数学人教版八年级下册蚂蚁爬行的最短路程问题 教学设计

北师大版八年级数学第一章1.3.蚂蚁怎样走最近甘肃省敦煌三中王菊萍教学目标教学知识点：能运用勾股定理和勾股定理的逆定理来解决简单的实际问题.能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.教学重点难点：重点：探索应用勾股定理及其逆及理，解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学过程1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近？A BAB出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π取3)．（1）同学们可将自己准备好的长方形纸片做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).3.老师演示多媒体动画蚂蚁走的最短路线，（小组交流讨论看看各组结果是否正确）4.课堂交流，各组同学代表发言交流，并把各组的讨论结果展示出来，5.老师分析归纳指导：我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②、做一做：教材14页。

课题学习最短路径问题教学过程设计一）创设情景引出课题学生完成导学单上两个复习题（1）作对称点的问题（2）蚂蚁怎么爬路程最短的问题。

师生共同评价后引出课题。

设计意图：通过复习，引导学生回忆作对称点的方法，“两点之间，线段最短”的结论，转化的数学思想，为后面的学习打下良好的基础。

二）引导探究合作交流1、出示实际问题：七年级课后练习河流变短问题设计意图：以实际问题形式来学生的探究学习兴趣。

2、两点不共面问题：正方体表面两点不共面，蚂蚁爬行最短路径，用一张白纸折成圆柱体解决表面的最短路径问题。

设计意图：让学生归纳当两点不共面时如何解决最短路径问题。

3、两点同侧类问题：（1）老师先抛出两点异侧的问题。

牧马人从家出发，到一条笔直的河边去饮马，然后到草地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？设计意图：分析两点在一线同侧类最短路径问题的解决方法：4、小组合作完成糖在内部的圆柱体中蚂蚁吃糖问题。

设计意图：在合作完成过程中让学生进一步体会最短路径作法，提高了学生的逻辑思维能力。

老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性。

5、与数学几何图形相联系，利用几何图形本身的对称性，解决最短路径问题。

小结：学生回顾前面的探究过程，小结各种最短路径问题怎么解决？设计意图：让学生养成反思的好习惯，积累解决问题的方法，再次体会转化的数学思想。

三）巩固训练学以致用学生独立完成导学单上两个练习题，之后师生共同交流完成。

设计意图：让学生进一步巩固解决此类最短路径问题的方法，达到举一反三的作用，同时也培养了学生独立思考能力。

四）课堂小结回顾反思学生各抒己见，相互补充谈收获。

设计意图：学生谈收获，可提高他们的归纳概括能力及语言表达能力。

五）完成作业能力提升设计意图：再次应用本节课所学的方法去解决生活中的此类最短路径问题，提升学生能力，完成教学目标。

课题学习最短路径问题教学学情分析本节课是生活中经常遇到的最短路径问题，从一开始简单的河流变短问题，让学生从实际的生活中得到数学的知识，体验发现问题的乐趣，激发学习的兴趣，再次联系八年级数学轴对称问题，安排实际的问题让学生独立解决，加深知识的运用，在学习素材的选取和学习活动的安排上，更突出从学生的生活实际出发，使学生感受到数学就在自己身边，学习数学是为自己所用，是必要的，从而调动学习数学、探讨数学知识的欲望。

s教学案例丨责任编辑李诗E-mail :czssjls@ 基于问题的探索型数学实验教学一以“蚂蚁怎样爬行，路线最短”教学设计为例■陆祥雪初中数学实验是通过动手、动脑学数学的 一种学习活动,是学生运用有关工具，在数学思 维参与下进行的一种以人人参与的实际操作为 特征的数学验证或探究,是帮助学生直观地理 解数学知识，感悟数学思想和积累基本活动经 验的辅助课程，是初中阶段国家数学课程的一 种补充。

初中数学实验的类型，概括起来有三 种:验证型、理解型、探索型。

验证型实验，可以 帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想 的正确性，从而更直观地获得对数学知识的理 解;理解型实验，是以学生理解数学概念、定理 等数学知识为目的的数学实验;探索型实验，是 以探索未知结论为目的的数学实验。

探索型数 学实验更能培养学生的抽象、推理、模型等数学 核心素养，与物理、化学、生物等实验获取经验 爭实和检验科学假说、理论真理性的目的具有 相似性,能够与这些学科融通。

下面以“蚂蚁怎 样爬行，路线最短”为例,谈谈基于问题的探索 型数学实验教学。

一、教学过程设计1.问题呈现，解法质疑。

问题1:如图1,圆柱的底面直径为6厘米，高 为10厘米，妈蚁在圆柱表面爬行，从点4爬到点 B的最短路程是多少厘米?(结果保留一位小数）图1图2学生可能出现的解答有：解答1.圆柱的侧面展开图如图2,蚂蚁爬行 的最短路线是线段A S(简称为路线1),由题意可 得M C=lO(厘米），fiC=3i r(厘米）。

由勾股定理，得：」10:+ (377))2«13.74(厘米)。

解答2.蚂蚁沿图1中的折线C—S(简称 为路线2)爬行，路线最短，最短路程为：10+6=16 (厘米)。

综合解答1和解答2,可知蚂蚁爬行的最短 路程是13.74厘米。

由学生的解答，教师引导学生提出问题2: 是否存在沿路线2爬行，路程最短的情况？怎样 来探究这个问题？设计意图：从教育的角度看，把数学实验作 为一种教学方法引入课堂,有独特的教育功能和 价值。

最短路径问题解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。

A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_________dm．2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？(2)求出总费用是多少？课后作业1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）A.2B.4C.6D.82、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。

以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。

（1）求∠BAC的度数。

（2）若AC=2，求AD的长。

6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。

教学设计授课教师单位授课时间课题勾股定理与平面展开图—最短路径问题教材版本人教版课型专题课教学目标1. 能把几何体表面展开成平面图形，找到最短路径。

2. 通过展开图形，构建直角三角形，运用勾股定理求出最短路径。

教学重点勾股定理来解决最短路径问题教学难点正方体长方体展开后有多条路线及如何分类观察从而归纳整理教法讲授法、讨论法、演示法（几何画板）学法合作探究学习教学准备制作正方体、长方体、圆柱等教具.教学过程设计意图复习引入1.有一只闯荡几何世界的蚂蚁，它想从点A到点B处吃食物，蚂蚁怎样走最近，为什么？两点之间，线段最短.2.在几何体不同平面上的两点如何寻找最短路径？带着问题我们来学习：勾股定理与平面展开图—最短路径问题活动一、圆柱中的最短路径问题例1 如图，一圆柱底面周长为6cm,高为4cm，一只蚂蚁从点A爬到对角的点B处吃食物，想一想，蚂蚁怎么走最近？最短路程是多少？（学生独立思考，举手回答，教师板演）C用“小蚂蚁”的问题引起学生兴趣，复习“两点之间，线段最短”并思考不同平面上的两点如何确定最短路径，从而引出课题。

解：如图将圆柱侧面展开，由题意得AC ＝4，BC ＝3 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∴ AB ＝=+22AB AC 53422=+ 答:蚂蚁爬行的最短路程是5cm. 练习1.有一圆形油罐底面圆的周长为6m ，高为4m ，一只蚂蚁从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 米.2. 如图，有一圆柱油罐，已知油罐的底面圆的直径是4米，高是5米，要从点A 起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A 的正上方点B ，则梯子最短需 米.（π取3）归纳：求立体图形中最短路径的一般步骤：1. 展 立体—平面2. 找 起点、终点3. 连 两点之间，线段最短。

4. 求 勾股定理5. 答 答题活动二、正方体中的最短路径问题例2 如图，是棱长为1的正方体，蚂蚁从点A 到点B 处吃食物，问怎样爬行路径最短，最短路程是多少？它有几种最短爬行方法？（注：每个面均能爬行）（学生准备正方体，小组探究蚂蚁爬行的最短路线，由小组代表展讲）活动三、长方体中的最短路径问题通过学生的合作探究，先确定最短路径。

最短路径问题【目标导航】1.理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”. “饮马问题”，“造桥选址问题”.考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.2.解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用. 【合作探究】探究一：（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，直线l 是一条河，A 、B 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站M ，向A 、B 两地供水，要使所需管道M A +M B 的长度最短，在图中标出M 点．（3）如图3，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段C D 表示．试问：桥C D 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥C D 的位置．画出示意图，并用平移的原理说明理由．变式1．在边长为2㎝的正方形ABC D 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝．变式2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为__________第2题 第3题 第4题 变式3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为_________变式4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是A D 和AB 上的动点，则B M+MN 的最小值是____．变式5．一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，则PC ＋PD 的最小值________，此时P 点的坐标为________． 探究二：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线.A DE P BC 第5题O x y B D A C P变式1.如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 坐标为A （-1，3），B （-4，2），设M ，N 分别为x 轴，y 轴上一动点，问是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ）使四边形AB MN 的周长最短？并求m ，n 的值．第1题 第2题 第3题 第4题变式2.如图，在△ABC 中，D 、E 为边AC 上的两个点，试在AB ，BC 上各取一个点M ，N ，使四边形DMNE 的周长最短．变式3.如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）．若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a = 时，四边形AB D C 的周长最短． 变式4.如图，抛物线23212--=x x y 与直线y=x -2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为 ． 探究三：1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 2.如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽A D 平行且大于A D ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）3.如图所示，是一个圆柱体，A BCD 是它的一个横截面，A B=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为 ．4.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 ．5.有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为 ．6.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是 ．y O x P D B (40)A ， (02)C ，【课后练习】1.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．2.如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； （2）平移抛物线y=ax 2，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C （-2，0）和点D （-4，0）是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′C D 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．3. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB=5，DE =1，BD =8，设CD=x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式224(12)9x x ++-+的最小值．小结：上式中，原式=22222(12)3x x ++-+，而22a b +的几何意义是以a 、b 为直角边的直角三角形斜边长．【拓展提升】 1．阅读材料： 例：说明代数式221+(3)4x x +-+的几何意义，并求它的最小值．解：2222221+(3)4(0)1+(3)2x x x x +-+=-+-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度 之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则PA=PA ′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA ′+PB 的最小值，而点A ′、B 间的直线段距离最短，所以PA ′+PB 的最小值为线段A ′B 的长度．为此，构造直角三角形A ′CB ，因为A ′C =3，CB =3，所以A ′B =32，即原式的最小值为32． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式22(1)1+(2)9x x -+-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点 A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标） （2）代数式2249+1237x x x +-+的最小值为 ．2.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； (2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6 B C D -44((2)①图)4 x2 2 A ′8-2 O -2 -4 y 6 B ′ CD -4 4 A ′′((2)②图)4 x2 2 A ′8 -2 O-2 -4 y6 B ′ C D -4 4 A ′′B ′′。

教学篇•教学反思现举例分析如下：爬台阶爬行问题：如图所示，学校教学楼前的台阶上，每一级的长、宽和高分别等于5dm ，3dm 和1dm ，在台阶的某层一端B 点上有一只蚂蚁，想到A 点吃食物，那么这只蚂蚁从B 点出发，沿着台阶面爬到A 点，怎么样爬路线最短呢？AC B A B135思路分析：在台阶上爬，学生刚开始思考起来有难度，需要转化为我们初中生熟悉的平面几何问题来解决。

我们不妨假设台阶上铺上红地毯，现在把红地毯平铺到一个平面上，再来研究计算AB 之间的距离，这样理解起来更为直接。

解：将台阶展开，如下图，因为AC =3×3+1×3=12，BC =5，所以AB 2=AC 2+BC 2=169，所以AB =13（dm ），所以蚂蚁爬行的最短线路为13dm .答：蚂蚁爬行的最短线路为13dm .绕圆柱体爬行问题：如图所示，桌子上有一个圆柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的底面圆的周长为16cm ，高为7cm ，一只蚂蚁从距离底面1cm 的A 处爬行到对角的B 处吃食物，那么小蚂蚁怎样爬行路线最短呢？最短路线是多少？AB CAB 分析：显然在圆柱体上找最短路径，想象起来比较困难，首先学生在曲面上画图比较困难，在圆柱体的表面画出最短路径比较困难，因此应该考虑把圆柱体的侧面展开成一个矩形，把曲面转化为平面，从而进行求解。

解答：展开图如图所示，题目变成解直角三角形ABC 的问题，利用勾股定理可以很容易解得AB 的最小值为10cm.拓展训练：桌子上有一个圆柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的高为12cm ，底面周长10cm ，在杯口内壁离杯口2cm 的A 处有一滴蜂蜜，一只小蚂蚁在和点A 相对的玻璃杯的外壁上的点B 处，点B 距离桌面为2cm ，小蚂蚁沿着玻璃杯从B 处到A 处去吃蜂蜜，怎样爬行路线最近呢？最短路径是多少？A BB AA ′解答：展开图如图所示，做A 点关于杯口的对称点A ′。

则BA ′=52+122√=13cm 绕圆锥体爬行问题：如图所示，圆锥体的底面半径为5cm ，母线长为20cm ，一只小蚂蚁若从底面圆周上一点A 点出发，绕圆锥体的侧面爬行一周又回到A 点，怎样爬行路线最近呢？最短路径是多少？A解：由题意知，可求底面周长等于10πcm ，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长,解得n =90°,圆锥的侧面展开图为圆心角为90°的扇形，连接AA ′，两条母线和AA ′构成等腰直角三角形，根据勾股定理很容易求得小蚂蚁爬行的最短的路线。

勾股定理的应用——蚂蚁怎样走最近教学目标：知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。

能力目标：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

情感目标：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。

教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。

教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学准备：纸板做的正方体、长方体和圆柱，幻灯片。

教学过程：一、蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律一、操作猜想：1、如图，蚂蚁在边长为10cm的正方体A处嗅到了放置在正方体的B处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？2、如图,长方体的高为12cm,底面是边长为8cm的正方形.这只蚂蚁从顶点A 出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？3、如图, 长方体的长、宽、高分别为7cm、5cm、10cm. 这只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？4、如图 在一个底面半径为4cm,高为18cm 的圆柱表面，一只在A 处的蚂蚁嗅到了放置在的B 处位置上的面包，于是它想从A 处爬向B 处，想一想，蚂蚁怎么走最近？( 取3)（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A →A ′→B ； (2)A →B ′→B ；(3)A →D →B ； (4)A —→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.二、归纳总结1、正方体2、底面为正方形的长方体3、长宽高不同的长方体4、圆柱体三、练习反馈：1、如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是______________2、如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是______________3、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为_____________4、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是___________5、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为___________6、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_____．7、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约_____cm8、如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是_________．9、如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）四、小结：这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。

（四）蚂蚁怎样走最近知识点：1、 确定几何体上的最短路线（重点）在平面上寻找两点的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短。

2、 利用勾股定理和逆定理判断垂直（难点）方法总结：1、 立体图形——平面图形——直角三角形问题2、 在解决最短线路问题时，常常与两点间的距离线段最短等知识结合。

3、 勾股定理是求线段长度的主要方法。

典型例题：题型1、最短线路问题例1、如图：一个圆柱的底面周长为16cm ，高为6cm ，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程为cm ．例2、如图，已知正方体的棱长为2cm （1）求一只蚂蚁从A 点到F 点的最短路程。

（2）如果蚂蚁从A 点到G 点，求蚂蚁爬行的最短路程。

（3）如果蚂蚁从A 点到CG 边中点M ，求蚂蚁爬行 的最短路程。

变式训练1、如图，已知圆柱体底面直径AB 为2cm ，高为4cm（1）求一只蚂蚁从A 点到F 点的最短路程。

（2）如果蚂蚁从A 点到BF 边中点H ，求蚂蚁爬行的最短路程。

E A BCFG DH ●MFA●B M2、有一个长宽高分别为2cm ，1cm ，3cm 的长方体，有一只小蚂蚁想从点A 爬到点C 1处，则它爬行的最短路程为________cm.3、长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm.如果用一 根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所 用细线最短需要＿＿＿cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕 n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.4.根长24 cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（ ） A ．5≤h ≤12 B ．5≤h ≤24 C ．11≤h ≤12 D ．12≤h ≤24题型2、数学与生活例1、如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？例2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是 这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁， 想到B 点去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶面AB C DL2320BAB A6cm3cm 1cm爬到B 点的最短路程是_______dm ？ 变式训练1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A 、李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km ．（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置； （2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元题型三、探究创新题例1、为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光.如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼.已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？（结果精确到1米.732.13≈，414.12≈）变式练习:1、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .问题：如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)2：如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；3：若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.例2．阅读下列材料，并解决后面的问题．★阅读材料：我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一．我中古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．请运用“勾股定理”解决以下问题：（1）如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中s1=400，s2=225，则s3= ．（2）如图二，是一个园柱形饮料罐，底面半径=8，高=15，顶面正中有一个小园孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是．注：罐壁厚度和顶部园孔直径忽略不计．（3）如图三，所示的直角三角形中，AB=6．则s1+s2的值=．注π值取3．（4）如图四的圆柱，高=5厘米，底面半径=4厘米，在园柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的路程是多少？小聪是这样思考的：①将该园柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中中标出B点的位置并连接AB．②小聪认为线段AB的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是厘米．注：π值取3．（5）如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是厘米．作业：1、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为2如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是3、如图，圆锥的母线长OA 为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A 处，在相对母线OC 的中点B 处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为4、如图所示的圆柱体中底面圆的半径是π2，高为2，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是 （结果保留根号）5、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为6、如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是7、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为8、如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是9、如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E 在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）10、如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC 上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是11、第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，请你计算OA9的长12、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP ＝160m。

《探索蚂蚁爬行路线》教学设计教学目标：1、能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决“蚂蚁觅食”等类型的实际问题。

2、在运用勾股定理及勾股定理逆定理解决实际问题的过程中，经历从“实际问题”到“数学模型”的建立过程。

3、在运用勾股定理及勾股定理解决实际问题的过程中，感悟数学的“转化思想”，分类“讨论思想”，体会勾股定理的文化价值，增强应用意识及合作学习意识。

学习重点：运用勾股定理解决实际问题学习难点：经历从““实际问题”到“数学模型”的建立过程教学过程：问题情境：如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π取3）提出问题：（1）蚂蚁可行的路线可能不止一条，你能找出几种出来？（2）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱表面画出几条路线，你觉得那条路最短呢？（通过动手作模型，培养学生的动手、动脑能力，解决“学生空间想像能力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难题，从而突破难点）解答思路：①蚂蚁行走路线1：A’ d B A’ d BA蚂蚁走过路线长度：AA’+d=12+6=18②蚂蚁行走路线2B蚂蚁走过路线长度：AA’+πd/2=12+9=21③蚂蚁行走路线3O O B蚂蚁走过路线长度：AO+OB④蚂蚁行走路线4B蚂蚁路线长度：AB ===15归纳一下，蚂蚁走过路线长度：①AA’+d=18②AA’+πd/2=21③AO+OB④AB=15对于路线3由于O点位置不确定所以无法计算具体结果，但可以根据三角形两边之和大于第三边的性质判断AO+OB＞AB，从而可以判断最短路线应该是路线4最后，我们判断蚂蚁选择路线4路程最短[设计意图]：“蚂蚁觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神。

勾股定理应用专题——蚂蚁爬行的最短路程问题学习目标：1.根据勾股定理解决实际问题；2.学会转化思想专题一：以“圆柱”为载体的最短路程问题例1．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿侧面爬行，要从A点爬到B点，则最短路程为多少厘米？变式1：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿侧面爬行，C在B处正下方1cm 处，要从A点爬到C点，则最短路程为___________厘米？变式2：有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，问：所建梯子最短需多少米？专题二：以“长方体”为载体的最短路程问题例2．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别是2cm，1cm,4cm，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它所行的最短路线的长是多少？BAC2cm1cm4cm变式：如图长方体的长为2cm ，宽为2cm,高为4cm,点B 离点P 的距离是1cm, 一只蚂蚁从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点P ，那么它所行的最短路线的长是多少？思维拓展：1. 如图①，圆柱形玻璃杯的高为12 cm ，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为____ cm.2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是多少？3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？P2 2 41。

初中数学试卷金戈铁骑整理制作蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上边的 B 点处，它爬行的最短路线是（）A．A? P? B B．A ? Q? B C．A? R? B D．A? S? B解：依据两点之间线段最短可知选 A ．应选 A．2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从极点 A 出发沿着正方体的表面面爬到极点 B 的最短距离是.第 6 题解：如图将正方体睁开，依据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．AB=22125 ．8. 正方体盒子的棱长为2， BC 的中点为M ，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为.第 7 题解：将正方体睁开，连结M、D1，依据两点之间线段最短，12BMD=MC+CD=1+2=3 ，1DD12MD1= MD2322213 A．5．如图，点 A 的正方体左边面的中心，点 B 是正方体的一个极点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短行程是（）解：如图， AB= 1 2 21210 ．应选C．9．以下图一棱长为3cm 的正方体，把全部的面均分红3×3 个小正方形．其边长都为1cm，假定一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用秒钟．解：因为爬行路径不独一，故分状况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确立最短的路线．（1）睁开前方右边由勾股定理得AB==cm；（2）睁开底面右边由勾股定理得AB==5cm ；因此最短路径长为 5cm，用时最少： 5÷2=2.5 秒．长方体10．（ 2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是。

解：将长方体睁开，连结 A 、 B，依据两点之间线段最短，AB==25 ．11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角极点C1处（三条棱长以下图），问如何走路线最短？最短路线长为.D1C1A1D B1 1 CA4B2解：正面和上边沿 A 1B 1睁开如图，连结AC 1，△ABC 1是直角三角形，∴AC 1= AB2242242325 BC1 1 218．（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和 4cm，高为 5cm．若一只蚂蚁从P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈抵达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．解：∵P A=2×（4+2 ） =12， QA=5∴P Q=13 ．故答案为： 13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长 ND=10cm ， CD 上的点 B 距地面的高BD=8cm ，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面睁开图 2 上，连结AB ，则 AB 的长即为 A 处到 B 处的最短行程．解：在 Rt△ABD 中，因为 AD=AN+ND=5+10=15， BD=8 ，因此 AB 2=AD 2+BD 2=15 2+8 2=289=17 2．因此 AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在 AB 中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 D处爬到 C 处去吃，有无数种走法，则最短行程是多少？(2)此长方体盒子 ( 有盖 ) 能放入木棒的最大长度是多少 ?AD.C30B81212．以下图：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A 点爬到 B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。

课题：蚂蚁怎样走最近【学习目标】:1、掌握和应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

2、经历和探索勾股定理及其逆定理的应用过程，学会定理的实际应用方法。

3、培养数形结合的思维，体会古代科学与文明，感受勾股定理的应用价值。

【重点】:掌握勾股定理及其逆定理，准确运用勾股定理及其逆定理解题。

【难点】:准确运用勾股定理及其逆定理。

预习案（10分钟）【使用说明与学法指导】：1.利用10分钟时间仔细认真的看课本P22--24，然后独立自主的完成导学案.2.将预习中不能解决的问题标识出来，请写在后面的“我的疑惑”中.3.请认真书写，不要乱投乱画.【教材助读】：（一）平面上两点之间的距离：1、两点之间，。

2、已知：如图，一只小兔要从点到点，走哪条路最近？（二）曲面上两点之间的距离：1、自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？2、如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？3、蚂蚁从AB点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？4、已知：如P23图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但池随身只带了卷尺．（l）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得 AD长是 30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米． AD 边垂直于AB边吗？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直干AB边吗？ BC边与AB边呢？【预习自测】：1、一个圆柱形油桶的底部直径为24cm，高为32cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为（）A.20cmB.40cmC.45cmD.50cm2、一位师傅测量了一个等腰三角形的零件的腰、底和底边上的高，按顺序记下了数据，可是和测量的其他数据混在了一起，请你帮助这位师傅找出所需数据为（）A.17，16，16B.17，15，15C.17，15，16，D.17，16，153、如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，n的值取3）A】：【信息链接】：印度数学家拜斯迦罗的著作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式出现的：湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃。