第26讲三角函数的求值

第二十六讲 锐角三角函数
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1.理解锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)的概念,知道30°， 45°，60°角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求 它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角. 2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
一、特殊角的三角函数值 三角函数 锐角α 30° sin α
DE 3.5 7 . BD 12.5 25
【对点训练】
5.(2012·衡阳中考)如图,菱形ABCD的周长为20 cm,且 tan ∠ABD= 4 ,则菱形ABCD的面积为_________cm2.
3
【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD. ∵菱形的周长为20 cm,
∴菱形的边长为5 cm.
算tan 15°=______.
【解析】设CD=x,因为∠A=30°,所以AC=2x,AD= 3 x,则 AB=2x,BD=2x- 3 x=(2- 3 )x,所以tan
BD （2 3）x 2 3. CD x
15°=
答案：2- 3
解直角三角形 ◆中考指数:★★★☆☆
解直角三角形的四种类型及方法：
【例2】(2012·上海中考)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cos A= 3 ．
5
(1)求线段CD的长； (2)求sin∠DBE的值． 【思路点拨】(1)据已知→求AB→CD (2)据勾股定理→求BC→求DE→sin∠DBE
【自主解答】(1)因为∠ACB=90°，AC=15，cos A= 3 ,所以
【即时应用】
2 2 2 1 ,则cos α =____,tan α =___. 1.若α 为锐角，且sin α = 3 4 3 4 4 2.在Rt△ABC中，∠C=90°,sin A= ，则cos B=__. 5 5

第26课时 三角变换【教学目标】掌握两角和与差、二倍角正弦、余弦、正切公式一、知识梳理1． 在三角式的化简、求值，证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将正切化为正弦或余弦.．2．要注意对“1”的代换，如1=sin 2α+2cos α=tan4π；还有1+cos α= ，1-cos α= ．3．对于 sin α·cos α与sin α±cos α同时存在试题可通过换元完成．如设ααcos sin ±=t ，则sin α·cos α=4． 常见的“变角”方法有2α=(α+β)+()αβ-；α=(α+β)-β=(α-β)+β．二、基础练习1．若5)35tan(-=-απ，则t a n(απ+3)的值是____________． 2．已知02x π<<，化简)2sin 1lg()4cos(2lg )2sin 21tan lg(cos 2x x x x x +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+π3.若α∈3(,)2ππ．4．若方程cos2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈___________．三、例题精讲目标1 倍角公式的几个拓展公式【例1】用x sin 表示x 3sin ，以及用x cos 表示x 3cos .【变式拓展】用2tan x表示,sin x x cos ，x tan .【例2】证明下列积化和差公式 (1)[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++= (2)[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=【变式拓展】证明下列和差化积公式（1)2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+（2)2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-目标2三角恒等变换公式的运用【例3】求sin6°sin42°sin66°sin78°的值【例4】若1010)2sin(),2,0(),2,0(-=-∈∈βαπβπα，55)2sin(-=-βα,求2sin βα+，)sin(βα+的值.【变式拓展】已知sin α是sinθ与cosθ的等差中项，sin β是sinθ与cosθ的等比中项，求证：cos2β=2cos2α=2cos 2.4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、课堂反馈1．已知412cos =α，则=α2sin 2．“sin α=12”是“cos2α=12”的___________条件.（填空;充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不必要)3．函数f （x )=2cos 2x +sin2x 的最小值是___________．4．已知α为第二象限角，且cos 2α+sin 2α=- sin2α+cos2α的值为三角变换作业1．若sin cos tan (0)2πααβα+=<<，则tan β的取值范围是______.2．若1,,sin 24216ππθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭,则cos sin θθ-的值是______. 3．若角α的终边落在射线(0)y x x =-≥+=________. 4．已知()f x =当53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为_______. 5．（宿迁市第二学期期末)化简tan81tan 21tan81tan 21tan 300-+的结果是 6．设α为第四象限的角，若sin 313sin 5αα=，则tan 2α的值为 ． 7. 不查表求值： 000010cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2+++__________.8设,γθ为常数，0,,,442πππθγ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若sin()sin()αγγβ++- sin (sin sin )cos (cos cos )θαβθαβ=-+⋅+.对一切,αβ∈R 恒成立，则2tan tan cos()sin 4θγθγπθ+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________. 9．（宿迁市高一第二学期期末)已知(sin ,2)α=-a ，(1,cos )α=b ，且⊥a b ． （1)求2cos sin cos ααα-的值；（2)若(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，且cos()αβ-=β的值．10.（天津高考)已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值.11．（南京市第一学期期末调研)已知()sin ,1a α= ，()cos ,2b α= ，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．⑴若a ∥b ，求tan α的值； ⑵若⋅178=，求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。

高中数学三角函数运算三角函数是高中数学中的重要内容，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握三角函数的运算规则对解决相关问题至关重要。

本文将介绍三角函数的基本定义及其运算规则，以帮助读者加深对高中数学三角函数运算的理解和应用。

1. 三角函数的基本定义三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。

它们都是关于角度x的函数，其中x可以用弧度或角度度量。

2. 三角函数的运算规则2.1. 和角差角公式和角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)差角公式：cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)2.2. 双角公式正弦函数的双角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)余弦函数的双角公式：cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)正切函数的双角公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan²(x))2.3. 三角函数的倒角公式正弦函数的倒角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x))/2)余弦函数的倒角公式：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x))/2)正切函数的倒角公式：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x))/(1 + cos(x))) 2.4. 三角函数的和差化积公式正弦函数的和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)余弦函数的和差化积公式：cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)2.5. 三角函数的倍角公式正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)= 2cos²(x) - 1= 1 - 2sin²(x)正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan²(x))在实际应用中，我们常常利用这些运算规则将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，从而更便于进行计算和分析。

三角函数的计算一、锐角三角函数的概念与计算方法1.正弦（sine）函数：正弦函数是指在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值。

其计算公式为：sinθ = 对边 / 斜边。

2.余弦（cosine）函数：余弦函数是指在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值。

其计算公式为：cosθ = 邻边 / 斜边。

3.正切（tangent）函数：正切函数是指在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值。

其计算公式为：tanθ = 对边 / 邻边。

二、钝角三角函数的概念与计算方法1.余切（cotangent）函数：余切函数是指在直角三角形中，钝角的对边与邻边的比值的倒数。

其计算公式为：cotθ = 邻边 / 对边。

2.余弦（secant）函数：余弦函数是指在直角三角形中，钝角的邻边与斜边的比值的倒数。

其计算公式为：secθ = 斜边 / 邻边。

3.正割（cosecant）函数：正割函数是指在直角三角形中，钝角的对边与斜边的比值的倒数。

其计算公式为：cscθ = 斜边 / 对边。

三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值：sin30°= 1/2，cos30° = √3/2，tan30°= 1/√3，cot30° = √3，sec30° = 2/√3，csc30° = 2。

2.45°角的三角函数值：sin45° = cos45° = tan45° = 1，cot45° = 1，sec45° = √2，csc45° = √2。

3.60°角的三角函数值：sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = 1/√3，sec60° = 2，csc60° = 2/√3。

四、三角函数的周期性1.正弦函数的周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ + 2π) = sinθ。