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第5章虚功原理与结构位移计算5.1 复习笔记一、应用虚力原理求刚体体系的位移1．推导位移计算一般公式的基本思路推导过程的基本思路是“化整为零和积零为整”：把结构的整体变形分解为局部变形，应先用刚体体系的虚力原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
2．结构位移计算概述（1）计算结构位移的目的①验算结构的刚度；②为超静定结构的内力分析打下基础。
（2）产生位移的原因①荷载作用；②温度变化和材料胀缩；③支座沉降制造误差。
3．应用虚力原理求刚体体系的位移——单位荷载法例如，图5-1-1（a）中的静定梁，支座A向上移动一个已知距离c，现在拟求B点1的竖向位移 。
图5-1-1位移状态已给定，力系则可根据我们的意图来虚设。
在拟求位移∆的方向设置单位荷载，根据平衡条件，可得支座A 的反力R1F ＝ba-，图5-1-1（b ）中的虚设平衡力系在实际刚体位移上作虚功，虚功方程为可以求解出 1=b c a∆在拟求的位移∆方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求出与1c 相应的支座反力R1F 。
这个解法称为单位荷载法。
4．支座移动时静定结构的位移计算 归纳求解步骤如下：（1）沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力；（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，建立虚功方程R 10K K F c ∆⋅+∑⋅=（3）由虚力方程，解出拟求位移二、结构位移计算的一般公式——单位荷载法1．局部变形时静定结构的位移计算举例图5-1-2（a）所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。
试求A点的竖向位移Δ。
图5-1-2解：图5-1-2（a）中的实际位移状态可改用图5-1-2（b）来表示。
这里，在B处加铰，把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态。
为了求未知位移Δ，可虚设力系如图5-1-2（c）所示。
这里，在A点沿拟求位移Δ的方向虚设单位荷载。
此外．在铰B处还必须虚设一对弯矩根据平衡条件可求出均数值如下令图5-1-2（c）中的平衡力系在图5-1-2（b）中的实际位移上作功，可写出虚功方程如下解得由此看出，位移Δ与截面相对转角θ成正比，它们之间的比例系数正好就是虚设单位荷载在该截面引起的弯矩。
第2章 结构的几何构造分析2.1 复习笔记一、几何构造分析的几个概念1．几何不变体系和几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的，该体系称为几何不变体系，否则称为几何可变体系。
2．自由度（1）表述1一个体系运动时能产生的独立运动方式的个数称为自由度的个数。
（2）表述2一个体系运动时可以独立改变的坐标数目为自由度的个数。
注：凡是自由度的个数大于零的体系都是几何可变体系。
3．约束与多余约束（1）约束：减少体系自由度的装置。
一个支杆相当于一个约束；一个铰相当于两个约束；一个刚结点相当于三个约束。
（2）多余约束：不能减少体系自由度的约束。
一个体系有多个约束时，只有非多余约束对体系的自由度有影响。
4．瞬变体系与常变体系（1）一个几何可变体系发生微小的位移后，在短暂的瞬时转换成几何不变体系，称为瞬变体系；（2）如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
注1：瞬变体系仍属于可变体系，是可变体系的特例。
可变体系包含瞬变体系与常变体系。
注2：一般来说，在任一瞬变体系中必然存在多余约束，即瞬变体系既是可变体系，又是有多余约束的体系。
5．瞬铰两根不平行的链杆连接两个刚片，两杆的延长线交于点O，则两杆的约束相当于在O 点起一个铰的作用，这个铰称为瞬铰。
（1）在某刚片发生微小转动时，此刚片的瞬时运动与此刚片在O点用铰与另一刚片相连接时的运动情况完全相同；（2）在刚片运动的过程中，与两根链杆相应的瞬铰也随着在改变。
6．无穷远处的瞬铰（1）两根平行的链杆连接两个刚片，瞬铰在无穷远处。
此时，刚片可以有瞬时平动。
（2）射影几何中关于∞点和∞线的四点结论：①每个方向有一个∞点；②不同方向有不同的∞点；③各∞点都在同一∞线上；④各有限点都不在∞线上。
二、平面几何不变体系的组成规律——铰结三角形规律1．三个点之间的连接方式整体，且没有多余约束。
2．一个点与一个刚片之间的连接方式一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
第3章静定结构的受力分析一、判断题1.图3-1所示桁架杆件AB、AF、AG内力都不为零。
（）[厦门大学2007研]图3-1【答案】错【解析】本题为静定结构，根据静定结构的性质：在荷载作用下，如果仅靠结构某一局部就能够平衡外荷载时，则仅此局部受力，其余部分没有内力。
知杆件AB、AF、AG内力都为零。
2.图3-2所示桁架，各杆EA为常数，仅AB杆有轴力，其他杆的轴力为零。
（）[天津大学2007研]图3-2【答案】错【解析】本题是一对平衡力作用在超静定部分ADBC 上，故整个超静定部分ADBC 都会产生内力。
倘若本题为静定桁架，则只有AB 杆受力。
3.若某直杆段的弯矩为0，则剪力必定为0；反之，若剪力为0，则弯矩必定为0。
（ ）[中南大学2005研]【答案】错【解析】由弯矩和剪力的微分关系Q dMF dx可知，剪力为零，但弯矩不一定必为零。
比如，受纯弯曲的杆段。
二、选择题1.如图3-3所示结构在所示荷载作用下，其支座A 的竖向反力与支座B 的反力相比为（ ）。
[郑州大学2010研、哈尔滨工业大学2008研]A ．前者大于后者B．二者相等，方向相同C．前者小于后者D．二者相等，方向相反图3-3【答案】B【解析】直接对C点列力矩方程∑M C＝0即可判断。
2.图3-4所示结构，当高度h增加时，杆件1的内力（）。
[南京理工大学2012研]A．增大B．减小C．不确定D．不变【答案】D【解析】根据K形结点的特性，因结构是对称的，荷载也是对称的，所以各杆件的内力是对称的，所以杆件1、2均为零杆，与结构高度h增加与否无关。
图3-43.图3-5所示对称三铰拱截面C的轴力已知为F NC＝48kN（压），则矢高f应等于（）。
[清华大学2003研]A．4m B．4.5m C．4.8m D．5m图3-5【答案】D【解析】先求得B支座竖向反力为50kN，后求出相应简支梁跨中弯矩为240kN·m，再用相应简支梁跨中弯矩除以轴力（水平推力）48kN，于是得到矢高f应等于5m。
第9章静定结构总论9.1 复习笔记本章对静定结构的相关知识进行了归纳总结。
介绍了几何构造分析与受力分析之间的对偶关系，归纳了零载法的详细求解步骤，分析了空间杆件体系的几何构造，阐述了空间杆件体系与平面杆件体系的联系，介绍了静定结构的受力特性，比较了静定结构不同结构形式的优缺点。
一、几何构造分析与受力分析之间的对偶关系几何构造分析与受力分析之间的对偶关系是指“各部件的自由度总数”与“全部约束（包括多余约束）数”之间的相互关系，二者之间的差值为计算自由度W。
根据表9-1-1，体系的W值不同，其静力特性也不同。
表9-1-1 具有不同计算自由度W的结构特性二、零载法（见表9-1-2）表9-1-2 具有不同计算自由度W的结构特性三、空间杆件体系的几何构造分析1．空间结构的概念空间结构是指各杆件轴线不在同一平面内的结构，它分为空间刚架结构和空间桁架结构，这两种空间结构的区别见表9-1-3。
表9-1-3 空间刚架和空间桁架的区别2．空间杆件体系的基本组成规律空间杆件体系有三种组成方式：四个铰连接、一个铰与一个刚体连接、一个刚体与另一个刚体（基础）连接。
不同组成方式的连接方式、限值条件见表9-1-4，此外，表9-1-4还分析了空间杆件体系与平面杆件体系之间的联系。
表9-1-4 空间杆件体系的连接方式3．空间铰接体系的计算自由度W设体系上结点的总数为j，链杆与支杆总数为b。
空间中一个点具有3个自由度，一根链杆或支杆约束结点一个自由度，因此体系多余自由度个数W表示为W＝3j－b根据表9-1-1可判断不同W值下结构的静力特性。
四、静定空间刚架1．空间刚架问题当组成刚架的杆件轴线与外荷载不在同一平面内时，这类问题称为空间刚架问题。
2．内力计算空间刚架有3个位移自由度、3个转动自由度，因此杆件截面具有6个内力分量（F N、F Q1、F Q2、M X、M Y、M Z），可由6个平衡方程分别求解，其计算方法与平面刚架体系相同。
第12章 超静定结构总论
12.1 复习笔记
一、广义基本结构、广义单元和子结构的应用
1．力法中采用超静定基本结构
（1
）图12-1a 所示为一个三跨门式刚架，七次超静定，使用图12-1b 中所示的基本结构，包括三个超静定单元，基本未知力只有两个。
图12-1
力法方程简化为
（2）求系数和自由项时，必须使用超静定单元的内力公式和位移公式，可由有关设计手册查出。
（3）在力法中使用超静定的基本结构可以减少力法基本方程中的未知量个数。
2．位移法中采用复杂单元
（1）位移法的基本思路是把结构分解成单元，再由单元的刚度公式装配成结构的刚度公式，建立位移法基本方程。
（2）通常作法的区别
①减少了未知数的个数；
②需要的单元种类增加不仅仅是等截面直杆。
（3）在选择这种基本结构时，必须先得出复杂单元的刚度方程，才能按基本结构进行位移法计算。
3．子结构的应用
应用子结构进行分析的过程
（1）将整个结构划分为几个子结构；
（2）分别确定子结构的刚度或柔度特性；
（3）将子结构进行整体分析。
二、分区混合法
1．分区混合法的基本未知量
——混合选用多余约束力和结点位移
（1）分区混合法的特点
把结构分为两部分，一部分是按力法分析，另一部分按位移法分析，兼有力法和位移法的双重优点。
（2）分区的基本未知量
图12-2
①a 区按照力法以多余约束力X 1为基本未知量；
②b 区按照位移法以结点角位移△2作为基本未知量。
2．分区混合法的基本体系——a 区去多余约束，b 区附加约束
（1）基本体系如图12-2b 所示
①在a 区去掉与支座反力X 1相应的多余支杆，代以可任意变化的变量力X 1；
②在b 区增设与结点转角△2相应的附加约束，使△2成为可任意变化的变量位移。
（2）图12-2b 中的基本结构兼备了力法基本结构和位移法基本结构的双重优点①a 区的各杆内力是静定的，可由平衡条件直接确定；
②b 区的各杆都分隔成各自单独变形的直杆单元，单元杆端内力也可由转角位移方程和固端内力公式确定。
3．分区混合法的基本方程——由变形协调条件和平衡条件混合组成
分区混合法的基本方程包含两类条件
（1）变形协调条件—沿X 1方向的位移D 1应为零；
（2）静力条件—与△2相应的附加约束力矩F 2应为零。
4．基本方程中的四类系数和两类自由项
（1）四类系数
①主系数——此即力法中的柔度系数；
11δ②主系数——此即位移法中的刚度系数；
22k ③副系数——单位位移引起的位移；'
12δ11∆=④副系数——单位位移引起的约束力。
'12k 1
1X =（2）两类自由项
①D 1P ，是荷载作用下在基本结构中引起的位移；
②F2P，是荷载作用下在基本结构中引起的约束力。
5．分区混合法的典型方程
（1）δ是a区与力X相应的柔度矩阵；
（2）K是b区与位移△相应的刚度矩阵；
（3）δ′和K′是两个交叉的影响系数矩阵；
（4）δ′是由位移△引起的沿力X方向的位移影响系数矩阵；
（5）K′是由力X引起的沿位移△方向的约束力影响系数矩阵。
三、超静定结构的受力特性
1．多余约束力的存在及其影响
（1）静定结构有一个约束破坏时，就成为几何可变体系，相对来说超静定结构有较强的防护能力；
（2）局部荷载在超静定结构中的影响范围，一般比在静定结构中大，也正因为超静定结构中内力分布范围较广，其内力分布相对均匀些，内力的峰值也小些。
（3）由于多余约束的存在，超静定结构的刚度和稳定性都比静定结构有所提高。
2．各杆刚度比值的改变对内力分布的影响
（1）由上式可以看出，如果各杆的刚度比值有改变，各系数和自由项之间的比值也随着改变，因而内力分布也改变。
（2）由于超静定结构的内力状态与各杆刚度比值有关，因此在设计超静定结构时，须事先假设截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力来重新选择截面。
而静定结构则无此问题。
3．温度改变和支座移动等因素引起的内力状态
（1）基本方程
（2）相应的内力叠加
（3）生产应用
①设计结构时要防止、消除或减轻自内力的不利影响；
②主动的利用内力来调节超静定结构的内力。
四、结构计算简图续论
1．影响计算简图的主要因素
（1）结构的重要性—对重要的结构应采用比较精确的计算简图；
（2）设计阶段—在初步设计阶段可使用粗糙的计算简图，在技术设计阶段再使用比较精确的计算简图；
（3）计算问题的性质—一般说来，对结构作静力计算时，可使用比较复杂的计算简
图；对结构作动力计算和稳定计算时，由于问题比较复杂，要使用比较简单的计算简图；
（4）计算工具—使用的计算工具愈先进，采用的计算简图就可以愈精确。
计算机的应用使许多复杂的计算简图得以采用。
2．将空间结构分解为平面结构
（1）取平面单元计算
（2）沿纵向和横向分别按平面结构计算
①进行纵向计算；
②进行横向计算。
（3）综合为平面结构计算
①把各类平面结构合成一个总的平面结构，并算出每类平面结构所分配的荷载；②按所分配的荷载分别计算每类平面结构。
（
4）计算时采用的假设
①假设楼板在自身平面内的刚度为无穷大；
②假设刚架和剪力墙都是对称布置。
2．交叉体系的荷载传递方式及其简化
交叉梁系是一种常见的交叉体系，板壳结构有时也简化为交叉体系。
（1）矩形楼板的简化计算
图12-3。
