湖北省宜昌市2014届高三年级第二次调研考试理科数学试题

湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考高三数学试卷（理科）参考答案CDDDBCACBB②和③ 3或13 2(0,]3 216．解：（Ⅰ）∵()2π3πcos 2cos 22cos 22323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴.故函数()f x 的最小正周期为π；递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )（Ⅱ）解法一：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =． 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，∴2132a a =+-⨯，即2320a a -+=，故1a =（不合题意，舍）或2a =． 因为222134b c a +=+==，所以∆ABC 为直角三角形.解法二：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin C =，∵0πC <<，∴π3C =或2π3． 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍） 所以∆ABC 为直角三角形. 17.(Ⅰ) 延长AD ，FE 交于Q ．因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角．在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF＝2，DE ＝1得∠AQF ＝30°．(Ⅱ) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得DG ⊥AF ．因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，(第17题图)所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ．过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG．在直角△BAF 中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG ，得GH x， 所以GH．在直角△DGH 中，DG，GH，得DH＝． 因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得x所以AB方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则 F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )， 所以DF ＝(1，0)，BF ＝(2，0，－x )．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)．设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 所以，可取2n ＝，1． 因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得 x所以AB18．解：（1）当1n =时，由111211a S a -=⇒=.又1121n n a S ++-=与21n n a S -=相减得：12n n a a +=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=（2）设n a 和1n a +两项之间插入n 个数后，这2n +个数构成的等差数列的公差为(第17题图)n d ， 则11211n n n n a a d n n -+-==++， 又(12361)611952,2014195262+++++=-=， 故61616220146262262(621)2612.6363b a d =+-⋅=+⨯=⨯ 19 0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==.（Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦ 211.76p p =-++. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)， 所以21211.76p p <-++.所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.620．解：（1）依题意，得2a =，c e a == 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ． （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*） 由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-． 方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． 故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83(,)55M -， (3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**）又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为4 方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ， 同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， 故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为421、解：（I ）'121()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---， 当1[,1]2x ∈时，由'()0n f x =知1x =或者2n x n =+， 当1n =时，11[,1]232n n =∉+，又111()28f =，(1)0n f =，故118a =； 当2n =时，11[,1]222n n =∈+，又211()216f =，(1)0n f =，故2116a =； （II ）当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+， ∵1[,)22n x n ∈+时，'()0n f x >；(,1)2n x n ∈+时，'()0n f x <； ∴()n f x 在2n x n =+处取得最大值，即2224()()22(2)n n n n n n a n n n +==+++ 综上所述，21,(1)84,(2)(2)n n n n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩． 当2n ≥时，欲证 2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n+≥ ∵011222222(1)()()()n n n n n n n C C C C n n n n+=+⋅+⋅++⋅ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=，所以，当2n ≥时，都有21(2)n a n ≤+成立． （III ）当1,2n =时，结论显然成立；当3n ≥时，由（II ）知3411816n n S a a a =+++++2221111181656(2)n <++++++ 11111111()()()816455612n n <++-+-++-++ 1117816416<++=． 所以，对任意正整数n ，都有716n S <成立．。

宜昌市2014届高三年级五月模拟考试试题数 学（理工类）(本试题卷共4页，共22题。

满分150分，考试用时120分钟)★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.若复数()()110lg z m m i m =--+是纯虚数，其中m 是实数，则2z= A.i B.i - C.2i D.2i - 2.集合31A x Nx ⎧⎫=∈≥⎨⎬⎩⎭，()2{|log 11}B x N x =∈+≤，φ≠⋂⊆B S A S ,，则集合S 的个 数为A.8B.4C.2D.0 3.总体由编号分别为01,02,…,19,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第A.4.函数2()21f x mx x =-+有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是A.0m <B.0m ≤C.0m <或1m =D.0m ≤或1m =5.函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为A.2-B.12-C.12D.26.给出下列四个结论：①由曲线2y x =、1y =围成的区域的面积为13； ② “2x =”是“向量)1,1(-=x 与向量)1,3(+=x 平行”的充分非必要条件； ③命题“a 、b 都是有理数”的否定是“a 、b 都不是有理数”；④函数224()sin sin f θθθ=+的最小值等于4。

其中正确结论的个数为A.1B.2C.3D.47.已知直线l 和双曲线22194x y -=相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （与坐标原点O 不 重合），设直线l 的斜率为11(0)k k ≠ ，直线OM 的斜率为2k ，则12k k = A.23 B.23- C.49- D.49开始0?x ≥ 是2log (1)y x =+结束否第11题图x输入y输出21x y -=-8.某班班会准备从含有甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时，丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有A.484种B.552种C.560种D.612种 9.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示： 则下列命题正确的是A.AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D ABC -的体积为163B.BD ⊥平面PAC ，且三棱锥D ABC -的体积为163 C.AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D ABC -的体积为83D.AD ⊥平面PAC ，且三棱锥D ABC -的体积为8310.设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ',()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x '',若在区间(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数” ．已知()4321131262f x x mx x =--,若对任意满足2m ≤的实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”，则b a -的最大值为A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．其中15～16题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必考题：（11～14题） 11.如图所示的程序框图的输出值[]1,3y ∈，则输入值x 的取值 范围为________．12. 若c b a ,,为正实数且满足632=++c b a ，则12131a b c +++++的最大值为________．13.过点(0,1)P 的直线与曲线2||11(1)x y -=--相交于两点,A B ，则线段AB 长度的取值范围是________．14.图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑 色三角形的个数依次构成数列{}n a 的前四项，依此着色方案继 续对三角形着色.（1）数列{}n a 的通项公式n a =_____________；（2）若数列{}n b 满足12()3nn n b a +=⋅，记01232020202012022019M C C C b C b C b =+++⋅++⋅，则B正视图 侧视图…BOCM 的个位数字是_________．（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分. 15.（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．16.（坐标系与参数方程选讲）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==kt y t x 1（t为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=，若直线l 和曲线C 相切，则实数k 的值为_________．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，33BD =． （1）求cos A 的值； （2）求sin C 的值．18.（本小题满分12分）第22届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位至少有一名女大学生志愿者的概率是1621． （1）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；（2）设X 为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求X 的分布列和期望．19.（本题满分12分）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于,A B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，2===AC PC PA ，4BC =，,E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为l ．（1）求证：直线l ⊥平面PAC ； （2）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、 直线EF 所成的角互余？若存在，求出||AQ 的值；若不存 在，请说明理由．20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的通项公式为2nn a =，且数列{}n b 的通项公式满足232()02n n n t b n b -++=，*(,)t R n N ∈∈．（1）试确定实数t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（2）当数列{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c 。

湖北省 八校2014届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足i z i 21)1(+=+(其中i 是虚数单位)，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 ( ) A ．{0} B ．{03}， C ．{13,4}， D ．{013,4}，，3.下列说法正确的是 ( )A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件B ．自然数的平方大于0C ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真D ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数4.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( )A．48cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm35.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 ( ) A ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭6.已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为 ( )A B C D ．57.把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式2F=kqr （其中k 为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到a r 2=处，与从a r 2=处移动到a r 3=处，电场力对它所做的功之比为( )3328.如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则AB AC( )A ．52B ．252 C ．52R D ．252R9.将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 ( )189187210.函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是 ( ) A ．[)3,4m ∈B ．)40,abcd e ⎡∈⎣C ．562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一 【答案】D 【解析】试题分析：作出函数()f x 的图象，如图，()f x 的图象与y 轴交点点(0,3)，0x ≤时，()f x 的极大值为4，因此，当34m ≤<时，直线y m =与()f x 的图象有4个交点，A 正确，3m =时，12,0,,a b c e=-==5d e =，0abcd =，512a b c d e e +++=+-，4m =时，1,a b ==-621,c d e e ==，4abcd e =，6212a b c d e e+++=+-，因此当34m ≤<时，40abcd e ≤<，5621122e a b c d e e e+-≤+++<+-，这样,B C 也正确，再作直线:l y x m =-+，可见当直线l 与抛物线223y x x =--+相切时，方程()f x x m +=有三个不同实根，对函数2ln y x =-，1'y x =-，令1'1y x=-=-，则1x =，2ln12y =-=，即函数2ln y x=-的图象的斜率为1-的切线方程为2(1)y x -=--，整理得3y x =-+，它正好与函数223(0)y x x x =--+≤的图象有两个交点，因此此时方程()f x x m +=(3m =)也有三个不同实根，故D 错误．选D ．考点：直线与曲线相切，方程的解，函数的综合问题．二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一） 必考题（11—14题）11.记集合{}22(,)|4A x y x y =+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为 .考点：几何概型．12.已知非负实数x, y, z 满足x+2y+3z=1, 则xz z y y x +++++3932421的最小值为 ．13.定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如图所示．设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f ______；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______14.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；由此推测：11位的回文数总共有个．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ．若AB = AC ，AE = ， BD = 4，则线段CF 的长为______．16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线 54532:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x C （t 为参数）和曲线θθρcos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为 ．第11 页共11 页。

宜昌市2014届高三年级第二次调研考试理科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，1{|21},{|ln()0}8xM x N x x =<<=->，则U M C N ⋂=（ ）A ．{|1}x x ≥-B ．{|30}x x -<<C ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<2．已知复数1z i =+，则221z zz --的虚部是（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3．下列说法正确的是（ ）A ．若已知两个变量具有线性相关关系，且它们正相关，则其线性回归直线的斜率为正B ．直线l 垂直于平面α的充要条件为l 垂直于平面α内的无数条直线C ．若随机变量2~(10,0.1)N ξ，且(9.910.1)0.6826P ξ<<=，则(10.1)0.3174P ξ>=D ．已知命题2:,220p x R x x ∀∈-+>，则2:,220p x R x x ⌝∃∈-+<4．已知中心在原点的双曲线，其右焦点为(3,0)F ，且F则该双曲线的方程为（ ）A．2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x =5．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）俯视图侧视图正视图A ．158B ．108C ．98D ．88 6．已知不等式201x ax ->-的解集为(1,2)-，则二项式621()ax x-展开式的常数项是（ ） A ．-15 B ．15 C ．-5 D ．5 7．若函数sin()3y x πω=+的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．28．设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为（ ） A ．14 B ．23 C ．13 D ．129．已知,a b 是非零向量，它们之间有如下一种运算：sin ,a b a b a b ⊗=<>，其中,a b <>表示,a b 的夹角．给出下列命题：①a b b a ⊗=⊗；②()()a b a b λλ⊗=⊗；③()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗；④a b a b a b ⊥⇔⊗=；⑤若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221a b x y x y ⊗=-，其中真命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知直线:90l x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线l 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围为（ ）A ．[2,6]B ．[0,6]C ．[1,6]D ．[3,6]二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221sin cos θθ-的值为 ．12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值是 ．13．一物体在力10,(02)()34,(2)x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从0x =处运动到4x =处（单位：m ），则力()F x 所做的功为 J ．14．数列{21}n -的前n 项组成集合{1,3,7,,21}n n A =-，从集合n A 中任取k （1,2,,n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，则规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++．例如：当1n =时，111{1},1,1A T S ===； 当2n =时，212{1,3},13,A T T S ==+=⨯=+． 则，（1）3S = ；（2）n S = ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你多选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题做答结果计分．） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，CD是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，52,3,2AC AB EC ===，则AD 的长为 ．BCA16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线cos()04πρθ+-=上一点，点Q 为曲线214x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上一点，则||PQ 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-． （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B ⋅的最大值．18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为11,,21()n n n S a t a S n N *+==+∈． （1）当t 为何值时，数列{}n a 是等比数列；（2）在（1）的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +、22a b +、33a b +成等比数列，求n T ．19．（本小题满分12分）某公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作，180分以下者到“乙部门”工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（1）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（2）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．20．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，1AC ⊥平面1A BD ，D 为AC 的中点． （1）求证：11B C ⊥平面11ABB A ；（2）在1CC 上是否存在一点E ，使得145BA E ∠=︒，若存在，试确定E 的位置，并求此时二面角1A BD E --的大小．21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，且与直线y x =（1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆C 的左、右顶点分别为,A B ，过点(3,0)P 的直线l 与椭圆C 交于两点,M N （M 在N 的右侧），直线,AM BN 相交于点Q ，求证：点Q 在一条定直线上．122．（本小题满分14分）已知函数ln(1)()1x f x ax +=+．（1）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）已知,,x y z 均为正实数，且1x y z ++=，求证： (31)ln(1)(31)ln(1)(31)ln(1)0111x x y y z z x y z -+-+-+++≤---．宜昌市2014届高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案交，得d 36a ≤≤ 二、填空题11、53 12、10 13、46 14、（1）63（2）(1)221n n +- 15、1 16、2三、解答题 17、（Ⅰ）由正弦定理()(sin sin )()sin ()()()a c A C a b B a c a c a b b -+=-⇔-+=-即222222a c ab b a bc ab -=-⇒+-= 3分由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-== ∵(0,)C π∈ ∴3C π= 5分（Ⅱ）由（1）得2233A B B A ππ+=⇒=-则21sin sin sin sin()sin (sin )322A B A A A A A π⋅=-=+ 7分211cos 211cos sin 2sin(2)2244264A A A A A A π-=+=+=-+ 10分 ∵2(0,)3A π∈ ∴72(,)666A πππ-∈- ∴当262A ππ-=即3A π=时，sin sin A B ⋅有最大值3412分18、（Ⅰ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即 3分 ∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ． 6分 （Ⅱ）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b 7分故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ，由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d解得10,221-==d d 9分∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d 10分∴2520)10(2)1(15n n n n n T n -=-⨯-+=． 12分19、（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为82205= 根据茎叶图，甲部门人选10人，乙部门人选10人∴选中的甲部门人选有21045⨯=人，乙部门人选有21045⨯=人 3分用A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名甲部门人选被选中”，则343813()1()114C P A P A C =-=-=故至少有一人是“甲部门”人选的概率是13145分（Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,3 6分03643101(0)30C C P X C === 12643103(1)10C C P X C ===21643101(2)2C C P X C === 30643101(3)6C C P X C === 10分∴X 的分布列为∴1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 12分20、（Ⅰ）∵1AB BB = ∴四边形11ABB A 为正方形 ∴11A B AB ⊥ 2分又∵1AC ⊥平面1A BD ∴11AC A B ⊥ ∴1A B ⊥面11AB C ∴111AB BC ⊥ 4分又在直棱柱111ABC A B C -中，111BB B C ⊥ ∴11B C ⊥平面11ABB A5分（Ⅱ）设1AB BB a ==，CE x =∵D 为AC 的中点，且11AC A D ⊥∴111A B AC == 又∵11B C ⊥平面11ABB A ∴1111B C A B ⊥∴11,B C a BE ==1A E ==在1A BE ∆中，由余弦定理得22211112cos45BE A B A E A B A E =+-⋅即222222322a x a a x ax +=++--⋅122a x x a =-⇒=即E 是1CC 的中点 9分∵D 、E 分别为AC 、1CC 的中点 ∴1//DE AC ∵1AC ⊥平面1ABD ∴DE ⊥平面1ABD 又∵DE ⊂平面BDE ∴平面1A BD ⊥平面BDE 11分故二面角1A BD E --的大小为90 12分21、（Ⅰ）∵椭圆的焦距为2 ∴221b a =- 且21a >于是椭圆方程为222222(1)(1)0a x a y a a -+--=将y x =22224(21)40a x x a a --+-= 2分∵直线与椭圆相切∴22224()4(21)(4)0a a a ∆=----= 即42320a a -+= ∵21a > ∴22a = 则21b =故所求椭圆方程为2212x y += 4分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为(3)y k x =-联立方程22(3)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)122(91)0k x k x k +-+-= ∵直线l 与椭圆C 交于1122(,),(,)M x y N x y 两点∴422211448(21)(91)07k k k k ∆=-+->⇒<由韦达定理得21221221k x x k +=+ 21222(91)21k x x k -=+ 6分则42222211212222221448(91)856()()4(21)21(21)k k k x x x x x x k k k ---=+-=-=+++ 又M 在N 的右侧∴21x x -= 8分∵(A B∴:AM l y x =:()AN l y x =设直线AM 、BN 相交于点(,)Q x y 由上面两直线方程消去y 得21y y =⇒==224(91)36k k ---⇒==23x ⇒==⇒= 12分故点Q 在定直线3x =上。