八年级数学一次函数的图像和性质

一次函数的图像和性质1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．4. 能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.一次函数的定义域是一切实数.一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问题确定.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1. 函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2. 一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：（为常数，且）过（0，）和（，0）点的一条直线、的取值函数变化规律随的增大而增大随的增大而减小3. 、对一次函数的图象和性质的影响：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，直线的截距是.由于值的不同，则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同，这个常数称为直线的斜率.决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置、一起决定直线经过的象限4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、一次函数与一元一次方程（组）的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点五、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.典型例题类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为____【变式2】（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟类型三、一次函数的性质3、已知一次函数．（1）当、是什么数时，随的增大而增大；（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（）A． B． C．D．【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．类型四、一次函数与一元一次方程（组），一元一次不等式5、若直线与轴交于（5，0）点，那么关于的方程的解为______. 【变式1】如图，已知直线，则关于的方程的解＝_________.【变式2】若方程组的解为你能说出一次函数与的图象的交点坐标吗6、如图，直线交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式＜0的解集为（）A．＞－3B．＜－3C．＞3D．＜3【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（）A．≥0B．≤0C．≥2D．≤2巩固练习一.选择题1. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（）A． B． C． D．2．一次函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.4. 若函数与的图象交于轴上一点，则的值为（）A．4 B．－4 C．D．±45．已知直线和直线相交于点(2，)，则、的值分别为（）．A．2，3 B．3，2 C．，2 D．，36. 如图，已知函数和的图象交于点P（－2，－5），则下列结论正确的是（）A．＜－2时，＜B．＜－2时，＞C．＜0 D．＜0二.填空题7. 如果直线经过第一、二、三象限，那么______0．8. 点是一次函数图象上的两个点，且，则_ ．（填＞，＜或＝）9. 已知一次函数的图象与直线平行, 则＝______.10. 一次函数的图象与轴的交点坐标是_____，与轴的交点坐标是______．11. 一次函数与的图象如图，则方程的解是________.12. 已知不等式＞的解集是＜2，则直线与的交点坐标是_______.三.解答题13. 已知一次函数，（1）当______时，它的图象经过原点；（2）当______时，它的图象经过点(0，－2)；（3）当______时，它的图象与轴的交点在轴的上方；（4）当______时，它的图象平行于直线；（5）当______时，随的增大而减小.14. 已知与成正比例，且当＝1时，＝5（1）求与之间的函数关系式；（2）若图象与轴交于A点，与交于B点，求△AOB的面积.15. 如图所示，根据图中信息．（1）你能写出、的值吗？（2）你能写出P点的坐标吗？（3）当为何值时，＞？。

15一次函数的图像与性质1.图像特点：一次函数的图像是一条直线，它经过原点(0,0)。

直线的斜率k可以表示函数的性质，决定了直线的倾斜程度和方向。

当k大于0时，直线向右上方倾斜；当k小于0时，直线向右下方倾斜；当k等于0时，直线平行于x轴。

2.变化趋势：一次函数的变化趋势与自变量x的变化直接相关。

当x变大时，若k大于0，则y也会增大；若k小于0，则y会减小。

反之，当x变小时，则y的变化情况也相应地相反。

由此可见，一次函数的图像呈现出一个直线，且变化趋势具有确定性。

3.斜率性质：斜率k是一次函数的重要性质，它表示了函数图像的倾斜程度和方向。

一次函数的斜率有以下几个关键性质：-当k大于0时，函数图像是向上倾斜的，即从左下向右上。

斜率越大，直线越陡峭。

-当k小于0时，函数图像是向下倾斜的，即从左上向右下。

斜率越小，直线越平缓。

-当k等于0时，函数图像是平行于x轴的水平直线。

4.截距性质：一次函数还有一个重要的性质是截距。

截距表示了一条直线与y轴的交点，记作（0，b）。

对于一次函数y=kx来说，截距b等于函数在x=0处的取值，即b=k*0=0。

因此，一次函数经过原点（0，0），并且与y轴没有交点。

5.定比关系：一次函数的数值关系具有一种特殊的定比关系。

对于一次函数y=kx来说，当x增大或减小时，y的值与x的比值始终保持不变，即y/x=k。

这称为一次函数的定比关系，可以用来解决一些实际问题，如单位换算、速度、密度等概念的计算。

6.定义域和值域：一次函数的定义域为所有实数集R，即函数在实数范围内都有定义。

值域则取决于斜率k的正负。

当k大于0时，一次函数的值域是(0，+∞)；当k小于0时，值域是(-∞，0)。

由于一次函数的图像是直线，所以图像在纵轴方向上没有上下界限。

7.相关性质：一次函数的图像与直线的性质有密切关联，因为一次函数的图像就是一根直线。

因此，一次函数也具有直线的一些基本性质，如：-一次函数的斜率等于直线的斜率。

一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。

（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。

（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。

4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。

三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。

其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。

二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。

分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。

解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。

例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。

（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。

一次函数的性质和图像目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。

（常数项）b决定图象与y轴交点位置。

五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2两直线重合，k1= k2，b1=b2两直线相交，k1≠k2两直线垂直，k1×k2=－1（一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。

一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。

因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。

正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。

在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。

确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。

若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。

《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇一次函数的图象教案篇一一、学生起点分析八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系。

二、教学任务分析《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级(上)第六章《一次函数》的第三节。

本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直线，能熟练地作出一次函数的图象。

第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质。

本课时是第一课时，教材注重学生在探索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识。

为此本节课的教学目标是：1.了解一次函数的图象是一条直线，能熟练作出一次函数的图象。

2.经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。

3.已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力。

4.理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系。

教学重点是：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。

教学难点是：理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系。

三、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境引入课题；第二环节：画一次函数的图象；第三环节：动手操作，深化探索；第四环节：巩固练习，深化理解；第五环节：课时小结；第六环节：拓展探究；第七环节：作业布置。

第一环节：创设情境引入课题内容：一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S(米)与小明出发的时间t(分)之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？S=80t(t≥0)下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗？我们说，上面的图象是函数S=80t(t≥0)的图象，这就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。

初中数学知识归纳一次函数的性质和像初中数学知识归纳：一次函数的性质和像一次函数是数学中较为基础和常见的函数类型之一。

它的表达式可以写作y = ax + b，其中a和b都是常数，且a ≠ 0。

本文将归纳一次函数的性质和像，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

1. 第一性质：一次函数的图像是直线一次函数的图像永远是一条直线，不论参数a和b的取值如何。

这意味着当我们绘制一次函数的图像时，得到的线条总是直线而不会出现弯曲或曲线。

2. 第二性质：斜率决定直线的倾斜程度在一次函数中，斜率a决定了直线的倾斜程度。

斜率表示单位变化y对应的x的变化量。

当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线平行于x轴。

3. 第三性质：截距决定直线与y轴的交点位置一次函数中的截距b决定了直线与y轴的交点位置。

截距表示当x 为零时，函数值y所对应的点在y轴上的位置。

若截距为正，交点在y 轴上方；若截距为负，交点在y轴下方；若截距为零，交点与y轴相交于原点。

4. 第四性质：在直线上的两点可以得到一次函数的表达式已知一次函数经过直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用这两点间的斜率来求取一次函数的表达式。

斜率k的计算公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

在得到斜率k后，我们可以选择其中一个点，代入一次函数的表达式y = ax + b中，求取b的值。

5. 第五性质：一次函数的图像与平行和垂直关系两个一次函数如果有相同的斜率a，则它们的图像是平行的。

这是因为它们的直线具有相同的倾斜程度。

另一方面，两个一次函数如果斜率互为倒数，即a1 = -1/a2，则它们的图像是垂直的。

这是因为它们的直线互相垂直。

通过对一次函数的性质的归纳总结，我们可以更好地理解和应用这一概念。

一次函数的图像是直线，斜率决定直线的倾斜程度，截距决定直线与y轴的交点位置，已知两点可以求解一次函数的表达式，而斜率则决定了图像之间的平行和垂直关系。

八年级数学复习资料：一次函数八年级数学复习资料：一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx（k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k 为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。