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椭圆及其标准方程( 数学 优秀课件

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《椭圆及其标准方程》课件

《椭圆及其标准方程》课件

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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。

高中数学2.2.1椭圆及其标准方程(一)优秀课件

高中数学2.2.1椭圆及其标准方程(一)优秀课件
（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经 过点(- 3 ，5) .
22
解： x2 y2 1.
25 9
（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经 过点(- 3 ，5) .
22
解：
y2 x2 1.
10 6
(还有其他方法吗？)
跟踪训练
1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
思考：观察图，你能从中找出表示 a, b, c 的线段吗？
y
P
F1
O
F2
x
由图可知，| PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | 用类似的方法， 可得出它的方程为：
y2 x2 a2 b2 1
(a b 0)
②
由上述过程可知，椭圆上任一点的坐标都满足方程②，以方程②的
解(x, y)为坐标的点到椭圆两焦点F1(-c,0), F2(c,0)的距离之和为2a， 即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上. 由曲线与方程的关系可知， 方程②是椭圆的方程.
这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴 上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，这里 c2=a2-b2 .
( ) ( ) a2 - c2 x2 a2 y2 a2 a2 - c2
x2
y2
a2 a2 - c2 1
①
y
M(x, y)
F1
O
F2
x
由椭圆定义知：2a 2c,即a c, a2 - c2 0.
方程形式能否更简单？
设a2 - c2 b2 (b 0)
得:
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)

椭圆及其标准方程精选教学PPT课件

椭圆及其标准方程精选教学PPT课件
将 A，B 坐标代入得m＋34n＝1，
解得m＝14， n＝1，
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
[例 2] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2
为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，
求△ PF1F2 的面积． [思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝16.
答案：B
6．点 P 在椭圆x42＋y2＝1 上，且 PF1⊥PF2，求 S△ PF1F2. 解：∵点 P 在椭圆上∴|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16， 又 PF1⊥PF2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12， ∴|PF1||PF2|＝2，
5．椭圆1x62＋y72＝1 的左，右焦点分别为 F1，F2，一直线过
F1 交椭圆于 A，B 两点，则△ ABF2 的周长为 ( )
A．32
B．16
C．8
D．4
解析：∵a2＝16，a＝4，而由椭圆定义|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＞0)， 则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1.
a＋b＝8， (2)a2－b2＝16
⇒aa＋＋bb＝8a，－b＝16
⇒aa＋－bb＝＝82， ⇒ab＝＝53，.
∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．

椭圆及其标准方程 课件(共16张PPT)

椭圆及其标准方程 课件(共16张PPT)

生活中 的椭圆
问题:
(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? (2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又 是什么呢？
数学实验
同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无 弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运 动，能得到什么图形？
圆定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距（2c）
>2c |MF1|+|MF2|=2a.
M
F1 O
F2
思 你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
考
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
于x轴的直线交椭圆于C、D两点，则∆F2CD的周长
为__2_0_____
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
变式：若CD不垂直于x轴，则∆F2CD的周长有改变
吗？为什么？
2.求椭圆的方程：
问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤？
（1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程；
（4）化简方程； （5）证明（可省略）。
(2) 如何建立适当的坐标系？ y
M M
y
F2
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
解：如图，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)， F2(c,0).设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定义得：

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)

课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版

课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版

思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.

椭圆及其标准方程课件(公开课)

椭圆及其标准方程课件(公开课)

椭圆的参数方程是描述椭圆形状 和大小的一种数学表达方式，它 通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角 坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数 学问题时非常有用，因为它能够 直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不 同方式，它们之间可以进行相互转换 。
普通方程转换为参数方程则需要引入 参数变量，将其表达为参数方程的形 式。
参数方程转换为普通方程需要消去参 数变量，将其转化为标准的椭圆方程 形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程 被广泛应用于描述和分 析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程 可以用于描述物体的运 动轨迹，例如行星的运 动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程 可以用于设计各种机械 零件和机构，例如轴承 、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程 可以用于描述市场供需 关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常 数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器 的重要元件，如显微镜和 望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和 代数知识，通过设定椭圆上的点满足 的条件，经过一系列的推导和简化， 最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质 和参数设定等，有助于深入理解椭圆 的几何特征和代数表达。

椭圆及其标准方程ppt课件

椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足

课件13：2.2.1 椭圆及其标准方程

课件13：2.2.1 椭圆及其标准方程
P到两焦点的距离和为26；
3
(2)经过点P(1， )，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
2
解：(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y 2 x2
所以设它的标准方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝26，∴a＝13，又 c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10＋15＝1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为
椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积.
解：由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，
而在△F1PF2中，由余弦定理得，
方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1
A B
＝1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；
1 1
②当A<B，即 B<A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭
a ＋λ b ＋λ
y2 x2
y2
圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2
＋
a ＋λ
x2
2
＝1(a>b>0，λ>－b

椭圆及其标准方程(24张PPT)

椭圆及其标准方程(24张PPT)

知识生成
• (1)取一条细绳 • (2)把它的两端固定在图板上的两
点F1、F2 • (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在图板上
慢慢移动看看画出的图形
知识生成
思考1
（1）在画图的过程中，F1、F2的位置是固定的
还是运动的？
固定的
F11
（2）在画图的过程中，绳子的长度变了没有？
说明了什么？
|MF1|+|MF2|为定值
x2
y2
(4) 1
m2 m2 1
焦点坐标为： F1(0,1)，F2 (0,1)
应用拓展
2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
y
并且经过点P
5 ， 3 2 2
，求它的标准方程.
F1 O
解：因为椭圆的焦点在x轴上，设 由椭圆的定义知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
2a
椭得圆，的b焦2 x距2 为a22 yc，2 则a有2bF2 1(-c，0)、F2(c，0).
化 两边同又除设以Ma与2bF2得1，axF222的 距by22离的1.和(a等于b 2a0)
构建方程
焦点在 x 轴上,椭圆的 标准方程
y
M (x, y)
F1 O
F2
x
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当2a<2c时，即距离之和小于焦距时
知识生成
1.当2a 2c时，M点的轨迹是 椭圆 2.当2a 2c时，M点的轨迹是 线段F1F2 3.当2a 2c时，M点的轨迹是 不存在
知识深化
思考3
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为
10,则M点的轨迹是什么？

椭圆及其标准方程ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件

椭圆及其标准方程ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件

（3）
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第20页
已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆
心轨迹．
动圆满足条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外 切．依据两圆相切充要条件建立关系式，可求出动圆 圆心轨迹方程，进而拟定出轨迹图形．
灵活应用．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第26页
3．利用待定系数法拟定椭圆原则方程
求椭圆原则方程惯用待定系数法，要恰当地选择方 程形式，假如不能拟定焦点位置，那么有两种办法来 处理问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆 方程普通式．
(1)假如明确了椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上， 那么所求椭圆一定是原则形式，那么能够利用待定系
答案： D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第4页
2．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则
点 P 到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析： 由椭圆定义知点P到另一个焦点距离是10－ 2＝8.
答案： D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第5页
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26. (2)求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3， 1)两点．
第11页
解析： 设椭圆方程为xa22＋yb22＝1， ac＝ 22，故 ba22＝12.
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋ |AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故 a＝4.

2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课)

2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课)

即 : ( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2 两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
讲授新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)， 则椭圆方程为：
y x 2 1 2 a b
(a＞b＞0).
2
2
y


y
P( x, y)
F2

F2

P( x, y)
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1 2 a b
星系中的椭圆
——仙女座星系
M
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
x2 y 2 ∴设它的标准方程为: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b
y
∵ 2a=10, 2c=8
M
F1
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
o

椭圆及其标准方程第一课时公开课 PPT课件

椭圆及其标准方程第一课时公开课 PPT课件

x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
相 同 点
a、b、c 的关系 a2-c2=b2
(a>b>0
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就) 在哪个轴上
MF1 MF2 2a
F1F2 2c 2a 2c 0, 焦点
焦距
焦点
典例分析 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10， 则动点P的轨迹为（ A）
A变.椭式圆：B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是 8，则动点P的轨迹为（ B ） (2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是 7，则 动点P的轨迹为（D ）
椭圆及其标准方程
（第一课时）
袁红
一、椭圆的定义
动手试一试
1、取一条一定长的细绳。 2、把细绳的两端绑在两个图钉上，让图 钉固定在两点处(有一定距离)。 3、当绳长大于两钉之间的距离时，套上 笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是 什么曲线？
动画演示
结合实验及“圆的定义” 思考讨论一下，试着给 椭圆下个定义！
（0,-1）
(2)
x2 4

y2 2
1（2）x轴
(
2,0) (
2,0)
探究定P义={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）
不
图形
同
点
y M
F1 O F2
x
y
F2 M
O
x
F1
标准方程 焦点坐标
x2 + y2 = 1a > b > 0
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推导探究
x2 y2 + 2 = 1 a > b >| 0 方程:椭圆上的点满足 | PF2 | | PF + 2 1 a b 建 系 为定值，设为 化 列 设式 简 点 2a，则2a>2c 是椭圆的标准方程． y2 2 | PF1 |= x + c + y F1( -c , 0 )、F2P ( (c 0)) 焦点为： x ,, y
a 2 = b2 + c 2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
典型例题
1、已知椭圆的两个焦点坐标分别为（2,0），（2,0）， 并且经过点
5 3 - 。 ， 2 2
2 2 x y 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以社特的标准方程为： 1 2 2 a b
由椭圆的定义知：
2a
5 2 2
| PF2 |=
2 2 2 2 2 2
x - c + y 若以F1，F 所在的直线为 y轴，线 如何化简？ 2 段 F1F2的垂直平分线为 轴建立直角坐 0 y = 则： Fc x 2a y y , 0+ O x x x + c F+ c ,+ 2 1 -c
标系，推导出的方程又是怎样的呢？ 2 2 2 2
2
(- 3 )
2
2 2
2
5 2 2
2
2
3 - 2
2
2 10
所以， a 10
又因为c=2，所以， b a c 6 因此，所求的椭圆标准方程 为：
x2 y2 1 10 6
典型例题
2、在圆 x 2 y 2 4上任取一点P，过点P作X轴的 垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线 段PD的重点M的轨迹是什么？为什么？
推导探究
那如何建立适当的直角坐标系求椭圆标准方程呢？
建立直角坐标系的一般原则：尽可能使方程的形式简 单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴。) 回顾：求圆的标准方程是怎样建立直角坐标系的？ 类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，得出利用 椭圆的对称性建立直角坐系。
几何画板演示
概念形成与分析
椭圆的定义：平面上到两个定点F1、F2的距离
的和等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 P 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距。
F1 F2
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1）必须在平面内; （2）到两个定点F1、F2的距离的和等于定长； （3）到两个定点F1、F2的距离的和大于|F1F2 |。
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2
P x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
焦点坐标
相 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2 2 2 2 2 2 2 2
x - c + y 也是椭圆的标准方程． a - cx = a
2 2 2
O
x
2
2
a2
b2
推导探究
椭圆的标准方程的对比认识：
Y O M F2 X (c,0)
Y
M
O
F2(0 , c)
F1(0,-c) X
F1 (-c,0)
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b
概念形成与分析
1、为什么要求必须在平面内？
概念形成与分析
2、“到两个定点F1、F2的距离的和等于定 长”，这要求我们在“动手作图”中注意什 么？ 保持绳子始终绷紧 3、假如到两个定点F1、F2的距离的和等于|F1F2 |， 那会是怎样的轨迹？ 假如到两个定点F1、F2的距离的和小于|F1F2 |， 又会怎么样呢？
y2 x2 2 1( a b 0) 2 a b
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2；
（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪 一个轴上。
推导探究
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b

x + c
+ y = 2a -
x - c
+y
2 x2 y2 2 2 2 2 2 2 x + c + y = 4 a 4 a x c + y x c >0 + y2 P 方程: 2 + 2 = 1 a > b b(2 x， a 设P y )是椭圆上任意一点 2 2
F
a c + a 所在直线为 y = aF a(--c c 设 |F F-F |=2 ，则有 ， F2(c，0) 以 xcF 1 0) 、 x、 轴，线段 F1F2 1 2 1 2 F1( 0 , -c )、F2( 0 , c ) 焦点为： F1 设 a - c = b b > 0 轴建立直角坐标系． 得 的垂直平分线为 y 注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦 x y + = 1 a > b > 0 即： 点的中点为坐标原点 .
几何画板演示
x2 y2 1 4 所以，点M的轨迹为椭圆。
课堂小结
1、椭圆的定义；
☆要注意的三点
2、椭圆的标准方程；
☆椭圆标准方程的推导； ☆焦点分别在X,Y轴上的椭圆标准方程对比；
3、例题讲解；
作业：课后练习第一，四大题
几何画板演示
概念形成与分析
椭圆与圆的比较不同点 相同点 源自点一个（圆 心）距离
到圆心 的距离
常数 大于零
圆 椭圆
平面内 的一条 封闭曲 线
两个（焦点） 到两焦
点的距 离之和
大于焦距
推导探究
回顾：坐标法求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y） 表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程。
y
P M 解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为 x o , y o
yo 则， x x o , y 2
2 2 xo yo 4
x
又 点p( x o , y o )在圆 x 2 y 2 4上，
（1）
o
D
把x o x , y o 2 y代入方程 1中，得
课件制作：郑俊明
新课引入
新课引入
新课引入
新课引入 你能说说你在生活中还见过 哪些椭圆吗？
那椭圆的本质属性是什么呢？即我 们该怎样定义椭圆呢？
新课引入
动手操作
工具：纸板、细绳、图钉，铅笔 形式：两人合作进行 作法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图
钉固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上 ，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的 是什么样的一条曲线