第二节 数集与确界原理.

§２ 数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２） 点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)．三 确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）； ２（1）； ４ （２）、（４）； ５；。

数学分析1.2数集与确界原理第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

< p=""> (?∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(?∞,a)={x|xa}，(?∞, +∞) ={x|?∞<x< p="">设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U?(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U? (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U?+(a)和U?-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

1、能源计量网络图或统计分析表2、能源计量器具一览表（台帐）[包括进出用能单位、主要次级用能单位]3、用能单位能源计量组织机构图4、主要次级用能单位核定表5、主要用能设备核定表6、输入输出用能单位一览表7、能源计量器具配备率计算表三、企业提供软件资料8、能源计量管理制度[至少包含以下制度]●能源计量器具采购、验收、使用、维护保养制度●能源计量人员岗位职责●能源计量器具溯源和周期检定制度●能源计量数据采集制度●能源计量数据统计制度三、企业提供软件资料9、能源计量器具档案[仪器说明书、连续2个周期检定证书/校准报告、使用和维修记录、报废记录]10、量值传递/溯源图11、能源计量管理人员上岗证书12、能源计量器具周期检定计划表13、能源统计报表14、能源计量数据原始采集记录四、工作程序1、确定输入输出用能单位的能源种类2、核定主要次级用能单位3、核定主要用能设备4、画出能源计量网络图5、编制和整理软件资料6、配备能源计量器具7、能源计量器具周期检定表1 主要次级用能单位能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭焦炭原油成品油重油、渣油煤气、蒸汽热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/a t/a t/a m3/a GJ/a t/a GJ /a限定值10 100 40 80 100005 000 5 000 2 926注1: 表中a是法定计量单位中“年”的符号。

注2: 表中m3指在标准状态下，表2同。

注3: 2 926 GJ相当于100 t标准煤。

其它能源应按等价热值折算，表2类推。

表2 主要用能设备能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭、焦炭原油、成品油、重油、渣油煤气、蒸汽、热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/h t/h t/h m3/h MW t/h GJ/h限定值100 1 0.5 1 100 7 1 29.26注1: 对于可单独进行能源计量考核的用能单元（装置、系统、工序、工段等），如果用能单元已配备了能源计量器具，用能单元中的主要用能设备可以不再单独配备能源计量器具。

一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<点的空心邻域； (;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域； (;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域； (;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域； (;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；. ； max :S S 数集的最大值min:S S 数集的最小值后退 前进 目录 退出定义1 有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即 即 即[]102[]1,M x M M +=>+>取证 取 L = 1, {2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1 例2 2+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证 2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故 S 有下界. 因此 S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中 最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上 同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2 注1 由定义,下确界是最大的下界.注4 (ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明 是 的一个上界, S η比 小的数都不是 的上界,从而是最小的上界 S ηη界, 条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证 先证 sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明.0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 不一定有最小值, 例如 (0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4 .inf sup B A ≤且证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意 证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤ y . 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A ≤inf B.一数 x 都是 B 的下界.因此由确界原理, A 有上确 这样, sup A 又是 B 的一个下界,例5 ,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证 ,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有 ,sup S x ≤于是 .sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使 ,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且 ,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中 ,S x ∈必有 ,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在 ,0S x ∈使 0sup ,x S ε'>-因此 0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. .sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集 1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证 设 sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是 0001,.y B y x ε=∈<且因此 inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若 inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否 3. 在上确界的定义中， 00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为 00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为 00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。