江苏省大丰市新丰中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题【带答案】

2019—2020学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则a,c 的位置关系为()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面2.已知直线l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0 与l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则k 的值是()A.1 或3B.1 或C.3 或D.1 或23.圆锥的底面半径为1，高为3 ，则圆锥的表面积为()A.B.2C.3D.44.在直线3x-4y-27=0 上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为()A.(5,-3)B.(9,0)C.(-3,5)D.(-5,3)5.若圆C1:x2+y2=1 与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则m=()A.21B.19C.9D.-116.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm37.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.6铜陵市一中期中考试第1页,共9页8.正四面体ABCD 中，E、F 分别是棱BC、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为（）9.垂直于直线y=x+1 且与圆x2+y2=4 相切于第三象限的直线方程是(A.x+y+22=0 B.x+y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y-2 2=010.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1 的线段PQ 在棱AA1上移动,长为3 的线段MN 在棱CC1上移动,点R 在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQMN 的体积是()A.12B.10C.6D.不确定11.已知A(-2,0),B(0,2),实数k 是常数,M,N 是圆x2+y2+kx=0 上两个不同点,P 是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果点M,N 关于直线x-y-1=0 对称,则△P AB 面积的最大值是()A.3-2B.4C.3+2D.612.设圆C : x2 y2 3，直线l : x3y 6 0 ，点P x0, y0l ，若存在点Q C ，使得OPQ 60（O 为坐标原点），则x0的取值范围是())铜陵市一中期中考试第2页,共9页填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分.把答案填在题中的横线上)二、解答题(本大题共6 小题,共70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10 分)已知直线l : y 3x3.(1)求点P 4,5关于直线l的对称点坐标；(2)求直线l关于点P 4,5对称的直线方程.18.(本小题满分12 分)如图,AA1B1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于A,B 的一点,AA1=AB=2.(1)求证:平面A1AC⊥平面BA1C;(2)求1-鏸ୋ的最大值.铜陵市一中期中考试第3页,共9页铜陵市一中期中考试 第 4页,共 9 页19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP ⊥平面 PCD ,AD ∥BC ,AB=BC= AD ,E ,F 分别为线段 AD ,PC 的中点.求证: (1)AP ∥平面 BEF ;(2)BE ⊥平面 P AC.20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M (0,-2),N (3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程;(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A ,B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P (2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,P A ⊥底面 ABCD ,P A=AB=2,E 为 P A 的中点. (1)求证:PC ∥平面 EBD ;(2)求三棱锥 C-P AD 的体积 V C-P AD ;(3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ⊥平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知以点 C (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A ,与 y轴交于点 O 和点 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M ,N ,若 OM=ON ,求圆 C 的方程.1 2铜陵市一中期中考试 第 5页,共 9 页数学答案13. 1 14.2=x 或01043=+-y x 15. 0412322=--++y x y x 16.π617. (1)()7,2- ----------------------5分 (2)173-=x y ----------------------10分18.(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A ,B 的一点,且AB 为底面圆的直径,∴BC ⊥AC.又AA 1⊥底面ABC ,∴BC ⊥AA 1, 又AC ∩AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC. 又BC ⊂平面BA 1C ,∴平面A 1AC ⊥平面BA 1C. ----------------------6分(2)解：在Rt △ACB 中,设AC=x ,∴BC=√AB 2-AC 2=√4-x 2(0<x<2),∴V A 1-ABC =13S △ABC ·AA 1=13·12AC ·BC ·AA 1=13x√4-x 2=13√x 2(4-x 2)=13√-(x 2-2)2+4(0<x<2).∵0<x<2,∴0<x 2<4.铜陵市一中期中考试 第 6页,共 9 页∴当x 2=2,即x=√2时,V A 1-ABC 的值最大,且V A 1-ABC 的最大值为23. ----------------------12分19.证明：(1)设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.因为E 为AD 的中点,AB=BC=12AD ,AD ∥BC , 所以AE ∥BC ,AE=AB=BC , 所以O 为AC 的中点.又在△P AC 中,F 为PC 的中点,所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF ,所以AP ∥平面BEF . ----------------------6分 (2)由题意知,ED ∥BC ,ED=BC , 所以四边形BCDE 为平行四边形, 所以BE ∥CD.又AP ⊥平面PCD ,所以AP ⊥CD ,所以AP ⊥BE. 因为四边形ABCE 为菱形,所以BE ⊥AC. 又AP ∩AC=A ,AP ,AC ⊂平面P AC ,所以BE ⊥平面P AC. ----------------------12分20.解：(1)设圆C 的方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,{-D2-E +1=0,4-2E +F =0,10+3D +E +F =0,则有{D =-6,E =4,F =4.故圆C 的方程为x 2+y 2-6x+4y+4=0. ----------------------6分 (2)设符合条件的实数a 存在,因为l 垂直平分弦AB ,故圆心C (3,-2)必在l 上,所以l的斜率k PC=-2.,k AB=a=-1k PC. ----------------------8分所以a=12把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).∉(-∞,0),由于12故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB. ----------------------12分21.(1)证明：设AC,BD相交于点F,连接EF,∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,∴F为AC的中点,又∵E为P A的中点,∴EF∥PC.又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,∴PC∥平面EBD. ----------------------4分(2)解：∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD是边长为2的正三角形,又∵P A⊥底面ABCD,铜陵市一中期中考试第7页,共9页∴P A为三棱锥P-ACD的高,∴V C-P AD=V P-ACD=13S△ACD·P A=13×√34×22×2=2√33. ----------------------8分(3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥P A.∵AC∩P A=A,∴BD⊥平面P AC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2√2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2√2-x)2,解得x=3√22<2√2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为3√22. ----------------------12分22.(1)证明：∵圆C过原点O,∴OC2=t2+4t2.设圆C的方程是(x-t)2+(y-2t )2=t2+4t2,令x=0,得y1=0,y2=4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=12OA·OB=12×|4t|×|2t|=4,即△OAB的面积为定值. ----------------------6分铜陵市一中期中考试第8页,共9页(2)解：∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=12.∴2t =12t,解得t=2或t=-2. ----------------------8分当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=√5,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=√5<√5,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=√,此时C到直线y=-2x+4的距离d=√5>√5.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12分铜陵市一中期中考试第9页,共9页。

江苏省大丰区新丰中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题数学一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)1. 若向量(1,0,z )与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则z=( )A.0B.1C.-1D.22.设a R ∈，则 1a > 是11a< 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．274.下列函数中，最小值为4的是 （ ） A.4y x x =+B.4sin sin y x x=+ (0)x π<< C.e 4e x x y -=+D.3log 4log 3x y x =+5.以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.=1B.=1 C.=1D.=16.点F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b 的左、右焦点，点B 为该双曲线虚轴的一个端点，若∠F 1BF 2＝120°，则双曲线的离心率为 （ ） A.62 B. 3 C. 233D. 327.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项8．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元 B ．10×(1.15－1)a 亿元 C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元9. 已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－3210.设x ，y ∈R，a ＞1，b ＞1.若a x＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.1211.直线l 的方程为y=x+3,P 为l 上任意一点,过点P 且以双曲线12x 2-4y 2=3的焦点为焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=112．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( )A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)＝0D ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)<0二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上)13.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为________．14. 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________． 15. 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．16.若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b.其中正确的不等式的序号为______．三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)⑴已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，解关于x 的不等式101bx ax -≥-； ⑵已知函数16(),22f x x x x =+≠-，求()f x 的值域.18．(本小题满分12分)已知p ：函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，实数m 满足不等式f (m ＋1)<f (3－2m )；q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，m ＝sin 2x －2sin x ＋1＋a .若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.20. (本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.21．(本小题满分12分)在四棱锥V ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD . (1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A ­VD ­B 的平面角的余弦值.22．(本小题满分12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交6于点D.若△APD的面积为2，求直线AP的方程．一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)AABCD ABABC AA二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上) 13. 120 14. (－∞，－2) 15. 32 16. ①④⑥三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 解（1）127,121=-=b a ⎥⎦⎤ ⎝⎛-712,12（2）(][)∞+∞，，106--18．[解] 设p ，q 所对应的m 的取值集合分别为A ，B .对于p ，由函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞03－2m ＞0m ＋1＞3－2m，解得23＜m ＜32，即A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.对于q ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得sin x ∈[0,1]，m ＝sin 2x －2sin x ＋a ＋1＝(sin x －1)2＋a ，则当sin x ＝1时，m min ＝a ；当sin x ＝0时，m max ＝a ＋1，即B ＝[a ，a ＋1]． 由p 是q 的充分条件，可得A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23，32≤a ＋1，解得12≤a ≤23.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23.19. 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项和最大.20.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立. ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1].(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a ).21．[解] 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)． (1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)． ∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32.∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0， ∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos〈EA →，EB →〉＝EA →·EB→|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217.22．[解] (1)设点F 的坐标为(－c,0)．依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62， 故12·6m 23m 2＋2·2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0， 解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。

高二数学（理）一、填空题：(每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上．)1. 设集合{}{}1,3A x x B x x =>-=≤,则A B ⋂=____________.2．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤, 则p ⌝为 .3．已知,a ∈R 则“2a >”是“22a a >”的 条件.4．.若b a >，则b a 22>”的否命题为 ． 5．若3x >-，则23x x ++的最小值为 6.已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集为{}23x x <<，则不等式210bx ax --<的解集为_______________________7. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则7S = 。

8.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =9.在等比数列{}n a 中，若12435460,225a a a a a a a >++=，则35a a += 。

10.数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1，其前n 项和n S 为 11.已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，且有n n S n +=2，则数列}{n a 的通项n a =__________12.在ABC ∆中,若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是13．函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 14、已知命题p ：()13x f x a =-⋅在(]0,∞-∈x 上有意义，命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6题，共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且5,3,sin 2sin a b C A ===．（1）求边c 的值； （2）求sin(2)3A π-的值．16. （本小题满分14分） 在△ABC 中，∠A= 60，b 、c 是方程0322=+-m x x 的两个实数根，△ABC 的面积为23。

2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析(I)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是__________．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为__________命题．（填“真”、“假”）3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于__________．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的__________条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__________．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为__________．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是__________．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为__________．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c （c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=__________．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为__________．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下__________滴．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题．（填“真”、“假”）【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑；推理和证明．【分析】写出原命题的逆命题，再由不等式的基本性质，判断真假，可得答案．【解答】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜bam2＜bm2，则am2＜bm2”，当m=0时，显然不成立，故为假命题；故答案为：假【点评】本题考查的知识点是四种命题，不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），可得，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的必要不充分条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2＜1⇔﹣1＜x＜1推不出0＜x＜1，由0＜x＜1⇒x2＜1，∴“x2＜1”是“x＜1”的必要不充分，故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是l∥A1C1．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理，公理逐个进行判断即可．【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系．是对课本定理，公理以及推论的考查，是基础题．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意把|AF|用含有a，b的代数式表示，结合|AF|=c列式得到关于a，c的方程，转化为关于e的方程得答案．【解答】解：如图，由+=1（a＞b＞0），得，∴，取x=c，可得，∵|AF|=c，∴|AF|2=，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，即e4﹣3e2+1=0，解得（舍）或，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的应用，是基础的计算题．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程求出焦距，利用双曲线的定义和余弦定理能求出∠F1PF2．【解答】解：由，得a2=9，b2=16，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=6，∴，∵|PF1||PF2|=64，∴，∴cos∠F1PF2==，∴∠F1PF2=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线是几何性质，考查双曲线的定义，注意余弦定理的合理运用，是中档题．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆方程设出x=3cosθ，y=sinθ，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值．【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．∴最大值为3．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下75滴．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积=156πcm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，∴156π=×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．故答案为：75．【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若p为真命题，根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，得到p与q一真一假，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，故p为真命题时a的取值范围为[0，3]．（2）故q为真命题时a的取值范围为由题意得，p与q一真一假，从而当p真q假时有a无解；当p假q真时有∴．∴实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AB ∥CD ，利用直线与平面平行的判定定理证明AB ∥平面CDE ． （2）证明CD ⊥平面ADE ，CD ⊥DE ．通过体积转化V D ﹣ACE =V A ﹣CDE ．求解即可． 【解答】证明：（1）正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以AB ∥平面CDE ．（2）因为AE ⊥平面CDE ，AD 与平面CDE 所成角为30°∴∠ADE=30°∴AE=1 因为AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以AE ⊥CD ，又正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AE ∩AD=A ，AE ，AD ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥平面ADE ，又DE ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥DE ． ∵． ∴．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．17．（14分）已知命题p ：点M （1，3）不在圆（x+m ）2+（y ﹣m ）2=16的内部，命题q ：“曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题s ：“曲线表示双曲线”．（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围；（2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假． 【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑． 【分析】（1）分别求出p ，q 为真时的m 的范围，根据“p 且q ”是真命题，得到关于m 的不等式组，解出即可；（2）先求出s 为真时的m 的范围，结合q 是s 的必要不充分条件，得到关于t 的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若p 为真：（1+m ）2+（3﹣m ）2≥16 解得m ≤﹣1或m ≥3， 若q 为真：则解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4 若“p 且q ”是真命题， 则，解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4； （2）若s 为真，则（m ﹣t ）（m ﹣t ﹣1）＜0， 即t ＜m ＜t+1，由q 是s 的必要不充分条件， 则可得{m|t ＜m ＜t+1}{m|﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，﹣1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，…∴，∴，…所以椭圆C的标准方程是．…（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…设A（x0，y0），则，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；…当A为时，k BF=﹣1，k AF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CE∥DF，即可证明CE∥平面ADP；（2）证明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可证明平面PAD⊥平面PAB；（3）存在，．取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ⊥平面ABCD，即可得出结论．【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且∵CD∥AB，且，∴EF∥CD，且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF∵DF⊂平面ADP，CE⊂平面ADP，∴CE∥平面ADP（2）证明：由（1）可得CE∥DF∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD∴AB⊥平面PBC又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PBC，∴CE⊥平面PAB∵CN∥DF，∴DF⊥平面PAB又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB；（3）解：存在，．证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，∴∥OP．∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，∵PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，∵NQ⊂平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．。

数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)1. 若向量(1,0,z )与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则z=( )A.0B.1C.-1D.22.设a R ∈，则 1a > 是11a< 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．274.下列函数中，最小值为4的是 （ ） A.4y x x =+B.4sin sin y x x=+ (0)x π<< C.e 4e x x y -=+D.3log 4log 3x y x =+5.以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=16.点F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点B 为该双曲线虚轴的一个端点，若∠F 1BF 2＝120°，则双曲线的离心率为 （ ） A.623233D. 327.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项8．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( ) A ．11×(1.15－1)a 亿元B ．10×(1.15－1)a 亿元C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元9. 已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－3210.设x ，y ∈R，a ＞1，b ＞1.若a x＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.1211.直线l 的方程为y=x+3,P 为l 上任意一点,过点P 且以双曲线12x 2-4y 2=3的焦点为焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=112．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( )A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)＝0D ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)<0二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上)13.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为________． 14. 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________．15. 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．16.若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)⑴已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，解关于x 的不等式101bx ax -≥-； ⑵已知函数16(),22f x x x x =+≠-，求()f x 的值域.18．(本小题满分12分)已知p ：函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，实数m 满足不等式f (m ＋1)<f (3－2m )；q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，m ＝sin 2x －2sinx ＋1＋a .若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.20. (本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.21．(本小题满分12分)在四棱锥V ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD . (1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A ­VD ­B 的平面角的余弦值.22．(本小题满分12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．高二数学试题答案一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)AABCD ABABC AA二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上)13. 120 14. (－∞，－2) 15. 32 16. ①④⑥三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 解（1）127,121=-=b a ⎥⎦⎤ ⎝⎛-712,12（2）(][)∞+∞，，106--Y18．[解] 设p ，q 所对应的m 的取值集合分别为A ，B .对于p ，由函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞03－2m ＞0m ＋1＞3－2m，解得23＜m ＜32，即A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.对于q ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得sin x ∈[0,1]，m ＝sin 2x －2sin x ＋a ＋1＝(sin x －1)2＋a ，则当sin x ＝1时，m min ＝a ；当sin x ＝0时，m max ＝a ＋1，即B ＝[a ，a ＋1]． 由p 是q 的充分条件，可得A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23，32≤a ＋1，解得12≤a ≤23.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23.19. 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项和最大.20.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立. ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1].(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a ).21．[解] 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)． (1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)． ∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32. ∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0， ∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos〈EA →，EB →〉＝EA →·EB→|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217.22．[解] (1)设点F 的坐标为(－c,0)．依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62， 故12·6m 23m 2＋2·2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0， 解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。

大丰区新丰中学2019-2020学年第二学期期中考试高二数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列求导结果正确的是( ) A.()2112x x '-=-B.3(3x x '=C.()sin 60cos60︒︒'=-D.()33ln xx'= 【参考答案】D 【试题解答】根据导数的求导法则求解即可.()212x x '-=-;33232x x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭;()3sin 600︒''==⎝⎭;()()33313ln x x x x ''== 故选:D本题主要考查了求函数的导数,属于基础题.2.已知复数z 满足(3443i z i -=+）,则z 的虚部为( ) A.-4 B.45- C . 4D.45【参考答案】D 【试题解答】试题解析:设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-2243435i +=+=∴345{340a b b a +=-=,解得45b = 考点:本题考查复数运算及复数的概念点评:解决本题的关键是正确计算复数,要掌握复数的相关概念3.曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程为( )A.34y x =-B.45y x =-C.43y x =-+D.32y x =-+【参考答案】D 【试题解答】试题分析:由曲线y ＝x 3－3x 2＋1,所以,曲线在点处的切线的斜率为:,此处的切线方程为:,即.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.点评:本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率,正确利用直线的点斜式方程,考查计算能力.4.7(1)x +的展开式中2x 的系数是( ) A.42B.35C.28D.21【参考答案】D 【试题解答】试题分析:2x 的系数为2721C =.故选D.考点:二项式定理的应用.5.三位老师和三位学生站成一排,要求任何两位学生都不相邻,则不同的排法种数为( ) A.72B.144C.36D.12【参考答案】B 【试题解答】根据题意利用插空法进行排列,先排三位老师,再将三位学生插进老师形成的四个空中,即可求解.解:因为要求任何两位学生不站在一起, 所以可以采用插空法,先排3位老师,有33A 种结果,再使三位学生在教师形成的4个空上排列,有34A 种结果,根据分步计数原理知共有3334144A A ⋅=种结果.故选:B.本题考查排列组合的综合运用:利用插空法求解不相邻问题,不相邻问题插空处理的策略: 先排其他元素,再将不相邻元素插入到其他元素形成的空档中.6.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则(4)P ξ≤等于( ) A.19B.536C.16D.14【参考答案】C 【试题解答】分别计算出(2),(3),(4)P P P ξξξ===,即可得出答案.(4)(2)(3)(4)P P P P ξξξξ≤==+=+=12361363636366=++== 故选:C本题主要考查了古典概型求概率问题,属于基础题.7.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰好有6个白球的概率为( )A.46801010100C C C ⋅ B.64208001010C C C ⋅ C.46208001010C C C ⋅ D.64801010100C C C ⋅ 【参考答案】C 【试题解答】根据古典概型的概率公式求解即可.从袋中任取10个球,共有10100C 种,其中恰好有6个白球的有468020C C ⋅种即其中恰好有6个白球的概率为46208001010C C C ⋅故选:C本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.8.某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A 层班级,生物在B 层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有( )A.8种B.10种C.12种D.14种【参考答案】B 【试题解答】由课程表可知:物理课可以上任意一节,生物课只能上第2、3节,政治课只能上第1、3节,而自习课可以上任意一节.故以生物课(或政治课)进行分类,再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.由课程表可知:物理课可以上任意一节,生物课只能上第2、3节,政治课只能上第1、3、4节,而自习课可以上任意一节.若生物课排第2节,则其他课可以任意排,共有336A =种不同的选课方法.若生物课排第3节,则政治课有12C 种排法,其他课可以任意排,有22A 种排法,共有12224C A =种不同的选课方法.所以共有6410+=种不同的选课方法. 故选:B .本题考查两个计数原理,考查排列组合,属于基础题.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下面是关于复数21iz =-+(i 为虚数单位)的命题,其中真命题为( ) A.||2z =B.22z i =C.z 的共轭复数为1i +D.z 的虚部为1-【参考答案】BD 【试题解答】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --,整理为复数的一般形式,由复数的基本知识进行判断即可. 解:22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--, ||z ∴=错误;22i z =,B 正确;z 的共轭复数为1i -+,C 错误; z 的虚部为1-,D 正确.故选:BD.本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念,属于基础题.10.关于32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式,下列结论正确的是( ) A.所有项的二项式系数和为32 B.所有项的系数和为0C.常数项为20-D.二项式系数最大的项为第3项【参考答案】BC 【试题解答】首先将二项式变形为61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再根据二项式展开式的相关性质计算可得;解:因为3223261112x x x x x x ⎡⎤=-=-⎢⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎝⎝⎣⎦⎭⎥⎥所以二项式系数和为6264=,令1x =代入得0,即所有项的系数和为0;因为61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()66216611rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令620r -=得3r =,所以常数项为()336120C -=-,二项式系数最大为36C ,为第4项;综上可知,正确的有BC 故选:BC.本题考查二项式展开式的系数和、二项式系数和及二项式系数最大项,属于中档题. 11.有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N ,则下列等式能成为N 的算式是( ).A.5141376C C C -;B.23324157676767C C C C C C C +++;C.514513766C C C C --;D.23711C C ;【参考答案】BC 【试题解答】利用直接法、间接法,即可得出结论. 解:13名医生,其中女医生6人,男医生7人.利用直接法,2男3女:2376C C ;3男2女:3276C C ;4男1女:4176C C ;5男:57C ,所以23324157676767N C C C C C C C =+++;利用间接法:13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即514513766N C C C C =--;所以能成为N 的算式是BC. 故选:BC.本题考查利用数学知识解决实际问题,考查组合知识的运用,属于中档题. 12.关于函数()2ln f x x x=+,下列判断正确的是( ) A.2x =是()f x 的极大值点 B.函数yf xx 有且只有1个零点C.存在正实数k ,使得()f x kx >成立D.对任意两个正实数1x ,2x ,且12x x >,若()()12f x f x =,则124x x +>.【参考答案】BD 【试题解答】A .求函数的导数,结合函数极值的定义进行判断B .求函数的导数,结合函数的单调性,结合函数单调性和零点个数进行判断即可C .利用参数分离法,构造函数g (x )22lnx x x=+,求函数的导数,研究函数的单调性和极值进行判断即可D .令g (t )＝f (2+t )﹣f (2﹣t ),求函数的导数,研究函数的单调性进行证明即可 A .函数的 的定义域为(0,+∞),函数的导数f ′(x )22212x x x x-=-+=,∴(0,2)上,f ′(x )＜0,函数单调递减,(2,+∞)上,f ′(x )＞0,函数单调递增, ∴x ＝2是f (x )的极小值点,即A 错误;B .y ＝f (x )﹣x 2x =+lnx ﹣x ,∴y ′221x x =-+-1222x x x -+-=＜0,函数在(0,+∞)上单调递减,且f (1)﹣12=+ln 1﹣1＝1>0,f (2)﹣21=+ln 2﹣2＝ ln 2﹣1<0,∴函数y ＝f (x )﹣x 有且只有1个零点,即B 正确;C .若f (x )＞kx ,可得k 22lnx x x +＜,令g (x )22lnx x x =+,则g ′(x )34x xlnxx -+-=, 令h (x )＝﹣4+x ﹣xlnx ,则h ′(x )＝﹣lnx ,∴在x ∈(0,1)上,函数h (x )单调递增,x ∈(1,+∞)上函数h (x )单调递减, ∴h (x )⩽h (1)＜0,∴g ′(x )＜0, ∴g (x )22lnxx x=+在(0,+∞)上函数单调递减,函数无最小值, ∴不存正实数k ,使得f (x )＞kx 恒成立,即C 不正确;D .令t ∈(0,2),则2﹣t ∈(0,2),2+t ＞2,令g (t )＝f (2+t )﹣f (2﹣t )22t =++ln (2+t )22t ---ln (2﹣t )244t t =+-ln 22tt+-, 则g ′(t )()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)t t t t t t t t t t t t t ----++---=+⋅=+=-+----＜0, ∴g (t )在(0,2)上单调递减,则g (t )＜g (0)＝0, 令x 1＝2﹣t ,由f (x 1)＝f (x 2),得x 2＞2+t , 则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4, 当x 2≥4时,x 1+x 2＞4显然成立,∴对任意两个正实数x 1,x 2,且x 2＞x 1,若f (x 1)＝f (x 2),则x 1+x 2＞4,故D 正确 故正确的是BD , 故选:BD .本题主要考查命题的真假判断,涉及函数的单调性和极值,函数零点个数的判断,以及构造法证明不等式,综合性较强,运算量较大,有一定的难度. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()()100111x a a x +=+-()()21021011a x a x +-+⋅⋅⋅+-,则8a =__________. 【参考答案】180 【试题解答】()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦,()()100111x a a x +=+-()()2102101...1a x a x +-++-,()288102180a C ∴=⋅-=,故答案为180.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.14.4位学生和1位老师站成一排照相,若老师站中间,男生甲不站最左端,男生乙不站最右端,则不同排法的种数是_____. 【参考答案】14 【试题解答】需要分两类,第一类,男生甲在最右端,第二类,男生甲不在最右端,根据分类计数原理可得出结论.解:第一类,男生甲在最右端,其他人全排,故有336A =种,第二类,男生甲不在最右端,男生甲有两种选择,男生乙也有两种选择,其余2人任意排,故有1122228A A A =种,根据分类计数原理可得,共有6814+=种. 故答案为:14.本题考查分类计数原理,关键是分类,属于基础题.15.设函数32()f x x ax =+,若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0x y +=,则实数a =_______. 【参考答案】2- 【试题解答】根据切点在切线上,得出(1)1f =-,根据解析式即可得出答案. 因为点(1,(1))P f 在该切线上,所以(1)1f =- 则(1)11f a =+=-,解得2a =-. 故答案为:2-本题主要考查了根据切线方程求参数,属于基础题.16.若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值范围______.【参考答案】【试题解答】因为函数在定义域的子区间()1,1k k -+上不是单调函数,所以根据题意可知函数的极值点在区间内,列出不等式,即可求解.因为f(x)定义域为(0,+∞),又f′(x)＝4x-1x, 由f'(x)＝0,得x ＝1/2.当x∈(0,1/2)时,f'(x)＜0,当x∈(1/2,+∞)时,f'(x)＞0 据题意,k-1＜1/2＜k+1,又k-1≥0, 解得1≤k＜3/2.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知复数1z mi =+(i 是虚数单位,m R ∈),且(3)z i ⋅+为纯虚数(z 是z 的共轭复数). (1)设复数121m iz i+=-,求1z ; (2)设复数20172a i z z-=,且复数2z 所对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)1z =;(2)13a >【试题解答】(1)先根据条件得到13z i =-,进而得到15122z i =--,由复数的模的求法得到结果;(2)由第一问得到2(3)(31)10a a iz ++-=,根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩,进而求解.∵1z mi =+,∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数,∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩,解得3m =-.∴13z i =-.(1)13251122i z i i -+==---,∴12z =; (2)∵13z i =-,∴2(3)(31)1310a i a a iz i -++-==-, 又∵复数2z 所对应的点在第一象限,∴30310a a +>⎧⎨->⎩,解得:13a >.如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点,则①当0a >,0b >时,点Z 位于第一象限;当0a <,0b >时,点Z 位于第二象限;当0a <,0b <时,点Z 位于第三象限;当0a >,0b <时,点Z 位于第四象限;②当0b >时,点Z 位于实轴上方的半平面内;当0b <时,点Z 位于实轴下方的半平面内.18.已知n(其中15n <,*n ∈N )的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)写出展开式中的所有有理项. 【参考答案】(1)14n =. (2)077114T C x x ==,66714T C x =,1255131491T C x x ==.【试题解答】分析:(1)利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数,利用等差数列的定义列出方程可得结果;(2)先求得展开式的通项公式,在通项公式中令x 的幂指数为有理数,求得r 的值,即可求得展开式中有理项.详解:(1)因为n(其中15n <,*n N∈)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为8n C ,9n C ,10n C .依题意得81092n n n C C C +=.可化为()()()!!!=28!810!109!9n n n n n n +⋅---！！！,化简得2373220n n -+=,解得14n =或23n =, ∵15n <,∴14n =. (2)展开式的通项1432114r r r r TC xx -+=,所以展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数, 又014r ≤≤,*r N ∈,∴0r =或6r =或12r =,∴展开式中的有理项共3项是077114T C x x ==,66714T C x =,1255131491T C x x ==.点睛:本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.. 19.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数？ ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ ④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ 【参考答案】①100800;②14400;③5760;④28800 【试题解答】①分步完成:第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目,第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目,第三步将取出的7个数进行全排列,计算可得答案;②由①的第一、二步,将3个偶数排在一起,有33A 种情况,与4个奇数共5个元素全排列,计算可得答案;③由①的第一、二步,将3个偶数排在一起,有33A 种情况,4个奇数也排在一起有44A 种情况,将奇数与偶数进行全排列计算可得答案;④由①的第一、二步,可先把4个奇数取出并排好有4454C A 种情况,再将3个偶数分别插入5个空档,有3345C A 种情况,进而由乘法原理,计算可得答案. 解:①分步完成:第一步在4个偶数中取3个,可有34C 种情况; 第二步在5个奇数中取4个,可有45C 种情况; 第三步3个偶数,4个奇数进行排列,可有77A 种情况,所以符合题意的七位数有347457100800C C A =个.②上述七位数中,三个偶数排在一起的有3453455314400C C A A =个.③上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有34342453425760C C A A A =个.④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空档,共有4454C A 334528800C A =个. 对于有限制条件的排列问题,常见方法是分步进行,先组合再排列,这是乘法原理的典型应用. 20.现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答) (1)若2位男生相邻且3位女生相邻,则共有多少种不同的排法？ (2)若男女相间,则共有多少种不同的排法？(3)若男生甲不站两端,女生乙不站最中间,则共有多少种不同的排法？【参考答案】(1)24(2)12(3)60 【试题解答】(1)相邻问题利用捆绑法; (2)若男女相间,则用插空法;(3)若男生甲不站两端,女生乙不站最中间,则利用间接法.解:(1)利用捆绑法,可得共有22322324A A A =种不同的排法;(2)利用插空法,可得共有232312A A =种不同的排法;(3)利用间接法,可得共有54135423360A A C A -+=种不同的排法.本题考查排列组合及简单的计数问题,涉及间接法和捆绑,插空等方法的应用,属于中档题. 21.把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x ,容积为(x)V . (1)写出函数(x)V 的解析式,并求出函数的定义域;(2)求当x 为多少时,容器的容积最大？并求出最大容积.【参考答案】(Ⅰ)23()23)V x a x x =-,定义域为3).(Ⅱ)3时,容器的容积最大为3154a . 【试题解答】试题分析:(Ⅰ)根据容器的高为x,求得做成的正三棱柱形容器的底边长,从而可得函数V(x)的解析式,函数的定义域;(Ⅱ)实际问题归结为求函数V(x)在区间30,6a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上的最大值点,先求V(x)的极值点,再确定极大值就是最大值即可试题解析:(Ⅰ)因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为(3)a x -则23()23)V x a x x =-.函数的定义域为).(Ⅱ)实际问题归结为求函数(x)V 在区间(0,)6a 上的最大值点. 先求(x)V 的极值点.在开区间(0,)6a 内,22'()64V x ax a =-+令'()0V x =,即令22604ax a -+=,解得12,?()186x a x ==舍去.因为1x =在区间(0,)6内,1x 可能是极值点.当10x x <<时,'()0V x >;当1x x <<时,'()0V x <.因此1x 是极大值点,且在区间)内,1x 是唯一的极值点,所以118x x ==是(x)V 的最大值点,并且最大值31()1854f a =时,容器的容积最大为3154a .考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数模型的选择与应用 22.已知函数21()ln (1),2f x a x x a x a R =+-+∈. (1)当1a =时,求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程; (2)讨论函数()f x 的单调性;(3)若对任意的(,)x e ∈+∞都有()0f x >成立,求a 的取值范围.【参考答案】(1)32y =-(2)答案见解析;(3)222(1)e e a e -≤-.【试题解答】试题分析:()1当1a =时,求出函数的导数,利用导数的几何意义即可求出曲线()y f x =在1x =处的切线方程;()2求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调性; ()3根据函数的单调性求出函数的最小值,即实数a 的取值范围.解析:(1)()221'x x f x x -+=()()3'10,12f f ==-,所求切线方程为32y =-.(2)()()()()211'x a x ax x a f x xx-++--==当1a =时,()f x 在()0,+∞递增当0a ≤时,()f x 在()0,1递减,()1,+∞递增当01a <<时,()f x 在()0,a 递增,(),1a 递减,()1,+∞递增 当1a >时,()f x 在()0,1递增,()1,a 递减,(),a +∞递增. (3)由()0f x >得()21ln 2x x a x x -<- 注意到1ln ,'x y x x y x-=-=,于是ln y x x =-在()0,1递减,()1,+∞递增,最小值为0 所以(),x e ∀∈+∞,ln 0x x ->于是只要考虑(),x e ∀∈+∞,212ln x xa x x-<- 设()212ln x xg x x x-=-,()()()()21122ln 2'ln x x x g x x x -+-=- 注意到()()222ln ,'x h x x x h x x-=+-=,于是()22ln h x x x =+-在(),e +∞递增 ()()0h x h e e >=>所以()g x 在(),e +∞递增于是()()2221e ea g e e -≤=-.。

2019-2020学年江苏省大丰市新丰中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1,4A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ）A ．{}4B ．{}3C ．{}1,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由交集定义即可得到结果 【详解】根据交集的定义可得{}4A B ⋂=, 故选：A 【点睛】本题考查集合的列举法表示,考查交集的定义,属于基础题2．函数()f x = ） A ．[2,)+∞ B ．(2,)+∞C ．[0,2)(2,)⋃+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】利用偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】函数的定义域满足020x x ≥⎧⎨-≠⎩，即为[0,2)(2,)x ∈⋃+∞．故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3．已知函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，则()f x 的值域是（ ）A ．[]0,3B ．{}1,0,3-C ．{}0,1,3D ．[]1,3-【答案】B【解析】试题分析：求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，所以2101x =--，，，；对应的函数值分别为：0103-，，，；所以函数的值域为：{}1,0,3-故答案为B ．【考点】函数值域 4．已知函数f(x)＝221,1{?1log ,1x x x x -≤+>，则函数f(x)的零点为( )A ．12，0 B ．－2,0C ．12D ．0【答案】D【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0，故选D. 5．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．21y x =-+C ．1y x =+D ．1y x=【答案】C【解析】对四个选项逐一分析奇偶性和在(0,)+∞上的单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于选项A ，33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数是奇函数，不符合题意； 选项B 是偶函数，但由于二次函数的开口向下，在(0,)+∞上单调递减.不符合题意； 选项C 是偶函数，且在(0,)+∞上是单调递增，符合题意； 选项D 是奇函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意． 故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 6．已知1335a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1453b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，3513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先将指数均整理为正数的形式,即1435b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据函数35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减可得b a >；再借助中间值1313⎛⎫ ⎪⎝⎭,由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减可得1313c ⎛⎫< ⎪⎝⎭；由函数13y x =单调递增,可得1313a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,进而c a <,故可得到a 、b 、c 的大小关系【详解】 由题,11445335b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则当35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭时,函数单调递减,11433355b a ⎛⎫⎛⎫∴=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭时,函数单调递减,31531133c ⎛⎫⎛⎫∴=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当13y x =时,函数单调递增,11331335a ⎛⎫⎛⎫∴<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即c a <c a b ∴<<故选：A 【点睛】本题考查比较指数的大小关系,需灵活利用指数函数的单调性及幂函数的单调性,比较大小时可借助中间值来处理.7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f (x )＝x 2－3x+1，则f (1)+f (0)等于（ ） A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－6【答案】C【解析】根据0x <的函数解析式以及奇函数计算()1f 的值，注意()0f 的特殊性. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()21113115f f ⎡⎤=--=----+=-⎣⎦且()00f =，所以()()105f f +=-.故选：C. 【点睛】本题考查根据函数奇偶性求值，难度较易.当奇函数在0x =处有定义时，一定要注意：()00f =.8．设奇函数f (x )满足：①f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②f (1)＝0，则不等式(x +1)f (x )>0的解集为（ ）A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】由于()()110f f =-=，故可分四段：()()()(),11,00,11,-∞--+∞、、、去考虑. 【详解】因为()f x 在()0,∞+递增且()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f <=，所以()()10x f x +<，当()1,x ∈+∞时，()()10f x f >=，所以()()10x f x +>；又因为()f x 是奇函数，所以()f x 在(),0-∞递增且()10f -=，所以当(),1x ∈-∞-时，()()10f x f <-=，所以()()10x f x +>，当()1,0x ∈-时，()()10f x f >-=，所以()()10x f x +>；综上()()10x f x +>解集为：()()(),11,01,-∞--+∞，故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性以及单调性解不等式的问题，除了可以按部就班的分析还可以通过函数的大致图象来分析问题，也就是数形结合. 9．函数2xy -=的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数过点()0,1,可排除选项A ；由当0x >时，1222xx x y --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，可排除选项,B D ，从而可得结果. 【详解】由函数的解析式得，该函数的定义域为R ，当0x =时，021y ==，即函数过点()0,1,可排除选项A ； 当0x >时，1222x xxy --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即函数在()0,∞+的图象是12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+的图象，可排除选项,B D ，故选C. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 10．设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）A ．B ．C 或D ．10【答案】A【解析】由题意可得，由等式2,5abm m ==（0m >）两边取对数，可得2511log ,log ,log 2,log 5,m m a m b m a b====，所以11log 2log 5log 102,m m m a b+=+==可得m = A. 【点睛】指数式的等式常与对数式互化把指数表示出，再进行合理运算。

大丰区新丰中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试题（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020．05一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A ，B ，C ，D 四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑． 1.310x y -+= 倾斜角的大小是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解. 310x y -+=化成斜截式为31y x =+， 因为tan 3k α==，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题. 2.点(1,2)到直线3410x y +-=的距离为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】00221025Ax By C d A B ++===+ ，答案为B 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题. 3.已知α满足1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A. 12-B.12C. 2D. 2-【答案】A【解析】 【分析】由已知利用两角和与差的正切公式计算即可．【详解】1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则11tan()1134tan =tan()14421+tan()1+43παππααπα-+-+-===-+， 故选A【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.已知直线1:310l ax y ++=与直线2:2(1)10l x a y +++=互相平行，则实数a 的值为（ ） A. ﹣3 B.35C. 2D. ﹣3或2【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行列等式，解得结果.【详解】因为直线1:310l ax y ++=与直线()2:2110l x a y +++=互相平行， 所以313211a a a =≠∴=-+，选A. 【点睛】本题考查两直线平行，考查基本求解能力，属基础题. 5.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．6.已知αβ、均为锐角，满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值．【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==cos ,sin 510αβ∴==，又cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β＝2， ∵0＜α+β＜π， ∴α+β＝4π． 故选B ．【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．7.若圆心坐标为(2,1)-的圆,被直线10x y --=截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ） A. 22(2)(1)2x y -++= B. 22(2)(1)4x y -++= C. 22(2)(1)8x y -++= D. 22(2)(1)16x y -++=【答案】B 【解析】 【分析】设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案． 【详解】由题意，设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=，则圆心到直线10x y --=的距离为d ==又由被直线10x y --=截得的弦长为，则2224r =+=， 所以所求圆的方程为22(2)(1)4x y -++=， 故选B ．【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8.如果1tan 23=α，那么cos α的值是（ ） A.35B. 45C.35D. 45-【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件求出cos2α，利用二倍角公式即可求得cos α.【详解】22sin 12tan =23cos 2sin cos 122ααααα⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，2c s 10o α=±∴，则221212104cos 2cos 5αα⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭=. 故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的关系、二倍角公式，属于基础题.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题所给的A ．B ．C ．D ．四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑． 9.下列各式中，值为2的是（ ）A. 15 15sin cos ︒︒B. 22cossin 66ππ-C. 2tan 301tan 30︒︒- D. 1cos602︒+【答案】CD 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦、正切公式计算可得结果. 【详解】因为1111sin15cos15sin 302224==⨯=，所以A 不正确； 因为22cossin 66ππ-1cos32π==，所以B 不正确； 因2tan 301tan 30︒︒-212tan 3013tan 6021tan 302=⨯==-，所以C 正确； 因为1cos602︒+11322+==，所以D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用，属于基础题.10.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D －中，E ，F 分别是11AB BC ，的中点．有下列结论，其中正确的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF 与平面11BCC B 垂直C. EF 与1C D 所成的角为45°D. //EF 平面1111D C B A【答案】AD 【解析】 【分析】过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，可得//EF MN ，所以直线EF 可转化为直线MN 来求解平行，垂直及所成角问题. 【详解】如图：正方体1111ABCD A B C D －过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ， 由题意可得//EF MN ， 因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1⊥BB MN 即1BB EF ⊥，A 选项正确；由题意可得MN 不垂直BC ，所以MN 不垂直平面11BCC B ， 即EF 不垂直平面11BCC B ，B 选项不正确； 因为11//AB C D ，连接1C B 和C A ， 所以1B AC ∠为EF 与1C D 所成的角， 因为11AC B C B A ==所以160B AC ∠=，C 选项不正确；因为//EF MN ，MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD 所以//EF 平面ABCD ，又平面1111D C B A ∥平面ABCD ， 所以//EF 平面1111D C B A ，D 选项正确； 故选：AD【点睛】本题考查了判断线线垂直，线面垂直，线面平行及线线角的求法，属于较易题. 11.已知αβ，是平面，m ，n 是直线．下列命题中正确的是（ ）A. 若//,m n m α⊥，则n α⊥B. 若//,m n ααβ=，则//m nC. 若m m αβ⊥⊥，，则//αβD. 若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．【详解】对于A 选项，若m α⊥，则取α内任意两条直线,a b ，,a b α∃⊂且ab P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 正确； 对于B 选项，若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α， 设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==， 则m n ⊥，故B 错误；对于C 选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 正确； 对于D 选项，由线面垂直的定义可得D 选项正确； 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题． 12.若圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线4325=0x y -+的距离等于1，则r 可以取值（ ） A.92B. 5C.112D. 6【答案】ABC【解析】 【分析】首先求得圆心(0,0)到直线4325=0x y -+的距离为5，从而得到若圆上恰有一个点到直线4325=0x y -+的距离等于1，则4r =或6r =，分析题意，得到结果.【详解】圆心(0,0)到直线4325=0x y -+的距离5d ==，半径为r ，若圆上恰有一个点到直线4325=0x y -+的距离等于1， 则4r =或6r =， 故当圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线4325=0x y -+的距离等于1，所以(4,6)r ∈， 故选：ABC.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，圆上点到直线距离与半径比较，属于简单题目.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13.求值：sin15sin 75+=________【解析】 【分析】15、75分别记为4530︒︒-、4530︒︒+，再利用两角和与差的正弦公式展开计算即可.【详解】原式()()sin 4530sin 4530︒︒︒︒=-++sin 45cos30cos 45sin30sin 45cos30cos 45sin30︒︒︒︒︒︒︒︒=-++2sin 45cos30︒︒==.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、特殊角的三角函数值，属于基础题.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱1,AD D D 的中点，则异面直线MN 与AC所成的角大小为______． 【答案】60︒ 【解析】 【分析】由题意连接AD 1，得MN ∥AD 1，可得∠D 1AC 即为异面直线MN 与AC 所成的角，再由△AD 1C 为等边三角形得答案． 【详解】如图，连接AD 1，由M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，得MN ∥AD 1， ∴∠D 1AC 即为异面直线MN 与AC 所成的角，连接D 1C ，则△AD 1C 为等边三角形，可得∠D 1AC ＝60°． ∴异面直线MN 与AC 所成的角大小为60°． 故答案为60°．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．15.设函数()Asin()f x x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数且A ＞0，ω＞0，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，若6()5f α=（02πα<<），则()6f πα+的值为___．433+【解析】 【分析】由函数()f x 的图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，再由()f α的值，利用三角恒等变换求出6f πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【详解】由函数()f x 的图知，2A =，由22233T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得21T πω==， ∴()()2f x sin x ϕ=+， 又222sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且22ππϕ-<<，∴6πϕ=-，∴()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()62sin 65f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴365sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又02πα<<，∴663πππα-<-<，∴4cos 65πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，∴2sin 2sin 666f πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 2cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 34122552=⨯⨯⨯ =． 【点睛】本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征求解析式以及两角和的正弦公式的应用， A 为振幅，由其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T,φ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.，16.在平面直角坐标系xOy 中，点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆22(1)(1)4x y -++=引两条切线,PC PD ，切点分别为,C D ，则直线CD 过定点，定点坐标为________． 【答案】11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】设00(,)P x y ，则004y x =+，求出CD 所在的直线方程，可得CD 所在的直线方程含有0x ，且0x 在直线AB 上，分别取任意的两个0x 的值，联立方程组，即可求得定点的坐标，得到答案.【详解】如图所示，直线AB 的方程为40x y -+=，设00(,)P x y ，则004y x =+，①又由圆22(1)(1)4x y -++=，可得圆心(1,1)-，②则圆心到点P 的中点坐标为0011(,)22x y ++，圆心到点P 的距离为d =， 则以0011(,)22x y ++为圆心，以d 为直径的圆的方程为2220011()()()222x y d x y ++-+-=，③将d 代入③得2220011()()22x y x y ++-+-=， 由②-③可得CD 的直线方程：0000(1)(1)20x x y y x y -++-+-=，因为0x R ∈，当01x =时，则05y =，代入上式，可得13y =-， 令05x =-时，则01y =-，代入上式，可得13x =， 则两直线13x =和13y =-的交点即为CD 经过的定点，定点坐标为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了圆的切线方程，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知点A(4,1),B(6,3),C(3,0)-．（1）求ABC ∆中BC 边上的高所在直线的方程；（2）求过,,A B C 三点的圆的方程．【答案】（1）3110x y --=；（2）229120x y x y ++--=【解析】【分析】（1）BC 边上的高所在直线方程斜率与BC 边所在直线的方程斜率之积为-1，可求出高所在直线的斜率，代入A(4,1)即可求出高所在直线的方程．（2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入A(4,1),B(6,3),C(3,0)-即可求得圆的方程． 【详解】（1）因为BC 所在直线的斜率为301633BC k -==---， 所以BC 边上的高所在直线的斜率为3k = 所以BC 边上的高所在直线的方程为13(4)y x -=-，即3110x y --=（2）设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=因为,,A B C 在所求的圆上，故有1614369630930D E FD F++⎧⎪+-++=⎨⎪++=⎩1912DEF=⎧⎪⇒=-⎨⎪=-⎩所以所求圆的方程为229120x y x y++--=【点睛】（1）求直线方程一般通过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率．（2）圆的一般方程为220x y Dx Ey F++++=，三个未知数三个点代入即可．18.如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．(Ⅰ)求证：FG//平面PBD；(Ⅱ)求证：BD FG⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：（1）先证明FG//PE，再证明FG//平面PBD. （2）先证明BD⊥平面PAC，再证明BD⊥FG．详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，FG//PE,FG PBD PE PBD∴⊄⊂∴平面，平面，FG||PE，又FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，所以FG||平面PBD（II）因为菱形ABCD，所以BD AC⊥，又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD PA⊥，因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA AC A⋂=，BD∴⊥平面PAC，FG ⊂平面PAC ，∴BD⊥FG .点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.19.已知α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin 2α ＋cos 2α ＝2. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35 ，β∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求cos β的值．【答案】（1）cos α=（2）cos β= 【解析】试题分析：(1)把已知条件平方可得sin α＝12,再由已知α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得cos α的值. (2)由条件可得－2π<α－β<2π, cos(α－β)＝45,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.试题解析： (1)已知sin 2α＋cos 2α＝2，两边同时平方， 得1＋2sin 2αcos 2α＝32 ，则sin α＝12.又2π<α<π，所以cos α＝－2. (2)因为2π<α<π，2π <β<π，所以－2π<α－β<2π. 又sin(α－β)＝－35 ，所以cos(α－β)＝45 . 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－2 ×45 ＋12 ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－310. 点睛: 本题考查的是三角函数式化简中的给值求值问题，看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分β=[α－(α－β)，从而正确使用公式；由条件可得－2π<α－β<2π, cos(α－β)＝45,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.20.如图，在三棱锥P ABC -中，平面ABC ⊥平面PAC ，,,AB BC E F =分别是,PA AC 的中点．求证（1）//EF 平面PBC（2）平面BEF ⊥平面PAC ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得//EF PC ，再由线面平行的判定即可得证；（2）由题意结合平面几何知识可得BF AC ⊥，由面面垂直的性质可得BF ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定即可得证.【详解】证明：（1）在APC △中，因为E ，F 分别是PA ，AC 的中点，所以//EF PC ，又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以//EF 平面PBC ；（2）因为AB BC =，且点F 是AC 的中点，所以BF AC ⊥，又平面ABC ⊥平面PAC ，平面ABC平面PAC AC =，BF ⊂平面ABC ，所以BF ⊥平面PAC ，又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC ．【点睛】本题考查了线面平行的判定与面面垂直的性质、判定，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，关键是对于空间位置关系的判定、性质的熟练应用，属于基础题.21.如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，点A 在弧PQ 上（异于点P ，Q ），过点A 作,AB OP AC OQ ⊥⊥，垂足分别为B ，C ，记AOB θ∠=，四边形ACOB 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）2sin 2sin 2,033S ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当θ为6π时，面积S 有最大值，3【解析】【分析】(1) 根据题意,利用直角三角形的边角关系和三角形的面积公式，计算△OA B 和△OAC 的面积，求和即可;(2)化函数S 为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出s 的最大值以及对应θ的值.【详解】（1）因为AB OP ⊥，所以在Rt OAB 中，sin 2sin ,cos 2cos AB OA OB OA θθθθ====，12sin cos sin 22ABO S OB AB θθθ=⨯==， 因为,3AC OQ POQ π⊥∠=，所以3AOC πθ∠=-； 同理：22sin cos sin 2333ACO S πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 从而S 关于θ的解析式为2sin 2sin 2,033ABO ACO S S S ππθθθ∆⎛⎫⎛⎫=+=+-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）化简函数2sin 2sin 23S πθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭ 22sin 2sincos 2cos sin 233ππθθθ=+- 33sin 2cos 222θθ=+ 313sin 2cos 222θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭3sin 2cos cos 2sin 66ππθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3sin 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为π0θ3，所以52666πππθ<+<， 故当262ππθ+=，即6πθ=时S 有最大值，最大值为3．答：当θ为6π时，面积S 有最大值，最大值为3． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题.22.已知圆C 经过(2,0),(1,3)A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）已知过点(1,2)P 的直线2l 与圆C 相交截得的弦长为32l 的方程；（3）已知点(1,1)M ，在平面内是否存在异于点M 的定点N ，对于圆C 上的任意动点Q ，都有QN QM为定值?若存在求出定点N 的坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1）224x y +=；（2）1x =或3450x y -+=；（3）见解析【解析】分析】(1)设出圆的一般方程，代入三个条件解得答案.(2)将弦长转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到答案. (3)设出点,Q N 利用两点间距离公式得到比值关系，设为λ，最后利用方程与N 无关得到关系式计算得到答案.【详解】（1）因为圆C 经过(2,0),A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上 设圆C ：220x y Dx EyF ++++=所以2(2)20D F --+=，2210D E F ++++=，22D E -=- 所以0D E ==，4F =-所以圆22:4C x y +=（2）当斜率不存在的时候，1x =，弦长为当斜率存在的时候，设2:2(1)l y k x -=-，即20kx y k -+-=1,43k == 所以直线2l 的方程为：1x =或3450x y -+=（3）设()00,,(,)Q x y N m n ，且22004x y +=QN QM ==因为QN QM 为定值，设220000(2)(2)4(2)(2)6m x n y m n x y λ-+-+++=-+-+ 化简得：2200(22)(22)460m x n y m n λλλ-+-+++-=，与Q 点位置无关，所以22220220460m n m n λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪++-=⎩解得：1m n ==或2m n ==所以定点为(2,2)【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查阿斯圆内容.考查了多项式恒成立问题.考查学生的分析能力、数据分析能力.。

高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个正确选项.）1.顶点在原点，焦点是()0,2F 的抛物线方程（ ） A. 28y x = B. 28x y = C. 218y x =D. 218x y =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求得答案． 【详解】由题意设抛物线的方程为22x py=()0p >，因焦点坐标为()0,2F ，则22p=， 4p ∴=，∴抛物线的方程为28x y =.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及p 的值是关键，属于基础题．2.圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积．．是（ ） 3π 3πC. 2πD.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高22213h =-=， 所以此圆锥的体积211313333V S h ππ=⋅=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.3.如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于A. ADB. FAC. AFD. EF 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算的法则计算． 【详解】BC -BD ＝DC ，11()22BC BD DC DF -==， ∴AD +12（BC -BD ）AD DF AF =+=． 故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 4.已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A. –4 B. –2 C. 4 D. 2【答案】D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.5.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，则EF 和1BC 所成的角是（ ）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A B C D -中，设正方体边长为2， 易证GEF ∠（或补角）为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在GEF ∆中，2EF =2EG =，6FG =由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=， 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．6.将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，则折后的直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值（ ）A.12B.3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，即可得到答案.【详解】将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，如图所示：在等腰直角三角形ABC 中，AD BC ⊥，易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，又BD DC =，60BDC ︒∠=， 所以DBC ∆为正三角形，故60DBC ︒∠=， 所以直线BC 与平面ABD 3故选：D.【点睛】本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题.7.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C. 【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明. 8.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2-C. 1或12D.12【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系，列出方程，即可求出．【详解】由双曲线2212x y a -=知，0a >，焦点在x 轴上，所以依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系可得，242a a -=+，解得1a =，故选A ． 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用．9.如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. ABC ∆内部【答案】A 【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A10.已知圆C 的方程为22220x x y ay ++-=，其中a 为常数，过圆C 内一点()1,2的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为20x y -=，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】将圆C ：22220x x y ay ++-=化为()()22211x y a a ++-=+，圆心坐标为()1,C a -，半径21r a =+由题意可得，过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直时，ACB ∠最小， 此时21112a -=---，即3a =. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦B. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦ C. ()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ D. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出2x x <，从而得出()()()21f xf x f <<，从而得出选项．【详解】∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由于112x <<，故2x x <，所以()()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22f xf x f x <<，故选D.【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.12.过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且32OB OA OC =+，则双曲线的离心率是（ ） 10 55 10【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程，得渐近线方程为y bx =或y bx =-，设过左顶点的直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立解得B ，C 的横坐标关于b 的式子，由32OB OA OC =+得B 为AC 的三等分点，利用向量坐标运算建立关于b 的方程并解之可得2b =，由此算出5c =即可得到双曲线的离心率.【详解】由题可知()1,0A -，所以直线l 的方程为1y x =+，因双曲线M 的方程为()22210y x b b-=>，则两条渐近线方程为y bx =或y bx =-，由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因32OB OA OC =+，又()1,0OA =-，1,11b OB b b ⎛⎫=-⎪++⎝⎭，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴311b bb b =+-，解得2b =， 在双曲线中，225c a b =+= 所以双曲线的离心率5ce a==故选：B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A 的直线相交于B ，C 两点且B 为AC 的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．二、填空题13.曲线xy e =在点()0,1处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.【答案】12【解析】 【分析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【详解】依题意得e xy '=，因此曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率01k e ==，所以相应的切线方程为1y x =+，当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-； 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为111122S =⨯⨯-=. 故答案为：12. 【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知(),P x y 是椭圆C ：2214x y +=上一点，若不等式20x y a -+≥恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】)17,⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设()2cos ,sin P θθ，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出a 的取值范围. 【详解】根据题意设()2cos ,sin P θθ，即2cos x θ=，sin y θ=，代入不等式得：()124cos sin 170tan 4x y a a a θθθϕϕ⎛⎫-+=-+=++≥= ⎪⎝⎭恒成立， 即()17a θϕ-≤+恒成立，又()1cos 1θϕ-≤+≤，17a -≤-，即17a ≥，故a 的取值范围为)17,⎡+∞⎣. 故答案为：)17,⎡+∞⎣.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题. 15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱．．．．称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的底2的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球．．．的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为2，进而可得外接球的半径2R =，即可得表面积.2的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的外接球的半径22112R =+=248S R ππ==. 故答案为：8π.【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.16.设()()2222,44m n n D m e n m n R ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭，则D 的最小值为______.21 【解析】 【分析】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中mx e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值.【详解】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中mx e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，由ln y x =的导数为1y x'=，11k x ∴=，点2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线24x y =上，又2x y '=，22x k ∴=令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，即抛物线24x y =上的点到焦点()0,1F 的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即AF AB +，如图所示：由两点之间线段最短，得1D+的最小值是点()0,1F到()lnf x x=上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则1D+就最小，即D最小，设()00,lnB x x，则000ln111xx x-⋅=--，即200ln10x x+-=，解得1x=，即()10B,∴点()0,1F到()10B,的距离就是点()0,1F到()lnf x x=上的点的距离的最小值，故1D+的最小值为2，即D的最小值为21-.故答案为：21-.【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，//AF DE，DE AD⊥.（1）求证：AD CE⊥；（2）求证：平面//ABF平面DCE.【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意可得DE AD ⊥，AD DC ⊥，从而AD ⊥平面DCE ，由此即可得证AD CE ⊥； （2）由题意可得//AB DC ，进而可得//AB 平面CDE ，又//AF DE ，即可得//AF 平面CDE ，由此即可得证平面//ABF 平面DCE .【详解】证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AD CD ⊥， 又∵DE AD ⊥，且CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴AD ⊥平面CDE ，又∵CE ⊂平面CDE ，∴AD CE ⊥.（2）∵矩形ABCD ，∴//AB CD ，又CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，∴//AB 平面CDE .又∵//AF DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE .∴//AF 平面CDE ，又ABAF A =，,AB AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面CDE .【点睛】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.已知圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，圆心C 在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线210x y -+=上，过P 点作圆C 的两条切线，分别与圆切于M 、N 两点，求四边形PMCN 周长的最小值.【答案】(1) ()()22122x y -+=+ (2) 2322【解析】 【分析】（1）由题意设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=，由题意圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，得到关于a ，r 的方程解得即可； （2）由题意得：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC =-，利用点到直线的距离即可求得答案.【详解】（1）因为圆心C 在直线2y x =-上，所以可设(),2C a a -，半径为()0r r >， 则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=；又圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，所以()()2222122111a a ra ar⎧-+-+=⎪⎨--=⎪+⎩，解得12ar=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以圆C的方程为()()22122x y-+=+. （2）由题意：四边形PMCN周长2c PM PN r=++，其中22PM PN PC==-，即PC取最小值时，此时周长最小，又因P在直线210x y-+=上，即圆心C到直线210x y-+=的距离时，PC∴的最小值为22221512PC++==+，所以周长252222322c≥-+=+，故四边形PMCN周长的最小值为2322+.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.19.2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.（注：343V R=π球，V Sh=柱，其中R为球半径，S为圆柱底面积，h为圆柱的高）（1）求胶囊中药物体积y关于x的函数关系式；（2）如何设计AD与AB的长度，使得y最大？【答案】(1) 2322253y x xπππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，250,xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2) AD为10032π-毫米，AB为255032ππ--毫米【解析】【分析】（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积y 关于x 的函数关系式； （2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案. 【详解】解：（1）由2250AB x π+=得25AB x π=-，0AB >，所以250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以药物体积()322321422525233y x x x x x ππππππ⎛⎫=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）求导得2222350'x y x x πππ=-+，令'0y =，得5032x π=-或0x =（舍），当500,32x π⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y >，y 在区间500,32π⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调增， 当5025,32x ππ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y <，y 在区间5025,32ππ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调减， 所以当5032x π=-时，y 有最大值，此时100232AD x π==-，255032AB ππ-=-，答：当AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米时，药物的体积有最大值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题． 20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11AAC C ；（2）若11CC CB =，2CA CB ==，3AB =，平面11CC B B ⊥平面ABC ，求二面角1B NC M--的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 74【解析】 【分析】（1）利用已知条件证四边形AMNP 为平行四边形即可得//MN 平面11AAC C ；（2）利用几何关系作出二面角1B NC M--的平面角，利用解三角形即可得到答案. 【详解】证明：（1）取11A C的中点，连接AP，NP，∵11C N NB=，11C P PA=，∴11//NP A B，1112NP A B =.在三棱柱111ABC A B C-中，∵11//A B AB，11A B AB=. ∴//NP AB，且12NP AB=.∵M为AB的中点，∴12AM AB=.∴NP AM=，且//NP AM.∴四边形AMNP为平行四边形.∴//MN AP，∵AP⊂平面11AAC C，MN⊄平面11AAC C，∴//MN平面11AAC C. 其他方法：（2）∵11CC CB=，N是11B C中点，∴11CN B C⊥.又∵三棱柱，∴11//BC B C，∴CN BC⊥，又∵平面11CC B B⊥平面ABC，平面11CC B B平面ABC BC=，CN⊂平面11CC B B，∴CN⊥平面ABC，又,CB CA⊂平面ABC，∴CN CB⊥，CN CA⊥，BCM∠为二面角1B NC M--的平面角，如图：在三角形CAB 中，2CA CB ==，3AB =，∴中线7CM =22273227cos 4722BCM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭∴∠==⨯⨯，故二面角1B NC M --的余弦值为74. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21.已知函数()()21ln 2f x x a b x =+-，,a b ∈R . （1）当0a =，2b =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值； （2）设1b =-，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围. 【答案】(1) 1ln2-. (2) 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当0a =，2b =时，求出函数的导数，通过函数()f x 在区间(2上单调递减；在)2,+∞上单调递增，求得最小值；（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，得到1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，从而12x x a +=-，121x x ⋅=，推出()21f x x 的表达式，记()()1ln 12x g x x x x=+>，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案. 【详解】（1）当0a =，2b =时，()212ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2'220x x x x f x x-=-=>，∴当()0,2x ∈时，()'0f x <；当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，∴()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增，∴()()min 21ln 2f x f==-.（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，∴12x x a +=-，121=x x ， ∵12x x <且1>0x ，20x >，∴21>x ，221a x x =--， ∴()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+，令()()1ln 12x g x x x x =+>，则()2'1ln 102x xg x =-++>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()112g x g >=，即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22.如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】 【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值； （2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px =-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，>0∆且121224y y pmy y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+， 联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN 的距离2241d m --=+2121MN m y y =+-，()21222163322AMNm S MN d y y m∆-=⋅⋅=-=+26t m =-，213364166416AMN t S t t t t∆==++++13281642≤=⨯+8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值.（2）∵直线l 的斜率()02126tt k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．1、在最软入的时候，你会想起谁。

大丰区新丰中学2018-2019学年度第一学期期中考试高 二 数 学 试 卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分﹒请把答案填写在答题．．纸相应位置上．．．．．．1．抛物线 24x y =的准线方程为 ． 21+=的倾斜角等于 ．3．已知圆C 的方程为2220x y x y ++-=，则它的圆心坐标为 ．4.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 ．5．过点P(－1，3)且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为 ．6. 一元二次不等式210ax bx +-＞的解集为1{|1}3x x <<，则a b += ．7．命题：2,610x R x ax ∃∈++<为假命题，则a 的取值范围是 ． 8. 如果4log log 33=+n m ，那么n m +的最小值是 ． 9.23-=a 是直线0121=-+ay x l ：和直线0)1(2=-+ay x a l ：平行的 _________条件．10. 已知正数x 、y 满足1x y +=,则141x y++的最小值是 ． 11．直线b x y +=与曲线24y x -=恰有一个交点，则实数b 的取值范围是 ． 12．.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则 ．13. 已知点)3,2(-A 为椭圆1121622=+y x 内一定点，2F 为其右焦点，M 为椭圆上一动点，则22MF AM +的最小值为 ．14.设为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ．二．简答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15．（本小题满分14分）求适合下列条件双曲线的方程：(1) 虚轴长为12，离心率为54；(2) 焦点在X 轴上，顶点间距离为6，渐近线方程为 x y 23±=16．（本小题满分14分）设{},:,08)8(,0352M x p a x a x x N x x x M ∈≤--+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=命题命题N x q ∈:.(1)的范围；”为真命题，求且时，若“当x q p a 6-=（2）若命题p 是命题q 的一个必要不充分条件，求a 的取值范围.17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为1422=+y x ，P 是该椭圆上的一个动点，F 1，F 2是椭圆的左右焦点．（1）求PF 1•PF 2的最大值． （2）求•的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，经过B （1，2）作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交y 轴正半轴于点A ，l 2交x 轴正半轴于点C ．（1）若A （0，1），求点C 的坐标；（2）试问是否总存在经过O ，A ，B ，C 四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.20.(本小题满分16分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一条准线方程为2:=x l ，离心率22=e ，过椭圆的下顶点),0(b B -任作直线1l 与椭圆交于另一点P ，与准线l 交于点Q ． （1）求椭圆的标准方程；（2）若PQ BP 2=，求直线1l 的方程；（3）以BQ 为直径的圆与椭圆及准线l 分别交于点M （异于点B ）、N ，问：MN BQ ⊥说明理由．2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分﹒请把答案填写在答题．．纸相应位置上．．．．．．1． y= -1 2．34π3．112⎛⎫- ⎪⎝⎭，4． 7 5．012=-+yx6．1 7 ．8 ．18 9．充分不必要 10．2911．(]{}222,2- 12．18 13． 10 14． 8二．简答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15．解(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0).由题意知2b＝12，ca＝54，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.………………………………………7′(2)设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ(λ>0).a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6⇒λ＝9 4；∴双曲线的标准方程为x29－y2814＝1………………………………………14′16．解：{}53>-<=x x x M 或，{}0))(8(≤+-=a x x x N ．…………………2分 （1）当6-=a 时，{}86≤≤=x x N ．若“p 且q ”为真命题，则N M x ⋂∈ ∈∴x []8,6 …………7分 （2）当8-<a 时，{}a x x N -≤≤=8，由命题p 是命题q 的必要但不充分条件，可知N 是M 的真子集， 此时符合题意 …………10分 当8->a 时，{}8≤≤-=x a x N ，要使N 是M 的真子集，须5>-a ，即58-<<-a ．…………12分 当8-=a 时，{}8=N ，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件． 因此，a 的取值范围是5-<a ． ………14分17.解：（1）由（I ）可知PF 1+PF 2=4， ∴4=PF 1+PF 2≥2，∴PF 1•PF 2≤4； ………………………………………7′ （2）由（I ）可知F 1（﹣，0），F 2（，0），设P （x ，y ），则+y 2=1，∵=（﹣﹣x ，﹣y ），=（﹣x ，﹣y ）， ∴•=（﹣﹣x ，﹣y ）•（﹣x ，﹣y ）=x 2﹣3+y 2=x 2﹣3+1﹣=x 2﹣2，又∵﹣2≤x≤2，∴•的取值范围 [-2，1]．………………14′18. 解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．所以，点C的坐标为（3，0）．………………6′（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．………………8′①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．…………10′②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．令解得，注意到k≠0，所以．此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，………………14′所以半径的最小值为．此时圆的方程为．………………16′19. 解：（1）当1a =时，11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(),12x t t =>令，2213()1()24f t t t t =++=++()+f t ∞在（1，）上单调递增，()(1)f t f ∴>，即)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞………6分故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立 所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数。

高二数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。

）．．．．．．．．．．1、在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则公差d 为 . 2、在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A=600，B =450，且a =3，则b = . 3、在ABC ∆中，若A b B a cos cos =，则ABC ∆的形状为 .4、在等差数列中，1082=+a a ，前n 项和为n S ，则9S = .5、数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =+，则该数列的前100项和为_________.6、若点)2,1(和点)1,1(在直线03=+-m y x 的两侧，则m 的取值范围为________.7、等比数列{}n a 中，已知1231237,8a a a a a a ++== ，且{}n a 为递增数列， 则4a =________.8、在等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为q ，项数为n ，则其前n 项和为_______. 9、在△ABC中，已知222a b c +=，则C=___________. 10、不等式03522>-+x x 的解集．．为________. 11、若点（a ，b ）在直线x ＋3y ＝1上，则ba82+的最小值为________.12、若实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为________.13、数列{}n a 的通项公式，211+++=n n a n 其前n 项和，23=n S ，则n =_____.14、已知不等式01222>-+-k x x 对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 二、解答题（本大题共6小题，141415151616+++++，共90分。

江苏省盐城市新丰中学2020年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当x，y满足条件| x– 1 | + | y + 1 | < 1时，变量u =的取值范围是（）（A）( –，) （B）( –，) （C）( –，) （D）( –，)参考答案：B2. 某人从2008年起，每年1月1日到银行新存入元(一年定期)，若年利率为保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（）(单位为元)A. B. C. D.参考答案：B3. 两位男生和三位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，三位女生中有且只有两位相邻，则不同排法种数是（）A.60B.48C.42D.36参考答案：B4. 已知,若,使得,则实数m 的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：A 5. 命题“对”的否定是( )（A）不（B）（C）对（D）参考答案：D6. 函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴y=x（3﹣2x）=?2x（3﹣2x）=，当且仅当x=时取等号．∴函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 已知椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为 ( )A．4B．2C．8D．参考答案：D8. 已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列各式中正确的不等式是()A．≥1 B．＋≥2 C．≥2 D．＋≤参考答案：A9. 一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编号为1～50,为了了解他们课外的兴趣,要求每班第40号学生留下来进行问卷调查,这运用的抽样方法是( )A．分层抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法参考答案：D试题分析：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号考点：系统抽样方法10. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？参考答案：解析：每个人都有通过或不通过种可能，共计有12. 已知下面各数列{a n}的前n项和S n的公式，且S n＝3n－2.则数列{a n}的通项公式是________参考答案：13. 已知a∈R，若f（x）=（x+﹣1）e x在区间（1，3）上有极值点，则a的取值范围是．参考答案：（﹣27，0）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a范围即可．【解答】解：∵f（x）=（x+﹣1）e x，∴f′（x）=（）e x，设h（x）=x3+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+a，a≥0时，h′（x）＞0在（1，3）上恒成立，即函数h（x）在（1，3）上为增函数，∵h（1）=1＞0，函数f（x）在（1，3）无极值点，a＜0时，h（x）=x3+a（x﹣1），∵x∈（1，3），h′（x）=3x2+a，令h′（x）=0，解得：a=﹣3x2，若在区间（1，3）上有极值点，只需a=﹣3x2有解，而﹣27＜﹣3x2＜0，故﹣27＜a＜0，故答案为：（﹣27，0）．14. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是______________.参考答案：略15. 在某次数字测验中，记座位号为n (n ＝1,2,3,4)的同学的考试成绩为f (n )．若f (n )∈{70,85,88,90,98,100}，且满足f (1)<f (2)≤f (3)<f (4)，则这4位同学考试成绩的所有可能有________种．参考答案：35 略16. 若复数z=m 2+m ﹣2+（m 2﹣m ﹣2）i 为实数，则实数m 的值为 ．参考答案：2或﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】由虚部为0求解关于m 的一元二次方程得答案． 【解答】解：∵复数z=m 2+m ﹣2+（m 2﹣m ﹣2）i 为实数， ∴m 2﹣m ﹣2=0， 解得：m=2或﹣1． 故答案为：2或﹣1．17. 已知点及椭圆上任意一点，则最大值为 。

江苏省盐城市大丰新丰中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，即可求出p的值．【解答】解：由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，∴p=2，故选C．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查圆与抛物线的位置关系，比较基础．2. 抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是 ( )A． B． C．D．参考答案：A3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开区间内有极大值点（）A．个 B ．个 C ．个 D ．个参考答案：B略4. 若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞b时，下列不等式成立的是（）A．e a f（a）＞e b f（b）B．e b f（a）＞e a f（b）C．e b f（b）＞e a f（a）D．e a f （b）＞e b f（a）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，求导g′（x）=；从而可判断g（x）=在R上是减函数，从而判断．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=；∵f（x）＞f′（x），∴＜0，∴g（x）=在R上是减函数，又∵a＞b，∴＜；故e a f（b）＞e b f（a），故选：D．5. 若函数在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1）上不是单调函数，在实数k的取值范围是（）（A）[1,+∞）（B）（C.）（1,2）（D）参考答案：D6. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论，则其中正确的结论的个数有（）①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可能是异面直线，所以不正确；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行，满足直线与平面垂直的性质定理，正确；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行，满足直线与平面垂直的性质定理，正确；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行，也可能相交，所以不正确；故选：C．7. 若直线a b，且直线a//平面，则直线b与平面的位置关系是（）A．b B．b//C．b或b//D．b与相交或b或b//参考答案：D8. 下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：A9. 若直线y=x+t与椭圆相交于A、B两点，当t变化时，|AB|的最大值是（）A、2B、C、D、参考答案：C10. 设为正数，且，则下列各式中正确的一个是（）A.B.C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若不等式＞对于一切非零实数均成立,则实数的取值范围是________．参考答案：（1,3）；12. 在等比数列中,,则公比.参考答案： q=-1/2或1 13.函数的单调递增区间为参考答案：14. 已知向量=（2m+1，3，m ﹣1），=（2，m ，2），且∥，则实数m 的值等于 ．参考答案：﹣2【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据向量共线得出方程组解出m ． 【解答】解：∵∥，∴=k ，∴，解得k=﹣，m=﹣2．故答案为﹣2．15. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围为 ．参考答案：0＜a≤1或a≥ 【考点】简单线性规划．【分析】画出前三个不等式构成的不等式组表示的平面区域，求出A ，B 的坐标，得到当直线x+y=a 过A ，B 时的a 值，再由题意可得a 的取值范围．【解答】解：如图，联立，解得A （）．当x+y=a 过B （1，0）时，a=1； 当x+y=a 过A （）时，a=．∴若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则0＜a≤1或a≥．故答案为：0＜a≤1或a≥．16. 在△ABC 中，若，则△ABC 的面积S 是 。