代数式与整式因式分解

代数式整式因式分解笔记
代数式是由数字、字母和运算符号组成的数学表达式。

整式是指由有限个数的项有限次加减得到的代数式，且每一项中字母的指数只能是自然数或零。

因式分解是将一个代数式写成若干个因式的乘积的形式。

在代数式整式因式分解的过程中，我们需要注意以下几个步骤和方法：
1. 提取公因式，首先要看能否从整个代数式中提取出公因式，将其提取出来，这样有助于后续的因式分解。

2. 分组分解，对于多项式，可以尝试进行分组分解，将代数式中的项进行重新分组，然后再进行因式分解。

3. 特殊因式公式，有些代数式可以利用特殊因式公式进行因式分解，比如平方差公式、完全平方公式、立方差公式等。

4. 分解为一次因式的乘积，将代数式分解为一次因式的乘积是因式分解的基本目标，通过观察和试探，将代数式分解为一次因式的乘积。

5. 分解为二次因式的乘积，有些代数式需要进行二次因式分解，这时可以利用求根公式或配方法等进行分解。

总之，在进行代数式整式因式分解时，需要灵活运用各种因式
分解的方法和技巧，进行适当的变形和化简，直至将代数式完全分
解为所求的因式的乘积。

这样能够帮助我们更好地理解和应用代数式，解决实际问题中的计算和推理。

希望这些笔记对你有所帮助！。

考点二代数式、整式与因式分解【命题趋势】在中考，列代数式常在新情境中考查，以选择题、填空题为主；求代数式的值，常以选择题、填空题为主；幂的运算性质的考查以选择题、填空题为主，有时考查逆向运用公式的能力；整式的概念、运算以选择题、填空题为主，有时以简单解答题的形式命题；常考查因式分解的两种方法，以选择题、填空题为主。

【中考考查重点】一、代数式二、整式的相关概念三、整式的运算四、因式分解代数式是一种常见的解析式，对变数字母仅限于有限次代数运算(加、减、织若干名离、退休老教师去“开原市白鹭洲景区”游玩，若学校租37座的客车x辆，则余下8人无座位，若租45座的客车则需少租1辆，并且最后一辆车没坐满；则最后一辆45座客车的人数是（）A．（8x﹣8）人B．（8x﹣53）人C．（53﹣8x）人D．（98﹣8x）人【答案】D【解答】解：∵若学校租37座的客车x辆，则余下8人无座位，若租45座的客车则需少租1辆，并且最后一辆车没坐满；∴乘坐最后一辆45座客车的人数是：（37x+8）﹣45（x﹣2）＝98﹣8x（人）．故选：D．2．（2021•黔西南州）已知2a ﹣5b ＝3，则2+4a ﹣10b ＝ ． 【答案】8【解答】解：∵2a ﹣5b ＝3， ∴2+4a ﹣10b ＝2+2（2a ﹣5b ） ＝2+2×3 ＝8， 故答案为：8．3.（2020•重庆）已知a +b ＝4，则代数式1++的值为（ ） A ．3 B ．1C ．0D ．﹣1【答案】A【解答】解：当a +b ＝4时， 原式＝1+（a +b ） ＝1+×4 ＝1+2＝3，故选：A ．4．（2021•河池）下列各式中，与2a 2b 为同类项的是（ ） A ．﹣2a 2b B ．﹣2abC ．2ab 2D ．2a 2【答案】A【解答】解：2a 2b 中含有两个字母：a 、b ，且a 的指数是2，b 的指数是1，观察选项，与2a 2b 是同类项的是﹣2a 2b ． 故选：A5．（2021•绵阳）整式﹣3xy2的系数是（）A．﹣3B．3C．﹣3x D．3x 【答案】A【解答】解：整式﹣3xy2的系数是﹣3．故选：A．1.加减运算2.幂的运算底数不变，至数相加，即底数不变，指数相乘，即先把积的每一个因式分别相乘，再把所得的幂相乘，即3.整式的乘法6．（2021•徐州）下列计算正确的是（）A．（a3）3＝a9B．a3•a4＝a12C．a2+a3＝a5D．a6÷a2＝a3【答案】A【解答】解：A．（a3）3＝a9，故A正确，本选项符合题意；B．a3•a4＝a7，故B错误，选项不符合题意；C．a2+a3不能合并，故C错误，选项不符合题意；D．a6÷a2＝a4，故D错误，选项不符合题意．故选：A．7．（2021•丹东）下列运算正确的是（）A．a﹣2•a3＝a﹣6B．（m﹣n）2＝m2﹣mn+n2C．（2a3）3＝8a6D．（2m+1）（2m﹣1）＝4m2﹣1【答案】D【解答】解：∵a﹣2•a3＝a﹣2+3＝a≠a﹣6，故选项A错误；（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2≠m2﹣mn+n2，故选项B错误；（2a3）3＝8a9≠8a6，故选项C错误；（2m+1）（2m﹣1）＝4m2﹣1，故选项D正确．故选：D．8．（2021春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【答案】B【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝a²+2ab+b²＝a²﹣2ab+b²+4ab＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），∴图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab＝5×1+2×12＝5+24＝29，故选：B．9．（2020秋•崇川区校级月考）请看如图左边杨辉三角（1），并观察右边等式（2）：写出（x+）300的展开式中含x296项的系数是．【答案】44850【解答】解：由（x+）300＝x300+300•x299•（）+•x298•（）2+…可知，展开式中第三项为44850•x298•（）2＝44850x296，∴（x+）300展开式中含x296项的系数是44850，故答案为：44850．10．（2021•河池）先化简，再求值：（x +1）2﹣x （x +1），其中x ＝2021． 【答案】2022【解答】解：原式＝x 2+2x +1﹣x 2﹣x ＝x +1， 当x ＝2021时， 原式＝2021+1 ＝2022．另解：原式＝（x +1）（x +1﹣x ） ＝x +1， 当x ＝2021时， 原式＝2022．11．（2021•内江）分解因式：3a 3﹣27ab 2＝ ． 【答案】 3a （a +3b ）（a ﹣3b ） 【解答】解：原式＝3a （a 2﹣9b 2） ＝3a （a +3b ）（a ﹣3b ），故答案为：3a （a +3b ）（a ﹣3b ）．12．（2020秋•莒南县期末）下列因式分解正确的是（ ） A ．a 4b ﹣6a 3b +9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a +9）B ．x 2﹣x +＝（x ﹣）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2D．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）【答案】B【解答】解：A、a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2，故此选项错误；B、x2﹣x+＝（x﹣）2，故此选项正确；C、x2﹣2x+4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；D、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故此选项错误；故选：B．13．（2021春•永嘉县校级期末）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【答案】A【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，故选：A．1．（2021春•庄河市期末）某水果批发市场规定，批发苹果重量不多于100kg时，批发价为2.5元/kg，批发苹果重量多于100kg时，超过的部分按批发价打八折．若某人批发苹果重量为x（x＞100）kg时，需支付多少现金，可列式子为（）A．100xB．100x+2.5×0.8×（x﹣100）C．100×2.5+2.5×0.8×（x﹣100）D．x+2.5×（x﹣100）【答案】C【解答】解：依题意可知，需支付的钱数为：100×2.5++2.5×0.8×（x﹣100）．故选：C．2．（2020秋•武侯区校级期中）若关于x，y的单项式n y5和x4y m+2是同类项，则m﹣n 值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2【答案】D【解答】解：∵关于x，y的单项式n y5和x4y m+2是同类项，∴n＝4，m+2＝5，解得m＝3，n＝4，∴m﹣n＝3﹣4＝﹣1．故选：B．故选：D．3．若单项式的系数、次数分别是a、b，则（）A．a＝，b＝6B．a＝﹣，b＝6C．a＝，b＝7D．a＝﹣，b＝7【答案】B【解答】解：单项式的系数、次数分别是a、b，则a＝﹣，b＝6．故选：B．4．（2020春•西城区校级期末）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．a3÷a＝a3C．a2⋅a3＝a5D．（a2）4＝a6【答案】C【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故A不符合题意；B、a3÷a＝a2，故B不符合题意；C．a2⋅a3＝a5，故C符合题意；D．（a2）4＝a8，故D不符合题意；故选：C．5．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（﹣2a2）3＝﹣8a9C．8（b﹣a）2﹣3（a﹣b）2＝5（b﹣a）2D．2a8÷a2＝2a4【答案】C【解答】解：A、原式＝2a3，错误，不符合题意；B、原式＝﹣8a6，错误，不符合题意；C、原式＝8（b﹣a）2﹣3（b﹣a）2＝5（b﹣a）2，正确，符合题意；D、原式＝2a6，错误，不符合题意．故选：C．6．（2021春•奉化区校级期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】B【解答】解：设A的边长为x，B的边长为y，由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，将②化简得2xy＝③，由①得，将③代入可知x2+y2＝3.5．故选：B．7．（2021春•德江县期末）下列因式分解正确的是（）A．2p+2q+1＝2（p+q）+1B．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2C．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q）D．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）【答案】B【解答】解：A.2p+2q+1＝2（p+q）+1，不符合因式分解的定义，因此选项A不符合题意；B．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，是正确的，因此选项B符合题意；C.3p2﹣3q2＝3（p+q）（p﹣q），因此选项C不符合题意；D．m4﹣1＝（m2+1）（m+1）（m﹣1），因此选项D不符合题意；故选：B．8．（2020秋•南安市期末）已知x+y＝3，xy＝1，则x2﹣xy+3y的值是（）A．7B．8C．9D．12【答案】A【解答】解：∵x+y＝3，∴x＝3﹣y，∵xy＝1，∴原式＝（3﹣y）x﹣xy+3y＝3x﹣xy﹣xy+3y＝3（x+y）﹣2xy＝3×3﹣2×1＝9﹣2＝7，故选：A．9．（2020秋•开州区期末）将若干个小菱形按如图的规律排列：第1个图形有4个小菱形，第2个图形有7个小菱形，第3个图形有10个小菱形，…，则第8个图形有（）个小菱形．A．24B．25C．26D．27【答案】B【解答】解：第1个图形有4个小菱形，即4+3×0＝4；第2个图形中有7个小菱形，即4+3×1＝7；第3个图形中有10个小菱形，即4+3×2＝10；…，按此规律排列下去，所以第8个图形中小菱形的个数为：4+3×7＝25．故选：B．10．（2021•三水区一模）代数式2a2﹣b＝7，则10﹣4a2+2b的值是．【答案】-4【解答】解：∵2a2﹣b＝7，∴10﹣4a2+2b＝10﹣2（2a2﹣b）＝10﹣2×7＝﹣4．故答案为：﹣4．11．（2020秋•福田区期末）已知a2+3a＝2，则3a2+9a+1的值为．【答案】7【解答】解：∵a2+3a＝2，∴3a2+9a+1＝3（a2+3a）+1＝3×2+1＝6+1＝7．故答案为：7．12．（2020秋•硚口区期中）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a6＝，a200＝．【答案】21,20100【解答】解：由题意可得，a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝1+2+3+4＝10，a5＝1+2+3+4+5＝15，…，∴a n＝1+2+3+…+n＝，∴当n＝6时，a6＝＝21，当n＝200时，a200＝＝20100，故答案为：21，20100．13．（2021秋•南通期中）先化简，再求值：（2ab3﹣4a2b2）÷2ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．【答案】12【解答】解：原式＝b2﹣2ab+4a2﹣b2＝4a2﹣2ab，当a＝2，b＝1时，原式＝4×22﹣2×2×1＝16﹣4＝12．1．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【答案】D【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）。

第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

一、知识点归纳 ★整式部分 （1）代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 （2）概念：①代数式： 用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________．注：单独一个_____或一个_____也是代数式．②代数式的值： 用_____代替代数式的字母计算后所得的_____，叫代数式的________． ③整式： 分母中不含有________的_______式叫整式． ④同类项：条件是 _______________，_____________________.⑤单项式：是数与字母的______．注：★不含_____运算，★★单独的一个_____或____也是单项式．⑥多项式：是几个单项式的______． （3）运算：整式的加减：（实质是去括号，合并同类项）①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变； ②去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里面各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号．③添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号． 整式的乘除：①单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，在把所得的积相加．mc mb ma c b a m ++=++)(．③多项式与多项式相乘：方法★bn bm an am n m b a +++=++))((方法★★乘法公式（用于多项式乘法的简便运算） 平方差公式：__________))((=-+b a b a ；完全平方公式：___________)(2=+b a ；___________)(2=-b a ．④单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的因式．⑤多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． ⑥幂的运算性质（m 、n 为正整数）____=⋅n m a a ； ____=÷n m a a （0≠a ）； _____)(=n m a ；____)(=n ab ．10=a )0(≠a ，)0(1≠=-a aa n n ． ★分解因式部分：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解． （2）常用分解因式方法： ①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22=-b a ；__________222=+±b ab a ．注意：★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字． 注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． （4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形 ．多项式整式的积因式分解方法 1. 提取公因式法：例：将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解：原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法：a 2-b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)例：64x 6-y 12解：原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法：例：(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2解：原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法：例：12x 2+10xy -12x +5y -9 解：原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 16x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:例：将x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。

代数式、整式与因式分解1. 根据下列实际问题列代数式：(1)一台电视机原价是2 500元，现按原价的八折出售，则购买a台这样的电视机需要___________元；(2)购买一个篮球需要80元，购买一个足球需要100元，则购买m个篮球和n个足球共需____________元；(3)长方形绿地的长是a m，宽是b m，若长增加了x m，则增加后的绿地面积是________m2.2. 求下列代数式的值：(1)若a＝3，则代数式a2－2a的值为________；(2)若a2＋2a＝1，则代数式2a2＋4a－3的值为________；(3)已知实数a，b满足(a－2)2＋|b＋1|＝0，则a b＝________．3. 计算：(1)4a＋2a－3a＝________；(2)3a2b－a2b＝________；(3)(xy3)m＝________；(4)(－4a2)3＝________．4. 计算：(1)6x2·3xy＝________；(2)2x2y·(－xy2)3＝________；(3)2b·(4a－b2)＝________；(4)(4y－1)(5－y)＝________．5. 人教八上P104习题改编分解因式：(1)2x－2y＝________；(2)x2－4y2＝________；(3)x2－6x＋9＝________．6. 现有甲、乙两种不同的正方形纸片如图所示摆放，甲，乙的边长分别为a，b.(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分面积________；第6题图(2)若a＋b＝3，a－b＝1，求图中阴影部分面积．知识逐点过考点1 列代数式及求值列代数式找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来代数式求值1. 直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值2. 整体代入法：(1)观察已知条件和所求代数式的关系；(2)将所求代数式变形成含有已知等式或部分项的形式，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式；(3)把已知等式或部分项之和看成一个整体代入所求代数式中求值考点2 整式的相关概念单项式1．概念：由数字与字母或字母与字母的乘积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数字或字母也是单项式；2．单项式的系数：单项式中的数字因数；3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和多项式1.概念：几个单项式的和叫做多项式；2．多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如2x＋x2y的次数是①________整式单项式与多项式统称为整式整式的运算(同类项所含字母相同，并且相同字母的②________也相同合并同类项(1)字母和字母的③________不变；(2)④________相加减作为新的系数去括号法则若括号前是“＋”，去括号时括号内各项不变号，如a＋(b－c)＝a＋b－c；若括号前是“－”，去括号时括号内每一项都变号，如a－(b－c)＝a－b＋c(“＋”不变，“－”变)【温馨提示】整式加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项同底数幂相乘底数不变，指数相加，如a3·a2＝⑤________同底数幂相除底数不变，指数相减，如a3÷a2＝⑥________幂的乘方底数不变，指数相乘，如(a3)2＝⑦________积的乘方先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，如(a2b)2＝⑧________单项式乘单项式把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘多项式先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑨________；完全平方公式：(a±b)2＝⑩________单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式考点4 因式分解定把一个多项式化为几个整式的⑪________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的义 因式分解基本 方法 1. 提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝⑫________；2. 公式法：(1)a 2－b 2＝⑬________；(2)a 2±2ab ＋b 2＝⑭________一般 步骤【温馨提示】1.确定公因式的步骤： (1)系数：取各项系数的最大公约数； (2)字母：取各项中相同的字母；(3)指数：取各项相同字母的最低次幂； 2．因式分解的结果必须是最简因式： (1)每个因式都必须是整式； (2)每个因式中不能再有公因式 考点5 常见非负数及其性质 常见的非负数 1.实数的绝对值：|a|⑮________0；2.实数的平方：a 2⑯________0； 3．二次根式： a ⑰________0(a≥0)性质若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0.如a 2＋|b|＋ c ＝0，则有a 2＝0，|b|＝0， c ＝0，则a ＝b ＝c ＝⑱________真题演练命题点1 列代数式及求值1. 已知x ＝2y ＋3，则代数式4x －8y ＋9的值是________．2. 已知x ＝5－y ，xy ＝2.计算3x ＋3y －4xy 的值为________.3. 若x ＋1x ＝136 且0＜x ＜1，则x 2－1x 2 ＝________．4. 如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是________(结果用含a ，b 代数式表示).第4题图命题点2 整式的相关概念 5. 单项式3xy 的系数为________．6. 如果单项式3x m y 与－5x 3y n 是同类项，那么m ＋n ＝________． 命题点3 整式的运算7. 下列计算正确的是( ) A. b 6÷b 3＝b 2 B. b 3·b 3＝b 9 C. a 2＋a 2＝2a 2 D. (a 3)3＝a 68.已知9m ＝3，27n ＝4，则32m ＋3n ＝( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 129. 先化简，再求值：(x ＋y)2＋(x ＋y)(x －y)－2x 2，其中x ＝ 2 ，y ＝ 3 .命题点4 因式分解 10. (2023广东11题3分·源于人教八上P114探究)因式分解：x 2－1＝________． 11. (2020广东11题4分)分解因式：xy －x ＝________． 12. (2018广东11题4分·源于北师八下P94第1题)分解因式：x 2－2x ＋1＝________． 命题点5 非负数13.若|a － 3 |＋9a 2－12ab ＋4b 2 ＝0，则ab ＝( )A. 3B. 92 C. 43 D. 914. 已知a －b ＋|b －1|＝0，则a ＋1＝________． 15. 若a －2 ＋|b ＋1|＝0，则(a ＋b)2020＝________．基础过关1.代数式－7x 的意义可以是( )A. －7与x 的和B. －7与x 的差C. －7与x 的积D. －7与x 的商2. 下列整式与ab 2为同类项的是( )A. a 2bB. －2ab 2C. abD. ab 2c 3. 计算：(3a)2＝( )A. 5aB. 3a 2C. 6a 2D. 9a 2 4. 若( )·2a 2b ＝2a 3b ，则括号内应填的单项式是( ) A. a B. 2a C. ab D. 2ab 5. 计算：6xy 3·(－12 x 3y 2)＝( )A. 3x 4y 5B. －3x 4y 5C. 3x 3y 6D. －3x 3y 6 6. 下列计算正确的是( )A. (a 2)3＝a 6B. a 6÷a 2＝a 3C. a 3·a 4＝a 12D. a 2－a ＝a 7. 下列因式分解正确的是( )A. 2a 2－4a ＋2＝2(a －1)2B. a 2＋ab ＋a ＝a(a ＋b)C. 4a 2－b 2＝(4a ＋b)(4a －b)D. a 3b －ab 3＝ab(a －b)28. 若单项式2x a y 3与xy 2b －a 的和仍为单项式，则b －a ＝__________． 9. 分解因式：a 2＋5a ＝__________． 10. 分解因式：x 2y －y 3＝__________．11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x ＋1)，请你写出一个符合条件的多项式__________．12. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里(用含x 的代数式表示).13. 已知y 2－my ＋1是完全平方式，则m 的值是__________．14. 已知a ，b 满足|a ＋3|＋b －2 ＝0，则(a ＋b)2 023＝__________．15. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…，依此规律，第n 个图案中有__________个白色圆片(用含n 的代数式表示).第15题图16. (2023深圳)已知实数a ，b ，满足a ＋b ＝6，ab ＝7，则a 2b ＋ab 2的值为__________． 17. 若m ，n 满足3m －n －4＝0，则8m ÷2n ＝__________． 18. 化简：(x －2y)2－x(x －4y).19. 已知a 2＋3ab ＝5，求(a ＋b)(a ＋2b)－2b 2的值．20. 先化简，再求值(2－a)(2＋a)－2a(a ＋3)＋3a 2，其中a ＝－13 .综合提升21. 已知x ＋2y －1＝0，则代数式2x ＋4yx 2＋4xy ＋4y 2的值为__________．22. (数学文化)如图是著名的斐波那契螺旋线，若正方形ABCD 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径画BD ，BD 记为l 1；以AD 为边长，在右侧作正方形ADEF ，以点A 为圆心，AD 的长为半径画DF ，DF 记为l 2；以BF 为边长，在上方作正方形BFGH ，以点B 为圆心，BF 的长为半径画FH ，FH 记为l 3，…，以此类推，按逆时针方向不断地在正方形内画圆弧，则l 8的长为__________．第22题图新考法推荐23. 设有边长分别为a 和b(a>b)的A 类和B 类正方形纸片、长为a 宽为b 的C 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a ＋b 的正方形，需要1张A 类纸片、1张B 类纸片和2张C 类纸片．若要拼一个长为3a ＋b 、宽为2a ＋2b 的矩形，则需要C 类纸片的张数为( )A B C D第23题图A. 6B. 7C. 8D. 9代数式、整式与因式分解1. (1)2 000a 【解析】2 500a×80%＝2 000a(元). (2)(80m ＋100n) (3)b(a ＋x)2. (1)3 【解析】原式＝a(a －2)＝3×(3－2)＝3.(2)－1 【解析】2a 2＋4a －3＝2(a 2＋2a)－3＝2×1－3＝－1.(3)12 【解析】∵(a －2)2＋|b ＋1|＝0，∴a －2＝0且b ＋1＝0，解得a ＝2，b ＝－1，∴a b ＝2－1＝12 .3. (1)3a ；(2)2a 2b ；(3)x m y 3m ；(4)－64a 6.4. (1)18x 3y ；(2)－2x 5y 7；(3)8ab －2b 3；(4)－4y 2＋21y －5. 5. (1)2(x －y)；(2)(x ＋2y)(x －2y)；(3)(x －3)2.6. 解：(1)a 2－b 2；(2)a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)＝3×1＝3.知识逐点过①3 ②指数 ③指数 ④同类项的系数 ⑤a 5 ⑥a ⑦a 6 ⑧a 4b 2⑨a 2－b 2 ⑩a 2±2ab ＋b 2 ⑪乘积 ⑫m(a ＋b ＋c) ⑬(a ＋b)(a －b) ⑭(a±b)2 ⑮≥ ⑯≥ ⑰≥ ⑱0真题演练1. 21 【解析】∵x ＝2y ＋3，∴x －2y ＝3，∴4x －8y ＋9＝4×3＋9＝21.2. 7 【解析】∵x ＝5－y ，∴x ＋y ＝5，又∵xy ＝2，∴原式＝3(x ＋y)－4xy ＝3×5－4×2＝15－8＝7.3. －6536 【解析】∵x ＋1x ＝136 ，∴(x －1x )2＝(x ＋1x )2－4＝(136 )2－4＝2536 ，∵0＜x ＜1，∴x －1x ＜0，∴x －1x ＝－56 ，∴x 2－1x 2 ＝(x ＋1x )(x －1x )＝136 ×(－56 )＝－6536 . 4. a ＋8b 【解析】由拼成的图案可知，9个水平正放置的基本图案的长度为9a ，上下图形拼接部分的长度共为8(a －b)，∴拼成的图形的总长度为9a －8(a －b)＝a ＋8b. 5. 36. 4 【解析】∵单项式3x m y 与－5x 3y n 是同类项，∴m ＝3，n ＝1，∴m ＋n ＝3＋1＝4.2m 3n ＝32m 3n ＝9m n ＝3×4＝12.9. 解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2＋x 2－y 2－2x 2 ＝2xy ，(3分)当x ＝ 2 ，y ＝ 3 时，原式＝2× 2 × 3 ＝2 6 .(6分) 10. (x ＋1)(x －1) 11. x(y －1) 12. (x －1)213. B 【解析】∵|a － 3 |＋9a 2－12ab ＋4b 2 ＝|a － 3 |＋（3a －2b ）2 ＝0，∴⎩⎨⎧a －3＝0，3a －2b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝332，∴ab ＝ 3 ×332 ＝92 .14. 2 【解析】∵a －b ＋|b －1|＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0b －1＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1 ，∴a ＋1＝2.15. 1 【解析】∵a －2 ＋|b ＋1|＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，b ＋1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋b)2020＝(2－1)2020＝1.基础过关1. C 【解析】－7x 表示－7与x 的积.2. B 【解析】根据“字母相同，相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项”可知－2ab 2与ab 2是同类项．3. D 【解析】(3a)2＝9a 2.4. A 【解析】根据单项式乘单项式法则，a·2a 2b ＝2a 3b.5. B 【解析】 原式＝－12 ×6x 1＋3·y 3＋2＝－3x 4y 5.a 3与xy 2b a的和仍为单项式，∴2x a 3与xy 2ba为同类项，∴a ＝1，2b －a ＝3，∴b ＝2，∴b －a ＝1.9. a(a ＋5) 【解析】a 2＋5a ＝a(a ＋5).10. y(x ＋y)(x －y) 【解析】x 2y －y 3＝y(x 2－y 2)＝y(x ＋y)(x －y).11. x 2－1(答案不唯一) 【解析】∵x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，因式分解后有一个因式为(x ＋1)，∴这个多项式可以是x 2－1.12. (7.5－10x) 【解析】由题意可得，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为(7.5－10x)公里．13. ±2 【解析】∵y 2－my ＋1是完全平方式，∴－m ＝±2，解得m ＝±2.14. －1 【解析】根据题意得，a ＋3＝0，b －2＝0，解得a ＝－3，b ＝2，∴(a ＋b)2 023＝(－3＋2)2 023＝－1.15. (2n ＋2) 【解析】由题图得，第1个图案中有2×1＋2＝4个白色圆片，第2个图案中有2×2＋2＝6个白色圆片，第3个图案中有2×3＋2＝8个白色圆片，∴第n 个图案中有(2n ＋2)个白色圆片.16. 42 【解析】 a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)，∵a ＋b ＝6，ab ＝7，∴a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)＝42.17. 16 【解析】∵3m －n －4＝0，∴3m －n ＝4，∴8m ÷2n ＝23m ÷2n ＝23m －n ＝24＝16. 18. 解：原式＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋4xy ＝4y 2.19. 解：原式＝a 2＋2ab ＋ab ＋2b 2－2b 2 ＝a 2＋3ab ， ∵a 2＋3ab ＝5， ∴原式＝5.20. 解：(2－a)(2＋a)－2a(a ＋3)＋3a 2 ＝4－a 2－2a 2－6a ＋3a 2 ＝4－6a ，当a ＝－13 时，原式＝4－6×(－13 ) ＝6.21. 2 【解析】 原式＝2（x ＋2y ）（x ＋2y ）2 ＝2x ＋2y ，∵x ＋2y －1＝0，∴x ＋2y ＝1，∴原式＝21 ＝2.22. 212 π 【解析】由题可知，l 1所在圆的半径为1，l 2所在圆的半径为1，l 3所在圆的半径为2，l 4所在圆的半径为3，l 5所在圆的半径为5，l 6所在圆的半径为8，∴圆弧所在圆的半径规律为l n 所在圆的半径等于l n －1所在圆的半径加上l n －2所在圆的半径(n 为正整数，n≥3)，∴l 7所在圆的半径为13，l 8所在圆的半径为21，由题意可知，圆弧所对的圆心角为90°，∴l 8＝90180 ×π×21＝212 π.23. C 【解析】长为(3a ＋b)，宽为(2a ＋2b)的矩形的面积为(3a ＋b)(2a ＋2b)＝6a 2＋2b 2＋8ab ，需要6张A 类纸片，2张B 类纸片和8张C 类纸片．。