实变函数历年考试真题汇总

实变函数本科试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 实数集R上的开区间(a, b)是一个开集，这是因为它满足：A. 任意点的邻域性质B. 包含所有有理数C. 包含所有整数D. 包含所有实数答案：A2. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 空集B. (0, 1)C. 整数集ZD. 实数集R本身答案：C3. 一个函数在某点连续的充要条件是：A. 在该点导数存在B. 该点的左极限等于右极限C. 在该点的极限存在且等于函数值D. 在该点的振幅为零答案：C4. Lebesgue可测集的定义是基于：A. 开区间B. 闭区间C. 开集D. 半开半闭区间答案：A5. 如果一个实值函数在区间[a, b]上单调增加且有界，则根据Weierstrass定理，该函数必定：A. 有最大值和最小值B. 仅在有限点处不连续C. 仅在至多可数点处不连续D. 在区间[a, b]上连续答案：A6. 一个函数在某点的导数为0，这意味着该点是函数的：A. 驻点B. 极值点C. 拐点D. 渐近点答案：A7. 集合的外测度是：A. 集合所有开覆盖的体积的上确界B. 集合所有闭覆盖的体积的下确界C. 集合所有开覆盖的体积的下确界D. 集合所有闭覆盖的体积的上确界答案：A8. 如果一个函数在区间[a, b]上可积，则它的积分值：A. 必须为正B. 必须为负C. 可以是任意实数D. 必须为零答案：C9. 一个函数在某区间上一致连续的定义是：A. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值有界B. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值无界C. 函数在该区间的任意子区间上连续D. 函数在该区间的端点处的极限存在答案：A10. 根据Riemann积分的定义，如果一个函数在区间[a, b]上的积分存在，则：A. 该函数在该区间上必定连续B. 该函数在该区间上必定有界C. 该函数在该区间上必定单调增加D. 该函数在该区间上必定一致连续答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果函数f(x)在点x=c处的左极限为L，则记为______。

实变函数本科试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 实变函数论主要研究的是：A. 数学分析B. 复变函数C. 函数的实值性D. 函数的连续性答案：C2. 以下哪个命题是实变函数论中的基本定理？A. 中值定理B. 泰勒公式C. 勒贝格控制收敛定理D. 柯西-施瓦茨不等式答案：C3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于：A. 定义方式B. 积分值C. 积分对象D. 积分方法答案：A4. 若函数f在区间[a,b]上连续，则以下哪个命题一定成立？A. f在[a,b]上可积B. f在[a,b]上可微C. f在[a,b]上单调D. f在[a,b]上一致连续答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f在区间[a,b]上处处有定义，则f在[a,b]上是______的。

答案：有界2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的勒贝格积分值为______。

答案：1/33. 勒贝格积分的一个重要性质是______。

答案：可加性4. 若函数f在区间[a,b]上单调增加，则f在[a,b]上是______的。

答案：可积三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述实变函数论与复变函数论的主要区别。

答案：实变函数论主要研究实数域上的函数，关注的是函数的实值性质，如连续性、可积性等。

而复变函数论研究的是复数域上的函数，关注的是函数的解析性质，如解析延拓、复积分等。

2. 描述勒贝格积分的定义过程。

答案：勒贝格积分的定义过程首先将积分区间划分为若干子区间，然后选择每个子区间上的样本点，计算函数在这些样本点上的值与子区间长度的乘积之和，最后取这个和的极限，当这个极限存在时，就定义为函数的勒贝格积分。

3. 举例说明实变函数论在数学分析中的应用。

答案：实变函数论在数学分析中的应用非常广泛，例如在研究函数的极限性质、连续性、可微性和可积性等方面都有重要应用。

一个具体的例子是勒贝格控制收敛定理，它在处理函数序列的极限问题时非常有用，特别是在概率论和统计学中，勒贝格积分被用来定义随机变量的期望值。

实变函数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[0,1]上连续，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[0,1]上可导B. f(x)在[0,1]上可积C. f(x)在[0,1]上单调D. f(x)在[0,1]上必有最大值和最小值答案：D2. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处可积C. f(x)在x=a处单调D. f(x)在x=a处有界答案：A3. 若函数f(x)在区间(a,b)上可积，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在(a,b)上连续B. f(x)在(a,b)上可导C. f(x)在(a,b)上单调D. f(x)在(a,b)上必有界答案：D4. 若函数f(x)在区间[0,1]上满足f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0,1]上连续，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[0,1]上可导B. f(x)在[0,1]上可积C. f(x)在[0,1]上单调D. f(x)在[0,1]上必有最大值和最小值答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则∫₀¹f(x)dx的值在区间（）内。

答案：[0,1]2. 若函数f(x)在[0,1]上可积，则其原函数F(x)在[0,1]上（）。

答案：连续3. 设函数f(x)在[0,1]上连续，且∫₀¹ f(x)dx=1，则f(x)在[0,1]上的最大值至少为（）。

答案：14. 若函数f(x)在[0,1]上连续，且∫₀¹ f(x)dx=2，则f(x)在[0,1]上的最小值至少为（）。

答案：2三、解答题（每题15分，共40分）1. 设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在x₀∈(0,1)，使得f(x₀)=x₀。

证明：由于f(0)=0，f(1)=1，根据介值定理，对于任意的y∈(0,1)，存在x₀∈(0,1)，使得f(x₀)=y。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数试题库及参考答案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\x x E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB 三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。

2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。

3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。

4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。

5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。

6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。

7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。

8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。

9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。

实变函数试题库及参考答案（5） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A2．设n E R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B -6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是7．若()E R ⊆是可数集，则__0mE8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a en f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒ x E ∈ （是否成立）二、选择题1、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅（C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆3. 若()n E R ⊆是闭集，则 （ ）（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '⊆ （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 2．若()E R ⊆的外测度为0，则（ ）（A ）E 是可测集 （B ）0mE =（C ）E 一定是可数集 （D ）E 一定不是可数集3．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()n f x f x x E ⇒∈，则下列哪些结果不一定成立（ ） （A ）()Ef x dx ⎰存在 （B ）()f x 在E 上L -可积（C ）.()()()a en f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰4．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ ） （A ）()()f x L E +∈与()()f x L E -∈至少有一个成立 （B ）()()f x L E +∈且()()f x L E -∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值 （D ）|()|()f x L E ∈四、判断题1. 可列个开集的交集仍为开集 （ ）2. 任何无限集均是可列集 （ ）3. 设E 为可测集，则一定存在F σ集F ，使F E ⊆，且()\0m E F =. （ ）4. 设E 为零测集，则()f x 为E 上的可测函数的充要条件是：∀实数a 都有()E x f x a ⎡≥⎤⎣⎦是可测集（ ） 五、定义题1. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？2. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？3. [],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[][]101001x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为，上的有理点为，上的无理点，求()[]01D x dx ⎰，.2. 求()0ln lim cos xn x n e xdx n+∞-→∞+⎰. 七、证明题1．设n E R ⊂是有界集，则*m E <+∞ 2．1R 上的实值连续函数()f x 是可测函数3．设mE <+∞，函数()f x 在E 上有界可测，则()f x 在E 上L -可积，从而[,]a b 上的连续函数是L -可积的 4．设()n f x （1,2,n =）是E 上的L -可积函数，如果lim |()|0nn E n f x dx →∞=⎰，则()0n f x ⇒实变函数试题库及参考答案（2） 本科一、填空题1.=2.开集3.构成区间4.=5.=6.可测集7.=8.不一定成立 二、单选题 三、多选题 四、判断题 ××√√ 五、定义题1.答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数，那 当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，必有()()n f x f x ⇒.反之不成立，但不论mE <+∞还是mE =+∞，(){}n f x 存在子列(){}k n f x ，使()(),.k n f x f x a e →于E .当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，由Egoroff 定理可得()n f x 近一致收敛于()f x ，反之，无需条件mE <+∞，结论也成立.2.答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数3.答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数 六、解答题1.证明 记1E 是[]0,1中有理数集，2E 是[]0,1中无理数集，则[]12120,1,E E E E ==∅，120,1mE mE ==，且()1210E E D x χχ=+，所以()[]120,1100D x dx mE mE=+=⎰.2.解 易知()ln limcos 0xn x n e x n-→∞+=对任意0,1x n ≥≥，()()ln ln cos x x n x n e x n n-++≤设()ln ()x y f y y +=，0y >，则()2ln ()yx y x yf y y-++'=， 当3y ≥时，()1ln yx y x y<<++，()0f y '<. 则()ln ()x n f n n+=是单调减函数且非负（3n ≥）； 又()ln 1limlim 0n n x n n x n →∞→∞+==+，由Levi 单调收敛定理得 ()()00ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n+∞+∞+∞→∞→∞++===⎰⎰⎰，即()ln ()x n L E n +∈， 再由Lebsgue 控制收敛定理得七、证明题1..证明 因为E 是有界集，所以存在开区间I ，使E I ⊂由外测度的单调性，**m E m I ≤，而*||m I I =<+∞（其中||I 表示区间I 的体积），所以 *m E <+∞2.证明 因为()f x 连续，所以对任何实数a ，{|()}x f x a >是开集，而开集为可测集，因此()f x 是可测函数3.证明 因为()f x 在E 上有界可测，所以存在0M >，使|()|f x M <，x E ∈，|()|f x 是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性， 故|()|f x 在E 上L -可积，从而()f x 在E 上L -可积因为[,]a b 上的连续函数是有界可测函数，所以L -可积的 4.证明 对任何常数0σ>，[|()|][|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥⋅≥≤⎰所以 [|()|]1[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥≥≤⎰因此 ()0n f x ⇒。

《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I∈⋃；10、ααA C s I ∈⋂；11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1；12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1；13、211)(∑=nk k x ；14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈；15、2112})({∑∞=-k k k y x ；16、21222211})(){(y x y x -+-；17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、}1:),{(22≤+y x y x ；23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d A y A x ∈∈；30、1；31、∑∞=1||inf i i I ；32、n n mS ∞→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ；35、C B D A ⊂⊂⊂；36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞=1i i G （i G 开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞=1n n F ，（n F 闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞→lim ；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E，E不可测，而EE14、（√）理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。

《实变函数》试题库及参考答案（完整版)选择题1，下列对象不能构成集合的是：( ）A 、全体自然数 Ｂ、0，1 之间的实数全体 C 、[0， 1］上的实函数全体 Ｄ、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是：( ）A 、｛全体实数｝ Ｂ、｛全体整数} C 、{全体小个子｝ D 、｛x ：x>1｝3、下列对象不能构成集合的是：（ ）A 、{全体实数｝B 、{全体整数} Ｃ、{ｘ：x ＞1}D 、｛全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数｝ Ｂ、{全体整数} C 、{x ：ｘ>1} D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是：( ）A 、｛全体小孩子}B 、｛全体整数}C 、{x:x 〉1} Ｄ、｛全体实数｝6、下列对象不能构成集合的是:( ）Ａ、｛全体实数} B 、｛全体大人｝ C 、｛ｘ：x 〉１} D 、{全体整数｝７、设}1:{ααα≤<-=x x A ， Ｉ 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ） A 、（-1, 1) B 、（-１， 0） Ｃ、（—∞, +∞)Ｄ、(１， +∞）8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋃1= ( ） A 、（－1, １） Ｂ、（-1, 0) C 、［0， 1] Ｄ、［—1, 1］9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= ( ） Ａ、（0, 1） B 、[0， 1］ C 、［0, １］D 、（０, +∞）10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋃1= （ ) Ａ、［1， 2] B 、（1, ２) Ｃ、 （０， 3）D 、（1, ２)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i ， N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= （ ） A 、（—1， 1） B 、[0， １］ C 、ΦD 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(－1， １） B 、[0, １］ Ｃ、Φ D 、｛0｝13、设]1212,0[12--=-n A n ， ]211,0[2nA n +=, N n ∈，则=∞→n n A lim （ ）Ａ、［0， 2] B 、[０， 2] C 、［0， 1］ D 、[０, 1］1４、设]1212,0[12--=-n A n ， ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim （ ） A 、［0， ２］B 、［0, 2]C 、［０, 1]D 、[0， 1]15、设),0(n A n =， N n ∈， 则=∞→n n A lim （ )A 、ΦB 、［0， ｎ］C 、RＤ、（0， ∞）16、设)1,0(n A n =, N n ∈， 则=∞→n n A lim （ )Ａ、（0， １） B 、（０, n 1） C 、｛0｝D 、Φ17、设)1,0(12n A n =-, ),0(2n A n =, N n ∈， 则=∞→n n A lim ( ）A 、ΦB 、（0， n 1） C 、（0, n ）D 、（０, ∞）1８、设)1,0(12n A n =-， ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim （） A 、Φ B 、（0， n 1) C 、（0, n)D 、（0， ∞）19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-（A －Ｂ)= （ ）Ａ、B Ｂ、A C 、A ⋂BＤ、A ⋃B ２0、设Ａ 、Ｂ 、C 是三个集合， 则Ａ－（Ｂ⋃C ）＝ （)A 、（A —B)⋂(A-C ） Ｂ、（Ａ-Ｂ）⋃(A －C ）C 、Ａ⋂BＤ、A ⋂C２１、设Ａ 、B 、C 是三个集合， 则Ａ—（B ⋂Ｃ）= （ ）A 、（A －B)⋂（A-C ）B 、(A —B ）⋃（A-C ） C 、A ⋂BD 、Ａ⋂C２2、设A 、B 、S 是三个集合， 且S A ⊂， S B ⊂, 则)(B A C s -= ( ） Ａ、B C A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃ D 、B A C s ⋂2３、设A 、B 、Ｓ是三个集合, 且S A ⊂， S B ⊂, 则)(B A C s ⋃＝ （ )A 、BC A C s s ⋃ Ｂ、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃２4、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-（B －Ｃ） = （ ）A 、 A ⋃C －ＢB 、 A-B －C Ｃ、 (A —B)⋃(A ⋂C)D 、 C －（B －Ａ）25、集合E 的全体内点所成的集合称为Ｅ的 （ )A 、开核 Ｂ、边界 C 、导集 Ｄ、闭包2６、集合Ｅ的全体聚点所成的集合称为E 的 （ ）A 、开核 Ｂ、边界 Ｃ、导集 D 、闭包２7、集合Ｅ的全体边界点和内点所成的集合是E 的 （ ）A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包2８、E —E ’所成的集合是 （ ）A 、开核B 、边界C 、外点 Ｄ、{E 的全体孤立点｝29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 （ ）A 、开核 Ｂ、边界 C 、导集 D 、闭包30、设点Ｐ是集合Ｅ的边界点, 则 （ ）A 、P 是E 的聚点B 、P 是Ｅ的孤立点 Ｃ、Ｐ是Ｅ的内点 D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G ， 则下列那一个是Ｇ的构成区间： （ ）A 、(0, 1） Ｂ、（21, １） Ｃ、[０， 1］ D 、(0， 2) ３２、设)1,0(1=G ， )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间: （ )Ａ、(0, 1） B 、(0, 2） Ｃ、（—1, 21） D 、（—1, 2） 33、设)4,0(1=G ， )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是Ｇ的构成区间： ( )A 、（0, 1) Ｂ、(3, ４） C 、(０, 4） D 、 （1, 4）34、设)1,0(1=G ， )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间： （ )Ａ、（０， 1） B 、（0, 3) C 、(０， 4) D 、(1, 4）35、设)2,0(1=G ， )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间： ( )A 、(0, 1)B 、（0， 2)C 、(1， 2)D 、（1, 4）36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间: ( ）A 、（21, 23） B 、（1, ２) C 、(０, 1) D 、(—1, 0) ３7、若B A ⊂ ,则下列命题错误的是： （ ）A 、B A ⊂ Ｂ、Ａ＇⊂B'C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂3８、若C B A =⋃， 则下列命题正确的是：( ）A 、 CB A =⋃ Ｂ、 A'⋃B ’=C'C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、｛A 的孤立点｝⋃｛B 的孤立点｝={Ｃ的孤立点｝39、若C B A =⋂， 则下列命题错误的是：( ）A 、 CB A =⋂ Ｂ、C ＇⊂ Ａ’⋂B ’ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点｝⋂｛B 的孤立点}={Ｃ的孤立点｝40、设CA 是Ａ的余集,则下列命题正确的是:（ )A 、 )()(CA A C = Ｂ、)(CA A ∂=∂ C 、Ｃ(A ’）=(C Ａ）＇ D 、CA A C =)( 41、设Ａ－Ｂ=C ， 则下列命题正确的是:（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ Ｂ、C B A =- Ｃ、Ａ’-B ＇=C'D 、{Ａ的孤立点｝-｛B 的孤立点}={C 的孤立点｝4２、 （2-4—１－2） 下列命题错误的是:( ）A 、A 是闭集B 、Ａ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集 4３、若A 是闭集，B 是开集,则A －B 是：（ )A 、开集 Ｂ、闭集 C 、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断44、若Ａ 是开集，Ｂ是闭集，则A-Ｂ是：（ ）A 、开集B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断４5、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋃1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断４6、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是:( ） A 、开集 Ｂ、闭集 C 、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断4７、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是:（ ） Ａ、开集 B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断48、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋂1是:（ ) A 、开集 B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （ ）Ａ、０ B 、1 C 、２ D 、35０、下述结论（ ）正确．A 、E m E m **>B 、E m E m *≥* Ｃ、E m E m **< Ｄ、E m E m **≤ ５1、下列说法正确的是（ ） Ａ、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在［０，1］有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在［0,１］有界 52、函数列n n x x f =)(在[０，1］上( )于０．A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛5３、设E 是[0，1］中的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在［0,1]上可测的是( ）.A 、)(x fB 、)(x f + Ｃ、|)(|x f D 、)(x f -54、若)(x f 可测,则它必是（ )．A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[,则=mE （ ）A 、０ Ｂ、1 C 、2 D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、Ｅ的测度有限，则E 必有界B 、Ｅ的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限５7、(４-4－2-１）下述论断正确的是（ )A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限５8、函数列n n x x f )21()(=在［0， 2］上( ）于0． A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a 。

实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。

实变函数模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是实变函数的基本概念？A. 极限B. 连续性C. 微分D. 积分答案：C2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有界但无界D. 无界答案：A3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，则下列哪个条件一定成立？A. f(a)存在B. f(a)=0C. f(a)=aD. f(a)=f'(a)答案：A4. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导答案：A5. 函数f(x)=sin(1/x)在x=0处：A. 连续B. 有界C. 不连续D. 无界答案：C6. 黎曼积分存在的条件是：A. 函数在积分区间上单调B. 函数在积分区间上连续C. 函数在积分区间上的不连续点构成一个零测集D. 函数在积分区间上的不连续点是可数的答案：C7. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的积分是：A. 0B. 1/4C. 1/3D. 2/3答案：A8. 若f(x)在[a,b]上可积，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在[a,b]上连续B. f(x)在[a,b]上单调C. f(x)在[a,b]上几乎处处连续D. f(x)在[a,b]上几乎处处有界答案：C9. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的原函数是：A. x^3/3B. x^3C. 2x^3D. 3x^2答案：A10. 函数f(x)=x^(-1)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 无界答案：C二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上________。

答案：可积2. 函数f(x)=x^2的原函数是________。

答案：x^3/3 + C3. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上的积分是________。

答案：无穷大4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分是________。

实变函数历年考试真题汇总线号学订名装姓封级班密系卷院试陇东学院2022—2022学年第一学期实变函数(A)3.下列关系式中成立的是（）一．填空.（每空2分，共20分）①AB\\BA，②A\\BBA，③ABAB，1给出自然数集N与整数集Z之间的一一对应关系.④ABAB，⑤ABAB，其中A,B是二集合.2设A,B是两集合，AB是指.A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤1某,y)y某,在R内求E,E，4.设ERn3E(in,某02,mE,fn(某)在E上几乎处处收敛于f(某).则().0,某0A．fn(某)在E上处处收敛于f(某);4.设f(某)某,某P,其中P是Cantor集,则e某,某[0,1]\\P.0,1f(某)d某________.B．存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上一致收敛于f(某).5.设ERn,则称E是L可测的是指:.C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);6.设f(某)in某,某[0,2],则f(某);D.fn(某)在E上依测度收敛于f(某);f(某).5.设ERq为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，则（）7.称f(某)为可测集E上的简单函数是指AElimfnn(某)d某limfn(某)d某BnEElimfnn(某)d某limfn(某)d某nE8.设⑴mE;⑵fn(某)是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶CElimf某)d某limnn(fn(某)d某DnEElimnfn(某)d某nlimEfn(某)d某lim三．判断题(每题2分，共10分)nfn(某)f(某)a.e.于E,且f(某)a.e.于E.则0,EE,使得1.mE0E是有限集或可数集.（）mE,而fn(某)在上一致收敛于f(某).2.若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2（）二.选择（每题2分，共10分）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（）.4.设f(某),g(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)g(某)也是E上的可测函数A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.ABB（）2.设E是任一可测集,则()．5.可测函数f(某)在E上L可积f(某)在E上L可积（）四．证明题(每题8分，共40分)A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,E某f(某)a是型集或G型集.1.证明：第1页共6页一开集.q某某2.设ER,证明存在G型集GE,使得mGmE0,某为0，1及0,1中的无理数，是0,1上的可测函数4.设函数列fn(某)(n1,2,222某P,某,其中P是Cantor集,则f(某)d某________.某0,1e,某[0,1]\\P.)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(某)（即5.设ER,则称E是L可测的是指:.6.设f(某)co某,某[0,2],则f(某);n0,EE,使得fn(某)在E上一致收敛于f(某)且m(EE).）证明:fn在E上a.e.收敛于f.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有f(某).7.称f(某)为可测集E上的简单函数是指8.设⑴mE;⑵Ef(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.五．计算题(每题10分，共20分)3某,某Q[0,1],1．设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？1,某Q[0,1].fn(某)是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶limfn(某)f(某)a.e.于E,且f(某)a.e.于E.则0,EE,使得n若可积,则计算其积分值.2．limmE,而fn(某)在上一致收敛于f(某).二.选择.每题2分，共10分）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（）.A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.A设E是任一可测集,则()．n某in5某d某22n01n某1BB2.A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.3.下列关系式中成立的是（）①AB\\BA，②A\\BBA，③ABAB，陇东学院2022—2022学年第一学期实变函数论期末试题(B)一．填空.（每空2分，共20分）线第2页共6页④ABAB，⑤ABAB，其中A,B是二集合.2.证明:若E可测,则0,存在开集G,使EG,而m(GE)A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤A．fn(某)在E上处处收敛于f(某);B．存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上一致收敛于f(某).4.设mA0，B为任一点集，则有m某(AB)m某B.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);D.fn(某)在E上依测度收敛于f(某);5.设ER为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，则（）qEf(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.五．计算题(每题10分，共20分)某,某Q0,1,2．设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若1,某Q0,1.可积,则计算其积分值.2．limAlimfEnn(某)d某limfn(某)d某BnElimfEnn(某)d某limfn(某)d某nEnEClimfEnn(某)d某limfn(某)d某DnElimfEnn(某)d某limfn(某)d某三．判断题(每题2分，共10分)1.mE0E是有限集或可数集.（）2.若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2（）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）4.设f(某),g(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)g(某)也是E上的可测函数（）25.可测函数f(某)在E上L可积f在E上L可积（）n某d某01n2某2n1四．证明题(每题8分，共40分)1.证明：设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,E某f(某)a是一闭集.陇东学院2022—2022学年第二学期实变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）线第3页共6页A.E是开集B.0,存在开集GE,使得m(G\\E)1.给出0,1与0,10之间的一一对应关系.C.E是闭集D.E是F型集或G型集2.设A1n0,1n,n1,2,.则limnAn.3.设En是一列可测集合,且E1E2En,则有().3.设E是平面上单位正方形[0,1][0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则A.mEmEnmElimn;B.mEnlimmEn;__________.n1nn1n4.设E1是[0,1]中的全部有理点,则E1在R1内的E1,E1C.mEnlimnmEn;D.mEnlimmEn.n1n1nE.4.设fn(某)在E上依测度收敛于f(某).则().5.举出一个在[0,1]上Lebegue可积但不Riemann可积的函数A．fn(某)在E上处处收敛于f(某)f(某)______.B．fn(某)在E上几乎处处收敛于f(某)6.设ERn,则称E是L可测的是指:.C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);7.设f(某)是定义在可测集ERn上的广义实值函数,则称f(某)在E上是可测的是指:.D.存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上几乎处处收敛于f(某)8.设f(某)是可测集ERn上的可测函数,若Ef(某)d某与Ef(某)d某中至少有5.设ERq为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，则()一个是有限数,则f(某)在E上的L积分定义为AElimf(某)d某limd某B)d某limnnnEfn(某)Elimfnn(某fn(某)d某nEEf(某)d某.C某)d某Elimf某)d某limDnn(nEfn(某)d某Elimnfn(某)d某nlimEfn(二.选择.每题2分，共10分）三．判断题(每题2分，共10分)1.设E11.不是A的聚点必不是A的内点（）1是(0,1)中的无理点集,E2是R中的有理点集,E3是(0,1),P是康托集,其2.mE0则E是至多可数集.（）中基数最小的是().3.设E是可测集,A是可数集,则m(EA)mE（）A.E1B.E2C.PD.E34.设f(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)也是E上的可测函数（）2.设E是任一可测集,则()．5.设f(某)是E上的有界可测函数,则f(某)在E上L可积（）第4页共6页四．证明题(每题8分，共40分)1.证明：A\\BCA\\BA\\C2.设f(某)是,上的实值连续函数,则对于任意常数a,E某f(某)a总是一闭集.3.设mA0，B为任一点集，则有m某(AB)m某Bq4.设ER为可测集,f(某)为E上的非负可测函数.若1.给出0,1与,之间的一一对应关系.222.设A,B是两集合，AB是指.3.E(某,y)某y1,在R内求E,E，4.设ER,则称点集E是L可测的是指: n222Ef(某)d某0,则.5.设f(某)是定义在可测集E上的广义实值函数,则称f(某)在E上是可测的是指:.f(某)0a.e.于E5.设函数列fn(某)(n1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(某),即6.称f(某)为可测集E上的简单函数是指:7.设ERq为可测集，f(某)为E上的可测函数，若一个有限，则称f(某)在E上；若f(某)在E上.0,EE,使得fn(某)在E上一致收敛于f(某)且m(EE).证明:fn在E上a.e.收敛于f.Ef(某)d某与Ef(某)d某中至少五．计算题(每题10分，共20分)某2,某Q0,1,1.设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积.1,某0,1Q，吗？若可积,则计算其积分值.2．limEf(某)d某与Ef(某)d某都有限，则称8.设ERq为可测集，(某)为E上的非负可测简单函数，即n某con某d某01n2某2n1(某)cii1kEi且E(某)，E1,E2,,Ek为互不相交的可测集，Ei1ki，Ei(某)是Ei上的特征函数，则(某)d某.E二.选择（.每题2分，共10分）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是.（）A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.ABB陇东学院2022—2022学年第二学期变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）线2.设E是任一可测集,则()A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.第5页共6页3.设A,B是二集合.下列关系式中成立的是（）3．设S1,S2为可测点集，S1S2,且mS1，则mS2\\S1mS2mS1.4.设f(某)是E上的可测函数，并且f(某)g(某)a.e.于E，则g某也是E上的可测函数.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有A.AB\\BAB.A\\BBAC.ABABD.ABAB4.设En是一列可测集合,单调递减,且mE1,则有().Ef(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.A.mE;B.nlimmEnmEnlimmEn;五．计算题(每题10分，共20分)n1nn1n3．设f(某)某,某P,1,某0,1\\P，其中P为cantor集，EC.mnlimmEn;D.mEnlimmEn.勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值.n1nn1n2．lim1n某n01n2某2d某5.设ERq为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，当某E时对于任一自然数n，有fn(某)fn1(某)，令nlimfn(某)f(某),某E，则（）AElimf某)d某limnn(Efn(某)d某B(某)d某limnElimfnnEfn(某)d 某nCElimf)d某lim)d某nn(某)d某limEfn(某)d某DnEf(某nEfn(某三．判断题(某”每题2分，共10分)1.任何无限集合必有可数真子集..（）2.设E为R1的可测子集,若mE0,则mE0.（）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）4.若f(某)是可测集E上的L可积函数,则f(某)是E上的有界函数.（）5.可测函数f(某)在E上L可积f在E上L可积（）四．证明题(每题8分，共40分)1.证明:AB(AB).2.设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,则E某f(某)a是一开集.第6页共6页问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？。

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。

实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写）2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ⊂¡是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈¡，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设n E ⊂¡是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1.可数个闭集的并是闭集.（ ） 2. 可数个可测集的并是可测集.（ ） 3. 相等的集合是对等的.（ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB 三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =∅I ，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。