《高考领航》2018年高考物理大一轮复习学案课件第5章-第3节机械能守恒定律及其应用

第3讲机械能守恒定律及其应用教材知识梳理一、重力势能与重力做功1．物体的重力势能等于它所受的________与所处位置的________的乘积，E p＝________．2．重力势能是________量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在零势能参考平面的大还是小．3．重力势能是物体和________所共有的．重力势能的大小与零势能面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关．4．重力做功与物体运动的路径无关，只与重力及________________有关，W G＝mgh.5．重力做功与重力势能变化的关系：W G＝－ΔE p.二、弹性势能1．定义：物体由于发生________而具有的能，是标量．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：W＝－ΔE p.三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或(弹簧)弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．表达式(1)守恒角度：E1＝E2(2)转化角度：ΔE k＝－ΔE p(3)转移角度：ΔE A＝－ΔE B3．判断：方法1：只有重力或系统内弹簧弹力做功；方法2：只有动能和势能之间转化，没有其他能量参与．答案：一、1.重力高度mgh2．标 3.地球4．初、末位置的高度差二、1.弹性形变【思维辨析】(1)重力势能的大小及变化与零势能面的选取有关．( )(2)重力做功与路径有关．( )(3)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( )(4)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒．( )(5)做曲线运动的物体机械能可能守恒．( )答案：(1)(×)(2)(×)(3)(×)(4)(×)(5)(√)考点互动探究考点一机械能守恒的理解和判断题组1.关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C．做变速运动的物体机械能可能守恒D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒答案：C [解析] 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体的重力势能可能变化，所以机械能可能不守恒，如物体在竖直平面内运动，选项A、B错误；物体做变速运动时，受到的合力不为零，但如果运动过程中只有重力做功，则机械能守恒，选项C正确；合外力做功不为零，物体的动能改变，但如果运动过程中只有重力做功，则物体的机械能守恒，选项D错误．2．如图5­15­1所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是( )图5­15­1A．子弹射入物块B的过程B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达最大的过程C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程答案：A [解析] 子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以机械能不守恒．在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B、弹簧和子弹组成的系统，由于墙壁给A一个弹力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止．当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒．选项A符合题意．3．在如图5­15­2所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角处释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后直角架绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置由静止释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )图5­15­2A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A的机械能守恒C．丙图中两车组成的系统机械能守恒D．丁图中小球的机械能守恒答案：A [解析] 甲图中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图中P、Q两球通过杆相互影响，轻杆对P的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但以两个小球为系统，该过程中不存在机械能与其他形式的能的转化，所以两个小球组成的系统的机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变时有部分机械能转化为内能，机械能不守恒；丁图中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，系统机械能守恒．■ 规律总结机械能是否守恒的判断方法有：(1)利用机械能的定义判断：如果物体动能、势能之和不变，则机械能守恒；(2)利用机械能守恒条件判断：只有重力对单一物体做功，则机械能守恒；只有重力和(弹簧、橡皮筋)弹力对系统做功，或重力和弹力以外的其他力对系统做的总功为零，则系统的机械能守恒；(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，或系统内没有机械能与其他形式能的转化，则系统机械能守恒，注意弹簧弹力对物体做功时，弹簧和物体系统的机械能守恒，物体的机械能并不守恒．考点二 单体机械能守恒的应用[2016·兰州诊断考试] 如图5­15­3所示，竖直平面内固定着由两个半径均为R 的四分之一圆弧构成的细管道ABC ，圆心连线O 1O 2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端靠着质量为m 的小球(小球的直径略小于管道内径)，长为R 的薄板DE 置于水平面上，板的左端D 到管道右端C 的水平距离为R .开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能，重力加速度为g .解除锁定，小球离开弹簧后进入管道 ，最后从C 点抛出(不计小球与水平面和管道间的摩擦)，小球经C 点时对轨道外侧的弹力的大小为mg .(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能E p ；(2)试通过计算判断小球能否落在薄板DE 上．图5­15­3[解析] (1)解除弹簧锁定后小球运动到C 点过程，弹簧和小球组成的系统机械能守恒，设小球到达C 点的速度大小为v 1，根据机械能守恒定律可得E p ＝2mgR ＋12mv 21小球经C 点时所受的弹力的大小为mg ，方向向下． 根据向心力公式得mg ＋mg ＝mv 21R解得E p ＝3mgR .(2)小球离开C 点后做平抛运动，设从抛出到落到水平面上的时间为t ，根据平抛运动规律有 2R ＝12gt 2s ＝v 1t ＝22R所以小球不能落在薄板DE 上．如图5­15­4所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB 段和BC 段均为半径为R 的四分之一圆弧，CD 段为平滑的弯管．一小球从管口D 处由静止释放，最后能够从A 端水平飞出落到地面上．则管口D 距离地面的高度必须满足的条件是( )图5­15­4A ．等于2RB ．大于2RC ．大于2R 且小于52RD ．大于52R答案：B [解析] 要使小球从A 端水平抛出，其速度v 必须大于零．设管口D 距离地面的高度为H ，由机械能守恒定律得mgH ＝mg ·2R ＋12mv 2，解得H >2R ，选项B 正确．■ 规律总结机械能守恒定律是解答能量问题的基本方法之一，分析运动过程中物体的机械能是否守恒是解题的关键，在解决物体的运动问题时应优先考虑用能量方法，如曲线运动、含弹簧类运动问题等．应用时首先要对研究对象进行受力分析和运动分析，以确定在所研究的过程中机械能是否守恒，再选合适的表达式求解．应用机械能守恒定律求解多过程问题时可对全过程应用机械能守恒定律列式求解．考点三(多选)[2016·河南开封二模] 如图5­15­5所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 连接，另一端与物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上，A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连．开始时托住B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是( )图5­15­5A ．物体B 受到细线的拉力保持不变B ．物体A 与物体B 组成的系统机械能不守恒C ．物体B 机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量D ．当弹簧的拉力等于物体B 的重力时，物体A 的动能最大 答案：BD[解析] 以A 、B 组成的系统为研究对象，有m B g －kx ＝(m A ＋m B )a .由于弹簧的伸长量x 逐渐变大，从开始到B 速度达到最大的过程中B 加速度逐渐减小，由m B g －F T ＝m B a 可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A 错误．物体A 、弹簧与物体B 组成的系统机械能守恒，而物体A 与物体B 组成的系统机械能不守恒，B 正确．物体B 机械能的减少量等于物体A 机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故物体B 机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C 错误．当弹簧的拉力等于物体B 的重力时，物体B 速度最大，物体A 的动能最大，D 正确．■ 题根分析系统机械能守恒时，内部的相互作用力分为两类：(1)刚体产生的弹力：如轻绳产生的弹力，斜面产生的弹力，轻杆产生的弹力等．(2)弹簧产生的弹力：系统中有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转化． 轻绳的拉力、斜面的弹力、轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能守恒．虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹簧在内的系统机械能也守恒．对系统应用机械能守恒定律列方程的角度：(1)系统初态的机械能等于末态的机械能；(2)系统中某些物体减少的机械能等于其他物体增加的机械能．■ 变式网络1 (多选)[2015·全国卷Ⅱ] 如图5­15­6所示，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上，a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g .则( )图5­15­6A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg答案：BD [解析] 首先，把a 、b 看成一个系统，运动中机械能守恒，b 先加速后减速，a 到达地面时b 速度为0，故杆对b 先做正功后做负功，A 错误；根据系统机械能守恒，a 的重力势能的减少量等于a 动能的增加量，即mgh ＝12mv 2，得v ＝2gh ，B 正确；a 下落时，后来受杆的沿杆向下的拉力，故a 的加速度大于g ，C 错误；a 刚开始的一段下落过程中杆对a 做负功，a 的机械能减少，a 的机械能最小时杆对a 的作用力为0，此时杆对b 也没有力的作用，故b 对地面的压力大小为mg ，D 正确．2 如图5­15­7所示，a 、b 两物块质量分别为m 、2m ，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦．开始时，a 、b 两物块距离地面高度相同，用手托住物块b ，然后由静止释放，直至a 、b 物块间高度差为h .在此过程中，下列说法正确的是( )图5­15­7A ．物块a 的机械能守恒B ．物块b 机械能减少了23mghC ．物块b 重力势能的减少量等于它克服细绳拉力所做的功D ．物块a 重力势能的增加量小于其动能增加量答案：B [解析] 物块a 受重力、绳的拉力作用，其中拉力做正功，则a 的机械能增加，选项A 错误；物块b 受重力、绳的拉力作用，其中拉力做负功，则b 的机械能减少，a 、b 系统只有重力做功，其机械能守恒，有(2m －m )g h 2＝12(m ＋2m )v 2，即gh ＝3v 2；b 机械能减少了ΔE ＝2mg ·h 2－12×(2m )v 2＝23mgh ，选项B正确；a 的重力势能的增加量mg ·h 2>12mv 2，选项D 错误；根据动能定理，对b 有－W T ＋W G ＝12mv 2，即W G ＝12mv2＋W T ，选项C 错误．考点四 非质点的机械能守恒问题如图5­15­8所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动．AB 、BC 间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L 的均匀柔软链条开始时静止放在ABC 面上，其一端D 至B 的距离为L －a .现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由； (2)链条的D 端滑到B 点时，链条的速率为多大？图5­15­8[解析] (1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC 和AB 面均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件．(2)设链条质量为m ，选AB 面为零势能面，由机械能守恒定律可得－a L mg ·a 2sin α＝12mv 2－mg ·L2sin α 解得v ＝g L（L 2－a 2）sin α.如图5­15­9所示，粗细均匀，两端开口的U 形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h ，管中液柱总长度为4h ，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )图5­15­9A.18gh B.16gh C.14gh D.12gh 答案：A ■ 规律总结在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解．【教师备用习题】1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )A.π6 B.π4C.π3 D.5π12[解析] B 由题意可知mgh ＝12mv 20，又由动能定理得 mgh ＝12mv 2－12mv 20，根据平抛运动可知v 0是v 的水平分速度，那么cos α＝v 0v ＝22，其中α为物块落地时速度方向与水平方向的夹角，解得α＝45°，B 正确．2．(多选)[2016·广西质量检测] 如图所示，半径为R 的光滑圆环固定在竖直平面内，C 是圆环最低点．两个质量均为m 的小球A 、B 套在圆环上，用长为2R 的轻杆相连，轻杆从竖直位置由静止释放，重力加速度为g ，则( )A ．当轻杆水平时，A 、B 两球的总动能最大 B ．A 球或B 球在运动过程中机械能守恒C ．A 、B 两球组成的系统机械能守恒D ．B 球到达C 点时的速度大小为gR[解析] ACD 轻杆从竖直位置由静止释放，由于圆环光滑，由机械能守恒定律得，两球组成的系统在运动过程中机械能守恒，当轻杆运动到最低位置，即轻杆水平时，A 、B 两球的总动能最大，选项A 、C 正确．在运动过程中，轻杆对两球有作用力，且作用力做功，所以A 球或B 球在运动过程中机械能不守恒，选项B 错误．轻杆从竖直位置由静止释放，当B 球运动到C 点时，B 球重力势能减少量为mgR (1－cos 45°)，A 球重力势能减少量为mgR cos 45°，由机械能守恒定律，有mgR (1－cos 45°)＋mgR cos 45°＝12mv 2A ＋12mv 2B ，v A cos 45°＝v B cos 45°，联立解得v B ＝gR ，选项D 正确．3．(多选)[2015·南昌十校二模] 如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d ，杆上的A 点与定滑轮等高，杆上的B 点在A 点下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )A ．环到达B 处时，重物上升的高度H ＝d2B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小相等C ．环从A 到B ，环减少的机械能等于重物增加的机械能D ．环能下降的最大高度为43d[解析] CD 环到达B 处时，重物上升的高度H ＝(2－1)d ，选项A 错误；将环在B 处时的速度v B 沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，环沿绳子方向上的分速度等于重物的速度v ′，有v B cos 45°＝v ′，选项B 错误；环和重物组成的系统在运动过程中，只有重力做功，所以系统机械能守恒，环减少的机械能等于重物增加的机械能，选项C 正确；设环下降的最大高度为h ，则此时环和重物的速度均为零，重物上升的高度为h ′＝h 2＋d 2－d ，由机械能守恒定律得mgh －2mgh ′＝0，解得h ＝43d ，选项D 正确．4．[2016·江苏省如皋中学模拟] 飞机迫降后，打开紧急出口，狭长的气囊会自动充气，生成一条连接出口与地面的斜面，乘客可从斜面滑行到地上．乘客在粗糙的气囊上沿斜面下滑过程中( )A ．乘客的机械能减少B ．乘客的机械能守恒C ．乘客的机械能增加D ．乘客重力势能的减少量等于动能的增加量[解析] A 乘客在粗糙的气囊上沿斜面下滑过程中，要克服摩擦力做功，根据功能关系可知，乘客的机械能减少，选项A 正确，选项B 、C 错误．乘客的重力势能转化为动能和内能，所以乘客重力势能的减少量大于动能的增加量．选项D 错误．5．(多选)[2016·苏北四市高三调研] 如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r 的相同小球，各球编号如图．斜面与水平轨道OA 平滑连接，OA 长度为6r .现将六个小球由静止同时释放，小球离开A 点后均做平抛运动，不计一切摩擦．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )A ．球1的机械能守恒B ．球6在OA 段机械能增大C ．球6的水平射程最小D ．六个球落地点各不相同[解析] BC 当所有球都在斜面上运动时机械能守恒，当有球在水平面上运动时，后面球要对前面的球做功，前面的小球机械能不守恒，选项A 错误；球6在OA 段由于球5的推力对其做正功，其机械能增大，选项B 正确；由于球6离开A 点的速度最小，所以其水平射程最小，选项C 正确；当1、2、3小球均在OA 段时，三球的速度相同，故从A 点抛出后，三球落地点也相同，选项D 错误．。

重力做功与重力势能机械能守恒定律及其应用功能关系学法指导：能量转化和守恒定律专题包括各种功能关系、机械能转化和守恒定律及能量转化和守恒定律．重力的功和重力势能、弹力的功和弹性势能等功能关系及用功能关系研究实际问题是高考热点．能的转化和守恒定律是分析、解决一般问题的重要方法，机械能守恒定律和能量守恒定律更是本单元的主干知识和重要规律，本单元知识密切联系生产和生活实际及现代科学技术，常与牛顿运动定律、曲线运动、电磁学问题综合考查．一、机械能守恒的理解与判断1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。

(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。

(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。

2．机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。

(2)利用守恒条件判断。

(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。

二、单个物体的机械能守恒1．机械能守恒的三种表达式2．机械能守恒定律的应用技巧(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。

(2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较简便。

高频考点一 机械能守恒的判断 机械能守恒的判定方法(1)做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。

(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)。

五 机械能第1节 功 功率一、功1．做功的两个必要条件力和物体在力的方向上发生的位移． 2．公式W ＝Fl cos α，适用于恒力做功，其中α为F 、l 方向间夹角，l 为物体对地的位移．3．功的正负判断1．定义：功与完成这些功所用时间的比值． 2．物理意义：描述做功的快慢． 3．公式(1)P ＝W t，P 为时间t 内的平均功率． (2)P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角) ①v 为平均速度，则P 为平均功率． ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率． 4．额定功率与实际功率(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．[自我诊断]1．判断正误(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．(×)(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．(√)(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功．(×)(4)力始终垂直物体的运动方向，则该力对物体不做功．(√)(5)摩擦力对物体一定做负功．(×)(6)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比．(√)(7)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力．(√)2．(多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图所示，物体m相对斜面静止．则下列说法正确的是( )A．重力对物体m做正功B．合力对物体m做功为零C．摩擦力对物体m做负功D．支持力对物体m做正功解析：选BCD.物体的受力及位移如图所示，支持力F N与位移x的夹角α<90°，故支持力做正功，D正确；重力垂直位移，故重力不做功，A错误；摩擦力F f与x夹角β>90°，故摩擦力做负功，C正确；合力为零，合力不做功，B正确．3．如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的是( )A．W1>W2>W3B．W1＝W2>W3C．W1＝W2＝W3D．W1<W2<W3解析：选C.由功的公式可得，这三种情况下做的功分别为W1＝Fx cos α、W2＝Fx cos α、W3＝－Fx cos α，又因为功的正、负不表示大小，所以C正确．4．在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F ，使同一物体从静止开始移动x ，则平均功率为( )A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P解析：选D.设第一次运动时间为t ，则其平均功率表达式为P ＝Fx t；第二次加速度为第一次的4倍，由x ＝12at 2 可知时间为t 2，其平均功率为4Fx t 2＝8Fxt＝8P ，D 正确．考点一 功的正负判断和计算考向1：功的正负的判断方法(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F 与v 的方向夹角来判断．当0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功．(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．1．(多选)如图所示，重物P 放在一长木板OA 上，将长木板绕O 端转过一个小角度的过程中，重物P 相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P 的摩擦力和支持力做功的情况是()A ．摩擦力对重物不做功B ．摩擦力对重物做负功C ．支持力对重物不做功D ．支持力对重物做正功解析：选AD.由做功的条件可知：只要有力，并且物体在力的方向上通过位移，则力对物体做功．由受力分析知，支持力F N 做正功，摩擦力F f 不做功，选项A 、D 正确．2. (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P 匀速带至高处，在此过程中，下列说法中正确的是( )A ．摩擦力对物体做正功B．摩擦力对物体做负功C．支持力对物体不做功D．合力对物体做正功解析：选AC.物体P匀速向上运动过程中，受静摩擦力作用，方向沿皮带向上，对物体做正功，支持力垂直于皮带，做功为零，物体所受的合力为零，做功也为零，故A、C正确，B、D错误．考向2：恒力做功的计算(1)单个力做的功：直接用W＝Fl cos α计算．(2)合力做的功方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功．方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功．3．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )A．人对车的推力F做的功为FLB．人对车做的功为maLC．车对人的作用力大小为maD．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L解析：选AD.由做功的定义可知选项A正确；对人进行受力分析，人受重力以及车对人的力，合力的大小为ma，方向水平向左，故车对人的作用力大小应为ma2＋mg2，选项C错误；上述过程重力不做功，合力对人做的功为maL，所以车对人做的功为maL，由相互作用力及人、车的位移相同可确定，人对车做的功为－maL，选项B错误；对人由牛顿第二定律知，在水平方向上有F f－F＝ma，摩擦力做的功为(F＋ma)L，选项D正确．4．(2017·湖北武汉模拟)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )A．W1＝W2＝W3B．W1<W2<W3C．W1<W3<W2D．W1＝W2<W3解析：选B.力F做的功等于每段恒力F与该段滑块运动的位移数值的乘积，滑块的位移即v­t图象中图象与坐标轴围成的面积，第1 s内，位移大小为一个小三角形面积S；第2 s内，位移大小也为一个小三角形面积S；第3 s内，位移大小为两个小三角形面积2S，故W1＝S，W2＝3S，W3＝4S，所以W1<W2<W3，B正确．考点二变力功的计算方法一利用“微元法”求变力的功物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．[典例1] 如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为R2和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( ) A．0 B．FRC.32πFR D．2πFR解析虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR＋πR2，则拉力做的功为32πFR，故C正确．答案 C方法二化变力的功为恒力的功若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Fl cos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．[典例2] 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B 点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( ) A．W1＞W2B ．W 1＜W 2C ．W 1＝W 2D ．无法确定W 1和W 2的大小关系解析 绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F 对绳子做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 正确．答案 A方法三 利用F ­x 图象求变力的功在F ­x 图象中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．[典例3] 如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时F 做的总功为( )A ．0B ．12F m x 0 C.π4F m x 0 D.π4x 2解析 F 为变力，根据F ­x 图象包围的面积在数值上等于F 做的总功来计算．图线为半圆，由图线可知在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12π·F 2m ＝12π·F m ·12x 0＝π4F m x 0.答案 C方法四 利用平均力求变力的功在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F ＝F 1＋F 22的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W ＝Fl cos α求此力所做的功．[典例4] 把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k .问此钉子全部进入木板需要打击几次？解析 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F ＝0＋kl 2＝kl2钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝12kl 2设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量： E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl 22E 0答案 kl 22E 0方法五 利用动能定理求变力的功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．[典例5] 如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR解析 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有F N －mg ＝m v 2R，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR －W f ＝12mv 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确．答案 C考点三 功率的计算1．平均功率的计算 (1)利用P ＝Wt.(2)利用P ＝Fv cos α，其中v 为物体运动的平均速度． 2．瞬时功率的计算(1)利用公式P ＝Fv cos α，其中v 为t 时刻物体的瞬时速度． (2)利用公式P ＝Fv F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度． (3)利用公式P ＝F v v ，其中F v 为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力． 3．计算功率的3个注意(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F 与v 不同向，可用力F 乘以F 方向的分速度，或速度v 乘以速度方向的分力求解．1．一个质量为m 的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．现把其中一个水平方向的力从F 突然增大到3F ，并保持其他力不变，则从这时开始到t 秒末，该力的瞬时功率是( )A.3F 2t mB ．4F 2t mC.6F 2tmD.9F 2tm解析：选C.物块受到的合力为2F ，根据牛顿第二定律有2F ＝ma ，在合力作用下，物块做初速度为零的匀加速直线运动，速度v ＝at ，该力大小为3F ，则该力的瞬时功率P ＝3Fv ，解以上各式得P ＝6F 2tm，C 正确．2．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104kg ，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105N ；弹射器有效作用长度为100 m ，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )A ．弹射器的推力大小为1.1×106N B ．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108J C ．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107W D ．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s 2解析：选ABD.对舰载机应用运动学公式v 2－0＝2ax ，代入数据得加速度a ＝32 m/s 2，D正确；设总推力为F ，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F －20%F ＝ma ，得F ＝1.2×106N ，而发动机的推力为1.0×105N ，则弹射器的推力为F 推＝(1.2×106－1.0×105)N ＝1.1×106 N ，A 正确；弹射器对舰载机所做的功为W ＝F 推·l ＝1.1×108J ，B 正确；弹射过程所用的时间为t ＝v a ＝8032 s ＝2.5 s ，平均功率P ＝W t ＝1.1×1082.5W ＝4.4×107W ，C 错误．3. 如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A 沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B 做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )A ．重力的平均功率P A >PB B ．重力的平均功率P A ＝P BC ．重力的瞬时功率P A ＝P BD ．重力的瞬时功率P A <P B解析：选D.根据功的定义可知重力对两物体做功相同即W A ＝W B ，自由落体时满足h ＝12gt 2B ，沿斜面下滑时满足hsin θ＝12gt 2A sin θ，其中θ为斜面倾角，故t A >t B ，由P ＝Wt知P A <P B，A 、B 错；由匀变速直线运动公式可知落地时两物体的速度大小相同，方向不同，重力的瞬时功率P A ＝mgv sin θ，P B ＝mgv ，显然P A <P B ，故C 错，D 对．求解功率时应注意的“三个”问题(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率考点四 机车启动问题考向1：以恒定功率启动 (1)运动过程分析(2)运动过程的速度­时间图象1. 一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小F f 恒定不变．下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )解析：选A.由P ­t 图象知：0～t 1内汽车以恒定功率P 1行驶，t 1～t 2内汽车以恒定功率P 2行驶．设汽车所受牵引力为F ，则由P ＝Fv 得，当v 增加时，F 减小，由a ＝F －F fm知a 减小，又因速度不可能突变，所以选项B 、C 、D 错误，A 正确．2．(2017·山东济南模拟)(多选)汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P ，牵引力为F 0，t 1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力F 随时间t 、速度v 随时间t 变化的图象是( )解析：选AD.到t 1时刻功率立即减小一半，但速度减小有一个过程，不能直接变为原来的一半，所以牵引力立即变为原来的一半，根据公式P ＝Fv ，之后保持该功率继续行驶，速度减小，牵引力增大，根据a ＝F f －Fm，摩擦力恒定，所以加速度逐渐减小，即v ­t 图象的斜率减小，当加速度为零时，做匀速直线运动，故选项A 、D 正确．考向2：以恒定加速度启动(1)运动过程分析(2)运动过程的速度－时间图象如图所示．3．一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )A ．汽车的速度与时间成正比B ．汽车的位移与时间成正比C ．汽车做变加速直线运动D ．汽车发动机做的功与时间成正比解析：选A.由F －F f ＝ma 可知，因汽车牵引力F 保持恒定，故汽车做匀加速直线运动，C 错误；由v ＝at 可知，A 正确；而x ＝12at 2，故B 错误；由W F ＝F ·x ＝F ·12at 2可知，D 错误．4．(2017·浙江舟山模拟)质量为1.0×103kg 的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N ，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104W ，开始时以a ＝1 m/s 2的加速度做匀加速运动(g ＝10 m/s 2)．求：(1)汽车做匀加速运动的时间t 1； (2)汽车所能达到的最大速率；(3)若斜坡长143.5 m ，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？解析：(1)由牛顿第二定律得F －mg sin 30°－F f ＝ma设匀加速过程的末速度为v ，则有P ＝Fvv ＝at 1解得t 1＝7 s(2)当达到最大速度v m 时，a ＝0，则有P ＝(mg sin 30°＋F f )v m解得v m ＝8 m/s(3)汽车匀加速运动的位移x 1＝12at 21在后一阶段对汽车由动能定理得Pt 2－(mg sin 30°＋F f )x 2＝12mv 2m －12mv 2又有x ＝x 1＋x 2 解得t 2＝15 s故汽车运动的总时间为t ＝t 1＋t 2＝22 s 答案：(1)7 s (2)8 m/s (3)22 s解决机车启动问题的4个注意(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．(2)在机车功率P ＝Fv 中，F 是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P ＝F f v m .(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W ＝Pt 计算，不能用W ＝Fl 计算(因为F 为变力)．(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W ＝Fl 计算，不能用W ＝Pt 计算(因为功率P 是变化的)．课时规范训练 [基础巩固题组]1. 如图所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )A ．A 所受的合外力对A 不做功B ．B 对A 的弹力做正功C ．B 对A 的摩擦力做正功D ．A 对B 做正功解析：选C.AB 一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为g sin θ.由于A 速度增大，由动能定理，A 所受的合外力对A 做功，B 对A 的摩擦力做正功，B 对A 的弹力做负功，选项A 、B 错误C 、正确．A 对B 不做功，选项D 错误．2. (多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( )A ．重力做功为mgLB ．绳的拉力做功为0C ．空气阻力F 阻做功为－mgLD ．空气阻力F 阻做功为－12F 阻πL解析：选ABD.小球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B 正确；空气阻力F 阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F 阻做功为－F 阻·12πL ，C 错误，D 正确．3．(多选) 如图所示，B 物体在拉力F 的作用下向左运动，在运动过程中，A 、B 之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )A ．A 、B 都克服摩擦力做功 B ．摩擦力对A 不做功C ．摩擦力对B 做负功D ．摩擦力对A 、B 都不做功解析：选BC.对A 、B 受力分析如图所示，物体A 在F f2作用下没有位移，所以摩擦力对A 不做功，故B 正确；对物体B ，F f1与位移夹角为180°，做负功，故C 正确，A 、D 错误．4. 如图所示，用与水平方向成θ角的力F ，拉着质量为m 的物体沿水平地面匀速前进位移s ，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F 做的功为( )A ．mgsB ．μmgsC.μmgscos θ＋μsin θD.μmgs1＋μtan θ解析：选D.物体受力平衡，有F sin θ＋F N ＝mg ，F cos θ－μF N ＝0，在此过程中F 做的功W ＝Fs cos θ＝μ mgs1＋μtan θ，D 正确．5．如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F 将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功为( )A ．FL cos θB ．FL sin θC ．FL (1－cos θ)D ．mgL (1－cos θ)解析：选D.用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解，由动能定理得W F－mgL (1－cos θ)＝0，解得W F ＝mgL (1－cos θ)，D 正确．6. 如图所示，质量为m 的小球以初速度v 0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )A ．mgv 0tan θ B.mgv 0tan θC.mgv 0sin θD ．mgv 0cos θ解析：选B.小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P ＝mgv y ，而v y tan θ＝v 0，所以P ＝mgv 0tan θ，B 正确．7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，则小球从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )A ．mgh －12mv 2B.12mv 2－mghC ．－mghD ．－(mgh ＋12mv 2)解析：选A.小球从A 点运动到C 点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得W G ＋W F ＝0－12mv 2，重力做功为W G ＝－mgh ，则弹簧的弹力对小球做功为W F ＝mgh －12mv 2，所以正确选项为A.[综合应用题组]8．质量为m 的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P ，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v ，那么当汽车的车速为v3时，汽车的瞬时加速度的大小为( )A.P mvB.2P mvC.3PmvD.4Pmv解析：选B.当汽车匀速行驶时，有f ＝F ＝P v ，根据P ＝F ′v 3，得F ′＝3Pv ，由牛顿第二定律得a ＝F ′－f m ＝3Pv －Pv m ＝2Pmv，故B 正确，A 、C 、D 错误．9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知()A ．物体加速度大小为2 m/s 2B ．F 的大小为21 NC ．4 s 末F 的功率大小为42 WD ．4 s 内F 做功的平均功率为42 W解析：选C.由图乙可知，物体的加速度a ＝0.5 m/s 2，由2F －mg ＝ma 可得：F ＝10.5 N ，A 、B 均错误；4 s 末力F 的作用点的速度大小为v F ＝2×2 m/s＝4 m/s ，故4 s 末拉力F 做功的功率为P ＝F ·v F ＝42 W ，C 正确；4 s 内物体上升的高度h ＝4 m ，力F 的作用点的位移l ＝2h ＝8 m ，拉力F 所做的功W ＝F ·l ＝84 J,4 s 内拉力F 做功的平均功率P ＝Wt＝21 W ，D 错误．10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其v ­t 图象如图所示，已知在0～t 1时间内为过原点的倾斜直线，t 1时刻达到额定功率P ，此后保持功率P 不变，在t 3时刻达到最大速度v 3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )A ．从0至t 3时间内，列车一直匀加速直线运动B ．t 2时刻的加速度大于t 1时刻的加速度C ．在t 3时刻以后，机车的牵引力为零D ．该列车所受的恒定阻力大小为Pv 3解析：选D.0～t 1时间内，列车匀加速运动，t 1～t 3时间内，加速度变小，故A 、B 错；t 3以后列车匀速运动，牵引力等于阻力，故C 错；匀速运动时f ＝F 牵＝Pv 3，故D 正确．11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m 的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t 前进的距离为x ，且速度达到最大值v m .设这一过程中电动机的功率恒为P ，小车所受阻力恒为f ，那么这段时间内( )A ．小车做匀加速运动B ．小车受到的牵引力逐渐增大C ．小车受到的合外力所做的功为PtD ．小车受到的牵引力做的功为fx ＋12mv 2m解析：选D.小车在运动方向上受牵引力F 和阻力f ，因为v 增大，P 不变，由P ＝Fv ，F －f ＝ma ，得出F 逐渐减小，a 也逐渐减小，当v ＝v m 时，a ＝0，故A 、B 均错；合外力做的功W 外＝Pt －fx ，由动能定理得Pt －fx ＝12mv 2m ，故C 错误，D 正确．12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )A ．0～6 s 内物体位移大小为36 mB ．0～6 s 内拉力做的功为30 JC ．合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等D ．滑动摩擦力大小为5 N解析：选C.由P ＝Fv ，对应v ­t 图象和P ­t 图象可得30＝F ·6,10＝f ·6，解得：F ＝5 N ，f ＝53 N ，D 错误；0～6 s 内物体的位移大小为(4＋6)×6×12 m ＝30 m ，A 错误；0～6 s内拉力做功W ＝F ·x 1＋f ·x 2＝5×6×2×12 J ＋53×6×4 J＝70 J ，B 错误；由动能定理可知，C 正确．13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m 的重物，当重物的速度为v 1时，起重机的功率达到最大值P ，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v 2匀速上升，物体上升的高度为h ，则整个过程中，下列说法正确的是( )A ．钢绳的最大拉力为Pv 2B ．钢绳的最大拉力为mgC ．重物匀加速的末速度为P mgD ．重物匀加速运动的加速度为Pmv 1－g 解析：选D.加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀速运动阶段钢绳的拉力为P v 2，故A 错误；加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，故B 错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于Pmg ，故C 错误；重物匀加速运动的末速度为v 1，此时的拉力为F ＝Pv 1，由牛顿第二定律得：a ＝F －mgm＝Pmv 1－g ，故D 正确． 14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )A ．甲球用的时间比乙球长B ．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小C ．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小D ．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功解析：选BD.设f ＝kR ，则由牛顿第二定律得F 合＝mg －f ＝ma ，而m ＝43πR 3·ρ，故a。