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2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ，y <x}，B ={(x,y)|x +y =6}，则A ∩B 中的元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知复数z 1=−1+i ，z 2=2，在复平面内，复数z 1和z 2所对应的两点之间的距离是( )A. √2B. 2C. √10D. 43. 下列函数中，周期为π，且在区间(π2,π)单调递增的是( )A. y =|sinx|B. y =tan2xC. y =cos2xD. y =sin2x4. 圆C ：x 2+y 2−2y =1的圆心到双曲线x 24−y 2=1的渐近线的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 甲乙两人进行扑克牌积分比赛.比赛规则为：甲乙两人先各抽三张扑克牌，每局比赛双方同时各出一张牌，牌大者得2分，牌小者得0分，牌一样大两人各得1分，每张牌只能出一次，共比赛三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A 1，A 2，A 3，乙抽到的三张扑克牌分别是B 1，B 2，B 3，且这六张扑克牌的大小顺序为A 1>B 1>B 2>A 2>A 3>B 3，则三局比赛结束后甲得4分的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 236. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知acosB +√3bsinA =a ，则B =( )A. π6B. π3C. π2D. 2π37. 已知a =sin3，b =log 3sin3，c =3sin3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. c >b >a8. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，点D 是BC 边的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 32B. 3C. −32D. −39. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 6πB. 12πC. 18πD. 24π10.早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”.18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，(其中rand()是产生[0,1]内的均匀随机数的函数，k∈N∗)，则π的值约为()A. mk B. 2mkC. 4−mkD. 4mk11.已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(−3,3)，则|PQ|+d的最小值为()A. 4B. √30+1C. √30−1D. 512.若存在正数x使e x(x+a)<1成立，则a的取值范围是()A. (−∞,+∞)B. (−∞,1)C. (−∞,1e−1) D. (−∞,−1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=cos2x +2sin(x −π2)的最小值为______ ．14. 若变量x ，y 满足约束条件{0≤x +2y ≤33≤x −y ≤6，则z =2x +y 的最小值为______ ．15. 已知f(x)=tanx(e x +e −x )+6，f(t)=8，则f(−t)= ______ ．16. 体积为8的四棱锥P −ABCD 的底面是边长为2√2的正方形，底面ABCD 的中心为O 1，四棱锥P −ABCD的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，记其前n 项和为S n ，已知a 1=3，S 3=39．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =a n +2log 3a n −1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18. 近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目.选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分.假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A 、B 、C 、D 、E 五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一(1)班(共40人)举行了一次摸底考试(选考科目全考，单科全班排名)，已知这次摸底考试中的历史成绩频率分布直方图，地理成绩(满分100分)茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．(1)采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；(2)若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；(3)若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．19. 如图，三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA =PB =CA =CB =3√2，AB =6，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=13AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为线段AB 中点，点F ，Q 分别在线段AB ，AC 上． (1)若平面EFQ//平面POC ，求线段OF 的长； (2)在(1)的条件下，求点E 到平面CBP 的距离．20.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：x24+y22=1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，已知椭圆C2的短半轴长为b．(1)写出椭圆C2的方程(用b表示)；(2)若椭圆C2的焦点在x轴上，且C2上存在两点M，N关于直线y=2x+1对称，求实数b的取值范围．21.已知函数f(x)=ax+1(x>0)，g(x)=lnx−a−1x+2a．(1)若a=12，x>0，比较函数f(x)与g(x)的大小；(2)若x≥1时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+3ty =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的直角坐标为(2,0)，过点P 作直线l 的垂线交曲线C 于D 、E 两点(D 在x 轴上方)，求|PD|−|PE|的值．23. 已知函数f(x)=x +4(x−2)2(x >1)，函数g(x)=alog 2(x +3)−2．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若对于任意x 1∈(1,+∞)，都存在x 2∈(1,+∞)，使得f(x 1)=g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ，y <x}，B ={(x,y)|x +y =6}， ∴A ∩B ={(x,y)|x ，y ∈N {y <xx +y =6}={(6,0)，(5,1)，(4,2)}， ∴A ∩B 中元素的个数为3， 故选：B ．利用交集定义求出A ∩B ={(6,0)，(5,1)，(4,2)}，由此能求出A ∩B 中元素的个数．本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z 1=−1+i ，z 2=2对应的点的坐标分别为(−1,1)，(2,0)， 所以复数z 1和z 2所对应的两点之间的距离是√(−1−2)2+12=√10． 故选：C ．先利用复数的几何意义得到两个复数对应的点的坐标，然后由两点间距离公式求解即可．本题考查了复数几何意义的应用，两点间距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由周期是π，排除B ，又由于y =|sinx|在区间(π2,π)单调递减函数，排除A ； y =sin2x 在区间(π2,π)不是单调函数，排除D ． 只有y =cos2x 满足题意． 故选：C ．利用函数的周期排除选项，利用单调性判断求解即可． 本题考查三角函数的周期以及函数的单调性的判断，是基础题．4.【答案】B【解析】解：圆C：x2+y2−2y=1的圆心(0,1)到双曲线x24−y2=1的渐近线x±2y=0的距离为d=√1+4=2√55，故选：B．求得圆的圆心和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，计算可得所求值．本题考查圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意得基本事件总数n=A33=6，三局比赛结束后甲得4分包含的基本事件有：(A1B1,A2B3,A3B2)，(A1B1,A2B2,A3B3)，(A1B2,A2B1,A3B3)，(A1B2,A2B3,A3B1)，共4种，∴三局比赛结束后甲得4分的概率为P=46=23．故选：D．先求出基本事件总数n=A33=6，再求出三局比赛结束后甲得4分包含的基本事件有4种，由此能求出三局比赛结束后甲得4分的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，涉及数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为acosB+√3bsinA=a，由正弦定理得sinAcosB+√3sinBsinA=sinA，因为sinA>0，所以cosB+√3sinB=1，即2sin(B+π6)=1，所以sin(B+π6)=12，由B为三角形内角得B=2π3．故选：D．结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解B．本题主要考查了正弦定理，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵0<sin3<1，∴log 3sin3<log 31=0，3sin3>30=1， ∴c >a >b ． 故选：C ．可看出0<sin3<1，然后根据对数函数和指数函数的单调性即可得出b <0，c >1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了正弦函数的图象，指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，AB =2，AC =1，点D 是BC 边的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(1−4)=−32．故选：C ．直接利用已知条件，转化求解向量的数量积即可． 本题考查向量的数量积的求法，向量的运算，是基础题．9.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为有两个半圆锥构成的组合体； 如图所示：故V=12×13×π×32×6+13×12×π×32×2=12π．故选：B．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据程序框图知，a∈[0,1]，x∈[−1,1]，y∈[0,1]，而x2+y2<1表示12个圆，则落在阴影部分的面积与正方形面积比为π⋅122=mk，解得π=2mk．故选：B．模拟程序的运行工程，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是12个圆的面积比正方形的面积，由此估计π的值．本题考查了程序框图与几何概型的应用问题，也考查了运算求解能力与数学运算核心素养．11.【答案】A【解析】解：由抛物线的定义可知PF=d+1，所以d+PQ=PF+PQ−1，因为PF+PQ≥QF所以当P、F、Q三点共线时，PF+PQ取最小值为QF，因为QF=√(−3−1)2+(3−0)2=5，所以d+PQ的最小值为：5−1=4．由抛物线的定义可知PF=d+1，则d+PQ=PF+PQ−1，根据PF+PQ≥QF可知当P、F、Q三点共线时，PF+PQ取最小值为QF，从而可求最小值．本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是根据抛物线的定义把所求的d+PQ转化为PF+PQ−1，然后根据PF+PQ≥QF进行求解，是中档题．12.【答案】B【解析】解：由e x(x+a)<1，得x⋅e x+a⋅e x<1，∴a<1e x−x，设f(x)=1e x−x，则f(x)在[0,+∞)上单调递减，∴当x>0时，f(x)<f(0)=1，∴若存在正数x，使e x(x+a)<1成立，则a<1，故选：B．由不等式将参数a进行分离，利用函数的单调性进行求解．本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强．13.【答案】−32【解析】解：f(x)=cos2x+2sin(x−π2)=2cos2x−1−2cosx=2(cosx−12)2−32，当cosx=12时，函数f(x)取得最小值为−32，故答案为：−32．利用倍角公式、诱导公式化简f(x)，再利用二次函数的单调性即可得出结论．本题考查了倍角公式、诱导公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =3x +2y =0，解得A(2,−1)，由z =2x +y ，得y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2×2−1=3． 故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】4【解析】解：f(x)=tanx(e x +e −x )+6，f(t)=8，所以f(−x)+f(x)=tanx(e x +e −x )+6−tanx(e x +e −x )+6=12， 因为f(t)=8， 所以f(−t)=4． 故答案为：4．由已知代入可得f(−x)+f(x)=12，然后代入即可求解．本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是发现f(t)+f(−t)=12的规律．16.【答案】2π【解析】解：由题意可知，点P到底面ABCD的距离ℎ=3VS =3×82√2×2√2=3，又四棱锥P−ABCD的外接球球心O到底面ABCD的距离为1，设外接球半径为R，因为底面ABCD的中心为O1，所以OO1⊥平面ABCD，且R=OD=OP=√5，所以O与P不可能在面ABCD的两侧，如图所示，故点P在垂直于OO1且与球心O距离为2的平面与P−ABCD的外接球的交线上，即在如图所示的以O′P为半径的圆O′上，而OO′=2，所以O′P=√R2−O′O2=1，故点P的轨迹长度为2π⋅O′P=2π．故答案为：2π．由已知可得P到底面ABCD的距离，进而求出P−ABCD的外接球的半径，确定点P与点O不在平面ABCD 的两侧，得到点P的轨迹，求解轨迹长度即可．本题考查了轨迹长度的求解，涉及了空间几何体外接球的理解和应用，解题的关键是得到点P的轨迹，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n}是各项均为正数的公比为q的等比数列，记其前n项和为S n，已知a1=3，根据S3=39，即a1q2+a1q+a1=39，整理得q2+q−12=0，所以：(q+4)(q−3)=0．∵a n>0，∴q=3．∴a n=3n．(2)由(1)得：b n=a n+2log3a n−1，所以b n=3n+2n−1，所以T n=3(1−3n)1−3+n(1+2n−1)2=3n+1−32+n2．【解析】(1)直接利用等比数列的性质的应用求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为此次考试历史成绩落在(80,90]，(90,100]内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的历史成绩为82分，大于80分，处于前15%， 所以小明历史成绩的最后得分为90分．(2)因为40名学生中，地理赋分为90分的有40×15%=6人， 这6人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分的有40×35%=14人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人， 分数分别为76，76，77，78；因为小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分， 所以小明的原始成绩的可能值为76，77，78．(3)记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)， (a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)共10种， 其中包括地理的有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)共4种， 所以小明选考科目包括地理的概率为：P =410=25．【解析】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型，属于基础题． (1)根据频率分布直方图即可求解；(2)根据频率分布直方图以及茎叶图即可求解； (3)利用古典概型的概率计数公式即可求解．19.【答案】解：(1)因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 是AO 的一个三等分点， 由于O 为线段AB 中点，PA =PB 且AB =6，所以OF =2． (2)因为PA =PB ，且O 为线段AB 中点，所以PO ⊥AB ． 同理，CO ⊥平面PAB ．由于PO ⊥CO ，PO =CO =3，故PC =3√2， 因为V E−PBC =V C−PBE ，且S △PBC =9√32，S △PBE =6，CO =3，点E 到平面CBP 的距离为h ，所以13×9√32×ℎ=13×6×3，解得ℎ=4√33， 所以点E 到平面CBP 的距离为4√33．【解析】(1)利用向量关系，说明F 是AO 的一个三等分点，然后求解OF ． (2)利用V E−PBC =V C−PBE ，转化求解点E 到平面CBP 的距离即可．本题考查空间点线面距离的求法，等体积法的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆C 2与C 1是相似椭圆，得a 2b 2=42=21， 所以椭圆C 2的方程为x 22b2+y 2b 2=1或y 22b2+x 2b 2=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，M ，N 的中点为E ，l MN ：y =−12x +m ． {y =−12x +mx 22b 2+y 2b 2=1，消去y 可得：3x 2−4mx +4m 2−4b 2=0，△>0⇒b 2>23m 2，x 1+x 2=4m 3=2x E ， ∴x E =2m 3，y E =−12x E +m =2m 3，由于E(2m 3,2m 3)在直线y =2x +1，解得m =−32．于是b 2>23m 2=32，所以b >√62．【解析】(1)利用新定义推出a 2b 2=42=21，然后写出椭圆方程即可．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，M ，N 的中点为E ，l MN ：y =−12x +m.联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解E 的坐标，然后转化求解b 的范围即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档偏难题目．21.【答案】解：(1)a =12时，f(x)=x 2+1，g(x)=lnx +12x +1，F(x)=f(x)−g(x)=x2−lnx −12x ，F′(x)=12−1x +12x 2=(x−1)22x 2≥0，所以F(x)在(0,+∞)单调递增，且F(1)=0， 故x =1时，F(x)=0，f(x)=g(x)，x ∈(0,1)时，F(x)<0，f(x)<g(x)， x ∈(1,+∞)时，F(x)>0，f(x)>g(x)， 综上：x =1时，f(x)=g(x)， x ∈(0,1)时，f(x)<g(x)， x ∈(1,+∞)时，f(x)>g(x)． (2)设ℎ(x)=ax +1−lnx +a−1x−2a(x ≥1)， ℎ′(x)=a −1x −a−1x 2=ax 2−x−(a−1)x 2=(x−1)(ax+a−1)x 2=(x−1)[a(x+1)−1]x 2，①当a ≥12时，又x ≥1，故有x +1≥2，a(x +1)≥1， 所以ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在[1,+∞)单调递增， 所以ℎ(x)≥ℎ(1)=0，f(x)≥g(x)；②当0<a <12时，令ℎ′(x)<0，得x <1a −1，所以ℎ(x)在(1,1a −1)单调递减，所以ℎ(x)<ℎ(1)=0，不合题意，舍； ③当a ≤0时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[1,+∞)单调递减，不合题意，舍； 综上：a ≥12，即a 的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性判断f(x)，g(x)的大小即可； (2)设ℎ(x)=ax +1−lnx +a−1x−2a(x ≥1)，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，确定a 的取值范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式问题，考查转化思想，是难题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+3ty =√3t(t 为参数)，转换为普通方程为x −√3y +1=0；曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为：y 2=4x ．(2)与直线l 垂直的直线方程的斜率为k =−√3，所以经过点P(2,0)的直线的方程为y =−√3(x −2)=−√3x +2√3， 转化为参数方程为{x =2−12ty =√32t (t 为参数)，代入C ：y 2=4x ，得到：34t2+2t−8=0设D、E对应的参数分别为t1(t1>0)、t2(t2<0)，则t1+t2=−83，所以|PD|−|PE|=|t1|−|t2|=t1+t2=−83．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)首先利用直线垂直的充要条件的应用，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线垂直的充要条件，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)=x+4(x−2)2(x>1)，则f′(x)=1−8(x−2)3=(x−4)(x2−2x+4)(x−2)3，x∈(1,2)时，f′(x)>0，x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,+∞)时，f′(x)>0，负f(x)在(1,2)递增，在(2,4)递减，在(4,+∞)递增，故f(x)min=f(4)=5；(2)由题意可知f(x)值域为g(x)值域的子集且f(x)∈[5,+∞)，则a>0，∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，∴g(x)>g(1)=2a−2，即2a−2<5，解得：a<72，故a的取值范围是(−∞,72).【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；(2)分别求出f(x)，g(x)的值域，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．。
2021年高三上学期第四次月考（文）数学试题含答案一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.若P：x>1，，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.在△ABC中，，，b=2，则a的值为（）A．4 B． C． D．33.已知，，则（）A．7 B． C．-7 D．4.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A．13 B．35 C．49 D．635.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆C的标准方程为（）A． B． C． D．6.若等比数列的前n项和，且，，则等于（）A． B． C． D．7.函数的最小值为（）A． B．0 C． D．18.设，，为单位向量，且，(k>0)，若以向量，为两边的三角形的面积为，则k的值为（）A． B． C． D．9.已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4，且f(x)的导函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．10.若定义域为R的函数f(x)的周期为2，当时，，则函数y=f(x)的图象与的图象的交点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2A ．B ．C ．2D ．12.设是的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数都有对称中心，其中满足.已知，则=+⋅⋅⋅+++)20152014()20153()20152()20151(f f f f （） A ．xx B ．xx C ．xx D ．xx第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 13.在△ABC 中，，AB=BC=1，点M 满足，则______. 14.若数列中，，，则__________.15.△ABC 为锐角三角形，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知c=2，且，则a 的取值范围是_________.16.函数的最大值是________.三、解答题 （共6小题，第17题10分，其余各小题12分，共70分.） 17.（本小题满分10分）已知函数2cos 2sin 2)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 3)(xx x x x xx f ++-=，（1）求f(x)的最小正周期；（2）若将f(x)的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递增区间. 18.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且，. （1）求的值； （2）求AC 边的长.19.（本小题满分12分）数列的前n 项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前n 项和. 20.（本题满分12分）设数列满足，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n 项和.21.（本小题满分12分）已知曲线在点(1,f(1))处的切线的斜率为1. （1）若函数f(x)的图象在上为减函数，求a 的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）如图，已知抛物线，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D.（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存立求点M 的坐标；若不成立，请说明理由.xx 年-xx 学年度兴义八中xx 届文科数学第四次月考参考答案 1.A 【解析】∵x>1，，∴p 是q 的充分条件；，，解得：x<0或x>1，所以不是必要条件，综上可知：p 是q 的充分不必要条件. 2.B 【解析】由正弦定理可得，，. 3.B 【解析】根据题意有，，所以.4.C 【解析】因为数列是等差数列，所以，，则.故选C.5.D 【解析】根据题意，可知抛物线的焦点为，所以对于椭圆而言，，结合离心率等于，可知a=4，所以方程为，故选D.6.A 【解析】等比数列中，，，构成等比数列，，，，.7.A【解析】利用二次函数性质分析，]2,0[,31)32(cos 31cos 4cos 322π∈--=+-=x x x x y ，时，所给函数取得最小值，故选A ．8.B 【解析】，，， ，．9.D 【解析】设，则，的导函数， ，此时函数在R 上单调递减，，．10.C 【解析】分别画出函数，与函数的图像，由图像可得，共4个交点．11.D 【解析】取双曲线的渐近线为，因为，，所以过作平行于渐进线的直线的方程为，因为，所以直线的方程为.联立方程组，可得点P 的坐标为，因为点P 在双曲线上， 所以，即.因为，所以，整理得， 因为，所以.故选D. 12.C 【解析】，，令，解得1125213)21(21)21(31)21(2123=-⨯+⨯-⨯==f x ， ∴函数f(x)的对称中心为.设P ，Q 是函数f(x)的图象上关于M 中心对称的两点，则，())20152013()20152(())20152014()20151([(21)20152014()20153()20152()20151(f f f f f f f f +⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅+++∴.13.3【解析】设B(0,0)，C(1,0)，A(0,1)，根据，可知M(0,2)，此时有. 14.3【解析】因为，，所以，，，，...，显然当n 是奇数时，，所以. 15.【解析】AA AB A A B B A A A BC cos sin 4cos sin 22sin 2)sin()sin(2sin 2)sin(sin =⇒=-++⇒=-+，因为△ABC 为锐角三角形，所以， 因为△ABC 为锐角三角形，所以，，即，， 解得a 的取值范围是.16.【解析】解析式表示过，B(4,3)的直线的斜率，由几何意义，即过定点(4,3)与单位圆相切时的切线斜率为最值，所以设切线的斜率为k ，则直线方程为，即，，，. 17.（1）；（2） 【解析】（1）x xx x x x x x x x f sin )2sin 2(cos 32cos 2sin 2)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 3)(22+-=++-=)3sin(2)cos 23sin 21(2sin cos 3π+=+=+=x x x x x .所以f(x)的最小正周期为.（2）∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，)6sin(2]3)6sin[(2)6()(ππππ+=+-=-=∴x x x f x g ， 由，可得，所以单调递增区间为. 18.（1）（2）4 【解析】（1），，，， .（2）在△ABD 中，由正弦定理，得，即，解得BD=2， 故DC=2，从而在△ADC 中，由余弦定理，得16)41(23223cos 222222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=ADC DC AD DC AD AC ，AC=4.19.（1），；（2）【解析】（1）当时，，又也满足上式，所以数列的通项公式为，，设公差为d ，则由，，成等比数列， 可得，所以d=2或d=0（舍去）， 所以数列的通项公式为.（2）结合（1），所以数列的前n 项和11111113121211)1(1321211+=+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=++⋅⋅⋅+⨯+⨯=n nn n n n n T n 20.（1）；（2） 【解析】（1），， ，，，是以2为公比，2为首项的等比数列，，.（2），，，记，，22)1(221)21(2222221112-⋅-=⋅---=⋅-+⋅⋅⋅++=-=-∴+++nnnnn nnnAAA，，2)1(22)1()21(1+-+⋅-=+⋅⋅⋅++-=+nnnnAS nn.21.（1）；（2）.试题解析：（1）因为，由题可知，，，.（2）令，),1[,)1)(12(1122)(+∞∈--=-+-='xxxaxxaaxxg，当，即，，g(x)在上递减，则，符合.当时，，g(x)在上递增，，矛盾，当时，，且，矛盾，综上a的取值范围是.22.（1）2x-y-2=0；（2）存在点M(1,2)或M(1,-2).，，，.∴直线l的斜率，∵k>0，∴k=2，∴直线l的直线为2x-y-2=0.（2）设，，同理，，∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，恒成立，即恒成立.221212122124)(2411212111ayyayyayyamaayayama+++++=++⇒+++=++∴,把，代入上式，得恒成立，.∴存在点M(1,2)或M(1,-2)，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列.30858 788A 碊 22905 5979 她Gh32282 7E1A 縚28263 6E67 湧}30411 76CB 盋@33621 8355 荕2;。
2021年高三12月月考试题数学 文 试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设，则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D.3．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b ”类比推出“若a,b ”；②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d 则”；③“若a,b ” 类比推出“若a,b ”；其中类比结论正确的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 34．已知等比数列的前项和为，，则实数的值是A ．B ．C ．D ．5．已知非零向量、，满足，则函数是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数4.已知各项为正的等比数列中，与的等比数列中项为，则的最小值A.16B.8C.D.45.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A. B. C. D.16.已知命题；命题的极大值为6.则下面选项中真命题是A. B. C. D.7.设变量满足约束条件，则的最小值为A.-2B.-4C.-6D.-88.已知命题；命题的极大值为6.则下面选项中真命题是A. B. C. D.9.设变量满足约束条件，则的最小值为A.-2B.-4C.-6D.-810．若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是A ．B ．或C ．D ．11．设是定义在上的奇函数，当时，，则A． B. Ｃ.１Ｄ.３12．已知函数，且，则A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 .14.已知，则 .15.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则= .16.已知定义在R的奇函数满足，且时，，下面四种说法①；②函数在［-6，-2］上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号 .三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在中，已知，.（1）求的值；（2）若为的中点，求的长.18.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值。
四中2021届高三12月月考数学试卷(文科)本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两局部。
一共150分。
测试时间是120分钟。
第一卷〔选择题 50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的。
1、假设集合M={}22|-=xy y ，N={}3|-=x y x ，那么N M 为〔 〕A ．()+∞,3B ．[)+∞,3C ．()+∞,0D ．[)+∞,02、函数()()2111f x x x =<--，那么113f -⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是〔 〕 A ．2B ．－3C ．－2D ．33、椭圆C 与椭圆22(3)(2)194x y --+＝，关于直线x +y =0对称，椭圆C 的方程是〔 〕A.22(2)(3)149x y +++= B.22(2)(3)149x y -++=C.22(2)(3)194x y +++= D.22(2)(3)149x y --+=4、假设(sin )2cos 2f x x =-，那么(cos )f x ＝〔 〕〔A 〕2－sin 2x 〔B 〕2＋sin 2x 〔C 〕2－cos 2x 〔D 〕2＋cos 2x 5、函数)6cos()6sin(ππ++=x x y ，那么其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为〔 〕A ．6,2ππ=xB ．12,2ππ=xC ．6,ππ=xD ．12,ππ=x6、如图目的函数P=ax+y 仅在封闭区域OACB 内〔包括边界〕的点C )54,32(处获得最大值，那么a 的取值范围是〔 〕A 、)125,310(--B 、)103,512(--1 1 11 2 1C 、)512,103(D 、)103,512(- 7、不等式|2x 2－1|≤1的解集为〔 〕〔A 〕{|11}x x -≤≤ 〔B 〕{|22}x x -≤≤ 〔C 〕{|02}x x ≤≤ 〔D 〕{|20}x x -≤≤8、F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=〔0a b >>〕的焦点；M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝600，那么椭圆的离心率为〔 〕〔A 〕21〔B 〕22 〔C 〕33 〔D 〕239、数列}{n a 满足01a =，011n n a a a a -=+++〔1n ≥〕，那么当1n ≥时，n a ＝〔 〕〔A 〕2n〔B 〕(1)2n n + 〔C 〕2n －1 〔D 〕2n－1 10、过ΔABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，假设0,,≠==xy AC y AE AB x AD ， 那么yx11+的值是〔 〕 A 、4 B 、3 C 、2 D 、1第二卷〔一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分，将答案填入题中横线上。
xx 十一学校高三十二月月考 数学试卷（文科） xx 高三上学期12月月考数学（文）试题含答案满分：150分 时间：120分钟 xx.12.11年高三上学期12月月考数学（文）试题含答案（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3. 已知，，且，则的最大值是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）4．抛物线的焦点坐标是（ ）（A ）（B ）或 （C ） （D ）或5.右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的侧面积为是（ ） （A ） （B ）（C ） （D ）6．过点作圆的两条切线（为切点），则（ ）（A ）（B ） （C ） （D ） 7．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且，则函数的零点的个数（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）8. 在平面直角坐标系中，记不等式组002x y x y y ≥≤+⎧⎪-≤⎨⎪⎩所表示的平面区域为，在映射的作用下，区域内的点对应的象为点，则由点所形成的平面区域的面积为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分满分共30分）9． 设复数满足，则的共轭复数______10．已知直线与直线2:0,(0,02)l kx y m k m -+=><<，与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则 主视图 俯视图11．已知椭圆的离心率是，则双曲线的两条渐近线方程为______.12.在锐角中，角所对的边分别为，且，并且,则边的长度为________13.已知过定点的动圆与直线相切，则此动圆圆心轨迹方程是_________.14.已知点和圆，是圆上的两个动点，且，则圆心到直线的距离________；（为坐标原点）的取值范围是________.三、解答题：（本题共6道小题，每小题都要求写出必要的详细解答步骤，满分共80分）15．（本小题满分12分）设数列的前项和为，（Ⅰ）求 （Ⅱ）证明:是等差数列；（Ⅲ）求的前n 项和S n .16．（本小题满分13分）已知函数()4cos sin()(0)4f x x x πωωω=⋅+>的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间的单调区间.17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，直线12:24,:1l y x l y x =-=-，设圆的半径为，圆心在上．（Ⅰ）若圆心也在直线上，①求圆的方程；②过点作圆的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆在直线截得的弦长为，求圆的方程.18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，，．设，分别为，中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）试问在线段上是否存在点，使得过三点 ,,的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．D E BA P C D EB A P C19．（本小题满分14分）已知函数32()ln ,()2f x x x g x x ax x ==+-+（Ⅰ）如果函数的单调减区间为,求函数的解析式;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求函数的图像过点的切线方程;（Ⅲ）对任意的,若不等式恒成立,求实数的取值范围.20．（本小题满分14分）已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为（0,1），离心率为e =25 ， 过椭圆的右焦点F 的与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A ,B 两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C ,B ,N 三点共线？ 若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设是线段OF （O 为坐标原点）上的一个动点，且 ,求m 的取值范围.1-8 D A B C D D B C9)10) 311)12) 13) 14)14. (M 是AB 的中点)|CM|=1，M 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆法一： 的几何意义是在 的投影OM 1与的积.当MM 1与OP 垂直时，OM 1达到最大与最小，（就是向直线做垂线，垂足为C 1，|OC 1|加减半径） 法二：M 的轨迹方程为：令所以()2OP OA OB OP OM ⋅+=⋅2(3,4)(2cos ,sin )θθ=⋅+=12+（最大值22，最小值215．解：（1）因为，所以 时，时，时，…………………………4分（2）由题设以上两式相减： 即：， =12 (常数) 所以是首项为1，公差为12 的等差数列. …………………………8分 （3）由（2）111(1)(1)222n n a n n =+-=+，即 所以12(1)222n n n n S n n -=+-=⋅ . …………………………12分16．解：（Ⅰ）f (x )＝4cos ωx sin (ωx ＋π4)＝22sin ωx cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin (2ωx ＋π4)＋2．…………………………4分 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而2π2ω＝π，故ω＝1． …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )＝2sin (2x ＋π4)＋2． 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4．当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，区间[π8，π2]上单调递减．…………………………13分 17．解：（Ⅰ）①由题设，圆心是直线的交点，解得点．所以圆的方程是 …………………………3分② 由题可知，若切线的斜率不存在，直线是圆的切线若切线的斜率存在，设为，设切线方程为，所以，解得，即.综上所求切线方程为和. …………………………7分（Ⅱ）因为圆心在直线上，所以设圆心的坐标为因为圆在直线截得的弦长为，半弦长为，且半径为，所以圆心到直线的距离为即， …………………………10分所以，截得，所以圆心分别为所以所求圆的方程为或……………………13分18． 解：（Ⅰ）因为点是中点，点为的中点，所以∥．又因为面，面，所以∥平面． ………….4分（Ⅱ）因为平面面, 平面平面=,又平面，，所以面. 所以． 又因为，且，所以面． ……….9分（Ⅲ）当点是线段中点时，过点,,的平面内的 任一条直线都与平面平行． 取中点，连，连.由（Ⅰ）可知∥平面．因为点是中点，点为的中点， 所以∥． 又因为平面，平面， 所以∥平面．又因为， 所以平面∥平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行．……….14分19． 解:（Ⅰ）的解集是,所以将代入方程, …………………………4分 （Ⅱ），设切点为 所以切线的斜率为2000()321k g x x x '==--又因为切线过点（1,1），所以切线方程为2001(21)(1)y x x x -=--- …………………………6分因为切点在切线上也在曲线上所以3200002000021(21)(1)y x x x y x x x ⎧=--+⎪⎨-=---⎪⎩ 所以所以切线方程为 或 …………………………9分（Ⅲ）在上恒成立…………………………11分设,131(1)(31)()x x h x -+'∴=-+=- D E AP CF令(舍)当时,,当时,时,取得最大值,的取值范围是 …………………………14分20．解：（Ⅰ）由已知b =1，由e =25 得，所以椭圆的方程为 ………3分 （Ⅱ）右焦点为F (2,0) ………………4分设直线l 的方程为由 得2222(15)202050k x k x k +-+-= ………………6分 恒成立 设 ，由根与系数的关系21222122201520515k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………7分 因为点C 与点A 关于x 轴对称，所以，假设存在 满足题意， 022011(,),(,)BN x x y CN x x y =--=- 因为C ,B ,N 三点共线，所以 所以 ，即 ，因此1221012(2)(2)(2)(2)k x x k x x x k x k x -+-=-+- 2222222052022151520415k k k k k k -⋅-⋅++=-+ =52 所以存在定点,使得C ,B ,N 三点共线 ………………10分 (Ⅲ)由已知，而1122(,)(,)MA MB x m y x m y +=-+-=，因为所以， ………………12分即12211212(2)()((2)(2))((2)(2))0x x m x x k x k x k x k x +--+-+----= ，因为 所以 2212(1)()240k x x m k ++--= ，即，所以 .即当时.………………14分。
2021年高三上学期12月月考数学文试题含答案苟丫丫张宏汉一、选择题（每小题5分，共12小题）1．已知集合}0∈x>x+xA，则（）xR=B=x(|{1)()3},-{>3|2+A．B．C．D．2．复数等于（）A．B．C．D．3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1 =3S n（n≥1），则a6=( ) A．3 × 44+1 B．3 × 44C．44D．4．已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=（）A．-6 B．C．-4 D．-5 5．已知变量满足约束条件，则的最小值为( )A．3 B．1 C．-5 D．-6 6．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）A．B．C．D．第7题图第8题图7．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( ) A ．B ．5C ．4D ．8．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框 中的（2）处应填的语句是（ ） A.B. C.D.9．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．，B ．，，共点，，共面C ．，，共面D ．，10．已知命题：函数的图象与轴有交点，命题：为上的减函数，则是的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要11．已知双曲线C ：的焦距为10 ，点在的渐近线上，则的方程为（ ）A ．B.C. D.12．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。
已知，，并且有一个非零常数，使得对任意实数， 都有，则的值是（ ） A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，共4小题）13．设为等差数列，公差为其前n 项和，若，则_______。
14．右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为， ，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为_________.15．若，则函数有零点的概率为 ．16．我们把形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”。
2021年高三12月月考文科数学试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,,则( )A． B． C． D．2.已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是( ) A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂α D．m、n与α所成的角相等3.向量，，且∥，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，向量，，且∥，所以，，，故选B.考点：共线向量，三角函数诱导公式.4.在正项等比数列中，，则的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，正项等比数列中，，由对数运算法则及等比数列的性质，有，，，故选A.考点：等比数列的性质，对数运算.5.已知且，函数在同一坐标系中的图象可能是( )【答案】C【解析】试题分析：是直线的纵截距.根据指数函数、对数函数的性质，时，函数的图象同时上升；时图象同时下降.对照选项可知，A,B,D均矛盾，C中，选C.考点：一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质6.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．7.已知满足，则目标函数的最小值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据画出可行域及直线（如图），平移直线，当直线经过点A（2,3）时，的最小值为-7，故选C.考点：简单线性规划的应用8.已知函数在恰有4个零点，则正整数的值为( )A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或69.函数的最大值是( )A. B. C. D.10.在中，若，则的形状是( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理、余弦定理，可化为，整理得，，所以，的形状是等腰三角形，选B.考点：正弦定理、余弦定理的应用11.设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是（）A． B． C． D．12.已知329()6,,()()()02f x x x x abc a b c f a f b f c =-+-===＜＜且，现给出如下结论： ①；②；③；④.其中正确结论的序号为（ ） A.①③ B.①④C.②④D.②③【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，2f x 3x 9x 63x 1x 2'=-+=--（）（）（），∴当或时，，当时，，∴函数的增区间是，减区间是，∴函数的极大值是，函数的极小值是， ∵，且， ∴且，解得， ∴， 则， 故选D ．考点：应用导数研究函数的单调性，函数的零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 .由导数的几何意义，切线的斜率为，所以，由直线方程的点斜式得直线的方程为.考点：幂函数，导数的几何意义.15.已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则 .16.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②③；④.能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】①三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()2sin cos 233f x x x x ωωω=+（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．求在区间上零点的个数． 【答案】（Ⅰ）的单调增区间． （Ⅱ）在上有个零点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，首先化简函数.得到.根据复合函数的单调性及正弦函数的单调增区间得 函数的单调增区间．18.在中，角对边分别是，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为；求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】19.已知等比数列为递增数列，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）令，不等式的解集为，求所有的和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）所有的和.【解析】试题分析：（Ⅰ）设的首项为，公比为，依题意可建立其方程组，不难求得.（Ⅱ）根据, 要注意分为偶数，为奇数，加以讨论，明确是首项为，公比为的等比数列,利用等比数列的求和公式，计算得到所有的和.试题解析：（Ⅰ）设的首项为，公比为，所以，解得…………2分又因为，所以则，，解得（舍）或…4分所以…………6分（Ⅱ）则,当为偶数，，即，不成立…………8分当为奇数，，即，因为，所以…………10分组成首项为，公比为的等比数列,则所有的和……………12分考点：等比数列的通项公式、求和公式20.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.【答案】(1)见解析. (2)见解析.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.【解析】试题分析：(1)由直四棱柱概念，得BB1//DD1，得到四边形BB1D1D是平行四边形，从而B1D1∥BD，由直线与平面平行的判定定理即得证.(2)注意到BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，推出BB1⊥AC.又BD⊥AC，即得AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D，故得证.(3)分析预见当点M为棱BB1的中点时，符合题意.此时取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，证得BN⊥DC.又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，推出BN⊥平面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，由四边形BMON是平行四边形，得出OM⊥平面CC1D1D，得证.试题解析：(1)由直四棱柱概念，得BB1//DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D，∴MD⊥AC.21.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件．（1）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式;（2）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值．【答案】（I）.（II）当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元.（I ）由题意，该连锁分店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为.（II ），2'()3(482)1802(10)[3(182)]L x x a x a x x a =-+++=--+，令，得或，因为，，所以，.①当时，，，是单调递减函数.故 ……………10分②当，即时，时，；时，在上单调递增；在上单调递减，故答:当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元.考点：生活中的优化问题举例，应用导数研究函数的单调性、最值.22.已知函数在上是增函数，上是减函数．（1）求函数的解析式；（2）若时，恒成立，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数b ，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b 的范围，若不存在说明理由．即，．…………7分又，令，得；令，得．所以函数的增区间，减区间．要使方程有两个相异实根，则有，解得考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数与方程.)29573 7385 玅30912 78C0 磀22067 5633 嘳37163 912B 鄫aE(39227 993B 餻27340 6ACC 櫌)Y30828 786C 硬z。
2021年高三上学期第四次月考文科数学试题 Word版含答案一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）DA．B．C．D．2．已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）ＡA．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．“函数的减区间为”是“”的（）ＣA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）DA．B．C．D．5．已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（）ＡA．3 B．2 C．1 D．6．已知两个不同的平面和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若，则；②若则；③若，则；④若.其中正确命题的个数是（）DA．0 B．1 C．2 D．37．设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是（）AA．B．C．D．8．已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）AA．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位9．执行右侧的程序框图，输出的结果S的值为（）CA．B．0 C．D．10．已知“若点在双曲线上，则在点处的切线方程为”．现已知双曲线和点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则直线过定点（）CA．B．C．D．11．已知点与点在直线的两侧，给出下列命题：①；②时，有最小值，无最大值；③存在正实数，使得恒成立；④且，时, 则的取值范围是.其中正确的命题是（）DA．①②B．②③C．②④D．③④12．已知偶函数是定义域为R，当时，．函数．若函数有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（）ＢA．B．C．D．二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在[70,80)内的人数是_____．3014．已知的内角所对的边分别为，且，，，则的值为__________．15．如右图，设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则球O的体积为．16．已知．平面区域D由所有满足的点组成．若区域D的面积为8，则的最小值为．9三、解答题: 本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在等比数列中，2=4，．（1）求；（2）令，求数列的前n项和．【解析】（1）设数列的公比，则，解得，；……………6分（2）由（1）知，，)111()4131()3121()211()1(1431321211+-++-+-+-=+⋅++⨯+⨯+⨯=n n n n T n即 ……………12分18．（本小题满分12分）为了了解学生的校园安全意识，某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查，问卷由三道选择题组成，每道题答对得5分，答错得0分，现将学生答卷得分的情况统计如下表：已知被调查的所有女生的平均得分为8.25分，现从所有答卷中抽取一份，抽到男生的答卷且得分是15分的概率为． （1）求的值；（2）现要从得分是15分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行消防知识培训，再从这6人中随机抽取2人参加消防知识竞赛，求所抽取的2人中至少有1名男生的概率． 【解析】（1）因为被调查的所有女生的平均得分为8.25分， ，解得，从所有答卷中抽取一份，共有结果y y +=+++++++270)60309020()352510(种， ，抽到男生且得分是15分的概率，解得， 因此，； ……………4分（2）从得15分的学生中，用分层抽样方法抽取6人，则抽样比为， 女生抽4人，记，男生抽2人，记为，现从这6人中随机抽取2人，则所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，设“取出的2人中至少有一名男生”为事件A ，则A 包含的基本事件有： ，，，，，，，，共9种，，因此所抽取的2人中至少有1名男生的概率为． ……………12分 19．（本小题满分12分）如图1，由正四棱锥和正四棱柱所组成的几何体的三视图如图2. （1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【解析】（1）如图，连接交于，并连接、． 正四棱锥，， 又由三视图知，，，，故，又易知且，四边形为平行四边形，，故，又，因此平面； ……………6分（2）由（1）知，故点到平面的距离即为点到平面的距离，又易知平面平面，且平面平面，故过作，垂足为，则平面，即为点到平面的距离，A1A P 1B 1C 1D D B C 1图2图A PD BCo又由已知，，，故，因此点到平面的距离为1． ……………12分20．（本小题满分12分）设点分别是的重心和外心，，，且． （1）求点C 的轨迹的方程；（2）已知点，是否存在直线，使过点并与曲线交于两点，且为钝角．若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）设，则，的中点，又，则， 又是的外心，所以，即， 化简得，，即点C 的轨迹的方程为 ……………5分 （2）假设存在满足条件的直线，并设其方程为，则 联立消去得，则， 设，则，， 由为钝角，有，即)1)(1()21)(21()21)(21(21212121+++++=+++kx kx x x y y x x整理得，，解得或， ……………10分又当时，直线过点，而不在曲线上，此时直线与曲线只有一个交点，不符合题意，故舍去，因此，综上可知符合条件的直线存在，且其斜率的取值范围为或或．……………12分 21．（本小题满分12分）已知函数． （1）求函数在区间的最值；（为自然对数的底数） （2）如果函数的图象与轴交于两点且，求证：． 【解析】（1）函数的定义域为，且求导得：， 则当时，，当时，，即在上单调递增，在单调递减， 又1)1(,2)(,12)1(22-=-=--=f e e f ee f ，且 因此，当时，取得最大值，当时，取得最小值 ……………………………5分 （2）方程有两个不等实根，则有， 两式相减得，， 又由已知， 则)]()ln (ln 2[)(4)(4)2(2121212121212121/x x x x x x x x x x a x x x x x x g +----+-+=-+-+=+ 即； 因此，)0(ln ln )(20)ln (ln 2421212121212121x x x x x x x x x x x x x x <<->+-⇔<---+⇔令，则，即函数在上递减，所以，当时，，即，因此，当时，成立，即成立．………………………12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，∠BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D、E、C三点的圆于点F．（1）求证：；（2）若，，求的值．【解析】（1）如图，连接CE，DF．∵AE平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在圆内又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE．∴∠EAF=∠EFD又∠AEF=∠FED，∴ΔAEF∽ΔFED，∴，∴……………5分（2）由（1）知，∵EF=3，AE=6，∴，∴……………………………………10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．取原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线经过点，点是曲线上任意一点，求点到直线的距离的最小值．【解析】（1）曲线C直角坐标方程的直角方程为：，∴曲线C是顶点为，焦点为的抛物线；……………………5分（2）直线的参数方程为（为参数），故直线过点；又若直线经过点，∴直线的普通方程为：，由已知设，则点到直线的距离，所以当，即点时，取得最小值，因此点到直线的距离的最小值为．……………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲：已知函数，．（1）当时，解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在函数的图象的上方，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，不等式即为；①当时，不等式即为，解得，此时；②当时，不等式即为，即成立，此时；③当时，不等式即为，解得，此时；因此，综上可知所求不等式的解集为；………………………５分（2）函数的图象恒在函数的图象的上方，故恒成立，即，令⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤-+--<--=++-=1,1313,53,13|3||1|2)(x x x x x x x x x h ，则在上递减，在上递增，故当时，取得最小值，故， 即当时，函数的图象恒在函数的图象的上方．………………………10分23596 5C2C 尬 40563 9E73 鹳29400 72D8狘22341 5745 坅w':21086 525E 剞37968 9450 鑐?/25382 6326 挦22425 5799 垙34674 8772 蝲。
2021年高三上学期第四次（12月）月考数学（文）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知U= {2，3，4，5，6，7}，M ={3，4，5，7}，N ={2，4，5，6}，则2、下列判断正确的是（ ）A. “正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.B. “”的充要条件是“”.C. 不等式的解集为.D.若“p 或q ”是真命题，则p ，q 中至少有一个真命题.3、已知为第二象限角，且，则的值是（ ）A ． B. C. D.4. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6、函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）A ．B ．C ．D ．7、若平面向量与=(1, -2)的夹角是,且,则等于 （ ）A.(6,-3) B(3, -6) C(-3,6) D(-6,3)8、 设a=, b=In2, c=, 则（ ）A a<b<cB c<a<bC b<c<aD c<b<a9、实数x,y 满足，若函数z=x+y 的最大值为4,则实数a 的值为( )(A). 2 (B). 3 (C). (D).410、从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ）A ． 2097B ． 2112C ． x xD ．209011、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若∠C=120°，, 则（ ）A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定12、若函数y=f(x)图象上的任意一点p 的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y ｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是( )(A). －1 (B). f(x)= lnx(C). f(x)=sinx (D). f(x)=tanx二、填空题：本大题共4小题，共20分，请将答案填在答题卷题中的横线上．13、已知，，若，，且，则14、不等式的解集为______________.15、一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图可以是16、定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y＝f(x)是奇函数②.y＝f(x)是周期函数,周期为1 ③..y＝f(x)的最小值为0 ,无最大值④. y ＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为.三、解答题：本大题共5个小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．( 17 ~ 21题每小题12分 )17、已知函数（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函数在上最大值和最小值.18、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋12sinBsinC=sin 2B+sin 2C.(1)求sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值； (2)若a ＝4，b ＋c ＝6，且b ＜c, 求△ABC 的面积．19、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.20、已知函数 (1).求函数f(x)的单调区间及极值;(2).若 x 1 ≠x 2 满足f(x 1)=f(x 2),求证：x 1 ＋x 2 ＜021、已知数列满足，点在直线上.（I ）求数列的通项公式；（II ）若数列满足),2(111,*12111N n n a a a a b a b n n n ∈≥+++==-且 求的值；（III ）对于（II ）中的数列，求证：n n b b b b b b 2121310)1()1)(1(<+++请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图,四边形为边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于F,连接CF 并延长交AB 于点 E.(1).求证:E 为AB 的中点;(2).求线段FB 的长.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O，轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;(2).试判断直线l与圆C有位置关系.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)＜4的解集为M.(1).求M;(2).当a,bM时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.崇义中学xx 届高三文月考四数学参考答案一、选择题：C D D B B C C B A C A C.二、填空题：13、 14、 15、②④ 16、② ③三、解答题：．17、解：（1）由题意知 即∵ 即∴ -------------------6分（2）∵ 即∴， ---------------12分18、解 (1)由已知可得a 2＋12bc ＝b 2＋c 2 ，cosA ＝14. 又sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝12[1－cos(B ＋C )]＋(2cos 2A －1)＝12(1＋cos A )＋(2cos 2A －1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1＝－14. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即16＝36－52bc ，∴bc ＝8. 由⎩⎨⎧ b ＋c ＝6，bc ＝8，b ＜c ，可求得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4.S=12 bc sin A = 19、20、21、解：（1）∵点在直线上，是以2为首项，2为公比的等比数列，………………………………………………3分（2）且，nn n n n n n n n a a b a b a a a a a b 1,11111112111+=∴++++=∴++-++ 且；当n=1时，…………………………6分（3）由（2）知11132211221111111111++-⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=+⋅⋅+⋅+=n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b )111(221121111114332211n n n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a b b b +++=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=++++- 时，)121121(2)12)(12(2)12)(12(1212111111---=--<---=-+++++k k k k k k k k k 12131111121-+++=+++∴n n a a a 35)12131(21)]121121()121121[(211132<--+=---++---+<++n n n ， ，即…………………………12分23.24..【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用l537794 93A2 鎢20019 4E33 丳32798 801E 耞t38602 96CA 雊31543 7B37 笷~40835 9F83 龃^ 26270 669E 暞。
黑龙江省双鸭山市第一中学2020届高三数学上学期12月月考试题 文（含解析）一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合{}2|4M x x =≥，{}=-3-2,0,1,2N ，， 则M N =（ ）A. {}0,1B. {}2,012，，-C. {}3,2,2--D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】求出集合M ，即可得到M N ⋂.【详解】∵{}22M x x x =≥≤-或，故{}3,2,2M N ⋂=--. 故选C【点睛】本题考查集合的基本运算.属基础题.2.设1F ，2F 是椭圆221259x y +=的焦点，P 为椭圆上一点，则12PF F ∆的周长为（ ）A. 16B. 18C. 10D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义,可求得12PF PF +,再根据椭圆中a b c 、、的关系求得焦距,即可得12PF F ∆的周长.【详解】1F ,2F 是椭圆221259x y +=的焦点,P 为椭圆上一点由椭圆定义可知12210PF PF a +== 根据椭圆中a b c 、、的关系可得 222=+a b c解得4c === 则1228F F c ==所以12PF F ∆的周长为2210818C a c =+=+= 故选:B【点睛】本题考查了椭圆的定义,椭圆中a b c 、、的关系,属于基础题.3.设复数z 满足2(1)2i z i +⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由（1+i ）2•z ＝2+i ，得2iz ＝2+i ， ∴()()2221222i i i z i i i +-+===--， ∴复数z 对应的点的坐标为（12，﹣1），位于第四象限． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.已知2sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-的值为（ ）A. B. 1-9C.19【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式可得2sin cos 23a a π⎛⎫+== ⎪⎝⎭，然后利用诱导公式和二倍角的余弦公式可得答案. 【详解】因为2sin cos 23a a π⎛⎫+==⎪⎝⎭，可修改所以()281cos 2cos212cos 199a a a π-=-=-=-=.故选C. 【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式化简求值，属基础题..5.圆2228130+--+=x y x y 截直线10ax y +-=所得的弦长为a =（ ）A .43-B. 34-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得a 的值. 【详解】圆2228130+--+=x y x y ,即()()22144x y -+-=1=根据点到直线距离公式可知1d ==,化简可得()2231a a +=+解得43a =- 故选:A【点睛】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.6.正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF =( )A. 1122AB AD + B. 1122AB AD -- C. 1122AB AD -+D. 1122AB AD -【答案】D 【解析】 【分析】由题意点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，求出EC ，CF ，然后求出向量EF 即得． 【详解】解：因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =， 点得F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-， 故选D ．【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．属于基础题．7.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为( ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 28【答案】C 【解析】由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120， 解得a 8＝24，且a 8＋a 12＝2a 10，则2a 10－a 12＝a 8＝24.故选C.8.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段BC 上的动点，F 是线段1CD 上的动点,且,E F 不重合，则直线1AB 与直线EF 的位置关系是( ) A. 相交且垂直 B. 共面C. 平行D. 异面且垂直 【答案】D 【解析】由题意易知：直线111BC AB A D ⊥平面，∴1AB EF ⊥，又直线1AB 与直线EF 是异面直线， 故选D9.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）A.1233π+ B.1233π+C.13+D. 1+【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为2的半球,体积为31142326V π=⨯⨯=（,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C. 【考点】根据三视图求几何体的体积【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.10.若函数2cos y x ω=在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，且有最小值1，则ω的值可以是（ ） A. 2 B.12 C. 3D.13【答案】B 【解析】2cos y x ω=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是递减的，且有最小值为1，213fπ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即 2212cos 1,cos 332ωπωπ⎛⎫⨯⨯== ⎪⎝⎭，当12ω=时，函数2cos y x ω=在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，且有最小值1，故选B.11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，122F AF π∠=，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为( )A.13C.58【答案】D【解析】【分析】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得1221 3AF OMAF OF==．可得m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化简解出即可得出．【详解】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，∴1221 3AF OMAF OF==．则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化为：m2223b=，n2＝9m2＝6b2．∴223b+6b2＝4c2．∴()2253a c-=c2，化为：10ca=．故选D．【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 12.已如函数()1ln ,132,1x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A. [)2,+∞ B. (],2-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据题意及画出的分段函数的图象确定出121x x <<，然后可将()1f x 和()2f x 代入到确定的表达式，得到1x 和2x 的关系式，再用2x 表示1x ，则可只用2x 表达12x x +，再构造函数()g x 与12x x +的表达式一致，通过求导方法判断出()g x 的值域即可得到12x x +的取值范围．【详解】解：根据题意，画出分段函数()f x 图象如下：由两个函数图象及题意，可知：12,x x 不可能同时大于1，也不可能同时小于1． 否则不满足()()122f x f x += ∴121x x <<，∴()()121212321ln 3ln 1f x f x x x x x +=-++=+-， ∵()()122f x f x +=， ∴123ln 12x x +-=，∴1211ln 3x x =-，122222111ln 1ln 33x x x x x x +=-+=+-，()21x >．构造函数()11ln 3g x x x =+-，()1x >．则()113g x x='-．∵1x >， ∴33x >，∴11033x <<， ∴11033x -<-<， ∴211133x<-<． ∴()0g x '>．∴()g x 在()1,+∞上是单调递增函数． ∴()()min 12g x g ==． ∴()2g x >． ∴122x x +>． 故选C ．【点睛】本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题． 二、填空题（每题5分，共20分） 13.不等式213x -≤的解集为______． 【答案】[]1,2- 【解析】 【分析】分类讨论,即可解绝对值不等式. 【详解】不等式213x -≤当210x -≥,即12x ≥时,不等式可化为213x -≤,解得2x ≤,所以不等式解集为122x ≤≤当210x -<,即12x <时,不等式可化为123x -≤,解得1x -≤,所以不等式解集为112x -≤<综上可知,不等式213x -≤的解集为12x -≤≤,即[]1,2x ∈-故答案为: []1,2-【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解不等式的应用,属于基础题. 14.曲线3235y x x =-+在1x =-处的切线的斜率为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出函数在1x =-处的导数，即是该点处切线的斜率． 【详解】3235y x x =-+263y x '∴=-()21|6133x y =-'∴=--=故曲线3235y x x =-+在1x =-处的切线的斜率为：3k = 故答案为3【点睛】本题考查了利用导数求曲线上某点的切线的斜率问题，属于基础题． 15.正项等比数列{}n a 中，26S =，314S =，则7S =______. 【答案】254 【解析】 【分析】由已知数据可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式可得．【详解】因为26S =，314S =，所以()()21311611141a q q a qq ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以122n n S +=-，8722254S =-=.故填254.【点睛】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．16.已知函数()3sin f x x x x =+-，若()()220f tf t +-≤，则实数t 的取值范围是______.【答案】[2,1]- 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，并且结合不等式f （t-2）+f （4-t 2）＜0建立不等式进而求得t 的范围．【详解】由已知得()f x 为奇函数，又()231cos 0f x x x =+-≥'，所以()f x 在R 上单调递增；由()()220f tf t +-≤得()()22f t f t ≤-，∴22tt ≤-；解得21t -≤≤，故实数t 的取值范围为[]2,1-.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，不等式的解法，注意函数的定义域． 三、解答题（共70分）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b ﹣c )cos A ＝a cos C ． （1）求角A ；（2）若a =，b +c ＝5，求△ABC 的面积．【答案】(1) A 3π=．(2)【解析】 【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有()sin sin B A C =+，完成化简并计算出A 的值；（2）利用A 的值以及余弦定理求解出bc 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出△ABC 的面积.【详解】（1）在三角形ABC 中，∵(2b ﹣c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得：(2sin B ﹣sin C )cos A ＝sin A cos C ，化为：2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ＝sin(A +C )＝sin B ， sin B ≠0，解得cos A 12=，()0,A π∈， ∴A 3π=．（2）由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∵a 13=，b +c ＝5，∴13＝(b +c )2﹣3cb ＝52﹣3bc ，化为bc ＝4， 所以三角形ABC 的面积S 12=bc sin A 12=⨯433⨯=． 【点睛】本题考查解三角形的综合运用，难度一般.（1）解三角形的问题中，求解角的大小时，要注意正、余弦定理的选择，同时注意使用正弦定理时要注意是否满足齐次的情况；（2）注意解三角形时的隐含条件A B C π++=的使用.18.已知圆()22:15C x y +-=，直线():10l mx y m m R -+-=∈．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长． 【答案】(1)直线l 与圆C 必相交 (2)．【解析】 【分析】（1）判断直线过定点()1,1A ，利用点与圆的位置关系即可判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）根据直线l 的倾斜角为120，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦AB 的长. 【详解】(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1，1)， 又＝1<，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交．(2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ，又k ＝tan 120°＝－，即m ＝－． 此时，圆心C (0，1)到直线l ： x ＋y －－1＝0的距离d ＝＝，又圆C 的半径r ＝，所以|AB |＝2＝2＝．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题，属于中档题. 已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ；（2）点斜式()00,y y k x x -=+直线过定点()0,0x .19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，123n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3()n n a n *=∈N ； （2）1(1)33n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得13n na a +=，进而求出数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）∵123n n S a +=-，()*n N ∈，①.∴当1n =时，1223a a =- ，即29a =； 当2n ≥时，123n n S a -=-，② 由①—②可得12n n n a a a +=-，即13n na a +=，又21933a a ==， ∴数列{}n a 是以3为首项和3为公比的等比数列， 故()*3nn a n N =∈.（2）由（1）知()213nn b n =-.则()()231133353233213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，③ 则()()234+13133353233213n n n T n n =⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，④，由③—④得()231-232333213n n n T n +⎡⎤=++++--⋅⎣⎦()119-3=3+221313n n n ++⨯--⋅- ()16223n n +=---⋅，故()1133n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，利用错位相减法求和，属中档题.20.将正方形BCED 沿对角线CD 折叠，使平面ECD ⊥平面BCD .若直线AB ⊥平面BCD ，2BC =.（1）求证：直线//AB 平面ECD ； （2）求三棱锥E ACD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（222【解析】 【分析】（1）取CD 中点为M ，连结EM ，BM ，则EM CD ⊥，从而EM ⊥平面BCD ，进而直线//AB 直线EM ，由此能证明直线//AB 平面ECD ．（2）推导出BM CD ⊥，BM ⊥平面ECD ，点A 到平面ECD 的距离等于点B 到平面ECD 的距离，从而E ACD A ECD B ECD V V V ---==．由此能求出三棱锥E ACD -的体积． 【详解】（1）证明：取CD 中点M ，连结EM ，BM ， CE ED =，EM CD ∴⊥，又平面ECD ⊥平面BCD ，平面ECD 平面BCD CD =，EM ⊂平面ECD ，EM ∴⊥平面BCD ，直线AB ⊥平面BCD ，∴直线//AB 直线EM ，又EM ⊂平面ECD ，AB ⊂/平面ECD ，∴直线//AB 平面ECD ．（2）解：原四边形BCED 为正方形，M 为CD 中点，BM CD ∴⊥，又平面ECD ⊥平面BCD ，平面ECD平面BCD CD =，BM ⊂平面ECD ，BM ∴⊥平面ECD ．由于ECD 为等腰直角三角形，所以2ECD S ∆=， 又2BM =，112222333B ECD ECD V BM S -∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 由（1）可知，点A 到平面ECD 的距离等于点B 到平面ECD 的距离， 223E ACD A ECD B ECD V V V ---∴===．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P （1，32）为椭圆上一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点C （0，1）且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1=2k 2，求直线l 斜率的值．【答案】(1)22143x y +=;(2)32【解析】 【分析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a =2c，进而可得b =，则椭圆的标准方程为2222143x y c c+=，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y =kx +1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k 2）x 2+8kx -8=0，由根与系数的关系分析，：122834kx x k +=-+，122834x x k=-+，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得22883101203434k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即12k 2-20k +3=0，解可得k 的值，即可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a =2c ．又∵a 2=b 2+c 2，∴b =．∴椭圆的标准方程为：2222143x y c c+=．又∵点P （1，32）为椭圆上一点，∴22914143c c +=，解得：c =1． ∴椭圆的标准方程为：22143x y +=．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +1． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．联列方程组：221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：（3+4k 2）x 2+8kx -8=0． ∴由韦达定理可知：122834k x x k +=-+，122834x x k=-+． ∵1112y k x =+，2212y k x =-，且k 1=2k 2，∴1212222y y x x =+-，即221222124(2)(2)y y x x =+-．①又∵M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）椭圆上，∴()2211344y x =-，()2222344y x =-．② 将②代入①可得：()211242222x x x x +-=+-，即3x 1x 2+10（x 1+x 2）+12=0．∴22883101203434k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即12k 2-20k +3=0． 解得：16k =或32k ．又由k ＞1，则32k． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题． 22.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数． （1）若直线y x e2=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1+∞，上有两个零点．求实数b 的取值范围．【答案】(1) 1a = (2) 11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）设切点()00,x y ， 由题意得000012,2ln a e x ex x a xe e ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可得结果；（2）函数()()ln x g x f x b x =-+在[)1+∞，上有两个零点等价于，函数ln ln x x y x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点，设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->，利用导数可得函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e =，结合1(1)h e=-，()323313h e e e e =+-<-，从而可得结果.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()a x aef x e x ex +'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为y x e 2=.由题意得000012,2ln a e x e x x a x ee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1. （2）当1a =-时，()ln x f x x e =-，则11()x ef x e x ex-'=-=， 由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ，所以ln ()ln x xg x x b e x=--+，(0)x >， 由已知可得函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点， 设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->， 则211ln 1()x h x x x e -'=+-22ln ex e e x x ex+--=， 令2()ln x ex e e x x ϕ=+--，22()2e ex e x x e x x xϕ--'=--=，由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<， 即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， 则函数()h x 在(0,)e 上为增函数，在(,)e +∞上为减函数， 所以，函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e=， 又1(1)h e =-，()322331341h eee e e=+-<-<-<-，所以，当函数()g x 在[1,)+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e-<， 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.。
