实数集确界原理

第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。

实数的连续性公理证明确界存在定理定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。

小于或等于上类B中的每一个实数。

定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。

定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。

定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。

定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。

定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。

定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。

定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。

上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。

下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。

令B是全体上界组成的集合，即B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。

事实上，由有上界知B不空。

又单调上升，故，即A不空。

由A=R\B知A、B不漏。

又，则，使，即A、B不乱。

故A|B是实数的一个分划。

根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。

下证。

事实上，对，由于，知，使得。

又单调上升。

故当n>N时，有。

注意到，便有。

故当n>N时有，于是。

这就证明了。

若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。

设极限为r，则。

定理二证完。

定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。

设数集X非空，且有上界。

则，使得对，有。

又R是全序集，对，与有且只有一个成立。

故,有与有且只有一个成立。

故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。

课题：实数完备性问题与确界原理(一)引入主题数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数．为此，先来讨论实数.我们在中学数学中已经知道实数由有理数与无理数两部分组成,并知道实数有如下一些主要性质:1．实数集R 对加、减、乘、除 ( 除数不为0 ) 四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商 ( 除数不为0 ) 仍然是实数．2．实数集是有序的，即任意两实数 必满足下述三个关系之一：b a ,b a b a b a >=<,,.3. 实数的大小关系具有传递性，即若 ，则有 ．4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何 c b b a >>,c a >R ∈b a ,，若 ，则存在正整数 ，使得 .5．实数集0>>a b n b na >R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有有理数，也有无理数．6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点 O 作为原点，指定一个方向为正向( 通常把向右的方向规定为正向 )，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着1-1对应关系．提问: 在出现了无理数的情形下，你们对以上性质有什么疑问? ( 要善于提出疑问!请作简短讨论 )总结: 至少有三处存疑——1) 对于无理数（无限十进不循环小数），如何进行性质1中所说的四则运算？2）在性质2、3、4中出现了比较大小关系的不等式，然而如何对无理数进行大小比较呢？3）在性质6中所说的：“数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数”，为什么一定是这样? 为什么在数轴上除实数点外不再有别的空隙？( 这就是实数的完备性，是实数与有理数的根本区别.)这些问题正是我们数学专业的学人必须正视的、不可回避的根本问题, 也就是这一单元教学的主题.（ 其中第一个问题这里不去说它，有兴趣的同学可以去细心阅读课本第299-302页上的七、八两段. ）(二) 比较实数大小的一种方法先把有限小数( 包括整数 )也表示为无限小数，使得实数有统一的表示形式. 为此作如下规定：对于正有限小数n （ 其中 ，a a a a x L 210.=90≤≤i a ,,,2,1n i L =0,0a a n ≠为非负整数 ），记L L 9999)1(.210−=n a a a a x ;而当为正整数时，则记0a x =L 9999.)1(0−=a x .例如把 2 记为1.999 9 …，把2.001 记为2.000 999 9 …．对于负有限小数，则先将正数 -表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号.例如把 –8.06 记为 -8.059 999 ….y y 规定整数0表示为 0.000 0 …．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 ,并可用来定义两个实数的大小关系．定义1 给定两个非负实数L L L L n n b b b b y a a a a x 210210.,.==,其中为非负整数，．若有,00,b a 90,90,),2,1(,≤≤≤≤=k k k k b a k b a 为整数L L ,2,1,0,==k b a k k 则称 x 与 相等，记为 y y x = ; 若 或存在非负整数 ，使得00b a >l 11),,2,1,0(,++>==l l k k b a l k b a 而L ,则称 x 大于或小于x ，分别记为 x ＞ 或 ＜ x ．对于负实数 x 、 ，若按上述规定分别有 , 则分别称y y y y y y x y x −>−−=−与y x = 与 ．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．为了进一步能用有限小数来比较两个实数的大小, 需要引入实数的不足近似与过剩近似．)(x y y x ><或 定义2 设为非负实数．我们把有限小数L L n a a a a x 210.=n n a a a a x L 210.=， n = 0, 1, 2,L 称为实数x 的n 位不足近似 ；而把有限小数n n n x x −+=10， n = 0, 1, 2,L称为x 的 n 位过剩近似 。

1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。

3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。

5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

确界原理的证明在现代数学中，确界原理是一条基本的原理，也被称为实数完备性原理或连续性公理。

该原理指出，非空有上界的实数集合必定存在上确界，以及非空有下界的实数集合必定存在下确界。

为了证明确界原理，我们需要引入实数的基本性质和定义。

首先，我们需要了解实数的有序性质。

实数集合R中的任意两个不相等的元素a和b，必然满足以下三种情况之一：a<b，a=b，或者a>b。

这个性质被称为实数的全序性。

接下来，我们定义了实数集合中的上界和下界。

对于一个实数集合S，如果存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M，则M被称为S的上界。

类似地，如果存在一个实数m，使得对于集合中的任意元素s，都有s≥m，则m被称为S的下界。

有了上界和下界的概念，我们可以开始证明确界原理。

首先，我们考虑有上界的实数集合S。

假设S是一个非空的实数集合，且存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。

我们需要证明存在一个实数M'，满足M'是S的上确界。

我们分两步进行证明：第一步，我们需要证明存在一个实数M'，使得M'是S的一个上界。

根据S的定义，我们知道存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。

所以M是S的一个上界。

换句话说，M是一个满足S的上界定义的实数。

第二步，我们需要证明若M'是一个比M更小的上界，则M'不能是S的上确界。

假设存在一个实数M'，满足M'<M，且M'也是S的一个上界。

根据实数的全序性，我们可以找到一个介于M'和M之间的实数M"，使得M'<M"<M。

由于M"介于M'和M之间，所以对于集合中的任意元素s，都有s≤M"。

然而，这与M是S的上界的定义相矛盾。

所以假设不成立，即不存在一个比M更小的上界。

综上所述，我们证明了有上界的实数集合必定存在上确界。

确界原理证明区间套定理区间套定理也称闭区间套定理，是实数中的一个非常重要的定理，它为实数序列的收敛性提供了一个有效的判定准则。

在证明区间套定理之前，我们首先需要了解确界原理。

确界原理（或称最大最小值定理）是关于实数集合的重要定理，它告诉我们，非空有上界的实数集合必定有上确界，也就是存在一个最小的上界，记为sup(A)。

类似地，非空有下界的实数集合必定有下确界，记为inf(A)。

确界原理是实数的一个基本性质，是我们研究实数性质的基础。

现在我们来证明区间套定理。

假设我们有一列区间[a1, b1]，[a2, b2]，[a3, b3]，...，其中ai≤bi（i=1, 2, 3, ...）。

我们要证明存在一个实数x，它属于所有这些区间，也就是说对于任意的i，x属于区间[ai, bi]。

证明方法如下：1. 首先，我们观察到这些区间是递减的，也就是说对于任意的n，有bn≥bn+1、这是因为当n增加时，an是递增的，同时bn是递减的。

我们可以通过归纳法证明这一点：对于n=1，我们有b1≥b2，这是显然成立的。

假设对于n=k，有bk≥bk+1，那么我们可以证明对于n=k+1，有bk+1≥bk+2、根据区间的定义，bk≥ak+1，同时bk+1≥bk+1，所以bk≥bk+1、因此这个性质成立。

2. 接下来，我们证明这些区间是有界的。

由于这些区间是递减的，所以对于所有的n，有ak≤ak+1≤...≤an≤bn≤bn-1≤...≤b1、也就是说，[a1, b1]是一个紧区间，而[a1, b2]，[a1, b3]，...等等都是[a1,b1]的子集，所以它们也是紧区间。

根据闭区间套定理，这些区间都有交集。

3. 最后，我们要证明这些区间的交集不为空。

我们假设交集为空，也就是说对于一些i，[ai, bi]与[ai+1, bi+1]没有非空交集。

根据确界原理，这意味着bi≤ai+1，而这与条件ai≤bi相矛盾。

因此，这个假设是错误的，这些区间的交集不为空。

⽤实数域的闭区间套定理证明确界原理
闭区间套：
设[a n,b n]为实数域内的闭区间，n∈N+,且a n⊃a n+1
lim n→∞(a n−bn)=0
则，存在唯⼀⼀个实数ξ∈所有闭区间[a n,b n]
确界定理：设A为实数域内数集，且有上界（下界），则必有上确界（下确界）。

⽤实数域内的闭区间套定理证明确界定理在实数域内成⽴
证明:
设A的全体上界的集合为B设a_{1}\in A,b_{1}\in B因为B为A的全体上界集合，可知a_{1}<b_{1}考察区间[a_{1},b_{1}]的中点c，若c\in A,则设a_{2}=c否则,c必然属于B,设b_{2}=对[a_{2},b_{2}]，重复上述步骤，得到[a_{3},b_{3}]以上步骤⼀直重复，得到闭区间套
[a_{n},b_{n}]由闭区间套定理，存在唯⼀⼀个实数\xi属于所有闭区间[a_{n},b_{n}].假设存在x\in A,有x>\xi,则可建⽴闭区间区间[\xi,x]，可以将上述过程继续下去，$
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实数完备性理论，理论基础及英应用实数完备性是指六大定理的等价性。

它的六大定理如下：1、确界原理2、单调有界原理3、区间套定理4、有限覆盖定理5、聚点定理（紧性定理）6、Cauchy收敛准则。

其中任何一个命题都可推出其余的五个命题一、认识实数完备性1、确界原理（1）确界原理：设S为非空数集。

若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

（2）上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足（i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界；（ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界；下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足：（i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；（ii）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；2、单调有界原理定理：在实数系中，单调有界数列必有极限3、区间套定理（1）区间套定义：设闭区间列{ [a（n）,b（n ）]}具有如下性质：(i) [a（n+1）,b（n+1）]包含于[a（n）,b（n ）]，n=1,2,3，......；(ii) Lim( a（n）-b（n))=0,则称{[an ,bn ]}为闭区间套，或简称区间套。

(2)区间套定理：如果{[an ,bn]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an ,bn]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。

且liman=lim bn=ξ。

4、开覆盖（1)开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S.(2)有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]5、聚点（1）聚点定义：设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,也可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点。

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。