2018年高考物理大一轮复习学案课件：第4章-第4节万有引力与航天 精品

第4讲 万有引力与航天考点一 万有引力定律及天体质量和密度的估算1．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。

(2)表达式：F ＝Gm 1m 2r 2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。

2．中心天体质量和密度的估算(1)“g 、R 法”：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝g R 2G 。

②天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR 。

(2)“T 、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。

①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2。

②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3。

③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

[思维诊断](1)只有天体之间才存在万有引力。

( )(2)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。

( )(3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。

( )(4)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。

( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)√[题组训练]1．[万有引力的计算](多选)如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R 。

下列说法正确的是( )A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm (r －R )2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r 2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm r 2解析： 地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r ，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm 23r 2，选项C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D 错误。

第四节 万有引力与航天一、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2.3．适用条件(1)严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)均匀的球体可视为质点，其中r 是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点的距离．1.判断正误(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F ＝G m 1m 2r 2决定，其方向总是指向地心．( )(2)只有天体之间才存在万有引力．( )(3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G MmR 2计算物体间的万有引力．( )(4)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．( ) 提示：(1)√ (2)× (3)× (4)× 二、宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)(1)数值 v 1＝7.9 km/s ，是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星最大的环绕速度． (2)第一宇宙速度的计算方法①由G Mm R 2＝m v2R得v ＝ ②由mg ＝m v2R得v 2．第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度． 2.(2017·河南洛阳模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为________．提示：由G Mm r 2＝m v 2r ，G Mm r 2＝mg6，联立解得星球的第一宇宙速度v 1＝16gr ，星球的第二宇宙速度v 2＝2v 1＝2×16gr ＝ 13gr.三、经典力学的时空观和相对论时空观 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的． 2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同． 3．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．3.对相对论的基本认识，下列说法正确的是 ( )A ．相对论认为：真空中的光速在不同惯性参考系中都是相同的B ．爱因斯坦通过质能方程阐明了质量就是能量C ．在高速运动的飞船中的宇航员会发现飞船中的钟走得比地球上快D ．我们发现竖直向上高速运动的小球在水平方向上变扁了 提示：A对万有引力定律的理解及应用【知识提炼】1．开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．(2)开普勒第二定律(面积定律)：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．(3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即a3T2＝k.2．天体质量和密度的计算(1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R. ①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G .②天体密度：ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T.①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量为M ＝4π2r 3GT 2.②若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R3.③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度．【典题例析】(多选)(2015·高考全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2.则此探测器( )A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/sB ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103NC ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 [答案] BD【跟进题组】考向1 开普勒三定律在椭圆轨道上的应用1．(多选)(2017·杭州外国语学校月考)据报道，美国探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，并投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大碰撞”，如图所示．设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一椭圆，其运行周期为5.74年，则下列说法中正确的是( )A ．探测器的最小发射速度为7.9 km/sB ．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的加速度大于远日点处的加速度C ．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的线速度小于远日点处的线速度D ．探测器运行的周期小于5.74年 解析：选BD.考向2 星球附近重力加速度的求解2．(2015·高考重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0B ．GM（R ＋h ）2 C.GMm（R ＋h ）2D ．GM h2解析：选B.考向3 天体质量和密度的计算3．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )A ．地球的质量m 地＝gR 2G B ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22C ．月球的质量m 月＝4π2L 31GT 1 D ．可求月球、地球及太阳的密度解析：选AB.1．计算星球表面(附近)的重力加速度g(不考虑星球自转)：mg ＝G mM R 2，得g ＝GMR2.2．计算星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度g′：mg′＝GmM （R ＋h ）2，得g′＝GM（R ＋h ）2.所以g g ′＝（R ＋h ）2R 2. 3．万有引力与重力的关系(1)在赤道上F 万＝F 向＋mg ，即mg ＝G Mm R 2－m ω2R ；(2)在两极F 万＝mg ，即mg ＝G MmR2；(3)在一般位置，万有引力等于mg 与F 向的矢量和．卫星运行规律 【知识提炼】1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心． 2．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝3GMT 24π2＝4.23×104km ，卫星离地面高度h ＝r －R≈6R(为恒量)． (5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致． 3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．卫星运动中的机械能(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能和卫星(与中心天体)的引力势能．(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．【典题例析】(高考天津卷)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )A ．距地面的高度变大B ．向心加速度变大C ．线速度变大D ．角速度变大[审题指导] 根据周期变慢，确定轨道半径变化情况．[解析] 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，得r ＝ 3GMT 24π2，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A 项正确；由G Mm r 2＝ma 得，a ＝GM r 2，半径变大，向心加速度变小，B 项错误；由G Mmr 2＝m v2r得，v ＝GM r ，半径变大，线速度变小，C 项错误；由ω＝2πT分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D 项错误．[答案] A1．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，整理得GM ＝gR 2，称为黄金代换．(g 表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝m 4π2r T2＝ma n . 2．用好“二级结论”，速解参量比较问题 “二级结论”有：(1)向心加速度a∝1r 2，r 越大，a 越小；(2)线速度v∝1r，r 越大，v 越小，r ＝R 时的v 即第一宇宙速度(绕行天体在圆轨道上最大的线速度，发射卫星时的最小发射速度)；(3)角速度ω∝1r3，r 越大，ω越小； (4)周期T∝r 3，r 越大，T 越大．即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”．【跟进题组】考向1 卫星运行参量的比较1．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( )A ．F 1＝F 2＞F 3B ．a 1＝a 2＝g ＞a 3C ．v 1＝v 2＝v ＞v 3D ．ω1＝ω3＜ω2解析：选D.考向2 对同步卫星的考查2．(2016·高考全国卷乙)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：选B.考向3 宇宙速度问题3．(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018年展开.2018年左右我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的23解析：选CD.卫星的变轨问题 【知识提炼】1．从低轨变高轨(如图所示)(1)在P 点加速(短时)由圆轨道1进入椭圆轨道2； (2)在椭圆轨道2上远地点Q 再短时加速进入圆轨道3.虽有两次短时加速，但卫星从近地点P 到远地点Q 的过程中引力做负功，由v ＝GMr知，卫星的速度减小(动能减小、势能增大)．2．从高轨变低轨(如图所示)(1)在轨道3上Q 点短时制动减速由圆轨道3进入椭圆轨道2； (2)在轨道2上P 点再短时制动减速进入圆轨道1.3．渐变转轨：在卫星受空气阻力作用轨道变化问题中，“空气阻力”是变轨的原因，一般分析过程为：卫星在半径为r 1的较高轨道上做圆周运动，v 1＝GM r 1→空气阻力做负功→卫星动能(速度)减小→致使G Mm r2＞m v2r→卫星做向心运动→轨道高度缓慢降低到半径为r 2的圆轨道上→重力做正功→卫星动能⎝ ⎛⎭⎪⎫速度v 2＝GM r 2增大．实质上，卫星在稀薄空气阻力作用下的运动是机械能缓慢减小、轨道半径缓慢减小、动能(速度)缓慢增大的运动．【典题例析】如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R ，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B 点，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G ，地球质量为M ，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )A ．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能B ．若卫星在1轨道上的速率为v 1，卫星在2轨道A 点的速率为v A ，则v 1＜v AC ．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a 1、a 3，卫星在2轨道A 点的加速度大小为a A ，则a A ＜a 1＜a 3D ．若OA ＝0.4R ，则卫星在2轨道B 点的速率v B ＞ 5GM 8R[答案] B1．从引力和向心力的关系分析变轨问题(1)卫星突然加速(通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计)，则万有引力不足以提供向心力，GMmr 2＜m v ′2r，卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道． (2)当卫星突然减速时，卫星所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低的轨道． 2．变轨问题考查的热点(1)运动参量的比较：两个轨道切点处，加速度由GMmr 2＝ma 分析，式中“r”表示卫星到地心的距离，a大小相等；由于变轨时发动机要点火工作，故线速度大小不等．(2)能量的比较：在离心运动过程中(发动机已关闭)，卫星克服引力做功，其动能向引力势能转化，机械能保持不变．两个不同的轨道上(圆轨道或椭圆轨道)，轨道越高卫星的机械能越大．【跟进题组】考向1 运动参量的变化分析1．(多选)(2017·湖北八校联考)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M 点为环地球运行的近地点，N 点为环月球运行的近月点．a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是( )A ．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/sB ．嫦娥三号在M 点进入地月转移轨道时应点火加速C ．设嫦娥三号在圆轨道a 上经过N 点时的加速度为a 1，在椭圆轨道b 上经过N 点时的加速度为a 2，则a 1＞a 2D ．嫦娥三号在圆轨道a 上的机械能小于在椭圆轨道b 上的机械能 解析：选BD.考向2 卫星的追赶问题2.我国于2016年9月15日发射了“天宫二号”空间实验室，之后在10月17日，又发射了“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析：选C.课后练习1.(多选)(2016·高考江苏卷)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A >TB B ．E kA >E kBC ．S A ＝S BD ．R 3A T 2A ＝R 3B T 2B2．(2017·武汉模拟)美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t.已知万有引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是( )A ．M ＝4π2n 2（R ＋h ）3Gt 2，ρ＝3πn 2（R ＋h ）3Gt 2R 3B ．M ＝4π2（R ＋h ）2Gt 2，ρ＝3πn 2（R ＋h ）2Gt 2R 3C ．M ＝4π2t 2（R ＋h ）3Gn 2，ρ＝3πt 2（R ＋h ）3Gn 2R 3D ．M ＝4π2n 2（R ＋h ）3Gt 2，ρ＝3π（R ＋h ）3Gt 2R33．(多选)(高考全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )A.B ．在2015年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短4.(2015·高考山东卷)如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a15．太阳系中某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但科学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗未知行星B，它对A的万有引力引起A行星轨道的偏离，假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，由此可推测未知行星B绕太阳运行的圆轨道半径为( )A．R 3⎝⎛⎭⎪⎫tt－T2B．Rtt－TC．R 3⎝⎛⎭⎪⎫t－Tt2D．R3t2t－T6．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )A．卫星的动能逐渐减小B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小。