2 ＝－
1－a
2 .
解题方法（利用半角公式化简求值）
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等
手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦
解:在 Rt△OBC中, OB=cos, BC=sin
DA
在Rt△OAD中,
tan 60 3
OA
3
3
3
DA
BC
sin
3
3
3
3
AB OB OA cos
sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
OA


3
S AB • BC cos sin sin
将①②两个等式的左右两边分别相除，得2 =
例 7 的结果还可以表示为
1－cos α
α ±
2
sin ＝__________________，

以
2
代替 2 ，以
代替
，得
cos
1 2sin2
,
2
2
所以 ① sin2 1 cos .
2
2
在倍角公式 cos2 2cos2 1 中，以 代替 2 ，以
代替 ，得 cos 2 cos2 1,
2
2
所以 ② cos2 1 cos .
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 1 cos . 2 1 cos
即得 sin sin 2sin cos .
2
2
拓展： (1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝1[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
2 sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
所在象限由
a
和
b
的符号确定．仅仅讨论ba＝±1，±
3，±
3的情况． 3
(2)sin2x＝1－cos2x，cos2x＝
1＋cos2x 2
2
，sinxcosx＝12 sin2x
.
便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 y Asinx
利用和角公式将其展开，可化为 y a sin x b cosx 的形式． 反之，利用和（差）角公式，可将 y a sin x b cosx 转化
为 y Asinx 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
巩固练习
练习1 cos2πcos4πcos8π＝________. 777
解：cos 2
7
cos 4

θ
θθ
∴tan2θ＝csoins2θ2＝2s2inco2sc2oθ2s2＝1＋sincoθs
θ＝1＋－－35 45＝－3.
答案：-3
第十页，共二十六页。
题型分析
题型一 化简求值问题
举一反三
【例 1】 设 5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则 sinθ4等于(
)
A．
1＋a 2
B．
1－a 2
ห้องสมุดไป่ตู้
C．－
1＋a 2
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思
想方法．
3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，
进而进行简单的应用．
第二页，共二十六页。
数学学科素养
1.逻辑推理： 三角恒等式的证明；
2.数据分析：三角函数式的化简；
3.数学运算：三角函数式的求值.
第三页，共二十六页。
(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用
计算．
sin2 1 cos , cos2 1 cos .
22
2
2
提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
第十三页，共二十六页。
[跟踪训练一] 1．已知 sin α＝－45，π＜α＜32π，求 sin α2，cos α2，tan α2的值．
D．－
1－a 2
第十一页，共二十六页。
解析：∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈52π，3π，θ4∈54π，32π.
又 cos2θ＝a，
∴sinθ4＝－
1－2cosθ2＝－
1－a 2.
答案：D
第十二页，共二十六页。
解题方法（利用半角公式化简求值）

时, 矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积.
Q
解: 在Rt△OBC中, OC 1,
BC OC·sina sina, OB OC·cosa cosa, 在Rt△OAD中,
D
C
a
O A BP
OA
AD·tan
6
3 3
BC
3 3
sina
,
则 AB OBOA cosa
3 3
sina
,
∴SABCD AB·BC
cos2a 1 sin2a
1 1
tana tana
.
分析: 等式的左边是二倍角, 右边是单角,
思想: 用二倍角公式化为单角,
问题: cos2a 化成哪一个?
不妨把右边切化弦视察,
右边
1 1
sina cosa sina cosa
cosa cosa
sina sina
,
若分子乘以cosa sina 就得cos2a sin2a,
(cosa
3 3
sina
)sina
接上页∴SABCD AB·BsiCncos(acosa33si3n32saina )sina
12sin2a
3 3
1 cos 2a
2
12sin2a
3 6
cos2a
3 6
3 3
(
3 2
sin
2a
1 2
cos
2a
)
3 6
3 3
sin(2a
6
)
3 6
,
0 a
(c1osssinaicnaoas1a(c,)o(第s1a一co1个s)a等) 号(分证解得因. 式)
1 cosa sina

sin 2
sin cos 22
sin α ，
2 cos α cos2 α 1 cos α
2
2
tan α
sin α 2
sin2 α 2
1 cos α，
2 cos α sin α cos α sin α
2
22
所以得证．
立德树人 和谐发展
新知探究
练习：求证：tan α sin α 1 cos α ． 2 1 cos α sin α
1－cos α tanα2＝±_____1_＋__c_o_s__α_，
并称为半角公式，符号由α2所在的象限决定。
立德树人 和谐发展
可表示为:
sin 1 cos
2
2
cos
1 cos
2
2Hale Waihona Puke tan 1 cos2
1 cos
称为半角公式,符号
由 所在象限决定.
2
归纳总结
立德树人 和谐发展
因为不同的三角函数式不仅会有结构情势方面的差异，而且还会存在所包 含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时， 常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公 式．这是三角恒等变换的一个重要特点．
2
cos 2cos2 1
2
cos2 1 cos ②
2
2
立德树人 和谐发展
① 得 ②
tan2 1 cos 2 1 cos
例 7 的结果还可以表示为
1－cos α sinα2＝±________2__________，
1＋cos α cosα2＝_±________2_________，
一、知识梳理
立德树人 和谐发展

设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB， 所以S＝2acos θ·asin θ＝a2sin 2θ. 因为 θ∈0，π2，所以 2θ∈(0，π)， 所以当 2θ＝π2，即 θ＝π4时，S 有最大值 a2，
故当点 A，D 与点 O 的距离均为 22a 时，矩形 ABCD 的面积最大，最 大面积为 a2.
【解析】 y＝sin x，y＝cos x的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期
都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.
内容索引
思考2►►► 函数y＝asin x＋bcos x的变形与应用是怎样的？
【解析】 函数 y＝asin x＋bcos x
＝
a2＋b2
a a2＋b2sin
x＋
b a2＋b2cos
2x＝3
3＋4
3 2 cos
2x－12sin
2x＝3
3＋4sinπ3－2x＝
3 3－4sin2x－π3.
内容索引
因为－π4≤x≤π3，所以－56π≤2x－π3≤π3， 所以 sin2x－π3∈－1， 23， 所以当 2x－π3＝π3，即 x＝π3时，f(x)取最小值为 3. 因为 y＝sin z，z∈－56π，π3的单调增区间是－π2，π3， 且由－π2≤2x－π3≤π3，得－1π2≤x≤π3， 所以函数 f(x)的单调减区间是－1π2，π3.
内容索引
已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1) 求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值； (2) 已知△ABC 为锐角三角形，A＝π3，且 f(B)＝65，求 cos 2B 的值．
内容索引
【解析】 (1) f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1＝ 3sin 2x＋cos 2x＝ 2sin2x＋π6，

【解析】(1)选B.因为 5 <θ<3π,
2
所以cos θ= 1 sin2＝ 4，5 3 .
54 2 2
所以 sin 0，cos 0.
2
2
所以 sin ＝ 1 cos＝ 3 10，
2
2
10
cos ＝ 1 cos＝ 10 .
2
2
10
所以
tan
＝ sin 2 cos
2
＝3.
所以 tan ＋cos ＝3
3
②函数f(x)=sin 6x的最大值为1,最小值为-1.
【延伸探究】在本例(2)中,如何证明函数f(x)的图象关于直线x= 对称?
12
【解析】函数的解析式化简为f(x)=3sin 2x-4sin32x=sin 6x.
方法一:由6x=kπ+ ,k∈Z,得x= k , k∈Z,所以函数f(x)=sin 6x的图
2
2
2
2
因为π<α< 3，所以 3，
2
22 4
所以cos <0,sin >0,
2
2
所以原式=
(sin cos )2
(sin cos )2
2
2＋ 2
2
2(sin cos ) 2(sin cos )
22
22Biblioteka sin cos sin cos
＝ 2
2＋ 2
2
2
2
则y=sin 6x, 点P(x,y)关于直线x= 的对称点为P′ ( x, y,)由于
12
6
=sin(π-6x)=sin 6x,所以点P′ ( x, y在) 函数图象上.
6
所以函数图象关于直线x= 对称.

归纳小结
证法一：
2
左侧
sin
2
α
3 2
cos
α
1 2
sin
α
sin α
3 2
cos
α
1 2
sin
α
sin2 α 3 cos2 α 3 cos α sin α 1 sin2 α 3 sin α cos α 1 sin2 α
4
2
4
2
2
3 sin2 α 3 cos2 α 3 右侧，得证．
4
4
4
归纳小结
证法二：
左侧 1 cos 2α 1 cos(2α 60 ) sin(2α 30 ) sin(30 )
2
2
2
1 cos 2α 1 1 cos 2α 3 sin 2α 3 sin 2α 1 cos 2α 1
2
2
2
2
2
2
3 右侧，得证． 4
归纳小结
例3 要把半径为R的半圆形铁皮截成长方形，应怎样截取，才能使长 方形面积最大？
5.5.2 简单的三角恒等变换
第三课时
归纳小结
问题1 两角差的余弦公式C（α－β）不仅是和（差）角公式的 基础，也可以看成是诱导公式的一般化．你能画出本章公 式的“逻辑图”吗?推导这些公式的过程中用到了哪些数学 思想方法？
归纳小结
和（差）角公式、二倍角公式推导过程图：
C(α-β)
β换成-β
C(α+β)
归纳小结
例1 用α，β，γ的正弦、余弦值表示sin（α＋β－γ）．
解：sin(α β γ) sin[(α β) γ] sin(α β)cos γ cos(α β)sin γ sin α cos β cos γ cos αsin β cos γ cos α cos β sin γ sin αsin β sin γ．

1．设 α 是第二象限角，tan α＝－43，且 sinα2<cosα2，则 cosα2＝( )
A．－
5 5
5 B. 5
3 C.5
D．－35
解析：∵α 是第二象限角，且 sinα2<cosα2，∴α2为第三象限，∴cosα2<0，
∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cosα2＝－ 答案：A
点拨：解答本题可设∠PAB＝θ 并用 θ 表示 PR，PQ.根据 S 矩形 PQCR ＝PQ·PR 列出关于 θ 的函数式，求最大值、最小值．
解：如图，连接 AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ， PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
5.5.2 简单的三角恒等变换
【课标要求】
能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、 和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【新知初探】
要点一 半角公式
1－2sin2α 2α
1－2sin2α2
2cos2α－1 α
2cos2α2－1
1－cos α
±
2
1＋cos α
±
2
状元随笔 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数 1 余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号”即 y＝1＋cosα(α 是锐角)是减函数，角小值 大，因此用“＋”号，而 y＝1－cosα 为增函数，角大值大，因 此用“ －”号．

证明：令t＝2x＋
3

因为－
4
≤x≤

4
因为y＝sin t在
－2sin xcos x.
，

，所以－
6

≤2x＋
3
≤
5
6
，

− ,
6 2
上单调递增，在

6
1
2
所以f(x)≥sin(－ )＝－ ，得证．

,

上单调递减，
技
法
点
拨
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin
ωx＋bcos ωx＋k的情势，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋
φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的情势，将ωx＋φ看作一个整体
研究函数的性质.
跟踪训练
3．已知函数f(x)＝ 3 sin 2 −

6
＋2sin2
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.
②注意实际问题中变量的范围.
③重视三角函数有界性的影响.
易错
提醒
在利用三角变换解决实际问题时，
常因忽视角的范围而致误.
随堂检测
1．思考辨析

2
(1)cos ＝

2
1+cos
.(
2

2
×)

2
只有当－ ＋2kπ≤ ≤ ＋2kπ(k∈Z)时成立
1
(2)存在α∈R，使得cos ＝ cos
题型三
[例3]

将以上两式的左右两边分别相加，得
sin( ) sin( )= 2sin cos ， 即 sin cos = 1[sin( ) sin( )]．
2
例题探究
归纳：积化和差公式
sin cos = 1[sin( ) sin( )]，
2
cos sin = 1[sin( ) sin( )]，
归纳小结
（1）三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数式的结构差 异等多个因素选择适合的公式进行处理;
（2）关注三角式结构上的不同特点作为思考的出发点，并以 消除不同点作为变换目标，使用和（差）公式进行变换．
课外作业
• 教材第229页，习题5.5第8，9，题．
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
2
与 有什么关系？
2
cos 1 2sin2 ，所以 sin2 = 1 cos ．①
2
2
2
例题探究
在倍角公式 cos 2 = 2cos2 1 中，以 代替 2 ，以 代替 ，
2
得 cos 2cos2 1 ，所以 cos2 = 1 cos ．②
2
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得
则 sin sin = sin( ) sin( )，
2
2
2
2
……
例题探究

cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2 θ
θ 2＝－cos
θ 2cos
θ
θ .
cos
2
cos
2
因为 0＜θ＜π，所以 0＜θ2＜π2，
所以 cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.
【规律方法】 三角函数式化简的思路和方法 (1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式， 注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归 一等方法． (2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求 f(x)在6π，23π上的单调递增区间．
【解】
f(x)＝(－cos x)·(－sin x)－
1＋cos 3· 2
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－2π≤2x－3π≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)， 所以 f(x)在π6，51π2上单调递增， 即 f(x)在π6，23π上的单调递增区间是6π，51π2.
解析：因为 sin α＝－45，π＜α＜32π，
所以 cos α＝－35.又π2＜α2＜34π，
所以 sin α2＝
1－cos 2
α＝
1＋2 35＝2
5 5.
答案：2
5 5
2．已知 cos 2θ＝－2235，2π<θ<π，求 tan2θ的值．
解：因为 cos 2θ＝－2235，2π<θ<π，依半角公式得

3
2
1
3
1-cos2
11
20
,
π
π
11
sin cos 6 − cos sin 6 =20 ,
11
∴4sin θ-4cos θ=20 .
∴ ×
4
2
1
− ×
2
1+cos2
4
3
1-ta n 2
5
1+ta n 2
即 cos 2θ=- =
2
=
11
20
.
.∴tan θ=±2.
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[方法技巧]
1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
(2)将(1)中得到的式子利用asin α+bcos α= 2 +
f(x)=Asin(ωx+φ)+m的形式.
2·
sin(α+φ)化为
例 8.
π
ωx＋
已知函数 f(x)＝4cos ωx·sin
4 (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
解 f(x)＝4cos

π
ωx·sinωx＋4＝2

复习回顾
两角和差的余弦公式
( + ) = −
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
一角，统一三角函数的名称．常用方法有：异名函数化为同名函数，异角
化为同角，异次化为同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化
等．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、
项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将