二次根式定义

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。

以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。

•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。

•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。

2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。

下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。

•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。

•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。

•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。

3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。

以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。

•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。

•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。

•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。

4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。

以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。

•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。

5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。

以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。

初中数学什么是二次根式二次根式是指含有二次根号的代数式，也可以理解为二次方程的根。

在初中数学中，学生会接触到二次根式的概念和运算。

接下来，我将详细介绍二次根式的定义、性质、运算规则以及解题技巧。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的定义与性质1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

如果a是一个非负实数的平方，那么√a是一个有理数；如果a不是一个非负实数的平方，那么√a是一个无理数。

2. 性质：a. 二次根式的值是非负的，即√a ≥ 0。

b. 二次根式的平方等于被开方数，即(√a)² = a。

c. 二次根式可以进行加减乘除运算，具体的运算规则将在下一部分介绍。

二、二次根式的运算规则1. 加减法运算：a. 同类项相加减：对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行加减运算。

例如，√2 + √2 = 2√2。

b. 不同类项相加减：对于不同类项的二次根式，无法直接进行加减运算，需要进行化简。

例如，√2 + √3 无法进行直接运算，但可以化简为√6（根据乘法公式√a * √b = √(ab)）。

2. 乘法运算：a. 二次根式的乘法遵循乘法公式：√a * √b = √(ab)。

例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。

b. 多个二次根式相乘时，可以使用乘法交换律和结合律进行化简。

例如，√2 * √3 * √5 = √(2 * 3 * 5) = √30。

3. 除法运算：a. 二次根式的除法遵循除法公式：√a / √b = √(a / b)。

例如，√6 / √2 = √(6 / 2) = √3。

b. 多个二次根式相除时，同样可以使用除法公式进行化简。

例如，√30 / √2 = √(30 / 2) = √15。

三、二次根式的化简与合并1. 化简：将一个二次根式表示为最简形式。

例如，√8可以化简为2√2。

2. 合并：将多个二次根式合并为一个二次根式。

知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。

根指数省略不写。

不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。

2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。

但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。

、4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。

5、式子(a表示的是非负数。

6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。

二次根式定义：【例1】下列各式，其中是二次根式的是_________（填序号）．变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A D2中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（）A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧【例2】若是正整数，最小的整数n是（）A．6 B．3 C．48 D．2变式练习：1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（）A．0 B．1 C．2 D．52、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。

(a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例3】式子有意义的x 的取值范围是变式练习： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：12()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。

基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。

算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。

二次根式最简定义二次根式是数学中的一个重要概念，它是指一个形如√a的数。

在二次根式中，a代表一个非负实数。

二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或者表示一些物理问题中的量。

二次根式最简的定义是指将一个二次根式化简为最简形式。

化简的过程实际上是对根号下的数进行约分，使得根号下的数不能再被约分。

化简后的二次根式通常具有如下特点：1.根号下的数不含有平方数因子；2.根号下的数是一个质数；3.根号下的数为最简形式。

为了更好地理解二次根式的最简定义，我们可以通过几个例子来说明：例1：将√12化简为最简形式。

我们可以将12分解为2和6的积，即12=2*6。

然后，我们继续将6分解为2和3的积，即6=2*3。

因此，我们可以得到√12=√(2*2*3)。

接下来，我们可以将根号下的数进行约分，即将二次根式中所有平方数因子提出来。

在这个例子中，2是一个平方数因子，因此我们可以将它提出来。

√12=√(2*2*3)=2√3。

我们得到了化简后的最简形式，即√12=2√3。

例2：将√20化简为最简形式。

我们可以将20分解为2和10的积，即20=2*10。

然后，我们继续将10分解为2和5的积，即10=2*5。

因此，我们可以得到√20=√(2*2*5)。

接下来，我们进行约分，将二次根式中所有平方数因子提出来。

在这个例子中，2是一个平方数因子，因此我们可以将它提出来。

√20=√(2*2*5)=2√5。

我们得到了化简后的最简形式，即√20=2√5。

通过以上两个例子，我们可以看出，化简二次根式的过程就是将根号下的数进行约分，使其成为最简形式。

化简后的二次根式更加简洁，更符合数学中的规范形式。

需要注意的是，有些二次根式无法化简为最简形式，例如√2。

在这种情况下，我们不能再对根号下的数进行约分，因此√2就是它的最简形式。

这是因为2是一个质数，没有其他的因子可以约分。

在实际应用中，二次根式最简定义的概念经常出现在几何学和物理学等领域。

例如，在解决三角形的边长或面积问题时，常常需要使用到二次根式的最简形式。

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质1。

非负性:)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意:（1）字母不一定是正数． (2）能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算--分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定,如：与，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -,b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根.)0,0(≥≥=⋅b a ab b a3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。

知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如 占 的式子叫二次根式，其中」叫被开方数，只有当」是一个非负数时, ■/-:才有意义. 注意理解：1、 定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。

根指数省略不写。

不能从化简结果上判断，如都是二次根式。

2、 被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。

但前提条件是必须是大于或 等于0.3、 如果是给定的式子，-就是有意义的。

、4、 形如b 「（a 」「的式子也是二次根式，b 与「是相乘关系，当b 是分数时, 写成假分数。

5、 式子（^'二表示的是非负数。

6 +b （^，::和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。

二次根式定义：变式练习：1、已知："是 整数，则满足条件的最小正整数n 的值是()A. 0B. 1C. 2D. 5 2、二次根式匚山是一个整数，那么正整数a 最小值是______________________ 1、 二次根式具有双重非负性。

-(a 」「 02、 如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为 0.3、 如果式子中含有零指数幕或负整数指数幕，有意义的条件是，度数不为0.巫 + 1【例1】下列各式；,2二,3) - .x 2 2,4)、、4,5), (一；)2。

・,7) a 2—2a 1， 其中是二次根式的是 _____________ （填序号）. 变式练习：1、 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A 、、aB 、：C 、、. a 1D 、 2、 在庙、荷b 、J x+1、J 1+X 23、 下列的式子一定是二次根式的是（A. J-x-2B .护3中是二次根式的个数有 ）C.D.::A. 6B. 3C. 48D. 2【例3】来式子［一：有意义的x的取值范围是___________________ 源:学*科*网Z*X*X*K］变式练习：2 / 6二次根式整数部分小数部分：已知a是、、5整数部分，b是5的小数部分，求a •二的值。

16.1二次根式知识点一：二次根式的定义 一般地，形如a （a ≥0)的式子叫做二次根式对于二次根式的理解：（1）二次根式的定义是从形式上界定的必须含有二次根号“”，尽管9的结果为3，但9是二次根式。

（2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数是非负数，如12--x 就不是二次根式。

（3）根子数是2，2可以省略，如37不是二次根式（4）形如a b （a ≥0)的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数形式，如523不能写成5211的形式。

例1：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ （1）327 （2）9- （3）23a （4）12+x（5）122++a a （6）12-x （21<x ） （7）2)8(- （8）x 3-（x ≤0) (9)2)1(1+x (10)1682-+-x x知识点二:次根式有意义的条件（重点） 总体上来说，在二次根式a 中，当a ≥0时，a 有意义；当a<0时，a 无意义。

从具体的情况总结如下：（1）单个二次根式如A 有意义的条件是：A ≥0;（2）多个二次根式相加，如N B A +++ 有意义的条件是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥000N B A（3）二次根式作为分式的分母，如AB 有意义的条件是：A>0; （4）二次根式与分式的和，如B A 1+的条件是：⎩⎨⎧≠≥00B A例2：当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义 ？（1）13-x （2)x --1 (3)21+-x x （4）1132+++x x （5）52+x （6）322---x x （7）x -12 （8）1213-+-x x课堂小练习：1、代数式xx --312有意义的x 的取值范围是 2、若11+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 3、如果代数式1-x x 有意义，那么x 的取值范围是 4、代数式123-x 在实数范围内有意义的x 的范围是 5、若等式1)23(0=-x 成立，则x 的取值范围是 知识点三：二次根式的性质（重点、难点）性质1: 式子a （a ≥0)具有双重非负性：它既表示二次根式，又表示非负数a 的算术平方根。

二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:a m a m ⋅=（a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:()a a =2（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,A ≥0,2B ≥0,C ≥0∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2）()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()B A BA ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子11-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2111+-+-=x x y ,化简:11--y y .分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴1212100<=++=y ∴11111-=--=--y yy y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数xxy 21-=,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212=-+-b a∵1-a ≥0,()22-b ≥0∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a∴221=⨯=ab .选择【 D 】.例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()93622-+-=+-m x m x x ≥0∴()23-x ≥m -9∵()23-x ≥0∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462-=--=∆≤0解之得:m ≥9.例 5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC 的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862=-+-+-c b a∵6-a ≥0,8-b ≥0,()210-c ≥0∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】 （A ）20或16 （B ）20（C ）16 （D ）以上答案均不对习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.习题8. 已知24422--+-=x x x y ,则y x 的值为_________.习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+-++-415316822,求1-b a 的值.提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.例6. 计算:（1）()26; （2）()232+x ; （3）2323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-. 分析:本题考查二次根式的性质: ()a a =2（a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）()662=;（2）()32322+=+x x ;（3）()6329323323222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 注意:()B A B A ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）225; （2）2710⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）962+-x x ()3<x .分析:本题考查二次根式的性质:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252==;（2）7107107102=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）()339622-=-=+-x x x x∵3<x ∴原式x -=3.注意: 结论:()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当3-x 有意义时,化简:()()22125x x x -+-++.解:∵二次根式3-x 有意义 ∴3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()22125x x x -+-++图（1）23125125+=-+-++=-+-++=x x x x x x x例9. 化简:()()2223-+-x x .分析:()222-=-x x ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3-x 的被开方数3-x 为非负数. 解:由二次根式有意义的条件可知:3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()2223-+-x x522323-=-+-=-+-=x x x x x 例10. 已知10<<a ,化简=-+-++2121aa a a __________. 解:∵10<<a ∴aa 1<∴2121-+-++aa a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 21111111122=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 例11. 已知直线()23-+-=n x m y （n m ,是常数）, 如图（1）,化简1442--+---m n n n m . 解:由函数()23-+-=n x m y 的图象可知:02,03<->-n m∴2,3<>n m∴1442--+---m n n n m()()()1121212122-=+-+--=-----=-----=-----=m n n m m n n m m n n m m n n m例12. 已知c b a ,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:()()222b a c c a a --++-.解:由数轴可知:b a c <<<0 ∴0<+c a ∴()()222b a c c a a --++-ba b c a c a a b a c c a a -=--+++-=--++--=习题10. 要使()()2222-=-x x ,x 的取值范围是__________.习题11. 若02=+a a ,则a 的取值范围是__________.习题12. 计算:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛243_________. 习题13. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-2221_________. 习题14. 若()332-=-x x 成立,则x 的取值范围是__________.习题15. 下列等式正确的是 【 】 （A ）()332= （B ）()332-=-（C ）333= （D ）()332-=-习题16. 下列各式成立的是 【 】图（2）（A ）21212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （B ）()ππ-=-332（C ）21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （D ）74322=+ 习题17. 计算:()=-272_________.习题18. 化简:()=+-22x x_________.习题19. 若=-+=++++-b a a b b a a 22221,01213则________. 习题20. 已知01<<-a ,化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a 得__________. 习题21. 实数c b a ,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212b ab a c b a a +---++-的结果为 【 】 （A ）12--c b （B ）1- （C ）12--c a （D ）1+-c b习题22. 化简:()2232144--+-x x x .例13. 把aa 1-中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A ）a - （B ）a - （C ）a （D ）a --分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0. 图（3）解:由二次根式有意义的条件可知:01>-a∴0<a ∴a a a a a --=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=-112.选择【 D 】. 习题23. 化简()212--a a 得__________. 三、二次根式的乘法 一般地,有:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a ≥0,b ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:ab mn b n a m =⋅（a ≥0,b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若()66-=-⋅x x x x 成立,则 【 】 （A ）x ≥6 （B ）0≤x ≤6 （C ）x ≥0 （D ）x 为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥060x x解之得:x ≥6. 选择【 A 】.例15. 若1112-⋅+=-x x x 成立,则x 的取值范围是__________.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥+0101x x解之得:x ≥1. 例16. 计算:a a 812⋅（a ≥0）. 解:a a a a a a a 21214181281222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⋅（a ≥0）. 习题24. 计算:=⨯2731_________. 习题25. 已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m ,则有 【 】 （A ）65<<m （B ）54<<m （C ）45-<<-m （D ）56-<<-m 习题26. 化简12的结果是_________. 四、二次根式的除法 一般地,有:baba =（a ≥0,0>b ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:b a b a ÷=÷ （a ≥0,0>b ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有:ba b a =（a ≥0,0>b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为:2222221=⨯=;对321+进行分母有理化,过程为:()()723232323321-=-+-=+. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）654; （2）3223238÷; （3）()22728y xy -÷. 解:（1）39654654===; （2）24338169388323383823383832383223238=⨯==⨯⨯=÷⨯=÷=÷; （3）()x x y xy y xy 247287282222-=-=÷-=-÷.例18. 化简: （1）65; （2）4.0; （3）a a a 9623+-（3>a ）. 解:（1）63066656565=⨯⨯==; （2）51052524.0===; （3）∵3>a ∴()()()a a a a a a a a a a 3396962223-=-=+-=+- 注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算. 例19. 式子2121-+=-+x x x x 成立的条件是__________.分析:本题求解的是x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:ba b a = （a ≥0,0>b ）. 解:由题意可得:⎩⎨⎧>-≥+0201x x 解之得:2>x .例20. 计算:（1）7523⨯; （2）5120-; （3）2832-. 解:（1）5225275237523==⨯=⨯; （2）552515205120-=-=-; （3）解法1:224416282322832=-=-=-=-. 解法2:()2248216642228322832=-=-=⨯⨯-=-. 二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯21223222330; （2）182712⨯÷. 解:（1）原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯=252382330 232443216435238302123-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=（2）原式228324182712===⨯=.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A ）3212= （B ） （C ） （D ）x x =2习题28. 计算:=÷⨯213827_________. 习题29. 计算:=÷32643x x _________. 习题30. 直线13-=x y 与x 轴的交点坐标是_________.习题31. 如果0,0<+>b a ab ,那么下面各式:①ba b a =; ②1=⋅a b b a ; ③b b a ab -=÷. 其中正确的是_________（填序号）.习题32. 若0<ab ,则化简2ab 的结果是_________.习题33. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212; （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯2143236181841.例22. 先化简,再求值:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ,其中22-=x . 解:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ()()()()()()2221122211111322+--=++⋅+-+-=++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=x x x x x x x x x x x x x 2323=x x x -=-3当22-=x 时 原式122242222222-=--=+----=.习题34. 先化简,再求值:11121122-+÷+-+--a a a a a a ,其中12+=a .习题35. 先化简,再求值:2222221y xy x y x x x yx +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中6,2==y x .习题36. 下列根式中是最简二次根式的是【】 （A ）32（B ）3 （C ）9 （D ）12例23. 观察下列各式: ()()()()()().;34434343431;23323232321;12212121211 -=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+ （1）请利用上面的规律直接写出100991+的结果;（2）请用含n （n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:()20171201720161431321211+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ . 分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991-=-=+; （2）n n n n -+=++111; （3）原式()()2017120162017342312+⨯-++-+-+-= ()()2016120171201712017=-=+-= 习题37. 化简:891231121++++++ .七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）12188++; （2）451227+-. 解:（1）原式3225322322+=++=;（2）原式533533233+=+-=.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:1832225-+.解:原式232425-+=2272225=+=例26. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32233223;（2）()()()23225775-++-.解:（1）原式223223⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=36199243=-=（2）原式364875+-+-=649-=.。