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第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b Ûa-b>0； （2）a>b, b>c Þa>c ； （3）a>b Þa+c>b+c ； （4）a>b, c>0Þac>bc ； （5）a>b, c<0Þac<bc; （6）a>b>0, c>d>0Þac>bd; （7）a>b>0, n ∈N +Þa n >b n ; （8）a>b>0, n ∈N +Þn n b a >; （9）a>0, |x|<a Û-a<x<a, |x|>a Ûx>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0Ûa 2+b 2≥2ab; （12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ³ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a £，由性质（7）得n n n n b a )()(£，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;（7）a>b>0, n ∈N +⇒a n>b n; （8）a>b>0, n ∈N +⇒nn b a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nn b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|,-|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
均值不等式，柯西不等式及不等式技巧2017.7.18东北育才学校王文昊（QQ:2609667791） 以下内容未特殊说明默认为正数第一部分 预备知识1.均值不等式:二元形式:ab b a 2≥+ 三元形式：33abc c b a ≥++（思考下其证明方式）推广n 元：n a a a +++...21 ≥ n n a a a n ...21（证明方法留给课下思考）2.柯西不等式:特殊形式：2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++一般形式：222112222122221)...()...)(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++（证明方法留给课下思考)第二部分 基础知识运用我们通过如下例子对以上内容进行初步的熟悉。
1.证明：23332abb a ≥+2.证明：bc ac ab c b a ++≥++2223.证明：4455ab b a b a +≥+4.求：22)21()1(xy y x +++的最小值5.证明:b a b a 43543+≥++6.证明：yx b a y b x a ++≥+222)(7. 已知;3=++z y x ,求:121121121+++++z y x 的最小值8.求证：23≥+++++y x z z x y z y x9. 证明：16d c b a 3c 12b a 1321321322222+++≥+++++++++++d b a d c a d c b d c b a10.已知c b a ,,为三角形三条边，证明:))()((a c b b c a c b a abc -+-+-+≥第三部分 方法与技巧1.配齐次（不等式两边次数相同称为齐次不等式）配齐次是证明不等式最常用也最重要的手段之一，绝大多数不等式经过转化后都可以变为齐次的，而转化后的齐次不等式就可以通过均值与柯西证明，下面通过习题来演示这个方法。
第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;（7）a>b>0, n ∈N +⇒a n>b n; （8）a>b>0, n ∈N +⇒n n b a >; （9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca )=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不等式的性质,不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义,也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： 1a b b a <⇔>对称性2c b c a b a +>+⇔>加法保序性3.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>4*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.1c a c b b a >⇒>>,传递性.这是放缩法的依据. 2.,d b c a d c b a +>+⇒>> 3.,d b c a d c b a ->-⇒<> 4.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：1.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ 2.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 3||||||||||||b a b a b a +≤±≤-三角不等式.4.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.因此,要熟练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始;1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法; 1差值比较法原理：A － B ＞0A ＞B ．例1 设a, b, c ∈R +, 试证：对任意实数x, y, z, 有x 2+y 2+z 2.))()((2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++≥xz b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc 证明：左边-右边= x 2+y 2+z 2222()()()()()()ab bc caxy yz xz b c c a a b c a a b b c ---++++++所以左边≥右边,不等式成立;2商值比较法原理：若>1,且B>0,则A>B;例2 若a<x<1,比较大小：|log a 1-x|与|log a 1+x|.解：因为1-x ≠1,所以log a 1-x ≠0,|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log 1-x 1+x|=-log 1-x 1+x=log 1-x x +11>log 1-x 1-x=1因为0<1-x 2<1,所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1.所以|log a 1+x|>|log a 1-x|.2．分析法即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,叙述方式为：要证……,只需证……;例3 已知a, b, c ∈R +,求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab -证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+, 因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+,所以原不等式成立;例4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21,求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤- 证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21,由二次函数性质可证a1-a ≤b1-b ≤c1-c, 所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-,所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-,所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-,也就是证)1)(1()1)(1(b a b ba b a a b a ---≤---,只需证ba-b ≤aa-b,即a-b 2≥0,显然成立;所以命题成立;3．综合法例5 若a,b,c>0,求证：abc≥a+b -cb+c-ac+a-b; 证明:∵a+b -c+b+c-a=2b ＞0, b+c-a+c+a-b=2c ＞0,c+a-b+a+b-c=2a ＞0,∴a+b -c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.1当a+b-c,b+c-a,c+a-b 中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立. 2a+b-c,b+c-a,c+a-b 均为正时,则()()()()2a b c b c a a b c b c a b +-++-+-+-≤=同理()()()(),,a b c a c b a b c a a c b c +-+-≤+-+-≤三式相乘得abc ≥a+b -cb+c-ac+a-b例6 已知△ABC 的外接圆半径R=1,S △ABC =,a,b,c 是△ABC 的三边长,令S=,t=;求证：t>S;解：由三角形面积公式:1sin 2bc A .正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.所以bc ac ab aabc b abc c abc a b c 所以t>s;4．反证法例7 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0,且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0,求证a k ≤0k=1, 2,…, n-1.证明：假设a k k=1, 2,…,n-1 中至少有一个正数,不妨设a r 是a 1, a 2,…, a n-1中第一个出现的正数,则a 1≤0, a 2≤0,…, a r-1≤0, a r >0. 于是a r -a r-1>0,依题设a k+1-a k ≥a k -a k-1k=1, 2, …, n-1;所以从k=r 起有a n -a k-1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r-1>0.因为a n ≥a k-1≥…≥a r+1≥a r >0与a n =0矛盾;故命题获证;5．数学归纳法例8 对任意正整数n ≥3,求证：n n+1>n+1n.证明：1当n=3时,因为34=81>64=43,所以命题成立;2设n=k 时有k k+1>k+1k,当n=k+1时,只需证k+1k+2>k+2k+1,即12)2()1(++++k k k k >1.因为1)1(1>++k k k k ,所以只需证12)2()1(++++k k k k kk k k )1(1+>+, 即证k+12k+2>kk+2k+1,只需证k+12>kk+2,即证k 2+2k+1>k 2+2k. 显然成立; 所以由数学归纳法,命题成立;6.分类讨论法例9 已知x, y, z ∈R +,求证：.0222222≥+-++-++-yx x z x z z y z y y x 证明：不妨设x ≥y, x ≥z.ⅰx ≥y ≥z,则zy z x y x +≤+≤+111,x 2≥y 2≥z 2,由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222,原不等式成立; ⅱx ≥z ≥y,则zy y x z x +≤+≤+111,x 2≥z 2≥y 2,由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222,原不等式成立; 7.放缩法即要证A>B,可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >Bn ∈N +.例10 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证：.mc cm b b m a a +>+++ 证明：m b a m m b a b a m b a b m b a a m b b m a a ++-=+++=+++++>+++1mc cm c m +=+->1 因为a+b>c,得证; 8.引入参变量法例11 已知x, y ∈R +, l, a, b 为待定正数,求fx, y=2323yb x a +的最小值;解： 设k x y =,则k kly k l x +=+=1,1,fx,y==⎪⎪⎭⎫⎝⎛++23322)1(k b a l k 22333233333211111l k a k b k b k b k a k a b a l ≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+⋅++++ a 3+b 3+3a 2b+3ab 2=23)(l b a +,等号当且仅当y bx a =时成立;所以fx, y min =.)(23lb a + 例12 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1,求证：x 1+x 2+x 3+x 42≤4x 1x 2x 3x 4. 证明：设x 1=kx 2+x 3+x 4,依题设有31≤k ≤1, x 3x 4≥4, 原不等式等价于1+k 2x 2+x 3+x 42≤4kx 2x 3x 4x 2+x 3+x 4,即kk 4)1(2+x 2+x 3+x 4 ≤x 2x 3x 4,因为fk=k+k 1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31上递减, 所以k k 4)1(2+x 2+x 3+x 4=)21(41++kk x 2+x 3+x 4≤42313++·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. 所以原不等式成立;9.局部不等式例13 已知x, y, z ∈R +,且x 2+y 2+z 2=1,求证：222111zz y y x x -+-+-.233≥ 证明：先证.233122x xx ≥- 因为x1-x 2=3323221)1(2213222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤-⋅x x , 所以.233332)1(122222x x x x x x x =≥-=- 同理222331y yy ≥-,222331z z z ≥-, 所以.233)(233111222222=++≥-+-+-z y x z z y y x x 例14 已知0≤a, b, c ≤1,求证：111+++++ab cca b bc a ≤2; 证明：先证.21cb a abc a ++≤+ ①即a+b+c ≤2bc+2. 即证b-1c-1+1+bc ≥a.因为0≤a, b, c ≤1,所以①式成立; 同理.21,21cb a cab c c b a b ca b ++≤+++≤+ 三个不等式相加即得原不等式成立;10.利用函数的思想例15 已知非负实数a, b, c 满足ab+bc+ca=1,求fa, b, c=a c cb b a +++++111的最小值; 解：当a, b, c 中有一个为0,另两个为1时,fa, b, c=25,以下证明fa, b, c ≥25.不妨设a ≥b ≥c,则0≤c ≤33, fa, b, c=.111222ba cb ac c ++++++ 因为1=a+bc+ab ≤4)(2b a ++a+bc,解关于a+b 的不等式得a+b ≥212+c -c. 考虑函数gt=tc t 112++, gt 在+∞+,12c 上单调递增;又因为0≤c ≤33,所以3c 2≤1. 所以c 2+a ≥4c 2. 所以2)1(2c c -+≥.12+c 所以fa, b, c=b a c b a c c ++++++111222≥)1(211)1(2122222c c c c c c c -+++-+++ =1112222+++++c cc c c =21321112222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c c c c ≥231422c c ++-下证≥++-c c )11(320 ① ⇔+≥+⇔1332c c c 2+6c+9≥9c 2+9⎪⎭⎫⎝⎛-⇔c c 43≥0 .43≤⇔c因为4333<≤c ,所以①式成立;所以fa, b, c ≥25,所以fa, b, c min =.25 11.构造法例16 证明：≤;提示：构造出x,0到两定点的距离之差,并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值,从而结论得证;12.运用着名不等式1平均值不等式：设a 1, a 2,…,a n ∈R +,记H n =na a a n11121+++ , G n =n n a a a 21, A n =12,na a a n+++22212nn a a a Q n+++=则H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均;其中等号成立的条件均为a 1=a 2=…=a n .当n=2时,平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得A n ≤Q n ,再由G n ≤A n 可得H n ≤G n ,以下仅证G n ≤A n .1当n=2时,显然成立；2设n=k 时有G k ≤A k ,当n=k+1时,记k k k a a a a ++1121 =G k+1.因为a 1+a 2+…+a k +a k+1+k-1G k+1≥k k k k k k G a k a a a k 11121-++⋅+≥==+-++k kk k k k k G k G a a a k 22121112122 2kG k+1,所以a 1+a 2+…+a k+1≥k+1G k+1,即A k+1≥G k+1. 所以由数学归纳法,结论成立;例17 利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++ 思路分析左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换．．的方法. 略解ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 评述1利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221,可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时,可连续使用基本不等式.2基本不等式有各种变式 如2)2(222b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1.例18 已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥+b a 思路分析不等式左边是a 、b 的4次式,右边为常数81,如何也转化为a 、b 的4次式呢.略解要证,8144≥+b a 即证.)(81444b a b a +≥+ 2柯西Cavchy 不等式：设1a 、2a 、3a ,…,n a 是任意实数,则等号当且仅当k ka b i i (=为常数,),,2,1n i =时成立.证明：不妨设),,2,1(n i a i =不全为0,i b 也不全为0因为i a 或i b 全为0时,不等式显然成立.记A=22221n a a a +++ ,B=22221n b b b +++ .且令),,,2,1(,n i Bby A a x i i i i ===则.1,12222122221=+++=+++n n y y y x x x 原不等式化为.12211≤+++n n y x y x y x即≤+++)(22211n n y x y x y x 2222122221n n y y y x x x +++++++ .它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i == 从而原不等式成立,且等号成立的充要条件是).(BA k ka b i i == 变式1：若a i ∈R , b i ∈R , i=1, 2, …, n,则.)()()(212112∑∑∑===≥ni i ni i ni iib a b a 等号成立条件为a i =λb i ,i=1, 2, …, n;变式2：设a i , b i 同号且不为0i=1, 2, …, n,则.)(1211∑∑∑===≥ni ii ni i ni iiba ab a 等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .例19 设+∈R x x x n ,,,21 ,求证：.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-思路分析 注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 评述注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之.详解 ∵0,,,21>n x x x ,故由柯西不等式,得2111323212)(x x x x x x x x x x x x n nn n ⋅+⋅++⋅+⋅≥- 2121)(n n x x x x ++++=- ,∴.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-评述这是高中数学联赛题,还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.3排序不等式：又称排序原理设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211同序和jn n j j b a b a b a +++≥ 2211乱序和1121b a b a b a n n n +++≥- 逆序和其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号对任一排列n j j j ,,,21 成立.证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时若n j n =,则考虑1-n j ,且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ① 事实上,左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知,当n j n ≠时,调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11n j n ≠中n b 与n j 位置其余不动,所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后,接着再仿上调整1-n a 与1-n b ,又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211 ②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之,若它们不全相等,则必存在n j 及k ,使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.例20 .222,,,333222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证 思路分析中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.略解不妨设ab c c b a c b a 111,,222≥≥≥≥≥≥则, 则b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅乱序和c c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥逆序和, 同理b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅乱序和cc b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥逆序和 两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组abac bc c b a 111333≥≥≥≥及, 仿上可证第二个不等式.例21 设*21,,,N a a a n ∈ ,且各不相同,求证：.32131211223221na a a a n n ++++≤++++思路分析不等式右边各项221ia i a i i ⋅=；可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 略解设n n a a ab b b ,,,,,,2121 是的重新排列,满足n b b b <<< 21,又.131211222n>>>>所以223221232213232n b b b b n a a a a n n ++++≥++++.由于n b b b ,,21是互不相同的正整数,故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n nb b b b n 121132223221+++≥++++,原式得证. 评述排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式,,22a b b a b a ⋅+⋅≥+ 例22 在△ABC 中,试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA思路分析 可构造△ABC 的边和角的序列,应用排序不等式来证明之.详解 不妨设c b a ≤≤,于是.C B A ≤≤由排序不等式,得相加,得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π,得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ得.2π<++++c b a cC bB aA ②由①、②得原不等式成立.例23 设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列,求证.2211n b a b a b a nn ≥+++ 思路分析 应注意到),,2,1(11n i a a ii ==⋅略证 不妨设n a a a ≥≥≥ 21,因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤ ,又nn a a a b b b 1,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列,于是得到 例24 设正数c b a ,,的乘积1=abc ,试证：.1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a 略解 设xzc z y b y x a ===,,,这里z y x ,,都是正数, 则原需证明的不等式化为y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然 中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数,则此时结论显然成立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数,则z y x ,,是某三角形的三边长.容易验证)].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+ 评述 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a 证明：设1,1,1,1====xyz zc y b x a 则,且所需证明的不等式可化为23222≥+++++y x z x z y z y x , 现不妨设z y x ≥≥,则yx z x z y z y x +≥+≥+, 据排序不等式 得y x z x z y z y x +++++222yx z y x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y x z x z y z y x +++++222yx z x x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥ 两式相加并化简可得)(2222y x z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x 4切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21,n b b b ≤≤≤ 21 ,则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++证明：由题设和排序不等式,有n n b a b a b a +++ 2211=n n b a b a b a +++ 2211,132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ ,…… 将上述n 个不等式叠加后,两边同除以n 2,即得欲证的不等式.。
全国高中数学竞赛专题-不等式（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。
）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x aa -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+，因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+， 所以原不等式成立。
例 4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-， 所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-， 所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-， 也就是证)1)(1()1)(1(b a b b a b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
