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第1章 数与数系

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第一章 数系

第一章 数系
• 1.整数的加法和减法 • 定义13 （加法法则)设 m,n ∈ N, (1)同号两数相加，绝对值相加，并取原来的 符号。即 (±m)+(±n)=(±n)+(±m）=±（m+n). （2）异号两数相加，当绝对值相等时（即互 为相反数),其和为零；当绝对值不等时，绝 对值相减，并取绝对值较大的加数的符号。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 定理3自然数的加法满足交换律和结合律。 对任意a、b、c∈N，有 • （1）a+b=b+a • （2）a+（b+c）=（a+b）+c • 定理4自然数的乘法满足以下运算律；对于 任意a,b,c∈N. • ab＝ba（交换律）; • (a＋b)c＝ac＋bc（乘法对加法的分配律）； • a(bc)＝(ab)c（结合律）
定义12，具有n个有效（或可靠）数位的近似 数，其相对误差界不受小数点所在位置的 影响
三．近似数四则运算的经验法则 法则1 近似数相加减，计算结果所保留的小数位数，应先四 舍五入到比 的结果应保留的多一位，在行计算 例1求近似数2.478，53.6，34.6342的和 法则2 近似数相乘除，计算结果所保留的有效数位个数， 应和已知数中有效数位最少的一个相同。其它已知数中 过多的有效数数字，可先四舍五入到比 的结果应保留的 多一位，在行计算 3 例如2计算(2.58x 10 ) 4.27952
第一章数系
• 1.1数的概念的扩展
一、数的概念发展小史 从整体上看，数的概念的发展的历史过程大致按以下顺序： 自然数集（添加正分数）正有理数集(添加分数和零）有理数集（添加无 理数）实数集（添加虚数）复数集 在中小学数学教科书里，数的概念的扩展（或扩张）的步骤 同历史过程的大致接近的，只是将零的引入提前了，即 自然数集（添零）扩大自然数集(添加正分数）有算术数集（添加负 数） 有理数集（添加无理数） 实数集（添加虚数）复数集

第一章第二讲整数环

第一章第二讲整数环
初等数学研究
第一章数系 第二讲 整数环、复数域 2009数学与应用数学 2009数学与应用数学 2011。 2011。9.13
阅读教材： 阅读教材：
主要学习内容： 1.群、环、域的基本知识 1.群、环、域的基本知识 2.复数域的构造（实数域的扩充） 2.复数域的构造（实数域的扩充） 3.复数为什么不能比较大小？ 3.复数为什么不能比较大小？ 复数域是有序集，但不是有序域
四、带余除法和整除概念 定理 （带余除法） 设 a ∈ Z ， ∈ N，则存在 q , r ∈ Z ，使 b a = bq + r ( 0 ≤ r <| b |) 成立，其中 q , r 是唯一的． （证明参见P24） （证明参见P24）
§1.4 有理数域
一、有理数概念
( a∈Z,b∈N) 二、有理数的顺序 三、有理数运算与有理数域 ① Q含有0和单位元1 含有0和单位元1 ② 对于加、减、乘、除（除数不为零）四种 运算都封闭 ③ Q的加法和乘法都满足交换律和结合律， 还满足乘法对加法的分配律 ∴ Q是一个数域．
2
1 1
a a a a
1 2
a a a a
1 3
a a a a
1 4
L L L L
令x=0.a1a2a3a4…
其中
= 0 .a = 0 .a = 0 .a
2 1
2 2
2 3
2 4
an = {
2 ann =1 1 ann ≠1
3
3 1
3 2
3 3
3 4
则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。
4
4 1
4 2
四、实数的运算 五、R 五、R的性质 性质1 性质1 R是一个数域，而且是一个有序域． + 性质2 性质2 R中阿基米德性质成立：对于 ∀α, β ∈ R nα ∃n ∈ N ，使。 > β 性质3 性质3 R具有连续性。 性质4 性质4 R是不可数集。 分析：只须证明M = ( 0,1) = { x | 0 < x <1, x ∈ R} 是不 可数集。

初等代数研究__第1章_数与数系

初等代数研究__第1章_数与数系

初等代数研究__第1章_数与数系第1章数与数系数学是一门研究数与数的运算规律的科学，而数与数系是数学研究的基础。

本章将讨论数与数系的基本概念和性质。

1.1自然数与整数自然数是最基本的数，用来表示物体的个数。

自然数的集合记作N={1,2,3,…}，其中1为最小的自然数。

整数是自然数的扩充，包括正整数、负整数和零。

整数的集合记作Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}。

整数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性，即对于任意的整数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)和a+b=b+a。

整数的减法运算也满足这些性质。

1.2有理数有理数是可以表示为两个整数的比，其中分母不为零。

有理数的集合记作Q={p/q，p∈Z，q∈Z，q≠0}。

有理数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。

有理数的大小可以用数轴来表示，其中0位于原点。

正有理数位于0的右边，负有理数位于0的左边。

有理数可以根据大小进行比较，例如两个有理数a和b，若a>b，则称a大于b，若a<b，则称a小于b。

1.3无理数无理数是不能表示为两个整数的比的数。

无理数的集合记作I=Q'。

无理数是无限不循环小数或无限循环小数。

例如，根号2是一个无理数，其小数表示是无限不循环的。

在数轴上，无理数位于有理数之间，填补了有理数之间的空隙。

无理数与有理数一起构成了实数的集合R，即R=Q∪I。

1.4实数实数是有理数和无理数的集合，记作R=Q∪I。

实数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。

实数的大小可以通过大小关系进行比较。

1.5数系的运算实数系具有加法和乘法运算两种基本运算。

实数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性。

实数的乘法运算也满足这些性质。

加法运算满足零元素和负元素的存在性。

实数的运算有一些基本性质。

其中有加法的逆元素和乘法的逆元素，满足a+(-a)=0和a*1/a=1，其中a≠0。

此外，实数的运算还有分配律等性质。

(完整版)中学代数研究(张奠宙版)重要概念考点

(完整版)中学代数研究(张奠宙版)重要概念考点

《中学代数研究》期末复习资料第一章数与数系1.按照与实体分离的程度不同，数系循着以下历史途径扩展：自然数→正有理数→简单的代数无理数→零与负有理数→复数→严格的实数系2.数的逻辑扩展自然数添加负数和零整数系作分式域有理数系作柯西序列等价类实数系作2次代数扩张复数系3.自然数集是一个无限集，这是人们在数学上第一次遇到的最简单、最直观的无限集.自然数公理系统利用“后继”描述了这种无限性。

4.P8——P10，定理1——6的证明4.为什么要引入“0”作为自然数？答：首先，尽早引入0，有利于学生对自然数的理解；其次，数0对于数的扩展来说十分重要；最后，从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。

5.数系通常包括：整数系、有理数系、实数系、复数系。

【注意：顺序不可颠倒】6.数学归纳法是不是公理？答：是。

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。

不是。

它只是一种证明方法。

因为数学归纳法是证明与自然数有关的命题，而不是完全归纳法，它的基础是自然数列的性质而不是逻辑公理。

7.复数不能规定大小的含义是什么？答：数学上所谓大小的定义，是在实数轴右边的比左边的大，而复数要引入虚数轴，在平面上表示。

8.证明任何一个有理数的平方都不等于5？证明：假设存在，设这个有理数是m/n那么m、n互质那么5n²=m²显然m是5的倍数设m=5t即n²=5t²所以n也必然是5的倍数那么m/n至少有5这个质因数，这与m、n互质矛盾9.（略看）所有不是整数的有理数集是数环吗？是数域吗？还是既非数环又非数域？为什么？答：不是整数的有理集不是数环，任何数域都包含有理数域Q，所以不是数域第二章式、代数式、不等式1.P59，例112.学好数学和掌握好符号的运用有关吗？答：理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。

我们强调数学学习的重要性，原因之一是在与数学能够培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并由此提高理性思维的品质和素养。

初等代数 第一章 自然数

初等代数 第一章 自然数

定理 1 自然数的加法是唯一存在的 定理 2（加法结合律）对于任意的自然数 a、b、c，都有 （a+b）+c=a+(b+c) 定理 3（加法交换律）对于任意的自然数 a、b，都有 a+b=b+a
2.乘法及其运算律
定义 3 自然数的乘法是这样的一种对应关系“×” ，对于任意的
a、b N，存在唯一确定的 a×b N，且有
6
即 0 =1； 1 唯一确定，记为 2，即 1 =2； 2 唯一确定，记为 3，即
2 =3；……
，如此继续下去，便可以得到自然数列： 0，1，2，3，…，n，…
注：上述公理系统中唯一不平凡的是归纳公理，它是皮亚诺公理系统 的基石，也是数学归纳法的理论根据.
二、自然数的四则运算 1.加法及其运算律
第一章
自 然 数
自然数是人们日常生活中应用最多的数， 也是人类认识最早的数 系.根据实际的生活经验，人们发现自然数具有两方面的意义：一是 用来计数（解决多少的问题） ；二是用来排序（解决是第几的问题）. 由此，数学上形成了两种自然数理论：基数理论和序数理论.本章首 先概述自然数的两种理论， 说明每一种理论是怎样定义自然数及其运 算与顺序的；然后，用自然数的理论研究数学归纳法。 §1.1 自然数的基数理论 一、自然数的定义 集合等价：设有两个集合 A 与 B，如果集合 A 与集合 B 的元素之 间，可以建立一一对应关系，这时就称集合 A 与 B 等价，记作 A～B. 集合的等价是一种等价关系.根据集合的等价关系，就可以将所 有集合进行分类，把彼此等价的集合归为同一类，并且给每个等价类 一个标记.称其为基数或势。可以建立一一对应的集合的共性就是他 们具有相同的基数或势。 有限集与无限集： 如果一个集合不能和它的任意一个真子集之间 建立一一映射（即同构） ，就称该集合为有限集；如果一个集合可以 和它的某个真子集同构，则该集合就是无限集。

初三数学上册章节主要知识点归纳

初三数学上册章节主要知识点归纳

初三数学上册章节主要知识点归纳初三数学上册章节主要知识点归纳第一章实数一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1相称不重、不漏2有标准2.非负数：正实数与零的统称。

表为：x≥0性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/aa≠±1;B.1/a中，a≠0;C.01;a1时，1/a1;D.积为1。

4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义“三要素”②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数正整数—自然数定义及表示：奇数：2n-1偶数：2nn为自然数7.绝对值：①定义两种：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算1. 运算法则加、减、乘、除、乘方、开方2. 运算定律五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.同级运算从“左”到“右”如5÷ ×5;C.有括号时由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例略附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab0，a≠0，b≠0，判断a、b的符号。

第二章代数式★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算☆内容提要☆一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

高中数学各章节

高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像〔选学〕2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用〔1〕2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章根本初等函数〔1〕3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幕及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3黑函数3.4函数的应用〔2 〕必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的根本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的外表积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的根本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的根本公式2.1.1数轴上的根本公式2.1.2平面直角坐标系中的根本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种根本逻辑结构和框图表示1.2根本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与根本领件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式〔选学〕3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章根本的初等函数〔2〕1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的根本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量根本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式〔选学〕2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2根本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非〔否认〕1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的根本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离〔选学〕选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与黑函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四那么运算法那么1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的根本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分根本定理第二章推理与证实2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证实与间接证实2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章娄嫁的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1根本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点〔a,n/2〕处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。

八年级上四章知识点归纳

八年级上四章知识点归纳八年级上学期共有四个章节，分别是“数与式”、“方程与不等式”、“图形的坐标表示和变换”以及“运动与力”。

第一章数与式数与式是初中数学的重点，也是初中数学的难点。

数与式这个章节主要讲了有理数四则运算、数字推理和简单的代数式子。

在这个章节的学习中，我们需要掌握以下知识点：1. 有理数四则运算有理数四则运算是数与式的基础，也是初中数学的难点。

掌握四则运算，需要掌握加减乘除的运算法则，需要掌握绝对值的概念，需要掌握相反数和倒数的概念。

2. 数字推理数字推理是数与式中的一种思维方式，通过逻辑思维和数学运算来解决数学问题。

数字推理需要掌握奇偶性、序列、等差数列等知识。

3. 代数式子代数式子是数学的代数部分，需要掌握有理数系、代数式子的定义、代数式子的转化和化简等知识。

第二章方程与不等式方程与不等式是初中数学的难点，影响了很多同学的成绩。

方程与不等式需要我们掌握方程与不等式的解法、方程与不等式的根与系数、一元二次方程与不等式、两元一次方程等等知识点。

1. 方程与不等式的解法方程与不等式的解法是方程与不等式这一章的最基础的知识，需要掌握的知识点包括方程与不等式的定义、代数方法、几何方法、复合方法等。

2. 方程与不等式的根与系数方程与不等式的根与系数需要掌握求解方程与不等式的根，以及求解方程与不等式的系数等概念。

3. 一元二次方程与不等式一元二次方程与不等式是数学中非常重要的一部分，需要我们掌握求一元二次方程的解、判别一元二次方程的根、求一元二次不等式的解、一元二次不等式的画法等知识。

第三章图形的坐标表示和变换图形的坐标表示和变换是初中数学的重点，需要我们掌握直角坐标系、坐标系的简单运用，以及坐标系的平移、旋转、镜像等基本变换。

1. 直角坐标系直角坐标系是图形的坐标表示和变换的基础，通常都是直角坐标系来表达，需要掌握坐标系中的点、横纵坐标、坐标轴、轴线、原点等概念。

2. 坐标系的简单运用坐标系的简单运用一般包括图形投射、图形旋转、图形对称、图形平移等知识点。

人教版高中数学目录(详细)


§1数列的概念和表示
必 修
第二 章
数列
§2等差数列 §3等差数列前n项和
§4等比数列
12
五
§5等比数列前n项和
§1不等关系与不等式
§2一元二次不等式
第三 章
不等式
及其解法 §3一元二次不等式 （组）与简单线性规
划
一元二次不等式（组）与平面区域 简单的线性规划问题
16
§4基本不等式
命题
§1命题及其关系
向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义
第二 章
平面向量
12
必
修
§2平面向量的线性运
四
算
向量数乘运算及其几何意义
第二 章
平面向量
§3平面向量的基本定 理
及坐标表示
平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
12
平面向量共线坐标表示
§4平面向量的数量积
平面向量数量积的物理背景及意义 平面向量数量积的坐标表示、模、夹
§3离散型随机变量
离散型随机变量的均值
的均值与方差
离散型随机变量的方差
§4正态分布 §1回归分析的基本思
第三 章
统计案例
想 §2独及立其性初检步验应的用基本
思想及其初步应用
§1合情推理与演绎推
合情推理
第二 章
理
推理与证明 §2直接证明与间接证 明
演绎推理 综合法与分析法
反证法
§3数学归纳法
§1数系的扩充和
数系的扩充和复数的概念
第三 章
数系的扩充 与复数的引入
复数的概念
§2复数代数形式的 四则运算
复数的几何意义 复数代数形式的加减运算及其几何意

初等数学研究 代数部分 第一章 数与数系


第1章 数与数系
教学目标
1.了解数的起源与数系扩张的动力和原则 2.掌握数的计数方法和文化意义 3.了解0的发明权之争与解决 4.掌握0为什么不能做分母和0为什么可当自然数的道理
一、数的起源与计法
数——一定物群的抽象性质； 思维对象与实体的分离； “数（shù）从数（shǔ）中生”。
计数方法——屈指计数（掐指计数）（五进制、十进制） 石子计数（配对思想、一一对应）；结绳计数；书契记数； 算筹记数。
定义 3（乘法的定义） 自然数的乘法是一种对应关系“ ”，由于它对于任何a,b N ， 有唯一确定的ab N ，并且满足
⑴ a 1 a ； ⑵ ab ab a ． 注 ① (N, ) 是半群；② 乘法对加法的分配律也成立，即(a b) c a c b c ． 例 4 证明 23 6 ． 证 ∵ 21 2，
初等数学研究 ——代数部分
绪论
研究内容：初等代数研究+初等几何研究 教学目标： 1.了解代数与初等代数、初等几何研究的主要问题和研究方法。 2.初步感受初等数学和高等数学之间的联系。 3.掌握中学数学课堂教学展开的基本方式。
内容简介
1.《初等数学研究》是数学与应用数学（师范类）专业的必修 课。它是在同学们掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教 学与学、心理学之后而开设的。
定理 2（第一数学归纳法的一种变形：移动起点） 设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 ⑴ P(n0 ) 成立， n0 为某个自然数； ⑵ 由 P(k) (k n0 ) 成立，可以推出 P(k 1) 成立， 则 P(n) 对一切自然数n (n n0 ) 都成立． 定理 3（第二数学归纳法）（串值归纳法） 设 P(n) 是关于自然数n 的命题，若 ⑴ P(1) 成立； ⑵ 假设 P(m) 对于m k 时的自然数均成立，则 P(k) 成立， 则 P(n) 对一切自然数n 都成立．
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数系扩充应遵循的结构主义原则
① ② A是B的真子集。用A中的数，按照逻辑方法构造B中的数。 在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系，在B 的元间也有相应的定义，且B的元间的这些关系和运算对B 中的A的元来说与原定义一致；这保证老结构和新结构彼 此相容。 B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是 总能实施，在B中却总能实施。 在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B 是唯一最小扩展。

假定全序集M满足下面条件： M的任何一个非空子集A，都有最小元x0,即对于任何 x∈A,总有x0≤x,那么M称为良序集。 自然数集N关于通常的小于关系“≤”是良序集。 定理8 （自然数的离散性）任两个相邻的自然数a 与a`之间，不存在自然数b，使得a`＞b＞a。 证明: 若b＞a，则存在k∈N ，使b=a+k。因k≥1， 所以a+k≥a+1，即b≥a`，矛盾，故结论不可能成 立。 定理9 （阿基米德性质）对任意自然数a、b，必有 自然数n，使na＞b。 30
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一.数学思维对象与实体的分离
用实物计数结绳计数Βιβλιοθήκη 这样太不 方便了！ 刻道计数
3
巴比伦数字：
中国数字：
罗马数字：
ⅠⅡⅢ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
4
历史途径扩展： 自然数→正有理数→简单的代数无理数→零（公元 650年左右，印度）与负有理数→复数→严格的实数 系。 逻辑扩展： 自然数 作柯西序列等价类 实数系 作2次代数扩展 复数系。 注：四元数 H (a, b, c, d ) 不满足某些数的性质，故不属 于数系。

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一、自然数基数理论

基数理论是以原始概念“集合”为基础的。

把一切集合按对等关系分类，使所有对等的集合分 为一类，这时同一类集合有一种共同特征。如：
﹛一只羊﹜、﹛一只兔﹜、﹛一个人﹜、﹛a﹜等， 它们都是对等的集合，应归为一类。显然，羊、兔、 人和字母不是它们的共同特征。而只有“1”才是它 们共同特征的标志。 类似，﹛三棵树﹜、﹛三头牛﹜、﹛三条鱼﹜、 ﹛a,b,c﹜等，是对等的集合，“3”是它们共同特 征的标志。

乘法定义：若b个有限集 A , A ,, A ,彼此之间 没有公共元素，它们的基数都是 a， 则称 A A A 基数为a乘以b的积，记作a×b。
1 2 b
1 2 b
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二、 自然数的序数理论
基数理论建立在直观经验基础之上，易于理 解。但没有很好揭露自然数在顺序上的意义 。 把自然数系作为严格的逻辑系统，采用公理 化的方法加以研究在19世纪末得以实现。 皮亚诺（G.Peano）在1889年建立了自然数 的公理系统。

定义2 （自然数的乘法） 在自然数集N上， 满足下列条件的的二元运算“·”叫做乘法：
①
②
对任意的自然数a，有a· 1=a；
任意自然数a,b，有a· b`=a· b+a。
a· b称为a与b的积，简记为ab。

定理5 自然数的乘法对加法的分配律


定理6 乘法交换律
定理7 乘法结合律
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定理5的证明。即证：对任意自然数a、b、c， 总有（a+b)c=ac+bc
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二.算术到代数的演进加速了数系的形成

毕达哥拉斯学派发现无理数的故事 《几何原本》关于复杂无理数和欧多克斯利 用穷解法把相似比扩展到无理数情形的记载。

字母表示数和方程求解的运算过程促进了人 们对无理数的接受。
7
三.算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因 大量研究表明，最早使用负数的是中国人。 约公元前200年的《九章算术》有记载。 负数受到数学家的普遍承认主要是依赖于算 法的无矛盾性。两个例子：解方程和比例的 内项之积等于外向之积。 中国的“开方术”算法使中国人很自然地接 受了无理数。 复数幂的欧拉公式的逻辑相容性促使人们承 认虚数。

3 自然数集的一些重要性质

① ② ③
定义3（半序集）一个集合M，如果在M上定 义了一个关系≤，满足条件： （自反性）对于任意的x∈M，总有x≤x； （反对称性）如果x≤y, y≤x,那么x=y； （传递性）如果x≤y, y≤z,那么x≤z，则 ≤称为半序关系，M称为半序集或偏序集。 如果进一步还满足条件： 对一切的x,y, x≤y, y≤x两式中至少有一 个成立，则M称为全序集 29
26
1 M
对乘法交换律的探讨
在《全日制义务教育数学课程标准（实验 稿）》关于乘法的注解： 关于乘法：3个5，可以写作3×5，也可以写 成5×3。 3×5读作3乘5， 3和5都是乘数 （也可以叫因数）。 这一提法的本意是不再区分“乘数”和“被 乘数”，有一定的合理性，但不太严谨。

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本书作者看来，先要定义乘法的意义，才会 有乘法的运算。乘法交换律是由乘法定义， 要用到原始的“后继”概念，用到数学归纳 法才能进行严格证明。在小学讲这个显然不 行。 小学里重视数学情境创设，加以具体解释， 帮助学生理解乘法交换律就够了。但用集合 论解释、画图解释、举例解释都是解释，而 不是证明。 注解改为：3个5相加记作3×5，由于正整数 满足乘法交换律，所以也可以写成5×3。 28



对自然数基数理论和序数理论的反思
自然数的基数理论回答了一个集合含“多少个元” 的问题，自然数的序数理论反映了事物记数的顺序 性，回答了“第几个”的问题。
从皮亚诺公理系统出发，定义并采用严格的逻辑演 绎的方法证明了自然数的一系列运算法则。这种公 理化方法更多地关注数学推理的可靠性，并力图把 这种推理的可靠性归之于简单而明了的可靠的公理 体系。具有明确的科学和哲学的价值和意义，体现 了人类的理性精神。但不易理解。 在实际的数学教学中应把握好“适度形式化”原则。 31
证 设使上面等式成立的所有的c组成的集合为M。 a b 1 a b a 1 b 1, 假定c M，则 (a b) c` (a b)c (a b) ac bc a b (ac a) (bc b) ac`bc` 于是c` M， 因此，M N .又由a、b的任意性，得证。
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五.用结构主义方法构造数系

微积分中“无穷小”的不严密→希尔伯特的《几何
基础》→布尔巴基学派的结构主义

我们把具有特定结构的数的全体，称为一种数系。
借助抽象代数的语言，各种数系可以浓缩为一系列
代数结构和序结构的组合。 数系的扩充过程是在原有的数系上添加新的元，规 定新的运算，形成新的结构，最终扩充为新的数系。

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1、自然数（皮亚诺）公理
（两个形式符号1和`，5条公理）
① ②
③
④ ⑤

1是自然数； 每个自然数a都有一个后继a`； 1不是任何自然数的后继； 若a`=b`，则a=b （归纳公理）自然数的某个集合若含1，而 且如果含一个自然数a就一定含a`，那么这 个集合含全体自然数。 记全体自然数所组成的集合为N。 20
又因由P(k)成立可以推出P(k+1)也成立，所 以如果k∈M，其后继元k`也属于M。 于是由公理5得M=N（全体自然数所成的集 合）。 因此，对于对于任意的自然数n， P(n)成立。
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2、自然数的加法和乘法

① ②

定义1（自然数的加法）在自然数N中，满 足下列条件的二元运算“+”，叫做加法： 对任意的a,有a+1=a`； 对任意的a,b∈N，都有a+b∈N，且a+b`= （ a+b）`，其中a+b叫做a与b的和。 a，b 分别叫做被加数、加数。 定理2 自然数的和存在且唯一 定理3 加法交换律 24 定理4 加法结合律
第一章 数与数系
数系的历史发展 自然数系和0 从自然数系到整数 环 有理数系 实数系

戴德金分割与实数系 的连续性 复数系 关于数系教学的建议 一些例题

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第一节 数系的历史发展
一．数学思维对象与实体的分离 二．算术到代数的演进加速了数系的形成 三．算法的合理性是新“数”获得承认的主要 原因 四．与实体不能直接对应的“理想数” 五．用结构主义方法构造数系
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定义1：一切对等的集合的共同特征的标志， 成为这些集合的基数（或势）。有限集的基 数叫做自然数 。若集合A与B的基数相同，记 作A~B。 不含任何元素的集合，它的基数记作0； 只含一个元素的有限集，其基数记作1；含有 两个元素的有限集，其基数记作2；……；从 而得到自然数0，1，2，3……。
按照上述公理，从1开始，1有唯一的后继1`， 记1`=2；2有唯一的后继2`，记2`=3；……如 此下去，得到自然数集合N=﹛1,2,3,…﹜。 因此“后继”是自然数集上的一个顺序关系， 由于自然数具有这种“自然顺序”关系，因 此我们也把自然数看成“序数”。 潜无限：可以始终不断地一直进行下去，而 无法穷尽。如自然数集的无限性。 实无限：一次性地、同时地呈现在我们面前， 在意识中，好像这种无限是一种能够实现的 无限。如一条线段上点的个数的无限性。 21
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③ ④
两点说明：
数集的每次扩充都解决了原数集不能解决的 一些矛盾，使其应用范围扩大，但同时也失 去一些性质。如从N到Z，Z对减法具有封闭性， 但失去了良序性，即N中任何非空子集都有最 小元素。又如C使任何代数方程都有根，但失 去了R的顺序性，即C中元素无大小可言。 复数集的扩充问题：如果满足复数集的全部 性质，任何扩充都不可能。但若舍弃乘法交 换律，则可将C扩展到四元数集。
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顺序定义
①
②
③
如果有限集A和B的基数分别为a，b。那么， 当 时，说a等于b，记作a ＝b； 当 A ~ B 时，就说a小于b ，记作a ＜b ； 当 A ~ B B时，就说a大于b ，记作a ＞b 。