高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

圆锥曲线一、椭圆：（1 ）椭圆的定义：平面内与两个定点F I,F2的距离的和等于常数（大于厅芾2| L 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2 |表示椭圆；2a |F1F21表示线段F1 F2；2a |F1F2|没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:2 23.常用结论：（1）椭圆笃占i（a b 0）的两个焦点为F I,F2，过F i的直线交椭圆于A, B两 a b点，贝U ABF 2的周长= _______2 2（2）设椭圆务笃1（a b 0）左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线 a b交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是_______________ | PQ | ___________ 、双曲线:（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 F i , F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F 1F 2 |） 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PFj IPF 2I 2a 与 | PF 2 | | PF i | 2a （ 2a | F 1F 2 |）表示双曲线的一支。

2a | F 1F 2 |表示两条射线；2a | F 1F 2 |没有轨迹;（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:顶点 A 1( a,0), A 2(a,0)B 1(0, a),B 2(0,a)对称轴x 轴，y 轴；虚轴为 2b，实轴为2a 焦 占 八、、 八、、F 1( C ,0),F 2(C ,0)F 1 (0, C ), F 2(0,C )焦距El2C (C 0) 2 C2.2a b离心率e C (e 1) a（离心率越大，开口越大）渐近线b y —xaa y— xb通径2 b 2a（4）等轴双曲线为x 2 y 2 t 2，其离心率为 2中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准 方程2x~2 a2y1( a 0,b0)b2y~2a2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线匚〔的渐近线，可令其右边的1为0,即得乂 .2 ' 2a 2b 22yb 2，因式分解得到A y 0。

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)假设a>c，则集合P为椭圆；(2)假设a＝c，则集合P为线段；(3)假设a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 假设F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2()(,)b B c a-± (C)(0，±b ) (D)不存在例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,假设∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )例5 P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，假设21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6.写出满足以下条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．第二部分：双曲线1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)典型例题例8.命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。

(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

圆锥曲线经典大题1.过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：*2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC→＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值围．2.如图，(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。

〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． 〔1〕1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； 〔2〕求MA MB ⋅的最小值． 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.〔1〕过点P 〔0，-4〕作抛物线G 的切线，求切线的方程；〔2〕设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．〔Ⅰ〕求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -，时，AB = 5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕． 〔1〕求椭圆M 的方程；〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径〔E 、F 为直径的两个端点〕，求PF PE ⋅的最大值．6.双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距离为5。

（I ） 求双曲线C 的方程；(II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1,[,2]3AP PB λλ=∈，求AOB ∆面积的取值围。

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点P 到直线y = -l 的距离比它到点（0,3）的距离小2,则点P 的轨迹方程为（ ）A2、若mx- + y--2x-4y = 0的圆心到直线x-y + n = 0的距离为手，则a 的值为1,3B. —或一2 23、设F1. Fz 为曲线G ： U 的焦点，P 是曲线 5 —-y-=l *jCi 的一个交点,6 2 34、经过抛物线y^=2x 的焦点且平行于直线3戈•-2y + 5 = 0的直线/的方程是（ A.6x-4y — 3 = 0 B. 3兀一 2y -3 = 05、若抛物线r =2/zv 的焦点与椭圆—+ = 1的右焦点重合，则"的值为（6 26、如图，过抛物线y- =2px （p>Q ｝的焦点F 的宜线I 交抛物线于点A 、B,交苴准线于点 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为（8、已知双曲线务-詈=13>0）的中心在原点，右焦点与抛物线y- = 16x 的焦点重合,A. X" = 12yy" = \2x C. = 4yA-・2或2C ・2或0D ・・2或0则△PF1F2的面积为（ ）C （A ） i(B)l (C)迈 (D)2 迈C. 2x + 3y — 2 = 0D, 2x + 3y-l = QA- -2 B. 2 C ・-4 D ・4C, BA. C ・ .3V' =-%2 .9 y" = —X 丿2B ・ y" =3x D. y" =9x?77、唸-宁"的顶点为焦点，长半轴长为山椭圆方程为A. 乂+ 二= 64 52B.匕+2216 1216 4 D.M 4 16 0则该双曲线的离心率等于( D二、解答题21.已知椭圆F+厶＞ =1(0＜方＜1)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C 上顶点为B,过FbC h-三点作0P ，英中圆心P 的坐标为行⑴若椭圆的离心率一斗，求。

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

圆锥曲线的综合问题考纲解读 1.求圆锥曲线过定点问题；2.利用圆锥曲线求定值、常数值；3.利用圆锥曲线求变量的取值范围，最值问题；4.利用圆锥曲线求解探索性、存在性问题．考点一 圆锥曲线过定点问题|方法突破[例1] (2018·淄博模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)因为左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10，所以(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1.又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 化为3＋4k 2>m 2.所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1， 所以y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0， 所以3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.化为7m 2＋16mk ＋4k 2＝0， 解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7.且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当m ＝－2k7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27，0 .[方法提升][母题变式]若本例的条件“以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点”，改为“以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点”．则直线l 是否还过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，化为3＋4k 2>m 2. 所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆左顶点D (－2,0)，k AD ·k BD ＝－1，所以y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，所以3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2－16mk 3＋4k 2＋4＝0.化为7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝2k 7.且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝2k 时，l ：y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2,0)与已知矛盾； 当m ＝2k7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋27，直线过定点⎝⎛⎭⎫－27，0. 综上可知，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫－27，0.考点二 圆锥曲线的定值问题|方法突破[例2] 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1.若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB＝－34(O 为坐标原点)，判断△AOB 的面积是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则由Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，得3＋4k 2－m 2>0.又x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.又由k OA ·k OB ＝－34，得y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＝－34·4(m 2－3)3＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3. 又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝24(1＋k 2)3＋4k 2.点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k2＝ 2－12(1＋k 2)≥2－12＝62. S △AOB ＝12|AB |d ＝1224(1＋k 2)3＋4k 2·|m |1＋k 2＝12 24(1＋k 2)m 2(3＋4k 2)(1＋k 2)＝12243＋4k 2·3＋4k 22＝ 3. [方法提升]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时，此时|AB |＝3，|CD |＝4；或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712.考点三 圆锥曲线中的范围(最值)问题|模型突破[例3] (2018·聊城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，l ：x ＝－a 2c ，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫22，1[解析] 设点P (x 1，y 1)，由于PQ ⊥l ，故|PQ |＝x 1＋a 2c ，因为四边形PQF 1F 2为平行四边形，所以|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ，即x 1＋a 2c ＝2c ，则有x 1＝2c －a 2c >－a ，所以2c 2＋ac －a 2>0，即2e 2＋e －1>0，解得e <－1或e >12，由于0<e <1，所以12<e <1，即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1. [答案] A [模型解法][高考类题]1．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b 2a .又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上，由Rt △BF A ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即(b 2a )2＝(c －a )|FD |，所以|FD |＝b 4a 2(c －a )，则由题意知b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2(c －a )<a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<b a <1，而双曲线的渐近线斜率为±ba ，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.答案：A2．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12.因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3. 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.考点四 圆锥曲线的存在性问题|方法突破[例4] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m 1－n ，即M (m1－n，0)．(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以 y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ， 点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)． [方法提升][跟踪训练](2018·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围．(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于①中 Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2 ＝4k 2－2>0， 解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)不存在，理由如下：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 21＋2k 2＋2 2.因为(OP →＋OQ →)⊥AB →，AB →＝(－2，1)，所以(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0， 即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k 21＋2k 2＋22＝0.解得：k ＝－24， 由(1)知k 2>12，与此相矛盾，所以不存在常数k 使OP →＋OQ →与AB →垂直．[考点二](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解析：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．。

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（323A(x 1,y 1（1）22a x （2）22a x （3）【例1(2)（2）最小。

解：（连PF y=22（2）（1,41） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程。

分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=53sinA2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵∴a=3例5式得出y 0（2）则⎪⎩⎪⎨⎧211(x x x 即[(x 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得[(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9∴220041944x x y +=-， ≥,5192=-450≥y当4x 02+1=3即220±=x 时，45)(min 0=y 此时)45,22(±M 法二：如图，32222=≥+=+=AB BF AF BB AA MM∴∴∴M 的方法。

高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（ ） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。

设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。

如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。

a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。

“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜ ＝ 或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 标为 。

高考圆锥曲线的基础典型题型2014.1.19-23 解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一.直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题，通常在解决直线和圆锥曲线问题上，往往要做三步，一就是联立方程组，二就是求判别式，并且判别符号..第三，运用韦达定理，如果这三步做完了，就是解不等式，或者求函数的值域或定义域的问题了. 具体如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重.由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”.(2)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.(3)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.(4)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.(5)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点.(6)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向.【命题特点试题常见设计形式】求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥.（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题<1>曲线的形状已知-----这类问题一般可用待定系数法解决；<2>曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）【高考考点】：1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、熟练掌握三大曲线的定义和性质；8、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题；9、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

..圆锥曲线练习一、选择题(本大题共13小题，共65.0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A.k＞1B.k＜-1C.-1＜k＜1D.-1＜k＜0或0＜k＜12.方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（-1，2）B.m∈（-4，2）C.m∈（-4，-1）∪（-1，2）D.m∈（-1，+∞）3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3B.1C.3D.64.已知椭圆的焦点为（-1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6.“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件7.方程+=10，化简的结果是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A. B. C. D.9.若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x10.抛物线y=ax2（a＜0）的准线方程是（）A.y =-B.y =-C.y =D.y =11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812.已知点P是抛物线x =y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A.2B.C.-1D.+113.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（）A.2B.-1C.2或-1D.1±二、填空题(本大题共2小题，共10.0分)14.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B 在椭圆上，则= ______ ．15.已知椭圆，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数k=____________．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)16.已知三点P （，-）、A（-2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求弦长|AB|高中数学试卷第2页，共10页..18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．19.已知抛物线的标准方程是y2=6x，（1）求它的焦点坐标和准线方程，（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB 的长度．20.已知椭圆的离心率，直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.已知椭圆C：4x2+y2=1及直线L：y=x+m．（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．答案和解析【答案】1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.B11.A12.C13.A14.15.816.解：（1）2a =PA+PB=2，所以a =，又c=2，所以b2=a2-c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为：+=1．17.解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，解得a=4，b=2，∴椭圆方程为=1．（2）联立，得5x2+16x=0，解得，，∴A（0，2），B（-，-），∴|AB|==．18.解：（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，∴，c=2∵c2=a2+b2∴a=1，b =∴双曲线的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程可得，两式相减，结合点A（1，）为线段MN 的中点，可得∴=∴直线L 方程为，即4x-6y-1=0．高中数学试卷第4页，共10页..19.解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=∴焦点为F（，0），准线方程：x=-，（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线L的方程为y=x-，代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．20.解：（1）因为直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，∴，∴b=1，∵椭圆的离心率，∴，∴a2=3，∴所求椭圆的方程是．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1，设C（x1，y1），D（x2，y2），则有，，若以CD为直径的圆过点E，则EC⊥ED，∵，，∴（x1-1）（x2-1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5=0∴，解得，所以存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．21.解：（1）由方程组，消去y，整理得5x2+2mx+m2-1=0．（2分）∴△=4m2-20（m2-1）=20-16m2（4分）因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0，即20-16m2≥0，解之得-．（5分）（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得，（8分）∴弦长|AB|===，-，∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．（10分）【解析】1. 解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．故选：D．曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：方程表示椭圆的充要分条件是，即m∈（-4，-1）∪（-1，2）．由题意可得，所求的m的范围包含集合（-4，-1）∪（-1，2），故选：B．由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题．3. 解：①椭圆+=1，中a2=2，b2=k，则c =，∴2c =2=2，解得k=1．高中数学试卷第6页，共10页..②椭圆+=1，中a2=k，b2=2，则c=，∴2c=2=2，解得k=3．综上所述，k的值是1或3．故选：A．利用椭圆的简单性质直接求解．本题考查椭圆的简单性质，考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．4. 解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，b=，即有椭圆方程为+=1．故选：B．设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的焦点的运用，属于基础题．5. 解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．6. 解：a＞0，b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示椭圆，如a=b=1；反之，若方程ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0．∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件．故选：C．直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题．7. 解：由+=10，可得点（x，y）到M（0，-3）、N（0，3）的距离之和正好等于10，再结合椭圆的定义可得点（x，y）的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，且2a=10、c=3，∴a=5，b=4，故要求的椭圆的方程为+=1，故选：C．有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程．本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8. 解：椭圆的左焦点为F（-，0），右焦点为（，0），∵P 为椭圆上一点，其横坐标为，∴P 到右焦点的距离为∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4-=故选D．确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，即可求得P到左焦点的距离．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．9. 解：∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=-4，可得点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=-4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2=2px，可得=4，得2p=16，∴抛物线的标准方程为y2=16x，即为P点的轨迹方程．故选：C根据题意，点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程．本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1，求点P的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．10. 解：抛物线y=ax2（a＜0）可化为，准线方程为．故选B．抛物线y=ax2（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程．本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．11. 解：抛物线y2=4x的准线为x=-1，∵点P到直线x=-3的距离为5，∴点p到准线x=-1的距离是5-2=3，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是3，故选A．先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-3的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距高中数学试卷第8页，共10页..离相等这一特性．12. 解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：-1=．故选：C．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．13. 解：联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得k2x2-（4k+8）x+4=0，（k≠0），判别式（4k+8）2-16k2＞0，解得k＞-1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，由AB中点的横坐标为2，即有=4，解得k=2或-1（舍去），故选：A．联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2．本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．14. 解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．15. 解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然k-2＞10-k，即k＞6，，解得k=8故答案为：8．16.利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程．本题考查了椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．17.（1）由椭圆的离心率为，短轴长为4，列出方程组，能求出椭圆方程．（2）联立，得5x2+16x=0，由此能求出弦长|AB|．本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18.（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式．属于基础题．20.（1）利用直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，求出b，利用椭圆的离心率求出a，得到椭圆方程．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则利用韦达定理结合EC⊥ED，求解k ，说明存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查存在性问题的处理方法，设而不求的应用，考查计算能力．21.（1）由方程组，得5x2+2mx+m2-1=0，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求出弦长|AB|=，由此能求出当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．高中数学试卷第10页，共10页。