2 2 2 2 2
x
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因 f(x)是减函数，由上式推得 t2 －2t＞－2t2 ＋k. 即对一切 t∈R 有 3t －2t－k＞0. 1 从而判别式 Δ＝4＋12k＜0，解得 k＜－ . 3
2
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2．指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1
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图 象
定义域 R . .
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值域
(0，＋∞) 过定点 . (0，1) .
.
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性 质
当x>0时， 当x<0时， 在R上是.
y>1
0<y<1
； .
当x>0时， 当x<0时，.
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第五节
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指数与指数函数
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(见学生用书第22页)
1.了解指数函数模型的实际背景．理解有理指数幂的 考 含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 纲 2．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数 传 图象通过的特殊点． 真 3．知道指数函数是一类重要的函数模型.
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3．(2012· 青岛模拟)已知函数 g(x)＝2x，且有 g(a)g(b)＝2，若 a＞ 0 且 b＞0，则 ab 的最大值为( A. 1 2 B. 1 4
a＋ b
)
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C．2
D．4
【解析】 由 g(a)· g(b)＝2，得 2
B．7 D．9
1 1 [(－2)6]2－(－1)0＝(26)2－1＝8－1＝7.
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【解析】
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【答案】 B
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4 ＋1 2．函数 f(x)＝ x 的图象( 2 A．关于原点对称 C．关于 x 轴对称
2．本题利用指数型函数的图象研究其性质化抽象为直观． 3．如果指数函数的底数含有参数，一般需分类讨论．
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1 已知函数 f(x)＝( ) 3
.
(1)若 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调增区间； (2)如果函数 f(x)有最大值 3，求实数 a 的值．
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【解析】
1 1 2 由 f(1)＝ ，得 a ＝ ， 9 9
1 于是 a＝ ， 3 1 |2x－ 4| 因此 f(x)＝( ) . 3 因为 g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，
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所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
4．若函数 f(x)＝a 递减区间是( )
|2x－4|
1 (a＞0，a≠1)，满足 f(1)＝ ，则 f(x)的单调 9
A．(－∞，2] C．[－2，＋∞)
B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]
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1 【解】 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝( ) 3 ，
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令 g(x)＝－x －4x＋3＝－(x＋2) ＋7， 1x 由于 g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝( ) 在 R 上是减函数， 3 ∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即 f(x)的单调增区间是(－2，＋ ∞)．
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1．指数幂的概念与性质 (1) 根 式 的 定 义 ： 如 果 xn ＝ a(n∈N* ， n ＞ 1) ， 则 x 叫 做
a的n次方根
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其图象由两部分组成： 1 向左平移 1 一部分是：y＝( )x(x≥0)― → y＝( )x＋ 1 (x≥－1)； ― 1个单位 3 3 另一部分是：y＝3 (x＜0) ― → y＝3 ―
即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1.
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－2x＋b (2012· 衡阳模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ x＋1 是 2 ＋a 奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2 －2t)＋f(2t2 －k)＜0 恒成立，求 k 的取值范围．
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【尝试解答】
(1)∵f(x)是奇函数，
－1＋b ∴f(0)＝0，即 ＝0，解得 b＝1. 2＋a －2 ＋1 从而有 f(x)＝ x＋ 1 . 2 ＋a 1 － ＋1 －2＋1 2 又由 f(1)＝－f(－1)，知 ＝－ ， 4＋a 1＋a 解得 a＝2.经检验 a＝2 适合题意，满足 f(x)为奇函数． ∴所求 a、b 的值分别为 2，1.
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(3)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
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x
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－2 ＋1 1 1 (2)由(1)知 f(x)＝ x＋ 1 ＝－ ＋ x . 2 ＋2 2 2 ＋1 由上式易知 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t －2t)＋f(2t －k)＜0， 等价于 f(t －2t)＜－f(2t －k)＝f(－2t ＋k)．
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1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数 幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能 相加；(2)运算的先后顺序． 2．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又 含有负指数．
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【思路点拨】 (1)由 f(x)为 R 上的奇函数，则 f(0)＝0，f(－1)＝ －f(1)，可求 a、b 的值，(2)判定 f(x)的单调性，脱掉“f”，得关于 t 的 不等式，进而求 k 的范围．
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x
x
) B．关于直线 y＝x 对称 D．关于 y 轴对称
4 ＋1 x － x 【解析】 ∵f(x)＝ x ＝2 ＋2 ， 2
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∴f(－x)＝2－ x＋2x＝f(x)， ∴函数 f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称．
【答案】 D
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【思路点拨】
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【尝试解答】
(1)由已知可得
（1）x＋ 1 （x≥－1）， 1 |x＋ 1| 3 y＝( ) ＝ 3 3x＋ 1 （x＜－1）.
【答案】 B
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(见学生用书第23页)
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【思路点拨】
将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数
1 2 1 3 2 3 3 2 （a b a b ）
指数，然后运用幂的运算性质进行运算．
【尝试解答】 (1)原式＝
