第7章 向量代数与空间解析几何 习题 7- (4)

7空间解析几何与向量代数习题与答案第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量«Skip Record If...»的单位向量为______________.2、设已知两点«Skip Record If...»，计算向量«Skip Record If...»的模，方向余弦和方向角.3、设«Skip Record If...»，求向量«Skip Record If...»在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.二、1、设«Skip Record If...»，求(1)«Skip Record If...»(3)a、b的夹角的余弦.2、知«Skip Record If...»，求与«Skip Record If...»同时垂直的单位向量.3、设«Skip Record If...»，问«Skip Record If...»满足_________时，«Skip Record If...».三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程«Skip Record If...»表示______________曲面.3、1)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中«Skip Record If...»表示____________图形。

习题7-1 空间直角坐标系1.填空题（1）下列各点所在象限分别是：a .（1，-2，3）在________________；b .（2，3，-4）在________________；c .（2，-3，-4）在________________；d .（-2，-3，1）在________________。

（2）点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。

（3）点A(-4,3,5)在XOY 平面上的射影点是_________，在YOZ 平面上的射影点是_________，在ZOX 面上的射影点是__________，在X 轴上的射影点是_________，在Y 轴上的射影点是__________，在Z 轴上的射影点是__________。

（4）已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为A(,,a a a ---)，B(,,a a a --)，C(,,a a a --)和D （,,a a a ），则其余顶点分别为___________，_____________，___________， ___________。

2.已知三角形的三个顶点A（2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(-5，0，2)，求过A、B、C 三点的中线的长度。

3.已知平行四边形ABCD的两个顶点A（2，-3，-5），B（-1，3，2）及它的对角线的交点E（4，-1，7），求顶点C、D的坐标。

4.已知某直线线段AB被点C（2，0，2）及点D(5，-2，0)内分为3等分，求端点A、B的坐标。

5.求点M（-4，3，-5）到各坐标轴的距离。

6.在YOZ面上，求与三个已知点A(3，1，2)，B（4，-2，-2）和C(0，5，1)等距离的点。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z +=(2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程.5、求直线⎩⎨⎧=--=++03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j ib a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

习题7.41. 判断下列四点是否共面:(1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)A B C D -;(2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)A B C D --.2. 设≠0a ,(1) 若⋅=⋅a b a c , 则是否必有=b c ?(2) 若⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?(3) 若⋅=⋅a b a c ,且⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置：(1) 3210x y -+=; (2) 250x +=； (3) 0x y -=； (4)0Ax Cz +=.4. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(1,2,3)M -, 法向量为(2,1,5)=--n ;(2) 在x 轴,y 轴和z 轴上的截距分别为2,3,1-;(3) 过点(5,7,4)-且在x y z 、、轴上截距相等；(4) 过点(3,6,2)P -，且垂直于OP (O 为原点)；(5) 过点1(2,1,3)M -,2(5,1,4)M -和3(2,2,4)M -；(6) 过Ox 轴和点(4,3,1)--；(7) 平行于Oy 轴，且通过点(1,5,1)-和(3,2,2)-；(8) 平行于xOz 平面，且通过点(3,2,7)-；(9) 过点(1,3,2)-，且平行于平面520x y z +--=；(10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)-，且垂直于平面35210x y z +--=；(11) 平行于平面2250x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为１5. 指出下列直线的位置性态：(1) 123102x y z -++==- (2)113100x y z +-+==; (3) 6,5,3x t y t z t =-==-;(4) 12,23,0x t y t z =-=-+=. 6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程：(1) 过点0(1,2,3)M , 方向向量为(2,1,1)=-s ;(2) 过点0(1,2,0)M -, 方向向量为3-s =i k ;(3) 过点(2,3,8)-，且平行于y 轴;(4) 过点(2,3,8)-，且平行于直线243325x y z --+==-; (5) 过点(1,3,2)-，且垂直于平面520x y z +--=；(6) 过点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -；(7) 过点(1,3,2)-，且与z 轴垂直相交；(8) 过点(1,2,1)-，且平行于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩(9) 垂直于三点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -和3(0,1,5)M 所在平面，且过点1M ；(10) 过点(3,4,4)-，且与坐标轴夹角分别为π3,π4,2π3的直线方程.7. 求平面4210x y z -+-=与三个坐标面的交线方程.8. 将下列直线方程化为标准式方程：(1)240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩ (2)35,28.x z y z =-⎧⎨=-⎩9. (1) 求点(1,3,2)-到平面32610x y z +--=的距离；(2) 求两平行平面326350,326560x y z x y z +--=+--=间的距离;(3) 求平行于平面221x y z +-=且与其距离为2的平面；(4) 证明：两平行平面120,0Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=之间的距离是d =10. 求下面各组平面的夹角, 并判断它们是否平行或垂直？(1) 1x z +=,1y z -=;(2) 86210x y z --+-=,430x y z +-=;(3) 26310x y z -+-=,3450x y z --+=;(4) 236120x y z -+-=,2270x y z ++-=.11. 求下面各组直线的夹角，并判断它们是否平行？相交？或异面？在相交情况下求出它们的交点：(1) 1451:243x y z L -+-==-，221:132x y z L -+==； (2) 111:214x y z L --==，222:123x y z L ++==； (3) 1:6,19,3L x t y t z t =-=+=-，2:12,43,L x s y s z s =+=-=；(4) 1:1,2,3L x t y t z t =+=-=，2:2,12,4L x s y s z s =-=+=+.12. 求下面各组直线与平面的夹角，并判断它们是否平行？垂直？相交？在相交情况下求出它们的交点：(1) 34:273x y z L ++==--, :42230x y z ∏---=; (2) :327x y z L ==-, :32731x y z ∏-+=; (3) 223:314x y z L -+-==-, :3x y z ∏++=; (4) 221:312x y z L +-+==,:23380x y z ∏++-=. 13. (1) 求过点(3,2,1)--且垂直于直线11413x y z -+==-的平面; (2) 求点(1,0,1)-到直线51132x y z --==-的距离；(3) 求点(2,3,1)在直线722123x y z +++==上的投影. (4) 求点(3,1,1)--在平面23300x y z ++-=上的投影.14. 证明两直线11112x y z +-==和12134x y z +-==是异面直线，并求它们之间的距离,公垂线方程,及公垂线与两直线的交点.15. 求直线1010x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面0x y z ++=上的投影直线方程. 16. 求过两平面0,20x y z x y z +-=++=的交线l 的两个互相垂直的平面，其中一个平面过点(0,1,1)A -.17. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点(3,2,1)--和直线31212x y z --==. (2) 过点(1,2,3)--，且和两直线25346x y z --==-及21122x y z +-==平行; (3) 过两平行直线31212x y z --==，11212x y z +-==; (4) 包含直线10230x z y z --=⎧⎨+-=⎩且与平面21x y z +-=垂直; (5) 过Ox 轴，且与平面y x =成π3的角度; (6) 过两平面50,40x y z x z ++=-+=的交线，且与平面48120x y z --+=的夹角为π4. 18. 求满足下列条件的直线方程：(1) 在平面1x y z ++=上, 且与直线1,1y z ==-垂直相交;(2) 过点(1,0,4)-,且平行于平面34100x y z -+-=，又与直线13312x y z +-==相交; (3) 过点(1,2,1)，且与直线2x y z ==-相交，又垂直于直线11321x y z -+==； 19. 一动点与两定点(2,2,1)，(1,3,4)等距离，求此动点轨迹的方程.。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

第七章 空间解析几何与向量代数一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（A ）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1,-2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3πD ）π5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ B ）A ）5焦耳B ）1焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ⨯ 是：（ ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）3i -3j +3k9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A B ）364 C ）32 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．11、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．12、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 B ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 A ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 15、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (D)双叶双曲面,z16设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b17、设向量,a b 相平行，但方向相反，则当0>>a b 时，必有（A ） A +=-a b a b B +>-a b a b C a b a b +<- D a b a b +=+18向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ⋅a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 19非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ．20设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．21设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．A 7B 7jC –1；D -9k22空间曲线的方程是（ B ）.A 惟一的；B 不惟一的；C 可能不惟一；D 不能确定.23方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影.24方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面.25设空间直线的对称式方程为 012x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴.26设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩, 则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.二、填空题1 平面的点法式方程是2、yoz 坐标面的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转生成的旋转曲面的方程是：3、 已知两点)5,0,4(A 与)3,1,7(B ，与向量AB 方向一致的单位向量0a = 。

空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。

表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。

【最新整理，下载后即可编辑】第七章空间解析几何与向量代数1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.解答：（1）xOy面：()---，zOx面：()2,3,12,3,1-；2,3,1-，yOz面：()（2）x轴：()2,3,1，y轴：()2,3,1--；--，z轴：()2,3,1（3）()-2,3,1.所属章节：第七章第一节难度：一级2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为=点（4，－3，5）到x=点（4，－3，5）到y=点（4，－3，5）到z5=.所属章节：第七章第一节难度：一级3．把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标.解答：设分点坐标为(,,)x y z ，则由条件11121201x y z x y z ---===---，解得511,,33x y z ===，即所求分点坐标为511,,33⎛⎫⎪⎝⎭.所属章节：第七章第一节 难度：一级4．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a ，求各顶点的坐标. 解答：各顶点的坐标为：()()()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,,,,,,,0,,0,,0,,.a a a a a a a a a a a a所属章节：第七章第一节 难度：一级5．在yOz 平面上求一点，使它与点A （3，1，2），点B （4，－2，－2）和点C （0，5，1）的距离相等.解答：设所求点为(0,,)P y z ，则由条件有PA PB PC ==，故==，解得1,2y z ==-.即所求点为(0,1,2)-. 所属章节：第七章第一节 难度：一级6．在z 轴上求一点，使它到点A （－4，1，7）和点B （3，5，－2）的距离相等.解答：设所求点为(0,0,)P z ，则由条件有PA PB =，故=解得149z =.即所求点为14(0,0,)9. 所属章节：第七章第一节 难度：一级7．已知向量a 和b 的夹角为60°，且5,8,==a b 试求+a b 和.-a b 解答：由于222((2cos 129θ+=+⋅+++=a b a b)a b)=a b a b ，代入已知条件，即可得+=a b又由于222((2cos 49θ-=-⋅-+-=a b a b)a b)=a b a b ，故7-=a b .所属章节：第七章第三节 难度：二级8．设向量a 和b 的夹角为2π3，且3,4,==a b 试求： （1）⋅a b（2）()()322-⋅+a b a b解答：（1）2cos 34cos 63θπ⋅⋅⋅=⨯⨯=-a b =a b ；（2）22(32)(2)34461-⋅+=-+⋅-a b a b a b a b =. 所属章节：第七章第三节 难度：二级9．设23,3,=+=-A a b B a b 其中2,1,==a b 向量a 和b 的夹角为π3，试求⋅A B 及Pr oj B A . 解答：2222(23)(3)637637cos 28θ⋅=+⋅-=-+⋅=-+⋅⋅=A B a b a b a b a b a b a b ；由于22222(3)(3)9696cos 31θ=⋅-⋅-=+-⋅=+-⋅⋅=B B B =a b a b a b a b a b a b ，所以Pr oj31B ⋅===A B A B . 所属章节：第七章第三节 难度：二级10．设2,,1,2,k =+=+==A a b B a b a b 且,⊥a b 问： （1）k 为何值时，;⊥A B（2）k 为何值时，A 与B 为邻边的平行四边形面积为6.解答：(1) 要使⊥A B ，则⋅=A B ，即22(2)()2(2)0k k k +⋅+=+++⋅=a b a b a b a b ，代入条件即240k +=，解得2k =-；（2）要使以A 与B 为邻边的平行四边形面积为6，即6⨯=A B ，代入条件即23k -=，解得1k =-或 5.k = 所属章节：第七章第四节 难度：二级11．已知向量a +3b 垂直于向量7a －5b ,向量a －4b 垂直于向量7a －2b ,试求向量a 与b 的夹角.解答：因为a +3b ⊥7a -5b ，a -4b ⊥7a -2b ，所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0, (a -4b )⋅(7a -2b )=0，即 7|a |2+16a ⋅b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ⋅b +8|b |2 =0， 由以上两式可得 b a b a ⋅==2||||,于是21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a ，3) ,(^π=b a . 所属章节：第七章第三节 难度：二级12．设[],,2,=a b c 求：()()(),,.+++⎡⎤⎣⎦a b b c c a 解答：()()()[],,[()()]()()()2,,4+++=+⨯+⋅+=⨯+⨯⋅+==⎡⎤⎣⎦a b b c c a a b b c c a a b a c c a a b c .所属章节：第七章第四节 难度：二级13．设{}{}3,2,6,2,1,0,=-=-a b 试求下列各向量的坐标： （1）;+a b （2）1;2-b （3）1.3+a b 解答：（1）{}{}{}3,2,62,1,01,1,6+---a b =+=； （2）{}1112,1,01,,0222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭b ==；（3）{}{}1113,2,62,1,01,,2333⎧⎫+-+-=-⎨⎬⎩⎭a b =. 所属章节：第七章第二节 难度：一级14．求向量=++a i k 的模以及它与坐标轴之间的夹角.解答：2==a ；与坐标轴的夹角余弦分别为1111cos ,cos 222αβγ======a a a ， 故与坐标轴的夹角分别为°°°60,45 ,60αβγ===.所属章节：第七章第二节 难度：一级15．已知一向量的起点是A (2,－2,5),终点是B (－1,6,7),试求： （1）向量AB 在各坐标轴上的投影； （2）向量AB 的模和方向余弦； （3）AB 的单位向量. 解答：由于向量{}3,8,2AB =-，所以（1）向量AB 在各坐标轴上的投影为382-，，；（2）向量AB 的模(3)-=，方向余弦为cosαβγ===；（3）AB 的单位向量AB AB ⎧=⎨⎩. 所属章节：第七章第二节 难度：一级16．已知向量{}3,1,2-的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标.解答：终点坐标为()()()3,1,22,0,55,1,3-+-=--. 所属章节：第七章第二节 难度：一级17． 已知向量的终点为B （2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A 的坐标. 解答：起点A 的坐标()()()2,1,74,4,72,3,0---=-. 所属章节：第七章第二节 难度：一级18．已知向量{}{}1,1,5,2,3,5,==-a b 求与3-a b 同向的单位向量. 解答：由于{}{}{}31,1,532,3,55,10,10-=--=--a b ，单位化，与3-a b 同向的单位向量为{}311225,10,10,,315333-⎧⎫=--=--⎨⎬-⎩⎭a b a b . 所属章节：第七章第二节 难度：一级19．设向量{}{},5,1,3,,,l l m =-=a b 且//a b ，试求l 与m 的值. （题目与解答不统一）如果题目中向量为{}{},5,1,3,1,l m =-=a b ，则答案为115,.5l m ==-即原参考答案，下面按原题解答. 参考答案：115,.5l m ==-解答：由于//a b ，所以513l l m-==，解得l m ==或5l m ==.所属章节：第七章第二节 难度：一级20．已知向量32,23,=++=--a i j k b i j k 试求⋅a b 与.⨯a b 解答：321(3)2(1)1⋅=⨯+⨯-+⨯-=a b ；{}3125,7,11231⨯==---ij ka b .所属章节：第七章第四节 难度：一级21．已知()()()1,2,34,4,32,4,3A B C ---、、和()8,6,6D ，试求向量AB 在向量CD 上的投影.解答：{}3,2,6AB =--，{}6,2,3CD =，4Pr oj 7CD AB CD AB CD⋅==-. 所属章节：第七章第四节 难度：一级22．设直线L 通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L 的距离.解答：设(2,1,3),(0,1,2),(10,5,10)A B P --，点P 到直线L 的距离为d ，则{}{}{}12,4,7,10,6,8,2,2,1PA PB AB =---=---=--利用12PAB S PA PB ∆=⨯，12PAB S AB d ∆=⨯，解得d =所属章节：第七章第四节 难度：二级23．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点. 解答：设(1,3,2),(1,2,1)A B --，所求点为(,,)C x y z ，由题意知AB BC →→=，即{}{}2,5,11,2,1x y z --=+--，解得(3,7,0)C -. 所属章节：第七章第四节 难度：一级24．求以向量25,33,25=+=+=-a i j b j k c j k 为相邻三棱的平行六面体的体积.解答：由于25[,,]03342025==--a b c ，所以所求六面体的体积为[,,]42V ==a b c .所属章节：第七章第四节 难度：三级25．试证()()()2,1,2,1,2,1,2,3,0A B C --和()5,0,6D -四点共面. 解答：由题意{}{}{}1,3,3,0,4,2,3,1,4AB AC AD =-==-，由于133[,,]0420314AB AC AD -==-，所以,,,A B C D 四点共面. 所属章节：第七章第四节 难度：三级26．确定球面22224470x y z x y z ++-+--=的球心和半径. 参考答案：球心()1,2,2, 4.R -=（本题参考答案有误） 解答：将原方程22224470x y z x y z ++-+--=配方，得222(1)(2)(2)9x y z -+++-=，故球心为(1,2,2)-，半径为3R =.所属章节：第七章第五节 难度：一级27．一球面过坐标原点和()()()2,0,01,1,01,0,1A B C -、、三点，试确定该球面的方程. 参考答案：()2221 1.x y z -++=解答：设球面的方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得0001,0,1x y z R ====，即球面方程为()22211x y z -++=. 所属章节：第七章第五节 难度：二级28．试求与()()122,1,34,1,2M M --、距离相等的点的轨迹方程. 参考答案：44107.x y z +-=解答：设动点坐标为(,,)P x y z ，则由条件有12PM PM =，故有222222(2)(1)(3)(4)(1)(2)x y z x y z -+++-=-+-++，化简得44107x y z +-=. 所属章节：第七章第五节 难度：一级29．指出下列方程所表示的曲面：（1）22111;222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）221;49x y -=（3）221;49y z += （4）22z y =+解答：（1）母线平行于z 轴的圆柱面； （2）母线平行于z 轴的双曲柱面； （3）母线平行于x 轴的椭圆柱面； （4）母线平行于x 轴的抛物柱面. 所属章节：第七章第五节 难度：一级30．说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称：（1）2221;4y x z +-=（2）224;x y z +=（3）2221;169z x y +-= （4）2224x y z +=解答：（1）旋转单叶双曲面，它是由双曲线221,40y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成；（2）旋转抛物面，它由抛物线24,0x z y ⎧=⎨=⎩或24,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成；（3）旋转双叶双曲面，它是由双曲线221,1690z x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,1690z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成；（4）圆锥面，它由相交的两条直线224,0x z y ⎧=⎨=⎩或224,y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成.所属章节：第七章第五节 难度：一级31．建立下列旋转曲面的方程：（1）曲线25:,0z xL y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面；（2）yOz 平面上的椭圆22149y z +=绕z 轴旋转一周所生成的曲面；（3）xOy 平面上的双曲线224936x y -=绕y 轴和x 轴旋转一周所生成的曲面； （4）直线2,0y xz =⎧⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的曲面.解答：（1）225;y z x +=（2）2221;449x y z ++=（3）绕y 轴：22249436,x y z -+= 绕x 轴：22249936;x y z --= （4）22240.x y z --= 所属章节：第七章第五节 难度：一级32．指出下列方程所表示的曲线：（1）22225.3;x y z x ⎧++=⎨=⎩（2）()()2221425,10;x y z y ⎧-+++=⎪⎨+=⎪⎩（3）221;9420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩（4）24;1x yz ⎧=⎨=⎩（5）2221;169420.x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩解答：（1）平面x =3上的圆； （2）平面y =－1上的圆；（3）平面x =2上的双曲线； （4）平面z =1上的抛物线； （5）平面x =2上的椭圆. 所属章节：第七章第五节 难度：一级33．求曲线22236,2x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 平面上的投影曲线.（原参考答案有误）解答：在所给方程中消去z ，得2212x y +=，加上0z =，即得22320x y z ⎧+=⎨=⎩. 所属章节：第七章第五节 难度：一级34．求曲线22,1z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩在xOy 平面上的投影曲线.解答：在所给方程中消去z ，得22113222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，加上0z =，即得221132220x y z ⎧⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=⎩. 所属章节：第七章第五节难度：一级35．求下列曲线在xOy 平面上的投影：（1）22222241,;x y z x y z ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩（2）222224, 1.x y x y z ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩解答：（1）在所给方程中消去z ，得22531x y -=，加上0z =，即得22531x y z ⎧-=⎨=⎩； （2）在所给方程中消去z ，得224x y +=，加上0z =，另外由2221x y z -+=-知2221y x z =++，故1y ≥，于是投影曲线为224x y z ⎧+=⎨=⎩ 且1y ≥.所属章节：第七章第五节 难度：二级36．求曲线()2222221,11x y z x y z ⎧++=⎪⎨++-=⎪⎩在各坐标面上的投影：? 解答：xOy面：223,,40x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩yOz 面：210,z x -=⎧⎨=⎩且y ≤xOz 面：210,0z y -=⎧⎨=⎩且2x ≤所属章节：第七章第五节 难度：二级37．求下列各平面的方程：（1）平行与（于）Oy轴，且通过点（1，－5，1）和（3，2，－2）；（2）通过Ox轴和点（4，－3，－1）；（3）平行于xOz平面，且通过点（3，2，－7）.解答：（1）由于所求平面平行于Oy轴，故可设方程为+-=；++=，将另外两点坐标代入即得3250x zAx Cz D（2）由于所求平面通过Ox轴，故可设方程为0+=，By Cz 将另一点坐标代入即得30-=；y z（3）由于所求平面平行于xOz平面，故可设方程为y=.-，故2By D+=，又通过点(3,2,7)所属章节：第七章第六节难度：一级38. 设点P（3，－6，2）为原点到一平面的垂足，求该平面的方程.解答：法向量为{}n OP→3,6,2==-，所求平面的方程为x y z--++-=，即3(3)6(6)2(2)0-+-=.x y z362490所属章节：第七章第六节难度：一级39．求通过两点（8，－3，1）和（4，7，2），且垂直于平面+--=的平面方程.35210x y z解答：由条件可设法向量为{}{}{}n=-⨯-=---，4,10,13,5,115,1,50由点法式方程得++-=.15501670x y z所属章节：第七章第六节难度：二级40．求通过点()1,2,1P且垂直于两平面0y z+=的平面方+=和50x y程.解答：由条件可设法向量为{}{}{}1,1,00,5,11,1,5n=⨯=-，由点法式方程得-+-=.x y z540所属章节：第七章第六节难度：二级41．求一个通过点()3,2,1-且平行y轴的平面方程.-和()1,5,1解答：由条件可设法向量为{}{}{}2,7,20,1,02,0,2n =-⨯=，由点法式方程得20x z +-=.所属章节：第七章第六节 难度：二级42．求a 和b 的值，使：（1）平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行； （2）平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直. 解答：（1）要使平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行，则两个法向量平行，故有2361a b ==--，解得218,3a b ==-； （2）要使平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直，必须两个法向量垂直，故有31(5)320a ⨯+-⨯+⨯=，解得6a =. 所属章节：第七章第六节 难度：一级43．求过点（2，－3，8）且平行于直线243325x y z --+==-的直线方程.解答：由于两直线平行，方向向量相同，故得所求直线方程238325x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级44．求过点（4，－2，3）且垂直于平面2310x y z +-+=的直线方程.解答：由于所求直线垂直于已知平面，它的方向向量与该平面的法向量相同，即{}1,2,3s =-，于是所求方程为423123x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级45．求过点（－1，2，1）且平行于直线210,210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩的直线方程.解答：已知直线的方向向量为{}{}{}1,1,21,2,13,1,1s =-⨯-=-，所求直线方向向量与它相同，于是所求直线方程为121311x y z +--==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级46．试求下列直线的标准方程：（1）240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩（2）350;280.x z y z -+=⎧⎨-+=⎩解答：（1）令0x =，代入方程，求得直线上一点坐标为(0,1,4)，方向向量为{}{}{}2,4,13,1,29,7,10s =-⨯--=， 于是标准方程为14;9710x y z --== （2）令0z =，代入方程，求得直线上一点坐标为(5,8,0)--，方向向量为{}{}{}1,0,30,1,23,2,1s =-⨯-=，于是标准方程为58.321x y z++== 所属章节：第七章第七节 难度：二级47．确定下列直线与平面的位置关系： （1）34273x y z++==-与42230;x y z ---=（2）327x y z ==--与641490.x y z -+-= 解答：（1）直线的方向向量{}2,7,3s =-，平面的法向量{}4,2,2n =--，易证s n ⊥，故所给直线与平面平行；（2）直线的方向向量{}3,2,7s =--，平面的法向量{}6,4,14n =-，易证sn ，故所给直线与平面垂直.所属章节：第七章第七节 难度：一级48．确定下列直线间的平行或垂直关系：（1）27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩与3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩（2）21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩与1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩解答：（1）直线27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩的方向向量为{}11213,1,5211i j ks =-=-，直线3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩的方向向量为{}23639,3,15211i j ks =-=-----，由于它们平行，所以两条直线平行； （2）直线21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}11202,1,2021ij ks ==--，直线1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}21102,2,1102ijk s =-=-，由于它们垂直，所以两条直线垂直. 所属章节：第七章第七节 难度：二级49．求直线221312x y z +-+==与平面23380x y z ++-=的交点和交角. 参考答案：()1,1,1,arcsin 154（参考答案有误？）解答：将直线方程221312x y z +-+==改写成参数形式32221x t y t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，代入所给平面方程23380x y z ++-=，解得1t =，再代回直线方程，即得交点(1,1,1)；由于直线的方向向量为{}3,1,2s =，平面的法向量{}2,3,3n =，所以交角的正弦为sin 15414s n s nϕ⋅===⋅⋅，于是交角为arcsin154.所属章节：第七章第七节 难度：二级50．求点（3，－1，－1）在平面23300x y z ++-=上的投影. 解答：过已知点()3,1,1--向已知平面作垂线311123x y z -++==，参数形式为32131x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，代入已知平面解得参数167t =，于是交点也即所求投影点为372541,,777⎛⎫⎪⎝⎭. 所属章节：第七章第七节 难度：二级51．求点（2，3，1）在直线722123x y z +++==上的投影.解答：过已知点作垂直于已知直线的平面(2)2(1)3(1)0x y z -+-+-=，再将已知直线的参数方程72232x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩代入，即得参数2t =，两者交点即所求投影点为(5,2,4)-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级52．在平面1x y z ++=上求作一直线，使它与直线1,1y z ==-垂直相交.解答：由于所求直线与直线1,1y z ==-垂直，故可作平面平行与该已知直线，得平面方程0x x =，联立已知平面方程1x y z ++=，得一条直线01x x x y z =⎧⎨++=⎩，又由于所求直线与直线1,1y z ==-相交，将1,1y z ==-代入直线方程01x x x y z =⎧⎨++=⎩，可得01x =，于是所求直线方程为11x x y z =⎧⎨++=⎩，即111011x y z --+==-. 所属章节：第七章第七节 难度：三级53．通过点（－1，0，4）作一直线，使它平行于平面34100,x y z -+-=且与直线13312x y z +-== 相交.解答：过点（－1，0，4）作一平面，使它平行于平面34100x y z -+-=，得3410x y z -+-=， 由于所求直线与已知直线13312x y z+-== 相交，将已知直线方程化为参数方程3132x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩，代入平面方程3410x y z -+-=，得交点413732(,,)777，此为所求直线上另一点，过两点作出直线1448374x y z +-==，即为所求. 所属章节：第七章第七节 难度：三级54．求两异面直线11112x y z +-==和12134x y z +-==之间的距离. 解答：分别在两条已知直线上任取一点，如取(1,0,1),(0,1,2)P Q --，连接两点得向量{}1,1,1PQ →=-，作与两条已知直线都垂直的向量{}{}{}1,1,21,3,42,2,2s =⨯=--，则所求距离为Pr 312s PQ s d oj PQ s→→⋅====. 所属章节：第七章第七节 难度：三级55．一直线通过点（1，2，1）并与2xy z ==-相交，且垂直于直线11,321x y z -+==求它的方程. 解答：过已知点(1,2,1)P 作垂直于已知直线11321x y z -+==的平面，得:3280x y z π++-=，它与已知直线2x y z ==-交于点1688(,,)777Q -，连接,P Q ，即得所求直线121325x y z ---==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级56．求通过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩且平行于直线x y z ==的平面方程.解答：过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩的平面束为(2)0x y x y z λ++-+-=，即(1)(1)20x y z λλλλ++-+-=，由于它与直线x y z ==平行，故(1)(1)0λλλ++-+=，解得2λ=-，于是所求平面方程为3240x y z -+-=.所属章节：第七章第七节 难度：二级57．求通过直线240,3290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩且垂直于平面41x y z -+=的平面方程.解答：过直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束为24(329)0x y z x y z λ-++---=，即(23)(4)(12)90x y z λλλλ++--+--=，由于它垂直于平面41x y z -+=，故两者的法向量平行，解得1311λ=-，代回平面束方程，即得所求平面方程1731371170x y z +--=. 所属章节：第七章第七节 难度：二级58．过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线，作两个互相垂直的平面，且使其中一个平面通过点A （0，1，－1）.解答：过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线的平面束方程为(2)0x y z x y z λ+-+++=，即(1)(12)(1)0x y z λλλ++++-+=，由于其中一个平面经过点(0,1,1)A -，将此点坐标代入平面束方程，得2λ=-，得到一个平面330x y z ++=，由于平面束中的另一个平面与上面平面垂直，利用法向量垂直，解得98110x y z +-=. 所属章节：第七章第七节 难度：三级。

第七章 向量代数与空间解析几何【考试要求】1．理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦． 2．掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法． 3．掌握两向量垂直、平行的条件．4．会求平面的点法式方程、一般式方程．会判定两平面的垂直、平行． 5．会求点到平面的距离．6．了解直线的一般式方程，会求直线的对称式方程、参数方程．会判定两直线平行、垂直． 7．会判定直线与平面的关系（垂直、平行、直线在平面上）．【考试内容】一、向量及其运算（一）向量的相关概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量（或矢量），用有向线段AB （起点为A 终点为B ）或小写字母a 表示． 2．向量的模向量的大小称为向量的模，记为AB 或a ．3．向量的坐标表示向量的坐标表示法有两种：axi y j zk =++或(,,)a x y z =．（二）向量的运算1．线性运算 设111(,,)ax y z =，222(,,)b x y z =，则有：加法：121212(,,)a bx x y y z z +=+++；减法：121212(,,)a b x x y y z z -=---；数乘：111(,,)ax y z λλλλ=．2．向量的数量积（点乘积）向量a 、b 的数量积记为cos(,)a ba b a b ⋅=．设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 121212a b x x y y z z ⋅=++．3．向量的向量积（叉乘积）向量a 、b 的向量积是一个向量，记为a b ⨯，它的模和方向分别定义为： （1）sin(,)a ba b a b ⨯=；（2）a b ⨯同时垂直于a 和b ，且a 、b 、a b ⨯成右手系．设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 111222ij k a b x y z x y z ⨯= ．4．基本性质（1）交换律和反交换律交换律：a b b a +=+，a b b a ⋅=⋅； 反交换律：a b b a ⨯=-⨯． （2）结合律()()a b c a b c ++=++，()()()a a a λμλμμλ==，()()a b a b λλ⋅=⋅，()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯．（3）分配律 ()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯．（三）平行与垂直的充要条件设向量111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，1．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得b a λ=． 2．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得21x x λ=，21y y λ=，21z z λ=．或者说，向量a 与b 平行的充要条件是它们的对应坐标成比例． 3．两个向量a ，b 平行的充要条件是0a b ⨯= 或 111222x y z x y z ==．4．两个向量a ，b 垂直的充要条件是0a b ⋅= 或1212120x x y y z z ++=．二、平面及其方程1．点法式方程设平面π过点0000(,,)M x y z ，(,,)n A B C =为其一法向量，则平面π的点法式方程为：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=．2．一般式方程0Ax By Cz D +++= （A ，B ，C 不同时为零）．3．截距式方程1x y za b c++= （a ，b ，c 均不为零）． 其中a ，b ，c 分别称为平面在x ，y ，z 轴上的截距．4．两平面之间的关系设有两个平面1π和2π，它们相应的方程为1π：11110A x B y C z D +++=，2π：22220A x B y C z D +++=，它们的法向量分别为 1111(,,)n A B C =，2222(,,)n A B C =．若12//n n ，即111222A B C A B C ==（若式中分母为零，则规定分子也为零），则两平面1π与2π平行． 若12n n ⊥，即 1212120A A B B C C ++=，则两平面1π与2π垂直．两平面的夹角θ就是它们的法向量的夹角，即1212cos n n n n θ⋅=，02πθ≤≤．三、直线及其方程1．点向式方程设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的点向式方程为：000x x y y z z m n p---== ．2．一般式方程空间直线可以看成是两个平面的交线：111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ ． 3．参数方程设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的参数方程为000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩， t -∞<<+∞ ． 其中 t 称为参数． 4．两直线之间的关系设有两条直线1L 和2L ，它们的方程分别为1L ：111111x x y y z z m n p ---==， 方向向量 1111(,,)s m n p =，2L ：222222x x y y z z m n p ---==， 方向向量2222(,,)s m n p =，两直线的方向向量的夹角θ叫做两直线的夹角（通常指锐角），1212cos s s s s θ⋅=，02πθ≤≤．若12//s s ，即111222m n p m n p ==， 则两直线1L 与2L 平行．若12s s ⊥，即 1212120m m n n p p ++=，则两直线1L 与2L 垂直．5．直线与平面的关系 设平面π的方程为π：0Ax By Cz D +++=，法向量 (,,)n A B C =，直线L 的方程为L ：000x x y y z z m n p---==，方向向量(,,)s m n p =，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角θ，即sin n s n sθ⋅=，02πθ≤<．若//n s ，即A B Cm n p==，则直线L 与平面π垂直． 若 n s ⊥，即 0Am Bn Cp ++=，则直线L 与平面π平行．【典型例题】【例7-1】在z 轴上求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点． 解：因所求的点M 在z 轴上，所以设该点为(0,0,)M z ，依题意有MA MB =，即=两边去根号，解得149z = ．因此，所求的点为14(0,0,)9M 【例7-2】已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e ． 解：因为(3,1,2)AB=-，所以23AB == 故2)14AB e AB==-． 【例7-3】已知两点1M 和2(1,3,0)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角． 解：因12(12,32,0(1,1,M M =---=-， 故12(2M M =-=，方向余弦 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos 2γ=-，方向角 23πα=，3πβ=，34πγ=．【例7-4】设(2,1,1)a=-，(1,1,2)b =-，计算a b ⋅ 和 a b ⨯．解：211(1)(1)21a b ⋅=⋅+⋅-+-⋅=-，211(1,5,3)112i j ka b ⨯=-=---．【例7-5】已知三角形ABC 的三个顶点分别是(1,2,3)A =、(3,4,5)B =和(2,4,7)C =，求三角形ABC 的面积．解： 根据向量积的定义可知，三角形的面积11sin 22ABC S AB AC A AB AC ∆=∠=⨯， 由于(2,2,2)AB =，(1,2,4)AC =，因此222(4,6,2)124i j kAB AC ⨯==-，于是112ABCS AB AC ∆=⨯==． 【例7-6】已知向量3a =，向量4b =，向量a 和b 的夹角3πθ=，求23a b -．解：因为223(23)(23)4669a b a b a b a a a b b a b b -=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅2246cos 6cos 9a a b b a bθθ=--+22431234cos943633π=⋅-⋅⋅⋅+⋅=⋅，故2363a b -=．【例7-7】求过三点(2,1,4)A -、(1,3,2)B --和(0,2,3)C 的平面方程． 解：先找出这平面的法向量n ．由于n 与向量AB 、AC 都垂直，而(3,4,6)AB=--，(2,3,1)AC =--，所以可取它们的向量积作为法向量n ，即346(14,9,1)231i j kn AB AC =⨯=--=---，根据平面的点法式方程，所求平面方程为 14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即 149150x y z +--= ．说明：此题也可用平面的一般方程求解，步骤如下： 设所求的平面方程为0Ax By Cz D +++=，将(2,1,4)A -、(1,3,2)B --、(0,2,3)C 三点的坐标值代入可得方程组240320230A B C D A B C D B C D -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪++=⎩ ， 解之得 149953A BB C D B ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，代入原方程，得 14150993Bx By Bz B +--=， 将B 约掉（0B≠）并化简可得平面方程为 149150x y z +--= ．【例7-8】求平行于平面1π：(6,3,2)A -，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面的方程．解法1： 设所求的平面方程为 0Ax By Cz D +++=，由平面过原点可知0D =，由平面过点(6,3,2)A -可知，6320A B C -+=，又因为(4,1,2)n ⊥-，所以420A B C -+=，故23A B C ==-，所求平面方程为2230x y z +-=．解法2：设平面的法向量为n ．由于n 与向量(6,3,2)OA =-、平面428x y z -+=的法向量1(4,1,2)n =-都垂直，所以可取与它们的向量积平行的向量作为法向量n ，而1632(4,4,6)2(2,2,3)412i j kOA n ⨯=-=---=--，故可取法向量 (2,2,3)n =，平面方程为2(0)2(0)3(0)0x y z -+-+-=，即2230x y z +-= ．【例7-9】求平行于平面1π：2340x y z +++=，且与球面2229x y z ++=相切的平面方程．解：因所求平面平行于已知平面1π：2340x y z+++=，故可设所求平面方程为π：230x y z D +++=，又π与球面2229x y z ++=相切，可得球心(0,0,0)到平面π的距离等于半径3，故3=，即D =D =±故所求平面π的方程为230x y z +++= 和 230x y z ++-=．【例7-10】求过两点(3,2,4)M -和(2,1,1)N --的直线方程． 解：因向量(1,3,3)(1,3,3)MN=--=--，故可取直线的方向向量(1,3,3)s =-，故所求直线方程为211133x y z -++==- ． 【例7-11】求过点(1,1,1)且平行于直线12212x y -+==的直线方程．解：因所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s 可取为 (2,1,2)s =，所求直线又过点(1,1,1)，故所求直线的方程为1121x y --== ． 【例7-12】求直线L ：132321x y z --+==-与平面π：53160x y z -+-=的交点．解法1：根据直线L 的对称式方程可得直线L 的参数方程为 13322x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩ ，故可设交点坐标为(13,32,2)t t t +--+，然后代入平面方程可得5(13)3(32)2160t t t +--+--=，得 1t =，故交点坐标为 (4,1,1)-．解法2：直线方程与平面方程联立，可得三元一次方程组1332123153160x y x z x y z --⎧=⎪-⎪-+⎪=⎨⎪-+-=⎪⎪⎩， 解此方程组得 411x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即交点坐标为 (4,1,1)-．【例7-13】求与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线的方程．解法1：因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法向量1n 、2n 垂直，所以可以取12104(4,3,1)215i j ks n n =⨯=-=---，因此所求直线方程为325431x y z +--==． 解法2：过点(3,2,5)-且与平面43x z-=平行的平面方程为 423x z -=-，过点(3,2,5)-且与平面251x y z --=平行的平面方程为 2533x y z --=-，所求直线为上述两平面的交线，故其方程为 4232533x z x y z -=-⎧⎨--=-⎩ ．【例7-14】确定直线L ：3102230x y z x y z +-+=⎧⎨--+=⎩ 与平面π：250x y z +++=的位置关系． 解：因为直线L的一般方程中的两个平面的法向量分别为1(3,1,1)n =-和2(2,1,2)n =--，而直线L 的方向向量s 同时垂直于1n 和2n ，故直线L 的方向向量s 可取为12311(3,4,5)212i j ks n n =⨯=-=----，而平面π的法向量(1,2,1)n =， 由(3)142(5)10s n ⋅=-⋅+⋅+-⋅= 可知，s n ⊥，故//L π．又L 上一点14(0,,)33不在平面π上，故//L π但L 不在π上．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）已知向量(1,2,1)a=--与向量(1,2,)b t =垂直，则t 等于（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5 解：因向量a与b 垂直，故0a b ⋅=，即(1)1(2)210t -⋅+-⋅+⋅=，也即50t -+=，故5t =．选项（D ）正确．2．（2009年，1分）直线l ：34273x y z ++==--与平面π：42230x y z ---=的位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）垂直相交 （C ）l 在π上 （D ）相交但不垂直 解：直线l 的方向向量(2,7,3)s =--，平面π的法向量(4,2,2)n =--，由于81460s n ⋅=-+-=，故s n ⊥，所以直线与平面的关系为//l π．又直线上的点(3,4,0)--不在平面π上，故直线与平面的关系为//l π但l 不在π上．选（A ）．3．（2008年，3分）过点(,0,0)a 且垂直于x 轴的平面方程为（ ） （A ）z a = （B ）ya = （C ）z y = （D ）x a =解：垂直于x 轴的平面方程可设为xC =，又平面过点(,0,0)a ，故所求的平面方程为x a =．选项（D ）正确．4．（2008年，3分）直线121122x y z --+==--与下列 平面垂直（ ） （A ）4100x y z +-+= （B ）2350x y z -++=（C ）24460x y z -+-= （D ）90x y z ++-=解：直线与平面垂直，故直线的方向向量(1,2,2)s =--与平面的法向量n 平行，s 的分量与n 的分量对应成比例．对比四个选项中的法向量，选项（C ）的法向量(2,4,4)n =-，且122244--==-，故选项（C ）正确． 5．（2007年，3分）直线221314x y z -+-==-与平面62870x y z -+-=的位置关系是（ ）（A ）平行但不共面 （B ）直线垂直于平面 （C ）直线在平面上 （D ）两者斜交 解：直线的方向向量(3,1,4)s =-，平面π的法向量(6,2,8)n =-，由于314628-==-，即s 与n 的对应分量成比例，故//s n ，所以直线与平面垂直．选（B ）． 二、填空题1．（2009年，2分）通过点(0,0,0)，(1,0,1)和(2,1,0)三点的平面方程是 ． 解：设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++=，将以上三点代入该方程可得，0020D A C D A B D =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ， 即 02D A C B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ， 代入一般方程可得， 20Cx Cy Cz -++=，即平面方程为 20x y z --=．2．（2009年，2分）设a ，b 为向量，若2a =，3b =，a 与b 的夹角为3π，则a b += ．解：根据2()()a b a b a b+⋅+=+ 及cos3a b a b π⋅= 可得，222()()22cos 3a b a b a b a a a b b b a a b bπ+=+⋅+=⋅+⋅+⋅=++22122233192=+⋅⋅⋅+=，故 19a b +=．3．（2006年，2分）点(1,2,3)到平面236x y z -+=的距离是 ．解：根据点到平面的距离公式，点(1,2,3)到平面236x y z -+=的距离为2d ===．三、计算题1．（2010年，5分）求平行于y 轴且过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -的平面方程．解：设平面的法向量为n ．因平面与y 轴平行，且沿y 轴正向的单位向量为(0,1,0)k =，故nk ⊥；又平面过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -，且(2,0,4)PQ =-，故n PQ ⊥，所以n 可取为与 k PQ ⨯ 平行的向量．因 010(4,0,2)204i j kk PQ ⨯==---2(2,0,1)=-，故可取 (2,0,1)n =，又平面过点(1,2,3)P （也可用点(3,2,1)Q -），故平面方程为2(1)0(3)0x z -++-=，即250x z +-=．说明：此题也可用平面的一般方程来解． 2．（2009年，5分）求通过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M 且垂直于平面8310x y z -+-=的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ．因平面过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M ，且12(1,6,1)M M =，故12n M M ⊥；又所求平面垂直于已知平面，且已知平面的法向量1(1,8,3)n =-，故1n n ⊥．所以n 可取为与 121M M n ⨯ 平行的向量．因121161(26,2,14)2(13,1,7)183i j kM M n ⨯==--=---，故可取(13,1,7)n=--，又平面过点1(3,5,1)M -，故所求平面的方程为13(3)(5)7(1)0x y z --+--=，即 137370x y z ---=．说明：此题也可用平面的一般方程来解．。

习题7-11. 设u =a −b +2c , v =−a +3b −c . 试用a 、b 、c 表示2u −3v .解 2u −3v =2(a −b +2c )−3(−a +3b −c )=2a −2b +4c +3a −9b +3c =5a −11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; ,→→→OA OB AB −=→→→OD OC DC −=而, ,→→OA OC −=→→OB OD −=所以.→→→→→→AB OA OB OB OA DC −=−=+−=这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD ,从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以、表示向量、、A 3、A4.→c =AB →a =BC →A D 1→A D 2→D D →解 →→→a c 5111−−=−=BD BA A D , →→→a c 5222−−=−=BD BA A D , →→→a c 5333−−=−=BD BA A D , →→→a c 5444−−=−=BD BA A D . 4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, −1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.→→21M M 212M M −→)2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21−−=−−=M M )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221−=−−−=−M M 解 , .→ 5. 求平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量.解 11)6(76||222=−++=a ,平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量为6 ,7 ,6(1−=a 111111||a 或)6 ,7 ,6(1−−=−a 111111||a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？A (1, −2, 3);B (2, 3, −4);C (2, −3, −4);D (−2, −3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, −1, 0).解 在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上.8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , −c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(−a , b , c ); 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , −b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , −b , −c ); 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(−a , b , −c ); 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(−a , −b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(−a , −b , −c ).9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0). 在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标.解 因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为)0 ,0 ,2(a −, )0 ,0 ,2(a , )0 ,2 ,0(a −, )0 ,2 ,0(a , ) ,0 ,22(a a −, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a −, ) ,22 ,0(a a . 12. 求点M (4, −3, 5)到各坐标轴的距离.解 点M 到x 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+−=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, −3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=−+=z d .13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, −2, −2)和C (0, 5, 1)等距离的点.解 设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则,→2222)2()1(3||−+−+=z y PA ,→2222)2()2(4||++++=z y PB .→222)1()5(||−+−=z y PC 由题意, 有, →→→222||||||PC PB PA ==即 ⎩⎨⎧−+−=++++−+−=−+−+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y =1, z =−2, 故所求点为(0, 1, −2).14. 试证明以三点A (4, 1, 9)、B (10, −1, 6)、C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解 因为→7)96()11()410(||222=−+−−+−=AB ,→7)93()14()42(||222=−+−+−=AC ,→27)63()14()102(||222=−+++−=BC ,所以, .→→→222||||||AC AB BC +=→→||||AC AB = 因此ΔABC 是等腰直角三角形.15. 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角. →21M M 解 →)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21−=−−−=M M ;→21)2()1(||22221=++−=M M ;21cos −=α, 22cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3πγ=. 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1; (3)cos α=cos β=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)当cos α=0时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos β=1时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos α=cos β=0时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4, 它与轴u 的夹角是60°, 求r 在轴u 上的投影.解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u . 18. 一向量的终点在点B (2, −1, 7), 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4, −4, 7. 求这向量的起点A 的坐标.解 设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得,⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−774142z y x 解得x =−2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (−2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i −4j −7k 和p =5i +j −4k . 求向量a =4m +3n −p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n −p =4(3i +5j +8k )+3(2i −4j −7k )−(5i +j −4k )=13i +7j +15k ,所以a =4m +3n −p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题7−21. 设a =3i −j −2k , b =i +2j −k , 求(1)a ⋅b 及a ×b ; (2)(−2a )⋅3b 及a ×2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=−−−=×. (2)(−2a )⋅3b =−6a ⋅b = −6×3=−18,a ×2b =2(a ×b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0, 于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . 3. 已知M 1(1, −1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量.→21M M →32M M 解 , . →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21−=−+−=M M →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32−=−−−=M M →→k j i k j i n 446 220 1423221−−=−−=×=M M M M , 172161636||=++=n ,)223(171)446(1721k j i k j i e −−±=−−±=为所求向量. 4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, −100×9. 8)=(0, 0, −980), . →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21−−=−−−==M M S W =F ⋅S =(0, 0, −980)⋅(−2, 3, −6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与成角θ→1OP 1的力F 1作用着; 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与成角θ→2OP 1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1−x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, −3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=×+×−×=⋅−++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b .7. 设a =(3, 5, −2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ),λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即−2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa +μb 与z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明 设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则, .→→OA OB −=→→||||OA OC = 因为,→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=−=+⋅−=−⋅−=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC 所以, ∠C =90°.→→BC AC ⊥ 9. 设已知向量a =2i −3j +k , b =i −j +3k 和c =i −2j , 计算: (1)(a ⋅b )c −(a ⋅c )b ; (2)(a +b )×(b +c );(3)(a ×b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2×1+(−3)×(−1)+1×3=8, a ⋅c =2×1+(−3)×(−2)=8,(a ⋅b )c −(a ⋅c )b =8c −8b =8(c −b )=8[(i −2j )−(i −j +3k )]=−8j −24k .(2)a +b =3i −4j +4k , b +c =2i −3j +3k ,k j k j i c b b a −−=−−=+×+332443)()(. (3)k j i k j i b a +−−=−−=×58311132, (a ×b )⋅c =−8×1+(−5)×(−2)+1×0=2.10. 已知, , 求ΔOAB 的面积.→j i 3+=OA →k j 3+=OB 解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是ΔOAB 的面积为→→||OB OA ×→OA →OB →→|21OB OA S ×=.因为→→k j i k j i +−−==×33310301OB OA , →→191)3()3(||223=+−+−=×OB OA , 所以三角形ΔOAB 的面积为→→1921|21=×=OB OA S . 12. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解 设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有,||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++, 其中当=1时, 即a 与b 平行是等号成立.) ,cos(^b a习题7−31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x −2)2+(y −3)2+(z −1)2=(x −4)2+(y −5)2+(z −6)2,即 4x +4y +10z −63=0.2. 建立以点(1, 3, −2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径14)2(31222=−++=R ,球面方程为(x −1)2+(y −3)2+(z +2)2=14,即 x 2+y 2+z 2−2x −6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2−2x +4y +2z =0表示什么曲面?解 由已知方程得(x 2−2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即 2222)6()1()2()1(=++++−z y x ,所以此方程表示以(1, −2, −1)为球心, 以6为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有21)4()3()2(222222=−+−+−++z y x z y x , 化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34 ,1 ,32(−−−为球心, 以2932为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2−9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2−9y 2−9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2+4z 2−9y 2=36.8. 画出下列方程所表示的曲面:(1)222)2()2(a y a x =+−;(2)19422=+−y x ;(3)14922=+z x ;(4)y 2−z =0;(5)z =2−x 2.9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:析几何中, x =2表示平行于y 轴的一条直线; 在空间解析几何中, x =2表示一析几何中, y =x +1表示一条斜率是1, 在y 轴上的截距也是1的直线; 在空几何中, x 2+y 2=4表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, 几何中, x 2−y 2=1表示双曲线; 在空间解析几何中, x 2−y 2=1表示母线平行旋转曲面是怎样形成的:(1)x =2;解在平面解张平行于yOz 面的平面.(2)y =x +1;解 在平面解间解析几何中，y =x +1表示一张平行于z 轴的平面.(3)x 2+y 2=4;解 在平面解析x 2+y 2=4表示母线平行于z 轴, 准线为x 2+y 2=4的圆柱面.(4)x 2−y 2=1.解 在平面解析于z 轴的双曲面.10. 说明下列 (1)1222=++z y x ; 994 解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的. (2)122=+−z y ; 42x 这是xOy 面上的双曲线1422=−y x 解 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线142=+−z y 绕y 轴旋转一周而形 z 1面上的双曲线x 2−y 2=12成的. (3)x 2−y 2−2=; 解 这是xOy 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线而形成的.a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线而形成的.( (3x 2−z 2=1绕x 轴旋转一周 (4)(z −a )2=x 2+y 2 .解 这是zOx 面上的曲线(z −(z −a )2=y 2绕z 轴旋转一周 11. 画出下列方程所表示的曲面:(1)4x 2+y 2−z 2=4;2)x 2−y 2−4z 2=4; )94322y x z +=.习题7−41. 画出下列曲线在第一卦限内的图形:(1 (2)⎩⎨⎧==21y x ;)⎩⎨⎧=−−−=0422y x y x z ;(3) =+222az x .2. 下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形:⎩⎨⎧=+222a yx 指出(1)⎧+=15x y ; ⎩⎨−=32x y 解 在平面解析几何中, 表示直线y =5x +1与y =2x −3的交点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )317 ,34(−−; 在空间解析几何中, 表示平面y =5x +1与y =2x −3的交线, 它表示过点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )0 ,317 ,34(−−, 并且行于z 轴.(2)⎪⎩⎪⎨⎧22y x ==+3194y . 解 在平面解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y =3的交线. 3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 解 把方程组中的x 消去得方程3y 2−z 2=16, 这就是母线平行于x 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于y 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.行于z 轴, 准线为=0z 列曲线的一般方程化为参数方程:(1; ⎩⎨⎧=−+=++0162222222y z x z y x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x 解 由x +z =1得z =1−x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2−2x +y 2=8, 这是母线平球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为⎧=+−82222y x x . ⎩⎨ 5. 将下)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即13)23(2222=+z x . 令t x cos 23=, 则z =3sin t . 故所求参数方程为t x cos 23=, t y cos 23=, z =3sin t . (2). ⎩⎨⎧==+++−04)1()1(222z z y x 解 将z =0代入(x −1)2+y 2+(z +1)2=4得(x −1)2+y 2=3.令t x cos 31+=, 则t y sin 3=,于是所求参数方程为t x cos 31+=, t y sin 3=, z =0.6. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 解 由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为. ⎩⎨⎧==+0222z a y x 由第三个方程得bz =θ代入第一个方程得 b z a x cos =, 即ax b z arccos =, 于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y a x b z . 由第三个方程得bz =θ代入第二个方程得 b z a y sin =, 即ay b z arcsin =, 于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0. 7. 求上半球2220y x a z −−≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球2220y x a z −−≤≤在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax . 为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax −x 2, 代入半球面方程222y x a z −−=, 得ax a z −=2(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为ax a z −≤≤20(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a , z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解 令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4. 令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题7−51. 求过点(3, 0, −1)且与平面3x −7y +5z −12=0平行的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(3, −7, 5), 所求平面的方程为3(x −3)−7(y −0)+5(z +1)=0, 即3x −7y +5z −4=0.2. 求过点M 0(2, 9, −6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, −6), 所求平面的方程为2(x −2)+9(y −9)−6(z −6)=0, 即2x +9y −6z −121=0.3. 求过(1, 1, −1)、(−2, −2, 2)、(1, −1, 2)三点的平面方程.解 n 1=(1, −1, 2)−(1, 1, −1)=(0, −2, 3), n 1=(1, −1, 2)−(−2, −2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k j i k j i n n n 69301332021++−=−=×=, 所求平面的方程为−3(x −1)+9(y −1)+6(z +1)=0, 即x −3y −2z =0.4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面:(1)x =0;解 x =0是yOz 平面.(2)3y −1=0;解 3y −1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x −3y −6=0;解 2x −3y −6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和−2.(4)03=−y x ;解 03=−y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33. (5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x −2z =0;解 x −2z =0是通过y 轴的平面.(7)6x +5−z =0.解 6x +5−z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x −2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦.解 此平面的法线向量为n =(2, −2, 1).此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==i n i n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^−=+−+−=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==k n k n k n γ. 6. 一平面过点(1, 0, −1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, −1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112−+=−=×=, 所求平面的方程为(x −1)+(y −0)−3(z +1)=0, 即x +y −3z −4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x −y −z =0, −x +2y +2z =3的交点.解 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−−=++3220213z y x z y x z y x 得x =1, y =−1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, −1, 3).8. 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, −5, 3);解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为0⋅(x −2)−5(y +5)+0⋅(z −3)=0, 即y =−5.(2)通过z 轴和点(−3, 1, −2);解 所求平面可设为Ax +By =0.因为点(−3, 1, −2)在此平面上, 所以−3A +B =0,将B =3A 代入所设方程得Ax +3Ay =0,所以所求的平面的方程为x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, −2)和(5, 1, 7).解 所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)都在所求平面上,所以向量n 1=(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即b +9c =0, b =−9c ,于是 n =(0, −9c , c )=−c (0, 9, −1).所求平面的方程为9(y −0)−(z +2)=0, 即9y −z −2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离.解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离为1221|1012221|222=++−×+×+=d .习题7−61. 求过点(4, −1, 3)且平行于直线51123−==−z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为531124−=+=−z y x . 2. 求过两点M 1(3, −2, 1)和M 2(−1, 0, 2)的直线方程.解 所求直线的方向向量为s =(−1, 0, 2)−(3, −2, 1)=(−4, 2, 1), 所求的直线方程为112243−=+=−−x y x . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线. ⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x 解 平面x −y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, −1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++−=−=×=. 在方程组中, 令y =0, 得, 解得x =3, z =−2. 于是点(3, 0, −2)为所求直线上的点.⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x ⎩⎨⎧=+=+421z x z x 所求直线的对称式方程为32123+==−−z y x ; 参数方程为x =3−2t , y =t , z =−2+3t .4. 求过点(2, 0, −3)且与直线垂直的平面方程. ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x 解 所求平面的法线向量n 可取为直线的方向向量, 即 ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++−=−−=−×−=. 所平面的方程为−16(x −2)+14(y −0)+11(z +3)=0, 即16x −14y −11z −65=0.5. 求直线与直线的夹角的余弦. ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y x 解 直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y xk j i k j i s −+=−−=431233351, k j i k j i s 105101831222+−=−=. 两直线之间的夹角的余弦为010)5(10)1(4310)1()5(4103||||) ,cos(2222222121^21=+−+−++×−+−×+×=⋅×=s s s s s s . 6. 证明直线与直线平行. ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x 解 直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x k j i k j i s 531121211++=−−=, k j i k j i s 15391123632−−−=−−−=. 因为s 2=−3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y −3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, −3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即k j i k j i s ++−=−=32310201. 所求直线的方程为14322−=−=−z y x . 8. 求过点(3, 1, −2)且通过直线12354z y x =+=−的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=−的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, −2)和(4, −3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, −3, 0)−(3, 1, −2)=(1, −4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n 229824112521−−=−=×=. 所求平面的方程为8(x −3)−9(y −1)−22(z +2)=0, 即8x −9y −22z −59=0.9. 求直线与平面x −y −z +1=0的夹角. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x )2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s −+=−+=−−=−−×=, 平面x −y −z +1=0的法线向量为n =(1, −1, −1).因为s ⋅n =2×1+4×(−1)+(−2)×(−1)=0,所以s ⊥n , 从而直线与平面x −y −z +1=0的夹角为0. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)37423z y x =−+=−+和4x −2y −2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(−2, −7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, −2, −2).因为s ⋅n =(−2)×4+(−7)×(−2)+3×(−2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(−3, −4, 0)不满足平面方程4x −2y −2z =3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)723z y x =−=和3x −2y +7z =8; 解 所给直线的方向向量为s =(3, −2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, −2, 7). 因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)431232−−=+=−z y x 和x +y +z =3. 解 所给直线的方向向量为s =(3, 1, −4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).因为s ⋅n =3×1+1×1+(−4)×1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, −2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线和 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y x 平行的平面的方程.解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x k j i k j i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1−−=−−=−×−=, 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y xk j k j i s −−=−−=−×−=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1. 所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n −+−=−−−−=×=11032121, 所求平面的方程为−(x −1)+(y −2)−(z −1)=0, 即x −y +z =0.12. 求点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n =(1, 2, −1). 过点(−1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211−=−=+z y x . 将此方程化为参数方程x =−1+t , y =2+2t , z =−t , 代入平面方程x +2y −z +1=0中, 得(−1+t )+2(2+2t )−(−t )+1=0, 解得32−=t . 再将32−=t 代入直线的参数方程, 得35−=x , 32=y , 32=z . 于是点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影为点32 ,32 ,25(−. 13. 求点P (3, −1, 2)到直线的距离. ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x 解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x k j k j i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(−−=−−=−×−=. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为−3(y +1)−3(z −2)=0, 即y +z −1=0.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−+−=+−+0104201z y z y x z y x 得x =1, 21−=y , 23=z . 点P (3, −1, 2)到直线的距离就是点P (3, −1, 2)与点⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x )23 ,21 ,1(−间的距离, 即 23)32()11()13(22=−++−+−=d .14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ×=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量, 根据向量积的几何意义, 以和为邻边的平行四边形的面积为 →MN =s →M M 0→MN ,→→→||||00s ×=×M M MN M M 又以和为邻边的平行四边形的面积为. 因此→M M 0→MN →||||s ⋅=⋅d MN d , →||||0s s ×=⋅M M d →||||0s s ×=M M d . 15. 求直线在平面4x −y +z =1上的投影直线的方程. ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x 解 过直线的平面束方程为 ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x (2+3λ)x +(−4−λ)y +(1−2λ)z −9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 −1, 1)⋅(2+3λ, −4−λ, 1−2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(−1)⋅(−4−λ)+1⋅(1−2λ)=0. 解之得1113−=λ. 将1113−=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y −37z −117=0.故投影直线的方程为. ⎩⎨⎧=−−+=+−011737311714z y x z y x 16. 画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x =0, y =0, z =0, x =2, y =1, 3x +4y +2z −12=0;4y z =; (2)x =0, z =0, x =1, y =2, (3)z =0, z =3, x −y =0,03=−y x , x 2+y 2=1(在第一卦限内);2, y 2+z 2=R 2(在第一卦限内).(4)x =0, y =0, z =0, x 2+y 2=R总习题七1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ] 坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量的坐标为___________.→OM 解 M (x −x 0, y −y 0, z −z 0), .→) , ,(z y x OM = 提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.(2)设数λ1、λ2、λ3不全为0, 使λ1a +λ2b +λ3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解 共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, −1, 10), c =b −λa , 且a ⊥c , 则λ=____________.解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b −λa ⋅a =2×4+1×(−1)+2×10−λ(22+12+22)=27−9λ, 所以λ=3.(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________. 解 23−. 提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . (5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ×b +b ×c +c ×a |=____________.解36.提示: c =−(a +b ),a ×b +b ×c +c ×a =a ×b −b ×(a +b )−(a +b )×a =a ×b −b ×a −b ×a =3a ×b ,|a ×b +b ×c +c ×a |=3|a ×b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, −3, 7)和点B (5, 7, −5)等距离的点.解 设所求点为M (0, y , 0), 则有12+(y +3)2+72=52+(y −7)2+(−5)2,即 (y +3)2=(y −7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知ΔABC 的顶点为A (3,2,−1)、B (5,−4,7)和C (−1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度. 解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(−=+−−+. 所求中线的长度为 30)23()11()14(222=−+−−++=d .4. 设ΔABC 的三边、、, 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、→a =BC →b =CA →c =ABb 、c 表示→AD 、、, 并证明→BE →CF.→→→0=++CF BE AD 解 →→→a c 21+=+=BD AB AD , →→→b a 21+=+=CE BC BE , →→→c b 21+=+=AF CA CF . →→→0=+−=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD 5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明 设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE −=−=, ,→→→→→AB AC AC BA BC −=+=所以 →→BC DE 21=, 从而DE //BC , 且||21||BC DE =. 6. 设|a +b |=|a −b |, a =(3, −5, 8), b =(−1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, −4, 8+z ), a −b =(4, −6, 8−z ). 因为|a +b |=|a −b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z −+−+=++−+, 解得z =1.7. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a −b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a −b |2=(a −b )⋅(a −b )=|a |2+|b |2−2a ⋅b =|a |2+|b |2−2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=−+=π. 设向量a +b 与a −b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅−=−⋅+−=−⋅+−⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.8. 设a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b , 求 .) ,(^b a 解 因为a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b ,所以 (a +3b )⋅(7a −5b )=0, (a −4b )⋅(7a −2b )=0,即 7|a |2+16a ⋅b −15|b |2 =0, 7|a |2−30a ⋅b +8|b |2 =0,又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a . 9. 设a =(2, −1, −2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时最小？并求出此最小值. ) ,(^b a 解 2^2321||||) ,cos(z z +−=⋅⋅=b a b a b a . 因为当2) ,(0^π<<b a 时, 为单调减函数. 求的最小值也就是求) ,cos(^b a ) ,(^b a 22321)(z zz f +−=的最大值.令0)2(431)(2/32=+−−⋅=′z z z f , 得z =−4. 当z =−4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10. 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )×(a −3b )=−3a ×b +2b ×a =5b ×a .以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=×=−×+b a a b a b b a b a . 11. 设a =(2, −3, 1), b =(1, −2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj c r =14, 求r . 解 设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即2x −3y +z =0, x −2y +3z =0.又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , 即 2x +y +2z =42.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+−4222032032z y x z y x z y x 得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2).另解 因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与k j i k j i b a −−−=−−=×57321132平行, 故可设r =λ(7, 5, 1). 又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , r ⋅c =42, 即 λ(7×2+5×1+1×2)=42, λ=2,所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(−1, 3, 2), b =(2, −3, −4), c =(−3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c .证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ×b )⋅c =0. 因为k i k j i b a 36432231−−=−−−=×, (a ×b )⋅c =(−6)×(−3)+0×12+(−3)×6=0,所以向量a 、b 、c 共面.设c =λa +μb , 则有(−λ+2μ, 3λ−3μ, 2λ−4μ)=(−3, 12, 6),即有方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−=−−=+−642123332μλμλμλ解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, −1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意, 有222)2()1()1(||−+++−=z y x z ,或 z 2=(x −1)2+(y +1)2+(z −2)2,化简得(x −1)2+(y +1)2=4(z −1),这就是点M 的轨迹方程.14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴.(2)136936222=++z y x ; 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x , 旋转轴为y 轴. (3)z 2=3(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3=, 旋转轴为z 轴.(4)144222=−−z y x . 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=−y x , 旋转轴为x 轴.15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程. 解 设所求平面的法线向量为n =(a , b , c )., xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).→)1 ,0 ,3(−=BA 按要求有, →0=⋅BA n 3cos ||||π=⋅⋅k n k n , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=−2103222c b a c c a ,解之得c =3a , a b 26±=. 于是所求的平面的方程为0326)3(=+±−z y x ,即 3326=++z y x , 或3326=+−z y x .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, −1, 1)到直线的垂线, 求此平面方程.⎩⎨⎧==+−001x z y 解 直线的方向向量为s =(0, 1, −1)×(1, 0, 0)=(0, −1, −1). ⎩⎨⎧==+−001x z y 设点(1, −1, 1)到直线的垂线交于点(x ⎩⎨⎧==+−001x z y 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线⎩⎨⎧==+−001x z y 上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s 1=(−1, y 0+1, y 0).显然有s ⋅s 1=0, 即−y 0−1−y 0=0, 210−=y . 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001−−=+−=y y s . 所求平面的法线向量可取为j i k j i k s k n −−=−+−×=×=21)2121(1, 所求平面的方程为0)1()1(21=+−−−y x , 即x +2y +1=017. 求过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0, 又与直线21311z y x =−=+相交的直线的方程.解 过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0的平面的方程为3(x +1)−4(y −0)+(z −4)=0, 即3x −4y +z −1=0.将直线21311z y x =−=+化为参数方程x =−1+t , y =3+t , z =2t , 代入平面方程3x −4y +z −1=0, 得3(−1+t )−4(3+t )+2t −1=0,解得t =16. 于是平面3x −4y +z −1=0与直线21311z y x =−=+的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)−(−1, 0, 4)=(16, 19, 28),所求直线的方程为28419161−==+z y x . 18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使ΔABC 的面积最小. 解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则, .→) ,0 ,1(z AC −=→)1 ,2 ,0(−−=z BC 因为 →→k j i k j i 2)1(212001+−+=−−−=×z z z z BC AC , 所以ΔABC 的面积为→→4)1(421|2122+−+=×=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+−+−+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 19. 求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程. ⎩⎨⎧−+−=−−=2222)1()1(2y x z y x z 解 在xOy 面上的投影曲线方程为, 即. ⎩⎨⎧=−−=−+−02)1()1(2222z y x y x ⎩⎨⎧=+=+022z y x y x 在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−−−±+−=0)12()1(222y z x x z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222y z x z xz x 在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−+−−−±=0)1()12(222x y z y z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222x z y z yz y 20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为, 即, ⎩⎨⎧=+=0222z y x x ⎩⎨⎧==+−01)1(22z y x 所以, 立体在xOy 面上的投影为. ⎩⎨⎧=≤+−01)1(22z y x 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+−01)22(222x y z , 所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+−01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为和⎩⎨⎧==0||y x z ⎩⎨⎧==02y x z , 所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x . 21. 画出下列各曲面所围立体的图形:1224===z y x ; (1)抛物柱面2y 2=x , 平面z =0及 0及x +y =1;(2)抛物柱面x 2=1−z , 平面y =0, z =(3)圆锥面22z y x +=2−x −y =及旋转抛物面z 22;(y 2=x , 平面z =0及x =1.4)旋转抛物面x 2+y 2=z , 柱面。

第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。

第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）：已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。

.{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321同时垂直的单位向量求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ..,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36（C）4X2-9(y2+z2)=36; (D) 4x2-9y2=36.答：（）2. 方程y2+z2-4x+8=0表示：（A）单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。