2.1.1椭圆及其标准方程练习题及答案

椭圆及其标准方程课时作业1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为 ( )A ．25B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8 答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m . 又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4. ∴m ＝8.3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为 ( )A ．3B ．3或253 C.15 D.15或5153答案 B解析若焦点在x 轴上，则有⎩⎨⎧5>m ，5－m5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎨⎧m >5，m －5m ＝105.∴m ＝253.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又 e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16. ∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3答案 B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1， 即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263. 故点M 到y 轴的距离为263.7．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3)B ．(3，163) C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.8．(2013·温州五校)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53答案 D解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 2F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2.∴离心率e ＝c a ＝53，故选D.9．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·P A 1→取最小值时|P A 1→＋PF 2→|的取值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以 F 2(1,0)，A 1(－2,0)，设P (x ，y )， 则PF 2→·P A 1→＝(1－x ，－y )·(－2－x ，－y ) ＝(1－x )(－2－x )＋y 2.又点P (x ，y )在椭圆上，所以y 2＝3－34x 2，代入上式， 得PF 2→·P A 1→＝14x 2＋x ＋1＝14(x ＋2)2. 又x ∈[－2,2]，所以x ＝－2时，PF 2→·P A 1→取得最小值． 所以P (－2,0)，求得|PF 2→＋P A 1→|＝3.10．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案 A解析 由题意知∠F 1MF 2＝π2，|MF 2|＝c ，|F 1M |＝2a －c ，则c 2＋(2a －c )2＝4c 2，e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.11．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.12．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210 解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为2a ＋|A 1B |＝2×5＋62＋22＝10＋210.13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为______．答案 12解析如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则由题意，知△OCD 为直角三角形，且OC ＝b ，OD ＝a ，∠ODC ＝π3，∴CD ＝OD 2－OC 2＝a 2－b 2＝c (c 为椭圆的半焦距)，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.14．F 1，F 2是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．答案 23解析 由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝1，|BF 1|＋|BF 2|＝1，相加得 |AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2.∴|AF 2|＋|BF 2|＝2－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2－|AB |. ∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， ∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|.于是2|AB |＝2－|AB |，∴|AB |＝23. 15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2013·沧州七校联考)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1， ∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12.∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.17．(2013·潍坊质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解析 (1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2. 又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2. ∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)， ∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0. ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0. ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k 2<0，∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交． ∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．1．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解析 (1)由已知，点P (－2，1)在椭圆上， ∴有2a 2＋1b 2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点． ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②解得①②，得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上， ∴－2≤x 0≤2. ∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．解析 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )及b ＝1－e 2a 得直线F A 的方程为x －ae＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ ae 1－e 2＝0，∵原点O 到直线F A 的距离为22b ＝a 1－e 22，∴ae 1－e 21－e 2＋e 2＝a1－e 22，解得e ＝22.(2)∵F (－22a,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，且直线l ：2x ＋y ＝0经过圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)，∴F (－22a,0)也在圆O 上．从而(－22a )2＋02＝4，得a 2＝8，∴b 2＝(1－e 2)a 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.∵F (－2,0)与P (x 0，y 0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋2＝12，2·x 0－22＋y 02＝0.解得x 0＝65，y 0＝85.∴点P 的坐标为(65，85)． 3.如图，从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 与短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是右焦点，F 1是左焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；(3)设Q 是椭圆上任一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程．解析 (1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M ＝－c .代入椭圆方程，得y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .又∵k AB ＝－b a 且OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a .故b ＝c ，从而e ＝22.(2)设|QF 1|＝r 1，|QF 2|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ. ∵r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝4b 22r 1r 2－1＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0.(当且仅当r 1＝r 2时，等号成立)∵0≤cos θ≤1，故θ∈[0，π2]．(3)∵b ＝c ，a ＝2c ，∴设椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.∵PQ ⊥AB ，k AB ＝－22，k PQ ＝2，∴直线PQ 的方程为y ＝2(x －c )． 联立可得5x 2－8cx ＋2c 2＝0. ∴|PQ |＝[(8c 5)2－4×2c 25](1＋2)＝62c 5.又点F 1到PQ 的距离d ＝263c ，∴S △F 1PQ ＝12d |PQ |＝12×263c ×625c ＝435c 2. 由435c 2＝203，得c 2＝25，故2c 2＝50.∴所求椭圆方程为x 250＋y 225＝1.。

※高二文科班数学课堂学习单25※班级 姓名 小组2.1.1椭圆的定义及标准方程的应用一，学习目标:1、 熟练掌握椭圆的定义2、 正确利用焦三角形解题 二，自学导航：[ 1 ] 如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．再思考：若将“∠PF 1F 2＝120°”，改为“∠F 1PF 2＝60°”，其它条件不变，如何求解？ 在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的关系式；(2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF 1|，|PF 2|的关系式，然后求解得|PF 1|，|PF 2|，有时也根据需要，把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|等看成一个整体来处理．2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴的交点为A 1，A 2，P 是椭圆上任一点，F 是它的一个焦点，证明：以线段PF 为直径的圆与以线段A 1A 2为直径的圆相切．注意：判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系． 4，我生成的问题：三，我的收获：1，本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________．∠F 1PF 2的大小为________．3．若P 为椭圆x 29＋y 25＝1上任意一点，F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，求|PF 1|·|PF 2|的最大值．4．设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． ,五，作业※高二文科班数学课堂学习单25※班级 姓名 小组2.1.1椭圆的定义及标准方程的应用一，学习目标: 3、 4、二，自学导航：[ 1 ] 如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． [解] 由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335. 即△PF 1F 2的面积是353.若将“∠PF 1F 2＝120°”，改为“∠F 1PF 2＝60°”，其它条件不变，如何求解？ 解：由已知a ＝2，b ＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，∴4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3.[悟一法]在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式：(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的关系式；(2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|，|PF2|的关系式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理．2，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与x轴的交点为A1，A2，P是椭圆上任一点，F是它的一个焦点，证明：以线段PF为直径的圆与以线段A1A2为直径的圆相切．[巧思]判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．若M为PF的中点，则圆心距为|OM|.[妙解]由椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)知，以线段A1A2为直径的圆为x2＋y2＝a2.设F1是椭圆的另外一个焦点，点M是线段PF的中点，则|MO|＝12|PF1|＝12(2a－|PF|)＝a－12|PF|.即以线段A1A2为直径的圆(圆心为O)与以线段PF为直径的圆(圆心为M)的圆心距等于两圆的半径之差，于是两圆相切．,4，我生成的问题：三，我的收获：1，本节课的知识结构2，本节课我学到的方法3，本节课的易错点四，课堂检测：3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：∵焦距为4，∴2c ＝4，c ＝2 ∴m －2－(10－m )＝c 2＝4 ∴2m －12＝4，m ＝8. 答案：D4．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________．∠F 1PF 2的大小为________．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4知|PF 2|＝2， 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°5．若P 为椭圆x 29＋y 25＝1上任意一点，F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为________．解析：由题意知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，于是|PF 1|＋|PF 2|＝6，|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，|PF 1|·|PF 2|取最大值9. 答案：9[通一类]3．设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． 解：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. 根据直角位置不同，分两种情况：①若∠PF 2F 1＝90°，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＝|PF 2|2＋20|PF 1|＋|PF 2|＝6，∴有⎩⎨⎧|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72. ②若∠F 1PF 2＝90°，则⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2 ∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|的值为72或2.,五，作业一、选择题1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23， ∴c ＝ 3.又2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：B2．设集合A ＝{1，2，3，4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的个数是( )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个解析：由题意知m >n . 当m ＝2时，n ＝1当m ＝3时，n ＝1，2 当m ＝4时，n ＝1，2，3 ∴共有6个． 答案：A3．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的焦距为6，则m 的值为( )A ．7B ．7或25C ．25D.7或5解析：①设a 2＝16，b 2＝m ，∴c 2＝16－m ，∴16－m ＝9，∴m ＝7；②设a 2＝m ，b 2＝16，则c 2＝m －16，∴m －16＝9，∴m ＝25.答案：B4．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1D ．x 2＋y 24＝1解析：设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1. 答案：A 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________． 解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：546．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝17．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点， 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：48．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________．解析：由椭圆的方程可知F 1的坐标为(－3，0)， 设P (－3，y )，把P (－3，y )代入椭圆的方程中，得|y |＝12，即|PF 1|＝12.根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 故|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.答案：72三、解答题9.如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解：设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．10．在直线l ：x －y ＋9＝0上取一点P ，过点P 以椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为焦点作椭圆．(1)P 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F 1(－3，0)、F 2(3，0)．设点F 1(－3，0)关于直线l 的对称点F ′1的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＋3＝－1，x 0－32－y2＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－9，y 0＝6， ∴F ′1(－9，6)． 则过F ′1和F 2的直线方程为y －6－6＝x ＋93＋9， 整理得x ＋2y －3＝0联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y ＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝4， 即P 点坐标为(－5，4)(2)由(1)知2a ＝|F ′1F |＝180，∴a 2＝45. ∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.。

2. 2. 1椭圆及其标准方程基础巩固—、选择题1-椭圆2^ + 3/=12的两焦点之间的距离是( )A.2拆B. y［\0C. «D. 2^2［答案］D［详细分析］椭圆方程2^ + 3/=12可化为：f+ f =1,a2 = 6,胪=4, <? = 6-4 = 2, ：.2c = 2\fi.2.(2015-广东文)已知椭圆§ + 4=l(m>0)的左焦点为丹(-4,0),则〃7 =()A. 2B. 3C. 4D. 9［答案】B［详细分析］..•椭圆|| + 5=1(^>0)的左焦点为乩(-4,。

)，:.c = 4 = yl25-m2, :.m2 =9,m = 3,选B .3.(2015•海南中学期中考试)已知Fi,形是椭圆+ f =1的两个焦点，过点儿的直线交椭圆于点A, B,若|AB| = 5,则|时i| + |BFi| = ()A. 11B. 10C. 9D. 16［答案〕A［详细分析］由方程知«2=16,...2a = 8,由椭圆定义知，|*肝|奶| = 8, \BF!\ + \BF2\ =8, .\|AFi| + |AF2| + |BFi| + \BF2\ = |AFi| + |BFi| + \AB\ = 16,.•.|AFi| + |BFi|=ll,故选A.4.设定点Fi(0, - 3), F2(0,3),动点F满足条件|职| + |华| =。

+戋?>0),则点F的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段［答案］D9［详细分析］I« + ->6, AlPFil + \PF2\>6 =|F I F2|,.••选D.5.设P是椭圆法+书=1上一点,P到两焦点F5 的距离之差为2,则△尸皿是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形［答案］B［详细分析］由椭圆定义，知|PF I|+|PF2|=2“=8.又|PF I|-|PF2|=2,...|PF I|=5,\PF2\ = 3.又|HF2| = 2c = 2 寸16 - 12 = 4,△PF1F2为直角三角形.6.已知椭圆的两个焦点分别是Fi、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长FiP到Q, 使得\PQ\ = \PF2\,那么动点。

圆锥曲线标准方程复习题1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F =2a ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c ）2、椭圆定义的符号表述：1222MF MF a c +=>3、椭圆标准方程：12222=+by a x椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 一．椭圆专题：1.椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 面积最大值为12，则椭圆方程为（ ）A.221169x y += B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 221254x y += 2．焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.求椭圆的标准方程.3.椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于4.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m5.椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ）6.已知12F 、F p 为椭圆C 上一点，且7. 已知点P 在椭圆1244922=+y x 上，F 1、F 2是椭圆的焦点，且PF 1求（1）| PF 1 |·| PF 2 | （2）△PF 1F 2的面积8. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24`9.椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 610（2012新课标）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．4511.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．（2013新课标）12设椭圆C ：12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C上的点PF 2⊥F 1F 2，∠P F 1F 2=30。

2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。