初中数学人教教材培训资料

新人教版八年级数学培训资料Word版上下册目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图BF AC E NMPDD A CB FE21ABCPQE F D。

最新人教版八年级数学上册及下册部分辅导讲义第1讲等腰三角形性质及判定【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.举一反三：EACF 【变式】已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD ，AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．类型二、等腰三角形中的分类讨论例2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC ＝8cm ，且|AC －BC|＝2cm ，那么腰AC 的长为( )． A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm类型三、等腰三角形性质和判定综合应用例4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．举一反三：【变式】如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ．(1)求证：BE ＝AD ；(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由．【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或17D ．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的有( )①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝DB ＋CE ；③AD ＋DE ＋AE ＝AB ＋AC ； ④BF ＝CF. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是（ ） A ．60° B．70° C．80° D．不确定6. 如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，若AD 、AE 三等分∠BAC ，则图中等腰三角形有 （ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个二.填空题7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB ＝_________cm ． 10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．最新人教版八年级数学上册及下册部分辅导讲义21N MFE D B CA EP QDCA B第2讲 等边三角形考点 方法 破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．(1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状。

“第三章一元一次方程”简介一、教科书内容和课程学习目标1．教科书内容本章继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。

人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用。

从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。

从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。

本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题。

其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。

分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。

列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。

讨论一元一次方程的解法时，会直接应用“合并同类项”“去括号”等法则，而有理数运算和整式加减运算是解一元一次方程的基础知识。

全章共包括四节：3．1 从算式到方程这一节分为两个小节．3.1.1 一元一次方程在小学阶段，数学课中用算术方法解应用题是重要内容，此外还有关于最简单的方程的内容．本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步．算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数．列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破．正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性．本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，并且对于“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳．3.1.2 等式的性质方程是含未知数的等式，为适合初中学生学习，本章不涉及方程的同解理论，而以等式的性质作为解方程的根据．本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法．这将为后面几节进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据．3.2 一元一次方程的讨论（一）———合并同类项与移项本节仍然结合一些实际问题展开，重点讨论两方面的问题：（１）如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题．（２）如何解方程？这节重点讨论解方程中的“合并同类项”和“移项”，这样就已经可解=ax++cxdb类型的一元一次方程．本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780～850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的《对消与还原》一书，提问“对消”与“还原”是什么意思，作为后面要讨论的内容的引子．在本节内容展开中引出“合并同类项”和“移项”．本节中用框图形式归纳出“用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程”．3.3 一元一次方程的讨论（二）———去括号与去分母本节继续结合一些实际问题讨论一元一次方程，重点讨论两方面的问题：（１）如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题．（２）如何解方程？本节重点讨论解方程中的“去括号”和“去分母”，这样就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．本节从一道“用电问题”，引出解方程中的“去括号”问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而讨论用去分母的方法解这类方程．在本节中，以解一个具体方程的过程为例，用框图形式表示了一元一次方程解法的一般步骤．3．4实际问题与一元一次方程本节在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．要探究的三个问题（“销售中的盈亏”“油菜种植的计算”“球赛积分表问题”）要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近．本节的重点是建立实际问题的方程模型．通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立方程是主要难点．突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．2. 本章知识结构图（1）利用一元一次方程解决问题的基本过程（2）本章知识安排的前后顺序3. 课程学习目标1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。

九年级讲义目录专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D .（武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,22b x a-±=这个公式形式优美，内涵丰富：① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0（德州市中考试题）7、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b+-=-，那么ba 的值是（ ）A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- （江苏省竞赛试题）8、方程2||10x x --=的解是（ ）A 、12± B 、12- C 、12±或12- D 、12-± 9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a-=，那么代数式1||a a +=（ ）A 、2 B 、2- C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（全国初中数学联赛试题）9、已知x =，求4322621823815x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程2|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】 解下列方程:（1） 42)113(1132=+-++-x xx x x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ； （河南省竞赛试题） （3） 1)1998()1999(33=-+-x x ； （山东省竞赛试题） （4） 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】 解下列方程组:（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）（2） ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x （西安市竞赛试题）（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】 方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1．方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2．()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ，这个方程的解为x =_________________.3．实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4． 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a（武汉市选拔赛试题）5．使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根，那么它有（ ）A ．一组解B ．二组解C ．三组解D ．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312=+，b b 312=+且b a ≠，则代数式2211b a +的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 8．已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ，则22y x +的值为（ ）A ．6B ．17C ．1D ．6或179．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.（1）求a 的取值范围；（2）若116832212221--=-+a a x x x x ，试求a 的值.（南通市中考试题）11．已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B 级1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________. （《学习报》公开赛试题）6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x xx x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程06623=+--x x x 的所有根的积是（）A ．3B ．-3C ．4D ．-6E ．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（ ）A ．1B ．21-C ．2D ．32-10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）()1639322=-+x x x ； （武汉市竞赛试题）（2）()()()6143762=+++x x x ；（湖北省竞赛试题）（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y y y x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3-），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使PA ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题） 解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米 （吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________.（昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上 （全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（ ） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（ ）A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线241x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于。

初中数学人教培训资料第一章：有理数1. 有理数的概念有理数是指能够表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零以及正负分数。

有理数可以用分数表示，或者以小数形式表示，例如-2、0、3/4、-1.5等都是有理数。

2. 有理数的比较有理数的比较可以通过求绝对值和大小关系来进行。

例如，对于两个数a和b，如果|a|>|b|，则a>b；如果|a|<|b|，则a<b。

如果a与b同号，则可以直接比较大小；如果a与b异号，则需要先求绝对值再比较大小。

3. 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和减法的规则是同号相加取绝对值相加，异号相减取绝对值相减，结果的符号取绝对值较大的数的符号；乘法和除法的规则是同号得正，异号得负，绝对值相乘或相除。

4. 有理数的应用有理数在日常生活中有许多应用，比如表示温度、海拔等。

另外，在代数表达式的求值和方程的解的过程中，也经常会涉及有理数的运算和比较。

第二章：方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常表示为ax+b=0的形式。

解一元一次方程的方法有整除法、加减法和变形法。

2. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，通常表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。

解一元一次不等式的方法同样有整除法、加减法和变形法。

3. 二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c的形式。

解二元一次方程的方法有代入法、化归法和消元法。

4. 二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次不等式，通常表示为ax+by>c或ax+by<c的形式。

解二元一次不等式的方法同样有代入法、化归法和消元法。

第三章：图形的性质1. 直角三角形直角三角形是指内部含有一个直角（90度）的三角形。

直角三角形的性质包括直角边、斜边、勾股定理等。

2. 等腰三角形等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。

新人教版八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________ 得分：_____一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

两个非负数：（1）a ≥0 ；（2）a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：ba b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a bab a1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32； （2）2ba 33； （3）48.0 （4）yxx2（5）2925x y例5：计算： （1）351223⨯ （2） 21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy三、强化训练：1、使式子有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x ≤1； B 、x ≤1且2x ≠-； C 、2x ≠-； D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（ ）A 2X-1B 1-2XC -1D 1 3、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ）A 、1；B 、C 、19；D ．4、n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7． 5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（ ） A()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x x x x成立的条件是（ ）A x ≠3B x ≥0C x ≥0且x ≠3D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是 。

人教版初中数学讲义第一章有理数一、正数和负数1、正数、负数：大于零的数叫做正数〃小于零的数叫做负数。

应用：生产收入〃海拔高低〃气温的冷热〃方位的指向〃比赛的胜负〃比例的增长等等。

二、有理数1、概念：整数和分数统称为有理数。

2、分类负分数负整数负数零正分数正整数正数或负分数正分数分数负整数零正整数整数注：分数和小数可以互化〃所以小数可以归为分数类。

3、“0”表示的意义：（1）0既不是正数也不是负数（2）0是整数（3）0不是表示没有〃有时表示一种趋于正负的状态（4）0是最小的自然数〃即是最小的非负整数（5）0不能作为分母（6）0等相反数是0（7）0的绝对值是0（8）0没有倒数（9）0乘以任何数都为0（10）0除以任何不为0的数都为0.4、数轴：通常用一条直线上的点表示数〃这条直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点〃正方向〃单位长度。

数学中规定：在数轴上表示有理数〃它们从左到右的顺序〃就是从小到大的顺序〃即左边的数小于右边的数。

5、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

与原点距离相等的两个数互为相反数。

互为相反数的两个数相加得0（a〃b互为相反数〃则a+b=0）6、绝对值：一般地〃数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值〃记作|a| |a|=两个负数〃绝对值大的反而小。

三、有理数的加减法1、有理数的加法：（1）加法法则：同号两数相加〃取相同的符号〃并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加〃取绝对值较大的加数的符号〃并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0. 一个数同0相加〃仍得这个数。

（2）运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）2、有理数的减法：减法法则：减去一个数〃等于加上这个数的相反数。

a-b=a+（-b））引入相反数后〃加减混合运算可以统一为加法运算。

四、有理数的乘除法1、有理数的乘法：（1）乘法法则：两数相乘〃同号得正〃异号得负〃并把绝对值相乘。

(完整版)人教版初中数学总复习资料doc①已知三边作三角形②已知两边及其夹角作三角形③已知两角及其夹边作三角形④已知底边及底边上的高作等腰三角形⑹过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆⒏视图与投影⑴直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图⑵轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆⑶中心对称图形：矩形、圆、⑷图形的平移和旋转⑸图形的相似：(三)概率与统计⒈统计⑴重要概念①总体：考察对象的全体。

②个体：总体中每一个考察对象。

③样本：从总体中抽出的一部分个体。

④样本容量：样本中个体的数目。

⑤众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

⑥中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）。

⑵扇形统计图、条形统计图、折线统计图⑶计算方法①平均数：某1(某1某2某n)n某②加权平均数：kfk某某1f1某2f2f1f2fnkn)③样本方差：⑴s1[(某1某)2(某2某)2(某n某)2]n④样本标准差：ss2⑤极差：最大的数减去最小的数⒉概率①列表法、画树状图法93同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合1042定理1关于条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）某180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a某b）÷267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过其中一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形1177角相等的梯形是等腰梯形78平行等分段定理如果一平行在一条直上截得的段相等，那么在其他直上截得的段也相等79推1梯形一腰的中点与底平行的直，必平分另一腰80推2三角形一的中点与另一平行的直，必平分第三81三角形中位定理三角形的中位平行于第三，并且等于它的一半82梯形中位定理梯形的中位平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L某h83 (1) 比例的基本性如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2) 合比性如果 a／ b=c／ d,那么(a ±b)／b=(c ±d)／d85(3)等比性如果a／b=c／d=?=m／n(b+d+?+n≠0),那么(a+c+?+m)／(b+d+?+n)=a／b86平行分段成比例定理三条平行截两条直，所得的段成比例87推平行于三角形一的直截其他两（或两的延），所得的段成比例88定理如果一条直截三角形的两（或两的延）所得的段成比例，那么条直平行于三角形的第三89平行于三角形的一，并且和其他两相交的直，所截得的三角形的三与原三角形三成比例90定理平行于三角形一的直和其他两（或两的延）相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角相等，两三角形相似（ASA）92直角三角形被斜上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两成比例且角相等，两三角形相似（SAS）94判定定理3三成比例，两三角形相似（SSS）95定理如果一个直角三角形的斜和一条直角与另一个直角三角形的斜和一条直角成比例，那么两个直角三角形相似96性定理1相似三角形高的比，中的比与角平分的比都等于相似比97性定理2相似三角形周的比等于相似比98性定理3相似三角形面的比等于相似比的平方99任意角的正弦等于它的余角的余弦，任意角的余弦等于它的余角的正弦100任意角的正切等于它的余角的余切，任意角的余切等于它的余角的正切101是定点的距离等于定的点的集合102的内部可以看作是心的距离小于半径的点的集合12103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

人教版初中数学讲义标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、48、定理四边形的内角和等于360°49、49、四边形的外角和等于360°50、50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、51、推论任意多边的外角和等于360°52、52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、75、等腰梯形的两条对角线相等76、76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83、83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d84、84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85、85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),86、那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b87、86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例88、87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例89、88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边90、89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例91、90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似92、91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）93、92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似94、93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）95、94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）96、95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似97、96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比98、97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比99、98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方100、99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值101、100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值102、101、圆是定点的距离等于定长的点的集合103、102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合104、103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合105、104、同圆或等圆的半径相等106、105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆107、106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线108、107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线109、108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线110、109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

七年级数学培训资料Word版上下册目录第01讲与有理数有关的概念（2--8）第02讲有理数的加减法（3--15）第03讲有理数的乘除、乘方（16--22）第04讲整式（23--30）第05讲整式的加减（31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系（一）(101--106)第15讲平面直角坐标系（二）(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164)第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c|c |的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】 01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc|abc |的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）132164116181412-a -b 0b a【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋3 5＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225 ∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c＋61d 等于（ ） A ．18 B ．316 C ．732 D ．1564 03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________ 08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋...＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a b +=，则ab ＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a b a b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab ++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较x y -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n x y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+ 原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞004．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b m cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a b =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较x y-与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab 2cd 4e ＜0 C ．ab 2cde ＜0 D ．abcd 4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.32 x6413．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++== ⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误!未找到引用源。