乘法公式及分解因式的十字相乘法 江苏版

第一讲 十字相乘法 立方和、立方差公式教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax 2+bx+c 的二次三项式因式分解；2. 理解掌握立方和、立方差公式；3．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。

教学过程（一）十字相乘法我们知道：ab x b a x b x a x +++=++)())((2.因此在分解因式中有))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，注意观察式中的系数.一般地我们有：对于二次项系数是1的二次三项式q px x ++2来说，如果它的常数项可以看作两个数a 与b 的积，而一次项系数恰是a 与b 的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，即p ＝a+b ，q ＝ab 时，))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++.借助画十字交叉线写成：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到一次项系数.像这样，利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法.用此方法分解因式的关键在于确定a 与b 的值.例1 分解因式：（1）652+-x x ；（2）2142--x x .例2 分解因式:（1）8224--x x ；（2）3)(4)(2++-+b a b a .例3 分解因式:（1）2223y xy x +-；（2）2222242153y a xy a x a --.例4 分解因式：（1）3722+-x x ；（2）22224954y y x y x --. 例5 分解因式：（1）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（2）a ax x x 51522---+.例6已知：关于x 的方程07x 14mx 2=--的两个实数根21x x 和，关于y 的方程0n 2n y )1n (2y 22=-+--有两个实数根21y y 和，且4y y 221≤<≤-。

当21x x 2+－014)y y 2(2x x 622121=+-+时，求m 的取值范围。

因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。

交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。

从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。

十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧十字相乘法口诀十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数具体步骤：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数原理：运用了乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字相乘法能把二次三项式分解因式(不一定在整数范围内)。

对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式计算步骤：⑴把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2⑵把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2⑶使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b⑷结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)实质：二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，需注意各项系数的符号。

基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

十字相乘顺口溜竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

步骤注释①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式十字相乘法对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

【十字相乘法的方法】十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

【十字相乘法的用处】(1)用十字相乘法来分解因式。

(2)用十字相乘法来解一元二次方程。

因式分解的一般步骤(1) 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;(2) 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解;(3) 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解;(4) 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。

在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。

以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。

十字相乘法十字分解法能把二次三项式因式分解。

要务必注意各项系数的符号，以及写在十字交叉线四个部分的项。

方法是：交叉相乘，水平书写。

公式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)或写为(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab中文名：十字分解法别称：十字相乘法表达式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)应用学科：数学适用领域范围：因式分解目录1概念2通俗方法3例题解析例1 例2 ▪例34教学难点5原理6教学重点7判定8具体应用9注意事项1概念编辑十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能把某些二次三项式分解因式。

对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

十字相乘法例题解析2通俗方法编辑例：a²x²+ax-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a 相乘得到的，则推断出(a ×+？）×(a ×+？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。

再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成-21×2 或者21×-2。

数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。

⽅方法⼀一：提公因式法：⽅方法⼆二：运⽤用公式法：常⽤用公式（1）（2）补充：（1）（2）（3）（4）【例例题1】已知的三边，且，则的形状是________.⽅方法三：分解分组法：（⼀一）分组后能直接提取因式【例例题2】分解因式：（⼆二）分组后能直接运⽤用公式【例例题3】分解因式：　★★★⽅方法四：⼗十字相乘法：（⼀一）⼆二次项系数为1的⼆二次三项式直接利利⽤用公式——进⾏行行分解。

因式分解的常⽤用⽅方法ma +mb +mc =m (a +b +c )−=(a +b )(a −b )a 2b 2±2ab +=(a ±b a 2b 2)2+=(a +b )(−ab +)a 3b 3a 2b 2−=(a −b )(+ab +)a 3b 3a 2b 2+++2ab +2bc +2ac =(a +b +c a 2b 2c 2)2++−3abc =(a +b +c )(++−ab −bc −ac )a 3b 3c 3a 2b 2c 2a 、b 、c 是△ABC ++=ab +bc +ac a 2b 2c 2△ABC 2ax −10ay +5by −bx+6xy +9−16+8−1x 2y 2a 2a 2+(p +q )x +pq =(x +p )(x +q )x 2特点：①⼆二次项系数是1； ②常数项是两个数的乘积； ③⼀一次项系数是常数项的两因数的和。

【例例题4】分解因式：（1）；（2）（⼆二）⼆二次项系数不不为1的⼆二次三项式【例例题5】分解因式：（三）⼆二次项系数为1的⻬齐次多项式【例例题6】分解因式：⽅方法五：换元法：【例例题7】⽅方法六：添项、拆项、配⽅方法：【例例题8】分解因式：+5x +6x 2−7x +6x 2a +bx +c =（x +）（x +），其中a =，c =x 2a 1c 1a 2c 2a 1a 2c 1c 2（1）3−11x +10；（2）10−17x +3x 2x 2（1）−8ab −128；（2）−3xy +2a 2b 2x 2y 2（1）2017−(−1)x −2017；（2）(x +1)(x +2)(x +3)(x +6)+x 220172x 2−3+4x 3x 2⽅方法七：待定系数法：【例例题9】分解因式：1、将分解因式的结果为，则的值为_________.2、若_________.________.3、多项式的公因式是________.4、已知________.5、如果有两个因式，求的值。