2018年高考物理大一轮复习第5章机械能第2节动能定理及其应用课时规范训练

专题强化六 动力学和能量观点的综合应用专题解读 1.本专题是力学两大观点在直线运动、曲线运动多物体多过程的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题．2．学好本专题，可以极大的培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力，针对性的专题强化，可以提升同学们解决压轴题的信心．3．用到的知识有：动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)．命题点一 多运动组合问题1．多运动组合问题主要是指直线运动、平抛运动和竖直面内圆周运动的组合问题． 2．解题策略(1)动力学方法观点：牛顿运动定律、运动学基本规律． (2)能量观点：动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律． 3．解题关键(1)抓住物理情景中出现的运动状态和运动过程，将物理过程分解成几个简单的子过程． (2)两个相邻过程连接点的速度是联系两过程的纽带，也是解题的关键．很多情况下平抛运动的末速度的方向是解题的重要突破口．例1 (2018·全国Ⅰ卷·25)如图1，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A 处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为56R 的光滑圆弧轨道相切于C 点，AC ＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内．质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未画出)，随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R .已知P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g .(取sin 37°＝35，cos 37°＝45)图1(1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小； (2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能；(3)改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放．已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后，恰好通过G 点．G 点在C 点左下方，与C 点水平相距72R 、竖直相距R ，求P 运动到D 点时速度的大小和改变后P 的质量．①直轨道与一半径为56R 的光滑圆弧轨道相切；②水平飞出后，恰好通过G 点．答案 (1)2gR (2)125mgR (3)355gR 13m解析 (1)由题意可知：l BC ＝7R －2R ＝5R①设P 到达B 点时的速度为v B ，由动能定理得 mgl BC sin θ－μmgl BC cos θ＝12m v B 2②式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得 v B ＝2gR③(2)设BE ＝x ，P 到达E 点时速度为零，此时弹簧的弹性势能为E p ，由B →E 过程，根据动能定理得mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－12m v B 2④ E 、F 之间的距离l 1为l 1＝4R －2R ＋x⑤P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点的过程中，由动能定理有 E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0⑥联立③④⑤⑥式得 x ＝R⑦ E p ＝125mgR⑧(3)设改变后P 的质量为m 1，D 点与G 点的水平距离为x 1、竖直距离为y 1，由几何关系(如图所示)得θ＝37°.由几何关系得： x 1＝72R －56R sin θ＝3R⑨ y 1＝R ＋56R ＋56R cos θ＝52R⑩设P 在D 点的速度为v D ，由D 点运动到G 点的时间为t . 由平抛运动公式得：y 1＝12gt 2⑪ x 1＝v D t⑫联立⑨⑩⑪⑫得 v D ＝355gR⑬设P 在C 点速度的大小为v C ，在P 由C 运动到D 的过程中机械能守恒，有 12m 1v C 2＝12m 1v D 2＋m 1g (56R ＋56R cos θ)⑭P 由E 点运动到C 点的过程中，由动能定理得 E p －m 1g (x ＋5R )sin θ－μm 1g (x ＋5R )cos θ＝12m 1v C 2⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮得m 1＝13m多过程问题的解题技巧1．“合”——初步了解全过程，构建大致的运动图景． 2．“分”——将全过程进行分解，分析每个过程的规律． 3．“合”——找到子过程的联系，寻找解题方法．1．同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图2所示的实验装置．图中水平放置的底板上竖直地固定有M 板和N 板．M 板上部有一半径为R 的14圆弧形的粗糙轨道，P 为最高点，Q 为最低点，Q 点处的切线水平，距底板高为H .N 板上固定有三个圆环．将质量为m的小球从P 处静止释放，小球运动至Q 飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q 水平距离为L 处．不考虑空气阻力，重力加速度为g .求：图2(1)距Q 水平距离为L2的圆环中心到底板的高度；(2)小球运动到Q 点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向； (3)摩擦力对小球做的功． 答案 (1)34H (2)Lg 2H mg (1＋L 22HR )，方向竖直向下 (3)mg (L 24H－R ) 解析 (1)由H ＝12gt 2和L ＝v Q t 可得距Q 水平距离为L 2的圆环中心到底板的高度为34H .(2)由(1)可得速度的大小v Q ＝Lg2H， 在Q 点由牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2Q R，对轨道压力的大小F N ′＝F N ＝mg (1＋L 22HR)，方向竖直向下．(3)由动能定理有mgR ＋W f ＝12m v Q 2－0，故摩擦力对小球做的功W f ＝mg (L 24H－R )．2．如图3所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A 点，自然状态时其右端位于B 点．水平桌面右侧有一竖直放置的轨道MNP ，其形状为半径R ＝1.0 m 的圆环剪去了左上角120°的圆弧，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距离是h ＝2.4 m ．用质量为m ＝0.2 kg 的物块将弹簧缓慢压缩到C 点后释放，物块经过B 点后做匀变速运动，其位移与时间的关系为x ＝6t －2t 2，物块飞离桌面后恰好由P 点沿切线落入圆轨道．(不计空气阻力，g 取10 m/s 2)图3(1)求物块过B 点时的瞬时速度大小v B 及物块与桌面间的动摩擦因数μ；(2)若轨道MNP 光滑，求物块经过轨道最低点N 时对轨道的压力F N ；(3)若物块刚好能到达轨道最高点M ，求物块从B 点到M 点运动的过程中克服摩擦力所做的功W .答案 (1)6 m/s 0.4 (2)16.8 N ，方向竖直向下 (3)4.4 J解析 (1)物块过B 点后遵从x ＝6t －2t 2， 所以知：v B ＝6 m /s ，a ＝－4 m/s 2.由牛顿第二定律：－μmg ＝ma ，解得μ＝0.4. (2)物块竖直方向的分运动为自由落体运动 P 点速度在竖直方向的分量v y ＝2gh ＝4 3 m/s P 点速度在水平方向的分量v x ＝v y tan 30°＝4 m/s 解得离开D 点的速度为v D ＝4 m/s 由机械能守恒定律，有12m v N 2＝12m v D 2＋mg (h ＋R －R cos 60°) 解得v N 2＝74 m 2/s 2根据牛顿第二定律，有F N ′－mg ＝m v 2N R解得F N ′＝16.8 N根据牛顿第三定律，F N ＝F N ′＝16.8 N ，方向竖直向下(3)物块刚好能到达M 点，有mg ＝m v 2MR解得v M ＝gR ＝10 m/s物块到达P 点的速度v P ＝v 2x ＋v 2y ＝8 m/s从P 到M 点应用动能定理，有－mgR (1＋cos 60°)－W PNM ＝12m v M 2－12m v P 2解得W PNM ＝2.4 J.从B 到D 点应用动能定理有－W BD ＝12m v D 2－12m v B 2解得W BD ＝2 J.物块从B 点到M 点的运动过程中克服摩擦力所做的功为2.4 J ＋2 J ＝4.4 J. 命题点二 传送带模型问题1．模型分类：水平传送带问题和倾斜传送带问题．2．处理方法：求解的关键在于认真分析物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动摩擦力作用．如果受到滑动摩擦力作用应进一步确定其大小和方向，然后根据物体的受力情况确定物体的运动情况．当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变．例2如图4所示，小物块A、B由跨过定滑轮的轻绳相连，A置于倾角为37°的光滑固定斜面上，B位于水平传送带的左端，轻绳分别与斜面、传送带平行，传送带始终以速度v0＝2 m/s 向右匀速运动，某时刻B从传送带左端以速度v1＝6 m/s向右运动，经过一段时间回到传送带的左端，已知A、B的质量均为1 kg，B与传送带间的动摩擦因数为0.2.斜面、轻绳、传送带均足够长，A不会碰到定滑轮，定滑轮的质量与摩擦力均不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：图4(1)B向右运动的总时间；(2)B回到传送带左端的速度大小；(3)上述过程中，B与传送带间因摩擦产生的总热量．①光滑固定斜面；②B与传送带间的动摩擦因数为0.2；③B经过一段时间回到传送带的左端．答案(1)2 s(2)2 5 m/s(3)(16＋45) J解析(1)B向右减速运动的过程中，刚开始时，B的速度大于传送带的速度，以B为研究对象，水平方向B受到向左的摩擦力与绳对B的拉力，设绳子的拉力为F T1，以向左为正方向，得F T1＋μmg＝ma1 ①以A为研究对象，则A的加速度的大小始终与B相等，A向上运动的过程中受力如图，则mg sin 37°－F T1＝ma1 ②联立①②可得a 1＝g sin 37°＋μg2＝4 m/s 2③B 的速度与传送带的速度相等时所用的时间 t 1＝－v 0－(－v 1)a 1＝1 s.当B 的速度与传送带的速度相等之后，B 仍然做减速运动，而此时B 的速度小于传送带的速度，所以受到的摩擦力变成了向右，所以其加速度发生了变化，此后B 向右减速运动的过程中，设绳子的拉力为F T2，以B 为研究对象，水平方向B 受到向右的摩擦力与绳对B 的拉力，则F T2－μmg ＝ma 2④以A 为研究对象，则A 的加速度的大小始终与B 是相等的，A 向上运动的过程中 mg sin 37°－F T2＝ma 2⑤联立④⑤可得a 2＝g sin 37°－μg 2＝2 m/s 2.当B 向右速度减为0，经过时间 t 2＝0－(－v 0)a 2＝1 s.B 向右运动的总时间t ＝t 1＋t 2＝1 s ＋1 s ＝2 s.(2)B 向左运动的过程中，受到的摩擦力的方向仍然向右，仍然受到绳子的拉力，同时，A 受到的力也不变，所以它们受到的合力不变，所以B 的加速度a 3＝a 2＝2 m/s 2. t 1时间内B 的位移x 1＝－v 0＋(－v 1)2t 1＝－4 m ，负号表示方向向右．t 2时间内B 的位移x 2＝0＋(－v 0)2×t 2＝－1 m ，负号表示方向向右． B 的总位移x ＝x 1＋x 2＝－5 m.B 回到传送带左端的位移x 3＝－x ＝5 m. 速度v ＝2a 3x 3＝2 5 m/s.(3)t 1时间内传送带的位移x 1′＝－v 0t 1＝－2 m ， 该时间内传送带相对于B 的位移Δx 1＝x 1′－x 1＝2 m. t 2时间内传送带的位移x 2′＝－v 0t 2＝－2 m ， 该时间内传送带相对于B 的位移Δx 2＝x 2－x 2′＝1 m. B 回到传送带左端的时间为t 3，则t 3＝v －0a 3＝ 5 s.t3时间内传送带的位移x3′＝－v0t3＝－2 5 m，该时间内传送带相对于B的位移Δx3＝x3－x3′＝(5＋25) m.B与传送带之间的摩擦力F f＝μmg＝2 N.上述过程中，B与传送带间因摩擦产生的总热量Q＝F f(Δx1＋Δx2＋Δx3)＝(16＋45) J.1．分析流程2．功能关系(1)功能关系分析：W F＝ΔE k＋ΔE p＋Q.(2)对W F和Q的理解：①传送带的功：W F＝Fx传；②产生的内能Q＝F f x相对．3．如图5所示，传送带与地面的夹角θ＝37°，A、B两端间距L＝16 m，传送带以速度v＝10 m/s沿顺时针方向运动，物体质量m＝1 kg无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，g＝10 m/s2，试求：图5(1)物体由A端运动到B端的时间；(2)系统因摩擦产生的热量．答案(1)2 s(2)24 J解析(1)物体刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1，设物体经时间t 加速到与传送带同速，则v ＝a 1t 1，x 1＝12a 1t 12，可解得a 1＝10 m/s 2，t 1＝1 s ，x 1＝5 m因mg sin θ＞μmg cos θ，故当物体与传送带同速后，物体将继续加速 mg sin θ－μmg cos θ＝ma 2 L －x 1＝v t 2＋12a 2t 22解得t 2＝1 s故物体由A 端运动到B 端的时间 t ＝t 1＋t 2＝2 s(2)物体与传送带间的相对位移 x 相对＝(v t 1－x 1)＋(L －x 1－v t 2)＝6 m 故Q ＝μmg cos θ·x 相对＝24 J.4．一质量为M ＝2.0 kg 的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中并从物块中穿过，子弹和小物块的作用时间极短，如图6甲所示．地面观察者记录了小物块被击中后的速度随时间变化的关系如图乙所示(图中取向右运动的方向为正方向)．已知传送带的速度保持不变，g 取10 m/s 2.图6(1)指出传送带速度v 的大小及方向，说明理由． (2)计算物块与传送带间的动摩擦因数μ.(3)传送带对外做了多少功？子弹射穿物块后系统有多少能量转化为内能？ 答案 (1)2.0 m/s 方向向右 (2)0.2 (3)24 J 36 J解析 (1)从v －t 图象中可以看出，物块被击穿后，先向左做减速运动，速度为零后，又向右做加速运动，当速度等于2.0 m /s ，则随传送带一起做匀速运动，所以，传送带的速度大小为v ＝2.0 m/s ，方向向右．(2)由v －t 图象可得，物块在滑动摩擦力的作用下做匀变速运动的加速度a ＝Δv Δt ＝4.02m /s 2＝2.0 m/s 2，由牛顿第二定律得滑动摩擦力F f ＝μMg ，则物块与传送带间的动摩擦因数μ＝Ma Mg ＝a g ＝2.010＝0.2.(3)由v －t 图象可知，传送带与物块间存在摩擦力的时间只有3 s ，传送带在这段时间内移动的位移为x ，则x ＝v t ＝2.0×3 m ＝6.0 m ，所以，传送带所做的功W ＝F f x ＝0.2×2.0×10×6.0 J ＝24 J.设物块被击中后的初速度为v 1，向左运动的时间为t 1，向右运动直至和传送带达到共同速度的时间为t 2，则有物块向左运动时产生的内能 Q 1＝μMg (v t 1＋v 12t 1)＝32 J ，物块向右运动时产生的内能 Q 2＝μMg (v t 2－v2t 2)＝4 J.所以整个过程产生的内能Q ＝Q 1＋Q 2＝36 J. 命题点三 滑块—木板模型问题1．滑块—木板模型根据情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和斜面上的滑块—木板模型．2．滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度．3．此类问题涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)，找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口，求解中应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度．例3 图7甲中，质量为m 1＝1 kg 的物块叠放在质量为m 2＝3 kg 的木板右端．木板足够长，放在光滑的水平面上，木板与物块之间的动摩擦因数为μ1＝0.2.整个系统开始时静止，重力加速度g 取10 m/s 2.甲图7(1)在木板右端施加水平向右的拉力F，为使木板和物块发生相对运动，拉力F至少应为多大？(2)在0～4 s内，若拉力F的变化如图乙所示，2 s后木板进入μ2＝0.25的粗糙水平面，在图丙中画出0～4 s内木板和物块的v－t图象，并求出0～4 s内物块相对木板的位移大小和整个系统因摩擦而产生的内能．答案(1)8 N(2)见解析解析(1)把物块和木板看成整体，由牛顿第二定律得F＝(m1＋m2)a物块与木板将要相对滑动时，μ1m1g＝m1a联立解得F＝μ1(m1＋m2)g＝8 N.(2)物块在0～2 s内做匀加速直线运动，木板在0～1 s内做匀加速直线运动，在1～2 s内做匀速运动，2 s后物块和木板均做匀减速直线运动，故二者在整个运动过程中的v－t图象如图所示．0～2 s内物块相对木板向左运动，2～4 s内物块相对木板向右运动．0～2 s内物块相对木板的位移大小Δx1＝2 m，系统摩擦产生的内能Q1＝μ1m1gΔx1＝4 J.2～4 s内物块相对木板的位移大小Δx2＝1 m，物块与木板因摩擦产生的内能Q2＝μ1m1gΔx2＝2 J；木板对地位移x2＝3 m，木板与地面因摩擦产生的内能Q 3＝μ2(m 1＋m 2)gx 2＝30 J.0～4 s 内系统因摩擦产生的总内能为 Q ＝Q 1＋Q 2＋Q 3＝36 J.滑块—木板模型问题的分析和技巧1．解题关键正确地对各物体进行受力分析(关键是确定物体间的摩擦力方向)，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况． 2．规律选择既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化过程往往用到ΔE 内＝－ΔE 机＝F f x 相对，并要注意数学知识(如图象法、归纳法等)在此类问题中的应用．5．如图8所示，一劲度系数很大的轻弹簧一端固定在倾角为θ＝30°的斜面底端，将弹簧压缩至A 点锁定，然后将一质量为m 的小物块紧靠弹簧放置，物块与斜面间动摩擦因数μ＝36，解除弹簧锁定，物块恰能上滑至B 点，A 、B 两点的高度差为h 0，已知重力加速度为g .图8(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能E p .(2)求物块从A 到B 的时间t 1与从B 返回到A 的时间t 2之比．(3)若每当物块离开弹簧后，就将弹簧压缩到A 点并锁定，物块返回A 点时立刻解除锁定．设斜面最高点C 的高度H ＝2h 0，试通过计算判断物块最终能否从C 点抛出？ 答案 (1)32mgh 0 (2)33(3)见解析解析 (1)物块受到的滑动摩擦力F f ＝μmg cos θ， A 到B 过程由功能关系有－F f h 0sin θ＝mgh 0－E p ，解得E p ＝32mgh 0.(2)设上升、下降过程物块加速度大小分别为a 1和a 2，则 mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1， mg sin θ－μmg cos θ＝ma 2，由运动学公式得12a 1t 12＝12a 2t 22，解得t 1t 2＝33.(3)足够长时间后，上升的最大高度设为h m ，则由能量关系，来回克服阻力做功等于补充的弹性势能 2F f ·h msin θ＝E p ，解得h m ＝32h 0＜2h 0，所以物块不可能到达C 点．题组1 多运动组合问题1．如图1所示，有两条滑道平行建造，左侧相同而右侧有差异，一个滑道的右侧水平，另一个的右侧是斜坡．某滑雪者保持一定姿势坐在雪撬上不动，从h 1高处的A 点由静止开始沿倾角为θ的雪道下滑，最后停在与A 点水平距离为s 的水平雪道上．接着改用另一个滑道，还从与A 点等高的位置由静止开始下滑，结果能冲上另一个倾角为α的雪道上h 2高处的E 点停下．若动摩擦因数处处相同，且不考虑雪橇在路径转折处的能量损失，则( )图1A ．动摩擦因数为tan θB ．动摩擦因数为h 1sC ．倾角α一定大于θD ．倾角α可以大于θ 答案 B解析 第一次停在水平雪道上，由动能定理得 mgh 1－μmg cos θ·h 1sin θ－μmgs ′＝0mgh 1－μmg (h 1tan θ＋s ′)＝0mgh 1－μmgs ＝0 μ＝h 1sA 错误，B 正确．在AB 段由静止下滑，说明μmg cos θ＜mg sin θ，第二次滑上CE 在E 点停下，说明μmg cos α＞mg sin α；若α＞θ，则雪橇不能停在E 点，所以C 、D 错误．2．如图2所示，将质量为m ＝1 kg 的小物块放在长为L ＝1.5 m 的小车左端，车的上表面粗糙，物块与车上表面间动摩擦因数μ＝0.5，直径d ＝1.8 m 的光滑半圆形轨道固定在水平面上且直径MON 竖直，车的上表面和轨道最低点高度相同，距地面高度h ＝0.65 m ，开始车和物块一起以10 m/s 的初速度在光滑水平面上向右运动，车碰到轨道后立即停止运动，取g ＝10 m/s 2，求：图2(1)小物块刚进入半圆形轨道时对轨道的压力； (2)小物块落地点至车左端的水平距离． 答案 (1)118.4 N ，方向竖直向下 (2)3.4 m解析 (1)车停止运动后取小物块为研究对象，设其到达车右端时的速度为v 1，由动能定理得 －μmgL ＝12m v 12－12m v 02解得v 1＝85 m/s刚进入半圆形轨道时，设物块受到的支持力为F N ，由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 21R又d ＝2R 解得F N ≈118.4 N 由牛顿第三定律F N ＝F N ′得F N ′＝118.4 N ，方向竖直向下． (2)若小物块能到达半圆形轨道最高点， 则由机械能守恒得12m v 12＝2mgR ＋12m v 22解得v 2＝7 m/s设恰能过最高点的速度为v 3，则mg ＝m v 23R解得v 3＝gR ＝3 m/s因v 2＞v 3，故小物块从半圆形轨道最高点做平抛运动， h ＋2R ＝12gt 2，x ＝v 2t联立解得x ＝4.9 m故小物块距车左端为x －L ＝3.4 m. 题组2 传送带模型问题3．(多选)如图3甲所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v 0沿逆时针方向运行，t ＝0时，将质量m ＝1 kg 的物体(可视为质点)轻放在传送带上，物体相对地面的v －t 图象如图乙所示．设沿传送带向下为正方向，取重力加速度g ＝10 m/s 2，则( )图3A ．传送带的速率v 0＝10 m/sB ．传送带的倾角θ＝30°C ．物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5D ．0～2.0 s 摩擦力对物体做功W f ＝－24 J 答案 ACD解析 当物体的速度超过传送带的速度后，物体受到的摩擦力的方向发生改变，加速度也发生改变，根据v －t 图象可得，传送带的速率为v 0＝10 m /s ，选项A 正确；1.0 s 之前的加速度a 1＝10 m/s 2,1.0 s 之后的加速度a 2＝2 m/s 2，结合牛顿第二定律，g sin θ＋μg cos θ＝a 1，g sin θ－μg cos θ＝a 2，解得sin θ＝0.6，θ＝37°，μ＝0.5，选项B 错误，选项C 正确；摩擦力大小F f ＝μmg cos θ＝4 N ，在0～1.0 s 内，摩擦力对物体做正功，在1.0～2.0 s 内，摩擦力对物体做负功，0～1.0 s 内物体的位移为5 m ，1.0～2.0 s 内物体的位移是11 m ，摩擦力做的功为－4×(11－5) J ＝－24 J ，选项D 正确．4．(多选)如图4所示，光滑轨道ABCD 是大型游乐设施过山车轨道的简化模型，最低点B 处的入、出口靠近但相互错开，C 是半径为R 的圆形轨道的最高点，BD 部分水平，末端D 点与右端足够长的水平传送带无缝连接，传送带以恒定速度v 逆时针转动，现将一质量为m 的小滑块从轨道AB 上某一固定位置A 由静止释放，滑块能通过C 点后再经D 点滑上传送带，则( )图4A ．固定位置A 到B 点的竖直高度可能为2RB ．滑块在传送带上向右运动的最大距离与传送带速度v 有关C ．滑块可能重新回到出发点A 处D ．传送带速度v 越大，滑块与传送带摩擦产生的热量越多 答案 CD解析 设AB 的高度为h ，假设滑块从A 点下滑刚好通过最高点C ，则此时应该是从A 下滑的高度的最小值，刚好通过最高点时，由重力提供向心力，则mg ＝m v 2C R ，解得v C ＝gR ，从A到C 根据动能定理：mg (h －2R )＝12m v C 2－0，整理得到：h ＝2.5R ，故选项A 错误；从A 到滑块在传送带上向右运动距离最大，根据动能定理得：mgh －μmgx ＝0，可以得到x ＝hμ，可以看出滑块在传送带上向右运动的最大距离与传送带速度v 无关，与高度h 有关，故选项B 错误；滑块在传送带上先做减速运动，可能反向做加速运动，如果再次到达D 点时速度大小不变，则根据能量守恒，可以再次回到A 点，故选项C 正确；滑块与传送带之间产生的热量Q ＝μmg Δx相对，当传送带的速度越大，则在相同时间内二者相对位移越大，则产生的热量越大，故选项D正确．5．如图5所示，一质量为m ＝1 kg 的可视为质点的滑块，放在光滑的水平平台上，平台的左端与水平传送带相接，传送带以v ＝2 m/s 的速度沿顺时针方向匀速转动(传送带不打滑)．现将滑块缓慢向右压缩轻弹簧，轻弹簧的原长小于平台的长度，滑块静止时弹簧的弹性势能为E p ＝4.5 J ，若突然释放滑块，滑块向左滑上传送带．已知滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带足够长，取g ＝10 m/s 2.求：图5(1)滑块第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间； (2)滑块第一次滑上传送带到离开传送带由于摩擦产生的热量． 答案 (1)3.125 s (2)12.5 J解析 (1)释放滑块的过程中机械能守恒，设滑块滑上传送带的速度为v 1，则E p ＝12m v 12，得v 1＝3 m/s滑块在传送带上运动的加速度 a ＝μg ＝2 m/s 2滑块向左运动的时间t 1＝v 1a ＝1.5 s向右匀加速运动的时间t 2＝va＝1 s向左的最大位移为x 1＝v 212a＝2.25 m向右加速运动的位移为x 2＝v 22a ＝1 m匀速向右运动的时间为t 3＝x 1－x 2v ＝0.625 s所以t ＝t 1＋t 2＋t 3＝3.125 s.(2)滑块向左运动x 1的位移时，传送带向右的位移为 x 1′＝v t 1＝3 m则Δx 1＝x 1′＋x 1＝5.25 m滑块向右运动x 2时，传送带向右的位移为 x 2′＝v t 2＝2 m 则Δx 2＝x 2′－x 2＝1 m Δx ＝Δx 1＋Δx 2＝6.25 m则产生的热量为Q ＝μmg ·Δx ＝12.5 J. 题组3 滑块—木板模型问题6．如图6所示，一质量m ＝2 kg 的长木板静止在水平地面上，某时刻一质量M ＝1 kg 的小铁块以水平向左v 0＝9 m/s 的速度从木板的右端滑上木板．已知木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，铁块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.4，取重力加速度g ＝10 m/s 2，木板足够长，求：图6(1)铁块相对木板滑动时木板的加速度的大小；(2)铁块与木板摩擦所产生的热量Q 和木板在水平地面上滑行的总路程x . 答案 (1)0.5 m/s 2 (2)36 J 1.5 m解析 (1)设铁块在木板上滑动时，木板的加速度为a 2，由牛顿第二定律可得μ2Mg －μ1(M ＋m )g ＝ma 2，解得a 2＝0.4×1×10－0.1×3×102m /s 2＝0.5 m/s 2.(2)设铁块在木板上滑动时，铁块的加速度为a 1，由牛顿第二定律得μ2Mg ＝Ma 1，解得a 1＝μ2g ＝4 m/s 2.设铁块与木板相对静止达共同速度时的速度为v ，所需的时间为t ，则有v ＝v 0－a 1t ，v ＝a 2t ， 解得：v ＝1 m/s ，t ＝2 s. 铁块相对地面的位移x 1＝v 0t －12a 1t 2＝9×2 m －12×4×4 m ＝10 m.木板运动的位移x 2＝12a 2t 2＝12×0.5×4 m ＝1 m ，铁块与木板的相对位移Δx ＝x 1－x 2＝10 m －1 m ＝9 m ， 则此过程中铁块与木板摩擦所产生的热量 Q ＝F f Δx ＝μ2Mg Δx ＝0.4×1×10×9 J ＝36 J.达共同速度后的加速度为a 3，发生的位移为s ，则有： a 3＝μ1g ＝1 m/s 2，s ＝v 2－02a 3＝12m ＝0.5 m.木板在水平地面上滑行的总路程x ＝x 2＋s ＝1 m ＋0.5 m ＝1.5 m.7.如图7所示，AB 段为一半径R ＝0.2 m 的14光滑圆弧轨道，EF 是一倾角为30°的足够长的光滑固定斜面，斜面上有一质量为0.1 kg 的薄木板CD ，开始时薄木板被锁定．一质量也为0.1 kg 的物块(图中未画出)从A 点由静止开始下滑，通过B 点后水平抛出，经过一段时间后恰好以平行于薄木板的方向滑上薄木板，在物块滑上薄木板的同时薄木板解除锁定，下滑过程中某时刻物块和薄木板能达到共同速度．已知物块与薄木板间的动摩擦因数μ＝36.(g ＝10 m/s 2，结果可保留根号)求：图7(1)物块到达B 点时对圆弧轨道的压力； (2)物块滑上薄木板时的速度大小；(3)达到共同速度前物块下滑的加速度大小及从物块滑上薄木板至达到共同速度所用的时间． 答案 (1)3 N ，方向竖直向下 (2)433 m/s(3)2.5 m/s 24315s 解析 (1)物块从A 运动到B 的过程，由动能定理得： mgR ＝12m v B 2，解得：v B ＝2 m/s在B 点由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v 2BR解得：F N ＝3 N由牛顿第三定律得物块对轨道的压力大小为3 N ，方向竖直向下． (2)设物块滑上薄木板时的速度为v ，则：cos 30°＝v Bv 解得：v ＝433m/s.(3)物块和薄木板下滑过程中，由牛顿第二定律得： 对物块：mg sin 30°－μmg cos 30°＝ma 1 对薄木板：mg sin 30°＋μmg cos 30°＝ma 2 设物块和薄木板达到的共同速度为v ′，则： v ′＝v ＋a 1t ＝a 2t 解得：a 1＝2.5 m/s 2， t ＝4315s.。

五 机械能第1节 功 功率一、功1．做功的两个必要条件力和物体在力的方向上发生的位移． 2．公式W ＝Fl cos α，适用于恒力做功，其中α为F 、l 方向间夹角，l 为物体对地的位移．3．功的正负判断1．定义：功与完成这些功所用时间的比值． 2．物理意义：描述做功的快慢． 3．公式(1)P ＝W t，P 为时间t 内的平均功率． (2)P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角) ①v 为平均速度，则P 为平均功率． ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率． 4．额定功率与实际功率(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．[自我诊断]1．判断正误(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．(×)(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．(√)(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功．(×)(4)力始终垂直物体的运动方向，则该力对物体不做功．(√)(5)摩擦力对物体一定做负功．(×)(6)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比．(√)(7)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力．(√)2．(多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图所示，物体m相对斜面静止．则下列说法正确的是( )A．重力对物体m做正功B．合力对物体m做功为零C．摩擦力对物体m做负功D．支持力对物体m做正功解析：选BCD.物体的受力及位移如图所示，支持力F N与位移x的夹角α<90°，故支持力做正功，D正确；重力垂直位移，故重力不做功，A错误；摩擦力F f与x夹角β>90°，故摩擦力做负功，C正确；合力为零，合力不做功，B正确．3．如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的是( )A．W1>W2>W3B．W1＝W2>W3C．W1＝W2＝W3D．W1<W2<W3解析：选C.由功的公式可得，这三种情况下做的功分别为W1＝Fx cos α、W2＝Fx cos α、W3＝－Fx cos α，又因为功的正、负不表示大小，所以C正确．4．在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F ，使同一物体从静止开始移动x ，则平均功率为( )A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P解析：选D.设第一次运动时间为t ，则其平均功率表达式为P ＝Fx t；第二次加速度为第一次的4倍，由x ＝12at 2 可知时间为t 2，其平均功率为4Fx t 2＝8Fxt＝8P ，D 正确．考点一 功的正负判断和计算考向1：功的正负的判断方法(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F 与v 的方向夹角来判断．当0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功．(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．1．(多选)如图所示，重物P 放在一长木板OA 上，将长木板绕O 端转过一个小角度的过程中，重物P 相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P 的摩擦力和支持力做功的情况是()A ．摩擦力对重物不做功B ．摩擦力对重物做负功C ．支持力对重物不做功D ．支持力对重物做正功解析：选AD.由做功的条件可知：只要有力，并且物体在力的方向上通过位移，则力对物体做功．由受力分析知，支持力F N 做正功，摩擦力F f 不做功，选项A 、D 正确．2. (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P 匀速带至高处，在此过程中，下列说法中正确的是( )A ．摩擦力对物体做正功B．摩擦力对物体做负功C．支持力对物体不做功D．合力对物体做正功解析：选AC.物体P匀速向上运动过程中，受静摩擦力作用，方向沿皮带向上，对物体做正功，支持力垂直于皮带，做功为零，物体所受的合力为零，做功也为零，故A、C正确，B、D错误．考向2：恒力做功的计算(1)单个力做的功：直接用W＝Fl cos α计算．(2)合力做的功方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功．方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功．3．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )A．人对车的推力F做的功为FLB．人对车做的功为maLC．车对人的作用力大小为maD．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L解析：选AD.由做功的定义可知选项A正确；对人进行受力分析，人受重力以及车对人的力，合力的大小为ma，方向水平向左，故车对人的作用力大小应为 ma 2＋ mg 2，选项C错误；上述过程重力不做功，合力对人做的功为maL，所以车对人做的功为maL，由相互作用力及人、车的位移相同可确定，人对车做的功为－maL，选项B错误；对人由牛顿第二定律知，在水平方向上有F f－F＝ma，摩擦力做的功为(F＋ma)L，选项D正确．4．(2017·湖北武汉模拟)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )A．W1＝W2＝W3B．W1<W2<W3C．W1<W3<W2D．W1＝W2<W3解析：选B.力F做的功等于每段恒力F与该段滑块运动的位移数值的乘积，滑块的位移即v­t图象中图象与坐标轴围成的面积，第1 s内，位移大小为一个小三角形面积S；第2 s内，位移大小也为一个小三角形面积S；第3 s内，位移大小为两个小三角形面积2S，故W1＝S，W2＝3S，W3＝4S，所以W1<W2<W3，B正确．考点二变力功的计算方法一利用“微元法”求变力的功物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．[典例1] 如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为R2和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( ) A．0 B．FRC.32πFR D．2πFR解析虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR＋πR2，则拉力做的功为32πFR，故C正确．答案 C方法二化变力的功为恒力的功若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Fl cos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．[典例2] 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B 点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( ) A．W1＞W2B ．W 1＜W 2C ．W 1＝W 2D ．无法确定W 1和W 2的大小关系解析 绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F 对绳子做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 正确．答案 A方法三 利用F ­x 图象求变力的功在F ­x 图象中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．[典例3] 如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时F 做的总功为( )A ．0B ．12F m x 0 C.π4F m x 0 D.π4x 2解析 F 为变力，根据F ­x 图象包围的面积在数值上等于F 做的总功来计算．图线为半圆，由图线可知在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12π·F 2m ＝12π·F m ·12x 0＝π4F m x 0.答案 C方法四 利用平均力求变力的功在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F ＝F 1＋F 22的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W ＝Fl cos α求此力所做的功．[典例4] 把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k .问此钉子全部进入木板需要打击几次？解析 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F ＝0＋kl 2＝kl2钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝12kl 2设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量： E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl 22E 0答案 kl 22E 0方法五 利用动能定理求变力的功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．[典例5] 如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR解析 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有F N －mg ＝m v 2R，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR －W f ＝12mv 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确．答案 C考点三 功率的计算1．平均功率的计算 (1)利用P ＝Wt.(2)利用P ＝Fv cos α，其中v 为物体运动的平均速度． 2．瞬时功率的计算(1)利用公式P ＝Fv cos α，其中v 为t 时刻物体的瞬时速度． (2)利用公式P ＝Fv F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度． (3)利用公式P ＝F v v ，其中F v 为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力． 3．计算功率的3个注意(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F 与v 不同向，可用力F 乘以F 方向的分速度，或速度v 乘以速度方向的分力求解．1．一个质量为m 的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．现把其中一个水平方向的力从F 突然增大到3F ，并保持其他力不变，则从这时开始到t 秒末，该力的瞬时功率是( )A.3F 2t mB ．4F 2t mC.6F 2tmD.9F 2tm解析：选C.物块受到的合力为2F ，根据牛顿第二定律有2F ＝ma ，在合力作用下，物块做初速度为零的匀加速直线运动，速度v ＝at ，该力大小为3F ，则该力的瞬时功率P ＝3Fv ，解以上各式得P ＝6F 2tm，C 正确．2．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104kg ，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105N ；弹射器有效作用长度为100 m ，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )A ．弹射器的推力大小为1.1×106N B ．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108J C ．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107W D ．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s 2解析：选ABD.对舰载机应用运动学公式v 2－0＝2ax ，代入数据得加速度a ＝32 m/s 2，D正确；设总推力为F ，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F －20%F ＝ma ，得F ＝1.2×106N ，而发动机的推力为1.0×105N ，则弹射器的推力为F 推＝(1.2×106－1.0×105)N ＝1.1×106N ，A 正确；弹射器对舰载机所做的功为W ＝F 推·l ＝1.1×108J ，B 正确；弹射过程所用的时间为t ＝v a ＝8032 s ＝2.5 s ，平均功率P ＝W t ＝1.1×1082.5W ＝4.4×107W ，C 错误．3. 如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A 沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B 做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )A ．重力的平均功率P A >PB B ．重力的平均功率P A ＝P BC ．重力的瞬时功率P A ＝P BD ．重力的瞬时功率P A <P B解析：选D.根据功的定义可知重力对两物体做功相同即W A ＝W B ，自由落体时满足h ＝12gt 2B ，沿斜面下滑时满足hsin θ＝12gt 2A sin θ，其中θ为斜面倾角，故t A >t B ，由P ＝Wt知P A <P B，A 、B 错；由匀变速直线运动公式可知落地时两物体的速度大小相同，方向不同，重力的瞬时功率P A ＝mgv sin θ，P B ＝mgv ，显然P A <P B ，故C 错，D 对．求解功率时应注意的“三个”问题(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率考点四 机车启动问题考向1：以恒定功率启动 (1)运动过程分析(2)运动过程的速度­时间图象1. 一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小F f 恒定不变．下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )解析：选A.由P ­t 图象知：0～t 1内汽车以恒定功率P 1行驶，t 1～t 2内汽车以恒定功率P 2行驶．设汽车所受牵引力为F ，则由P ＝Fv 得，当v 增加时，F 减小，由a ＝F －F fm知a 减小，又因速度不可能突变，所以选项B 、C 、D 错误，A 正确．2．(2017·山东济南模拟)(多选)汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P ，牵引力为F 0，t 1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力F 随时间t 、速度v 随时间t 变化的图象是( )解析：选AD.到t 1时刻功率立即减小一半，但速度减小有一个过程，不能直接变为原来的一半，所以牵引力立即变为原来的一半，根据公式P ＝Fv ，之后保持该功率继续行驶，速度减小，牵引力增大，根据a ＝F f －Fm，摩擦力恒定，所以加速度逐渐减小，即v ­t 图象的斜率减小，当加速度为零时，做匀速直线运动，故选项A 、D 正确．考向2：以恒定加速度启动(1)运动过程分析(2)运动过程的速度－时间图象如图所示．3．一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )A ．汽车的速度与时间成正比B ．汽车的位移与时间成正比C ．汽车做变加速直线运动D ．汽车发动机做的功与时间成正比解析：选A.由F －F f ＝ma 可知，因汽车牵引力F 保持恒定，故汽车做匀加速直线运动，C 错误；由v ＝at 可知，A 正确；而x ＝12at 2，故B 错误；由W F ＝F ·x ＝F ·12at 2可知，D 错误．4．(2017·浙江舟山模拟)质量为1.0×103kg 的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N ，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104W ，开始时以a ＝1 m/s 2的加速度做匀加速运动(g ＝10 m/s 2)．求：(1)汽车做匀加速运动的时间t 1； (2)汽车所能达到的最大速率；(3)若斜坡长143.5 m ，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？解析：(1)由牛顿第二定律得F －mg sin 30°－F f ＝ma设匀加速过程的末速度为v ，则有P ＝Fvv ＝at 1解得t 1＝7 s(2)当达到最大速度v m 时，a ＝0，则有P ＝(mg sin 30°＋F f )v m解得v m ＝8 m/s(3)汽车匀加速运动的位移x 1＝12at 21在后一阶段对汽车由动能定理得Pt 2－(mg sin 30°＋F f )x 2＝12mv 2m －12mv 2又有x ＝x 1＋x 2 解得t 2＝15 s故汽车运动的总时间为t ＝t 1＋t 2＝22 s 答案：(1)7 s (2)8 m/s (3)22 s解决机车启动问题的4个注意(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．(2)在机车功率P ＝Fv 中，F 是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P ＝F f v m .(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W ＝Pt 计算，不能用W ＝Fl 计算(因为F 为变力)．(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W ＝Fl 计算，不能用W ＝Pt 计算(因为功率P 是变化的)．课时规范训练 [基础巩固题组]1. 如图所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )A ．A 所受的合外力对A 不做功B ．B 对A 的弹力做正功C ．B 对A 的摩擦力做正功D ．A 对B 做正功解析：选C.AB 一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为g sin θ.由于A 速度增大，由动能定理，A 所受的合外力对A 做功，B 对A 的摩擦力做正功，B 对A 的弹力做负功，选项A 、B 错误C 、正确．A 对B 不做功，选项D 错误．2. (多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( )A ．重力做功为mgLB ．绳的拉力做功为0C ．空气阻力F 阻做功为－mgLD ．空气阻力F 阻做功为－12F 阻πL解析：选ABD.小球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B 正确；空气阻力F 阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F 阻做功为－F 阻·12πL ，C 错误，D 正确．3．(多选) 如图所示，B 物体在拉力F 的作用下向左运动，在运动过程中，A 、B 之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )A ．A 、B 都克服摩擦力做功 B ．摩擦力对A 不做功C ．摩擦力对B 做负功D ．摩擦力对A 、B 都不做功解析：选BC.对A 、B 受力分析如图所示，物体A 在F f2作用下没有位移，所以摩擦力对A 不做功，故B 正确；对物体B ，F f1与位移夹角为180°，做负功，故C 正确，A 、D 错误．4. 如图所示，用与水平方向成θ角的力F ，拉着质量为m 的物体沿水平地面匀速前进位移s ，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F 做的功为( )A ．mgsB ．μmgsC.μmgscos θ＋μsin θD.μmgs1＋μtan θ解析：选D.物体受力平衡，有F sin θ＋F N ＝mg ，F cos θ－μF N ＝0，在此过程中F 做的功W ＝Fs cos θ＝μ mgs1＋μtan θ，D 正确．5．如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F 将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功为( )A ．FL cos θB ．FL sin θC ．FL (1－cos θ)D ．mgL (1－cos θ)解析：选D.用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解，由动能定理得W F－mgL (1－cos θ)＝0，解得W F ＝mgL (1－cos θ)，D 正确．6. 如图所示，质量为m 的小球以初速度v 0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )A ．mgv 0tan θ B.mgv 0tan θC.mgv 0sin θD ．mgv 0cos θ解析：选B.小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P ＝mgv y ，而v y tan θ＝v 0，所以P ＝mgv 0tan θ，B 正确．7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，则小球从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )A ．mgh －12mv 2B.12mv 2－mghC ．－mghD ．－(mgh ＋12mv 2)解析：选A.小球从A 点运动到C 点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得W G ＋W F ＝0－12mv 2，重力做功为W G ＝－mgh ，则弹簧的弹力对小球做功为W F ＝mgh －12mv 2，所以正确选项为A.[综合应用题组]8．质量为m 的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P ，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v ，那么当汽车的车速为v3时，汽车的瞬时加速度的大小为( )A.P mvB.2P mvC.3PmvD.4Pmv解析：选B.当汽车匀速行驶时，有f ＝F ＝P v ，根据P ＝F ′v 3，得F ′＝3Pv ，由牛顿第二定律得a ＝F ′－f m ＝3Pv －Pv m ＝2Pmv，故B 正确，A 、C 、D 错误．9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知()A ．物体加速度大小为2 m/s 2B ．F 的大小为21 NC ．4 s 末F 的功率大小为42 WD ．4 s 内F 做功的平均功率为42 W解析：选C.由图乙可知，物体的加速度a ＝0.5 m/s 2，由2F －mg ＝ma 可得：F ＝10.5 N ，A 、B 均错误；4 s 末力F 的作用点的速度大小为v F ＝2×2 m/s＝4 m/s ，故4 s 末拉力F 做功的功率为P ＝F ·v F ＝42 W ，C 正确；4 s 内物体上升的高度h ＝4 m ，力F 的作用点的位移l ＝2h ＝8 m ，拉力F 所做的功W ＝F ·l ＝84 J,4 s 内拉力F 做功的平均功率P ＝Wt＝21 W ，D 错误．10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其v ­t 图象如图所示，已知在0～t 1时间内为过原点的倾斜直线，t 1时刻达到额定功率P ，此后保持功率P 不变，在t 3时刻达到最大速度v 3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )A ．从0至t 3时间内，列车一直匀加速直线运动B ．t 2时刻的加速度大于t 1时刻的加速度C ．在t 3时刻以后，机车的牵引力为零D ．该列车所受的恒定阻力大小为Pv 3解析：选D.0～t 1时间内，列车匀加速运动，t 1～t 3时间内，加速度变小，故A 、B 错；t 3以后列车匀速运动，牵引力等于阻力，故C 错；匀速运动时f ＝F 牵＝Pv 3，故D 正确．11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m 的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t 前进的距离为x ，且速度达到最大值v m .设这一过程中电动机的功率恒为P ，小车所受阻力恒为f ，那么这段时间内( )A ．小车做匀加速运动B ．小车受到的牵引力逐渐增大C ．小车受到的合外力所做的功为PtD ．小车受到的牵引力做的功为fx ＋12mv 2m解析：选D.小车在运动方向上受牵引力F 和阻力f ，因为v 增大，P 不变，由P ＝Fv ，F －f ＝ma ，得出F 逐渐减小，a 也逐渐减小，当v ＝v m 时，a ＝0，故A 、B 均错；合外力做的功W 外＝Pt －fx ，由动能定理得Pt －fx ＝12mv 2m ，故C 错误，D 正确．12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )A ．0～6 s 内物体位移大小为36 mB ．0～6 s 内拉力做的功为30 JC ．合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等D ．滑动摩擦力大小为5 N解析：选C.由P ＝Fv ，对应v ­t 图象和P ­t 图象可得30＝F ·6,10＝f ·6，解得：F ＝5 N ，f ＝53 N ，D 错误；0～6 s 内物体的位移大小为(4＋6)×6×12 m ＝30 m ，A 错误；0～6 s内拉力做功W ＝F ·x 1＋f ·x 2＝5×6×2×12 J ＋53×6×4 J＝70 J ，B 错误；由动能定理可知，C 正确．13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m 的重物，当重物的速度为v 1时，起重机的功率达到最大值P ，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v 2匀速上升，物体上升的高度为h ，则整个过程中，下列说法正确的是( )A ．钢绳的最大拉力为Pv 2B ．钢绳的最大拉力为mgC ．重物匀加速的末速度为P mgD ．重物匀加速运动的加速度为Pmv 1－g 解析：选D.加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀速运动阶段钢绳的拉力为P v 2，故A 错误；加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，故B 错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于Pmg ，故C 错误；重物匀加速运动的末速度为v 1，此时的拉力为F ＝Pv 1，由牛顿第二定律得：a ＝F －mgm＝Pmv 1－g ，故D 正确． 14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )A ．甲球用的时间比乙球长B ．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小C ．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小D ．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功解析：选BD.设f ＝kR ，则由牛顿第二定律得F 合＝mg －f ＝ma ，而m ＝43πR 3·ρ，故a。

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动能定理及其应用1．(多选)（2016·全国卷Ⅲ）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。

它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。

重力加速度大小为g.设质点P在最低点时,向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则错误!( AC ）A．a＝错误!B．a＝错误!C．N＝错误!D．N＝错误!［解析] 质点由半球面最高点到最低点的过程中,由动能定理得,mgR－W＝12mv2，又在最低点时，向心加速度大小a＝错误!，两式联立可得a＝错误!,A项正确,B项错误;在最低点时有N －mg＝m错误!，解得N＝错误!，C项正确,D项错误.2．(多选)（2016·浙江理综)如图所示为一滑草场.某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端（不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失,sin37°＝0。

6，cos37°＝0.8)。

则错误!( AB ）A．动摩擦因数μ＝错误!B．载人滑草车最大速度为错误!C．载人滑草车克服摩擦力做功为mghD．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为3 5 g［解析］由题意根据动能定理得,2mgh－W f＝0，即2mgh－μmg cos45°·错误!－μmg cos37°·错误!＝0,得动摩擦因数μ＝错误!，故A项正确；载人滑草车克服摩擦力做的功为W f＝2mgh，故C项错误；载人滑草车在上下两段的加速度分别为a1＝g(sin45°－μcos45°）＝错误!g,a2＝g（sin37°－μcos34°）＝－错误!g,则载人滑草车在上下两段滑道上分别做加速运动和减速运动，则在上段底端时达到最大速度v，由运动学公式有2a1错误!＝v2得，v＝错误!＝错误!,故B项正确，D项错误。

第2讲动能定理及其应用知识点一动能1。

定义:物体由于而具有的能。

2.公式：E k＝.3。

单位：，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.4。

标矢性：动能是,只有正值，动能与速度的方向.5.动能的变化:物体与之差，即ΔE k ＝.答案：1.运动2。

错误!mv23。

焦耳4。

标量无关5。

末动能初动能知识点二动能定理1.内容:在一个过程中合力对物体所做的功，等于物体在这个过程中。

2。

表达式:W＝ΔE k＝E k2－E k1＝.3.物理意义: 的功是物体动能变化的量度。

4.适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于。

(2）既适用于恒力做功，也适用于做功。

（3）力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以作用。

答案：1。

动能的变化 2. 3.合力4。

(1)曲线运动（2)变力(3）分阶段(1）运动的物体具有的能量就是动能. ( ）（2）一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。

( )（3）处于平衡状态的物体动能一定保持不变。

( )（4)做自由落体运动的物体，动能与下落时间的二次方成正比. （)(5)物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化。

( )(6）物体的动能不变，所受的合外力必定为零。

（)答案：（1）×（2)√(3）√(4）√(5）×(6）×考点动能定理的理解1.合外力做功与物体动能的变化间的关系（1）数量关系:合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系,但并不是说动能变化就是合外力做功.（2)因果关系:合外力的功是引起物体动能变化的原因.（3）量纲关系:单位相同,国际单位都是焦耳.2。

标量性：动能是标量，功也是标量,所以整个动能定理是一个标量式,不存在方向的选取问题。

当然动能定理也就不存在分量的表达式.例如，以相同大小的初速度不管以什么方向抛出，在最终落到地面速度大小相同的情况下,所列的动能定理的表达式都是一样的。