第三章勾股定理

初二（上）数学知识点第三章——勾股定理1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方∵ ∴例1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是8 cm 2、10 cm 2、14 cm 2，则正方形D 的面积是_______cm 2．（2）如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a ，b ，c 三个方形的面积和为（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．例2：(1)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝3，则AC ＝_______．BC ＝______．(2)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝3，则AC ＝_______．BC ＝______. (3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC:AB=3:4，AB ＝25，则AC ＝_______．BC ＝______. (4).在Rt △ABC 中, AB ＝6，AC ＝8，则BC= .例3：（1）如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，AD ⊥BC 于D ，求AD 长．（2）已知△ABC 中，AB ＝13， AC ＝15，AD ⊥BC ，且AD=12，求BC 的长.例4：（1）在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，BC ＝6, 求AC 和BC ． （2）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，BC ＝3，求AB 和AC ．（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，求斜边的长． （4）等腰三角形ABC 的面积为12，底上的高AD 为4，求它的腰长 （5）等腰三角形的周长是20 cm ，底边上的高是6 cm ，求它的面积.例5：（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，DE 垂直平分AB ，求BE 的长. （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AE 平分∠CAE ，ED ⊥AB,求BE 的长. （3）如图，折叠长方形纸片ABCD ，是点D 落在 边BC 上的点F 处，折痕为AE ，AB=CD=6， AD=BC=10，试求EC 的长度.2、勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形∵ ∴例1：每个小正方形的边长为1.(1)求ΔABC 的面积 (2)判断ΔABC 的形状例2：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，BC ＝13 cm ，CD ＝12 cm ，∠A ＝90°，求四边形ABCD 的面积．例3：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，AD ＝9，BD ＝1，CD ＝3试问：△ABC 是直角三角形吗？为什么？例4：如图，在△ABC 中，AB=17 cm ，BC=16 cm ，BC 边上的中线AD=15 cm ，求AC3、勾股数： 常见勾股数有：3、 、 ；5、 、 ；6、 、 ；7、、；8、、；9、、；例：下列命题中，是假命题的是( )．A ．在△ABC 中，若∠B ＝∠C ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形4、补充：①长方体盒子内最长的线段d；=②长方体盒子外小虫爬行的最短路线d；=其二、例1：如图，一块长方体砖宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面的高BD＝8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？例2：底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A．10 B．8C．5 D．4例3：如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．例4：如图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有一支12㎝的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为 m5、勾股定理的应用（1）一轮船以16 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1e 例1：／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 m，消防车的云梯最大升长为13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（3）一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12 m处，树折断之前有_______m．例2：如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端B下降至B'，那BB'等于( )A．3m B．4 m C．5 m D．6 m例3：（1）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少米？（2）学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2米，他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，绳下端离开旗杆底部6米，则旗杆的高度是多少米？例4：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A ”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B 与“车速检测仪A ”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．例5：铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少千米处？例6：如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1 km ，BD ＝3 km ，CD ＝3 km 现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD 边上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？作业选做：1、如图，圆柱高8 cm ，底面半径2 cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行最短路程( 取3)是_______cm ．2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 到点C 的距离为5，如果一只蚂蚁要D沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，那么它需要爬行的最短距离是 ( ) A ．5 B ．25 C ．15 D ．353、如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G 处，若AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,蜘蛛走过的路程是多少厘米？4、在长和宽都是3、高是8的长方体纸箱的外部．一只蚂蚁从顶点A B 点，那么它所行的最短路线的长是_________．5、甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里／时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里／时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距_______海里6、已知DC=6m ，AD=8 m ，∠ADC=90°，BC=24 m ，AB=26 m ．求图中阴影部分的面积．7、某开发区有一空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝4 m ，AD ＝12 m ，CD ＝13 m ，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？8、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？9、A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125 km的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动。

CBA第三章. 勾股定理寒假复习 济宁学院附属中学李涛考点一、勾股定理推倒证明 考点二、勾股定理性质 考点三、勾股定理性质的逆应用勾股定理复习（三）一、选择题 1. 在△中，，，，则该三角形为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来 的（ ） A.1倍 B.2倍 C.3倍D.4倍3.下列说法中正确的是（ ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+ B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C.在Rt △中，∠°，所以222c b a =+ D.在Rt △中，∠°，所以222c b a =+4.如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（ ） A.313 B.144 C.169 D.255.如图，在Rt △中，∠°，cm ，cm ，则其斜边上的高为（ ）A.6 cmB.8.5 cmC.1360cm D.1330cm 6. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶127. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C ．7D ．5或78. 如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）A ．32cmB ．42cmC ．52cmD ．62cm9、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，以AC 为直径的圆恰好过点B ．若AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）A BC第4题图第5题图B169255cmA ．100π24-B ．100π48-C ．25π24-D ．25π48-11．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1612．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）A ．90B ．100C ．110D ．121二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上） 13. 如图，字母B 所代表的正方形的面积为 ．14．等腰△ABC 的腰长AB 为10 cm ，底边BC 为16 cm15. 如图，在Rt △中，，平分，交于点，且，，则点到的距离是________.16.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1 m ），却踩伤了花草.13题 14题 15题 16题 17. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．③'④'④③②'②①第17题图 第19题图 第20题图第21题图DCBA18．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 19．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米. 20．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ．21、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元．22．如图，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为5 cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm ．三、解答题（本大题共7小题，共55分，解答应写出文字说明，•证明过程或演算步骤） 23. 图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．24若△三边长满足下列条件，判断△是不是直角三角形，若是，请说明哪个角是直角.（1）1,45,43===AC AB BC ;（2）a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,.25. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m 处，已知旗杆原长16 m ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？26. 如图所示，90B OAF ∠=∠=︒，BO=3 cm ，AB=4 cm ，AF=12 cm ，求图中半圆的面积．27. 如图所示的一块草坪，已知AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39 m ，BC=36 m ，求这块草坪的面积．28．如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？29. 如图，一艘货轮在B 处向正东方向航行，船速为25 n mile/h ，此时，一艘快艇在B 的正南方向120 n mile 的A 处，以65 n mile/h 的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？30. 如图所示,某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km ，又往北走1.5km ，遇到障碍后又往西走2km ，再折回向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏。

勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（ ）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______； （2）如果68a b ==，，则c =_______； （3）如果512a b ==，，则c =________； （4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为 ． 【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（ ） 【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（ ） 【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】 下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】 已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】 在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】 若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________； 【例6】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】 下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】 已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】 若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】 如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7【例12】 如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】 如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（ ）【例14】 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】 如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】 已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】 如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】 如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论； （2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】 阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】 已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于 ．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为 ．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是 ．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（ ）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。

勾股定理的证明一．勾股定理1．如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222a b c+=．2．勾股定理的变形：22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．二．勾股定理的证明1．如下图，()22142ABCDS c a b ab==-+⨯正方形，所以222a b c+=．HGFEDCBA cba 2．如下图，2()()112222ABCDa b a bS ab c+-==⨯+梯形，所以222a b c+=．cb ac baEDCBA一．勾股定理逆定理1．如果三角形的三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222a b c+=”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．二．勾股数1．满足222a b c+=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41．题模一：证明例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理．【答案】见解析【解析】∵△ABC、△BMD、△DHE、△AGE是全等的四个直角三角形，∴AE DE BD AB===，1809090EAG BAC EAG AEG∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，∴四边形ABDE是正方形，∵90AGE EHD BMD ACB∠=∠=∠=∠=︒，∴90HGC∠=︒，∵GH HM CM CG b a====-，∴四边形GHMC是正方形，∴大正方形的面积是2c c c⨯=，大正方形的面积也可以是：2222214222ab b a ab a ab b a b⨯+-=+-+=+（），∴222a b c+=，即在直角三角形中，两直角边a b（、）的平方和等于斜边c（）的平方．例1.1.2如图所示，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S⊙O，矩形PDEF的面积为S矩形PDEF．（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；（2）求OPDEFS S 矩形的最小值；（3）当OPDEFSS 矩形的值最小时，过点A 作BC 的平行线交直线BP 与Q ，这时线段AQ 的长与m ，n ，k 的取值是否有关？请说明理由．【答案】 见解析 【解析】 解法一：（1）据题意，∵a+h=-n m ，ah=k m∴所求正方形与矩形的面积之比： 2()a h ah+=2()n m k m-=2n mk （1分） ∵n 2-4mk≥0，∴n 2≥4mk，由ah=km知m ，k 同号， ∴mk＞0 （2分）（说明：此处未得出mk ＞0只扣（1分），不再影响下面评分） ∴2n mk ≥4mk mk=4（3分） 即正方形与矩形的面积之比不小于4．（2）∵∠FED=90°，∴DF 为⊙O 的直径．∴⊙O 的面积为：S ⊙O =π(2DF )2=π24DF =4π(EF 2+DE 2)． （4分）矩形PDEF 的面积：S 矩形PDEF =EF•DE． ∴面积之比：OPDEFSS 矩形=4π(EF DE+DE EF)，设EF DE=f ．OPDEFSS 矩形=4π(f+1f)=4π[(f )2+(1f )2-2f -1f+2f1f]=4π(f -1f)2+2π．（6分）∵(f -1f )2≥0，∴4π(f -1f)2+2π≥2π，∴f =1f，即f=1时（EF=DE ），OPDEFSS 矩形的最小值为2π（7分）（3）当OPDEFSS 矩形的值最小时，这时矩形PDEF 的四边相等为正方形．过B 点过BM⊥AQ，M 为垂足，BM 交直线PF 于N 点，设FP=e ，∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN=EF，∴BN=FP=e． 由BC∥MQ，得：BM=AG=h ． ∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP， ∴△FBP∽△ABQ． （8分）（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分） ∴FP AQ =BNBM，（9分） ∴e AQ =eh，∴AQ=h （10分） ∴AQ=242n n mkm -±-（11分）∴线段AQ 的长与m ，n ，k 的取值有关． （解题过程叙述基本清楚即可） 解法二：（1）∵a，h 为线段长，即a ，h 都大于0，∴ah＞0 （1分）（说明：此处未得出ah ＞0只扣（1分），再不影响下面评分） ∵（a-h ）2≥0，当a=h 时等号成立． 故，（a-h ）2=（a+h ）2-4ah≥0．（2分） ∴（a+h ）2≥4ah，∴2()a h ah+≥4．（﹡） （3分）这就证得2()a h a h+-≥4．（叙述基本明晰即可）（2）设矩形PDEF 的边PD=x ，DE=y ，则⊙O 的直径为22x y +． S ⊙O =π(222x y +)2（4分），S 矩形PDEF =xyOPDEFSS 矩形=22()4x y xyπ+=4π[22(2)2x xy y xy xy ++-]=4π[2()x y xy +-2]（6分）2()x y xy+≥4由（1）（*）． ∴4π[2()x y xy +-2]≥4π(4-2)=2π．∴OPDEFSS 矩形的最小值是2π（7分）（3）当OPDEFSS 矩形的值最小时，这时矩形PDEF 的四边相等为正方形．∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足．∵△AGB∽△FEB，∴ABBF =AGEF．（8分）∵△AQB∽△FPB，ABBF =AQPF，（9分）∴ABBF =AGEF=AQPF．而EF=PF，∴AG=AQ=h，（10分）∴AG=h=242n n mkm-+-，或者AG=h=242n n mkm---（11分）∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关．（解题过程叙述基本清楚即可）题模二：勾股定理例1.2.1如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】C【解析】∵AC=2243+=5=25，BC=2241+=17，AB=4=16，∴b＞a＞c，即c＜a＜b．故选C．例1.2.2有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．5B．7C．5或7D．不确定【答案】C【解析】本题考查勾股定理的使用．此题要分两种情况进行讨论：①当3和4为直角边时；②当4为斜边时，再分别利用勾股定理进行计算即可．①当3和4为直角边时，第三边长为22345+=②当4为斜边时，第三边长为22437-=，故选C．例1.2.3在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．365B．1225C．94D．334【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=22AC BC+=15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ ABC=12AC•BC=12AB•CD，∴CD=AC BCAB=91215⨯=365，则点C到AB的距离是365．故选A例1.2.4已知直角三角形的一直角边等于35cm，另外两条边的和为49cm，求斜边长．【答案】斜边长为37cm【解析】设直角三角形的斜边长为x cm，则另一直角边为()49x-cm，根据勾股定理可列方程：()2223549x x+-=，解得37x=随练1.1勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b-a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b-a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2证明：连结____．∵S五边形ACBED=____．又∵S五边形ACBED=____．∴____．∴a2+b2=c2．【答案】（1）BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a（2）S△ ACB+S△ ABE+S△ ADE=12ab+12b2+12ab，（3）S△ ACB+S△ ABD+S△ BDE=12ab+12c2+12a（b-a）（4）12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b-a）【解析】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，∵S 五边形ACBED =S △ ACB +S △ ABE +S △ ADE =12ab+12b 2+12ab ， 又∵S 五边形ACBED =S △ ACB +S △ ABD +S △ BDE =12ab+12c 2+12a （b-a ）， ∴12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b-a ）， ∴a 2+b 2=c 2．随练1.2 如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的周长为=_____，面积为_____【答案】 62610+；36【解析】 该题考查的是勾股定理和三角形面积计算．由勾股定理得：2239310AB =+=，226662BC =+=，1.2239310AC =+=， 2. 所以△ABC 的周长为62610AB AC BC ++=+，1199662393622ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=△随练1.3 若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）A ． 10B ． 27C ． 10或D ． 10【答案】C【解析】 该题考查的是勾股定理．（1）当6和8是直角边时，斜边10==；（2）当8是斜边时，另一直角边==；故选C ．随练1.4 若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（ ）A ． 10B ．C ． 10或D ． 10【答案】C【解析】 该题考查的是勾股定理．（1）当6和8是直角边时，斜边10==；（2）当8是斜边时，另一直角边==；故选C ．随练1.5 设a 、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是____A ． 1.5B ． 2C ． 2.5D ． 3【答案】D【解析】 本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用．由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab 的值．∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5=6，∴a+b=3.5，①∵a、b 是直角三角形的两条直角边，∴a 2+b 2=2.52，②由①②可得ab=3，故选D ．随练1.6 已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB c =，BC a =，AC b =．如果26c =，:5:12a b =，求a 、b 的值．【答案】 10a =，24b =【解析】 ∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，26c =，:5:12a b =，可设5a x =，则12b x =，∴()()22251226x x +=，解得2x =，∴10a =，24b =．作业1 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m 的路，却踩伤了花草．A ． 5B ． 4C ． 3D ． 2【答案】B【解析】 该题考查的是勾股定理．根据直角三角形勾股定理两直角边长的平方和等于斜边长的平方，可得斜边长为2251213+=，因此少走的路为512134+-=．所以本题的答案是B ．作业2 如图，点E 在正方形ABCD 内，满足90AEB ∠=︒，6AE =，8BE =，则阴影部分的面积是（ ）E ACB D A ． 48B ． 60C ． 76D ． 80【答案】C 【解析】 211100687622ABE ABCD S S S AB AE BE ∆=-=-⨯⨯=-⨯⨯=正方形阴影部分．故选C ．作业3 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm ，8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为cm．【解析】∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．作业4如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于____．【答案】2π【解析】S1=12π（2AC）2=18πAC2，S2=18πBC2，所以S1+S2=18π（AC2+BC2）=18πAB2=2π．故答案为：2π．作业5学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：_____________，你的理由是______________________________________________________________________【答案】不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为7【解析】本题需要分类讨论．当4为直角边时，第三边的长为22345+=；当4为斜边时，第三边的长为22437-=．因此答案为5或7．作业6如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．【答案】5连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点，∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD ，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE 丄DF ，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB 与△FDC 中，∵EBD C BD CD EDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EDB≌△FDC（ASA ），∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42，∴EF=5．答：EF 的长为5．作业7 操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a 、b 、c （如图①），分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图②③的形状，图②中的两个小正方形的面积2S 、3S 与图③中小正方形的面积1S 有什么关系？你能得到a 、b 、c 之间有什么关系？【答案】 三个小正方形的面积满足231S S S +=，其边长满足222a b c +=【解析】 分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2、图3的形状，观察图2、图3可发现，图2中的两个小正方形的面积之和等于图3中的小正方形的面积，即231S S S +=，这个结论用关系式可表示为222a b c +=．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。