第1课时 角平分线的性质.ppt

PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的

E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，

现？
B 由此，你能得到什么结论？
M在ABiblioteka 上另取一点Q,试一试，D 你能得出同样的结论吗？ P
A
N
C
角平分线上的点，到这个角的两边的 距离相等。
M性质主要B用于证已 线知 ，：P为AADD为上B任A意C角一平点分， 明两线段相等，使 PM AB, PN AC, A 用平的分前线提，P 是关D有 键角 是试的 图说明：PM=PN 中是N否有“垂直”。
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
情境引入
天泉农副产品集散基地M位于李庄A、 王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位 置到三条公路AB、AC、BC的距离
相等。你能在图中 ABC 内部画出
M的位置吗？
C
A
B
动动手 画一画
请同学们拿出一张纸，在纸
上任意画出一个角 BAC ,
把它剪下并对折，使角的两
边重合，然后展开铺平，你
有什么发现？
B
（1）思考：角是轴对称图形吗？
否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠BAC的
随 练习
A
12
一 填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴(_角____D_平__C___分=__D__线_E____上____的__点___到__角__的__两___边__的__距_C__离__相__等D_____) B

利用角平分线定理解决代数问题
除了在几何证明题中的应用，角平分线定理还可以用于解决 一些代数问题。例如，可以利用角平分线定理来求解一些与 角度和边长相关的问题，或者求解一些与三角形面积相关的 问题。
在解决代数问题时，我们需要将问题转化为几何图形，并利 用角平分线定理来建立代数方程或不等式，然后通过代数方 法求解。
03 角平分线的作法
利用直角三角板作角平分线
准备工具：直角三角板、 直尺、铅笔、橡皮。
步骤
1. 将直角三角板的一条直 角边与已知角的边重合。
2. 移动三角板，使另一条直 角边与角的另一边重合。
利用角平分仪作角平分线
准备工具：角平分仪、直尺、铅笔、橡皮。
01
02
步骤
1. 将角平分仪的固定臂与已知角的边重合 。
03
04
2. 调整角平分仪的活动臂，使其与角的另 一边重合。
3. 旋转角平分仪，使刻度线与角平分线重 合。
05
Hale Waihona Puke 064. 沿着刻度线画出角的平分线。
利用尺规作图作角平分线
准备工具：圆规、直尺、铅 笔、橡皮。
步骤
01
1. 以角的顶点为圆心，以适 当长度为半径画弧，交角的
02
03
两边于两点。
2. 分别以这两点为圆心，以 相同长度为半径画弧，两弧
交于一点。
04
05
3. 通过角的顶点和交点画出 角的平分线。
04 角平分线的性质在解题中 的应用
利用角平分线定理解决几何证明题
在几何证明题中，角平分线定理是一个重要的工具，可以帮助我们证明一些与角 平分线相关的结论。例如，可以利用角平分线定理证明等腰三角形的性质，或者 证明平行线的性质等。

感谢观看
角平分线定理的证明方法三
构造向量法
通过构造向量，利用向量的数量积和 向量的模的性质证明角平分线的性质 定理。
解析几何法
利用解析几何的方法，通过建立直角 坐标系，设出角的两个顶点坐标，然 后利用点到直线的距离公式进行证明 。
05习题与练习基础题基础习题1已知角平分线AD，点E在AD上，∠BAE = 20°，∠CAD = 30°， 求∠BAC的度数。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条与角的 一边平行且等于这边上某一点 到角的另一边的距离的射线。
将角的两边按相等的比例延长， 交于一点，该点所连的射线即 为角平分线。
利用角的对称性质，通过角的 顶点作任意一边的垂直平分线， 该垂直平分线即为角平分线。
02
角平分线的性质
角平分线与相对边成比例
定义
角平分线将一个角分为两个相等 的部分，与相对边所成的比例相
等。
证明
利用相似三角形的性质，通过构造 两个相似三角形并证明其对应边成 比例来证明角平分线与相对边成比 例。
应用
在几何证明和解题中，可以利用这 一性质来证明线段的比例关系或解 决与角平分线相关的问题。
角平分线上的点到角的两边距离相等
定义
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离相等。
等。
证明
02
利用相似三角形的性质，通过构造两个相似三角形并证明其对
应边成比例来证明角平分线与邻边成比例。
应用
03
在几何证明和解题中，可以利用这一性质来证明线段的比例关
系或解决与角平分线相关的问题。
03
角平分线的应用
在几何证明中的应用
角平分线定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。

作法： １．以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.
A
Ｍ
Ｃ
大于 1ＭＮ的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部
2
交于Ｃ．
３.画射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
动手折一折
• 发现规律：
角平分线上的点到角两边的 距离相等。 A
D O E
P ·
B
C
角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的性质
第一课时
★ 什么是角的平分线？怎样画一 个角的平分线？ 从一个角的顶点出发，把这个角分成相 等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
A
C
O B
A
·
B
·
C
· ·
如图，AB＝AD，BC＝DC， 沿着AC画一条射线AE， D AE就是∠BAC的角平分线， 你知道为什么吗？
E
如何用尺规作角的平分线？
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
证明：
C
A D
证明一个几何命题的步骤： 1. 2. 3.
（课本21页）
P
·
E
O
B
1. 在Rt△ABC中， ∠C 为直角，BD平分 ∠ABC，DE⊥AB于E，则：
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测

O D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等).
A D
1
2
PC
E B
用心想一想，马到成功
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这 个角的平分线上． 这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出 反例。 不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边 距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．
∠AOB的平分 线吗？
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。 你发现了什么？
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的 距离相等.
温馨提示：本题综合运 用线段的垂直平分线的 性质和角平分线的性质 哦！
O
B
D● C●
A
3.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与 铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000)。
1.4
本节课我们学习什么？
1.角平分线的性质定理和判定定理。 2.用尺规作角的平分线。
回顾
思考
还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的?
与小组同学交流。 角平分线上的点到角两边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
A D
在Rt△ODP和Rt△OEP中 O
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
1
2
PC
E B
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
图形语言

05
巩固练习与提高
Байду номын сангаас 基础练习题
题目1
已知∠AOB = 90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上移 动，两直角边分别与边OA、OB交于点C、D。求证：PC = PD。
题目2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，且BD = CD，DE、DF分别垂直于AB、 AC，垂足为E、F。求证：BE = CF。
角平分线的性质( 第1课时)
目录
• 角平分线的基本概念与性质 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用举例 • 角平分线与相关概念的联系与区
别 • 巩固练习与提高
01
角平分线的基本概念与性 质
角平分线的定义
01
角平分线是指从一个角的顶点出 发，将该角平分为两个相等的小 角的一条射线。
02
角平分线所在的直线是该角的对 称轴，即角平分线上的每一点到 角的两边的距离相等。
角平分线把三角形分成面积相等的两个三角形。因此，在三 角形中，若一条射线将三角形分成面积相等的两个三角形， 则这条射线是三角形的角平分线。
利用三角形全等判定
• 若两个三角形有两边及夹角对应相等，则这两个三角形全等（SAS）。因此，在判定角平分线时，我们可以通过构造两个三 角形并证明它们全等来判断一条射线是否为一个角的平分线。具体方法为：在角的两边上分别截取两段相等的线段，再分 别以这两段线段为邻边作两个三角形，若这两个三角形全等，则所截取的线段所在的射线就是这个角的平分线。
提高练习题
题目1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G。求证：AD 垂直平分EF。
题目2
在三角形ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC = 32，且BD:CD = 9:7，求点D到AB的距 离。

M
N
O
探究体验
［教学内容4］ 操作： （1）作一个平角∠AOB的 平分线OC， （2）反向延长OC得到直 A 线CD. 思考1：请说出直线CD与 AB的位置关系. 思考2：作出一个45º 的角.
C
O教学内容5］ 操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在 一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形 （使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕. 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系， 它们的长度有何关系？
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
合作交流
［教学内容7］ 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则 PE=PF. （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F 分别在OA、OB上，则PE=PF. （3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P 到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm. A A A E E E
评价反思
［教学内容10］ 1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？ 2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
评价反思
［教学内容11］ 作业 必做题：教材第22页第1、2、3题 选做题：教材第23页第6题
探究体验
［教学内容6］
合作交流
［教学内容11］ 作业（必做题） （1）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的 ∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N 作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分 ∠AOB，为什么？ （2）△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD， DE⊥AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC. （3）如图，CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，垂足分别为DE， BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝ ∠2

⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ （2）求证： △DBC ≌△DEB
A
E D
B
C
练一练
2. 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
在∠AOB的平分线 OC上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
证明：
C
A D
证明一个几何命题的步骤： 1. 2. 3.
（课本21页）
P
·
E
O

B
1. 在Rt△ABC中， ∠C 为直角，BD平分 ∠ABC，DE⊥AB于E，则：
好好学习，天天向上。
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
• 堂堂清
作 业
• 1.课本22页第2题。（作业本） • 2.练习册 • 3.预习教材21页。自学例题并思考点P在角 A的平分线上吗？ • 能力提升题：
课本23页第5题。（作业本）
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知