实数+平面直角坐标系

《平面直角坐标系》优秀教案《平面直角坐标系》优秀教案（精选12篇）教案是教师为顺利而有效地开展教学活动, 根据课程标准, 教学大纲和教科书要求及学生的实际情况, 以课时或课题为单位, 对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

下面是小编为大家整理的《平面直角坐标系》优秀教案, 仅供参考, 欢迎大家阅读。

《平面直角坐标系》优秀教案篇1教材分析１、教材的地位与作用本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书, 七年级下册第6.1.2节平面直角坐标系又称笛卡儿坐标。

平面直角坐标系是图形与数量之间的桥梁, 有了它我们便可以把几何问题转化为代数问题, 也可以把代数问题转化为几何问题。

本章内容从数的角度刻画了第五章有关平移的内容, 对学生以后的学习起到铺垫作用, 6.1.2节平面坐标系主要是介绍如何建立平面坐标系, 如何确定点的坐标和由点的坐标寻找点的位置, 以及平面坐标系中特殊部位点的坐标特征, 根据学生的接受能力, 我把本内容分为２课时, 这是第一课时, 主要介绍如何建立坐标系和在给定的坐标系中确定点的坐标。

２、教学目标根据新课标要求, 数学的教学不仅要传授知识, 更要注重学生在学习中所表现出来的情感态度, 帮助学生认识自我、建立信心。

知识能力:①认识平面直角坐标系, 了解点与坐标的对应系；②在给定的直角坐标系中, 能由点的位置写出点坐标。

数学思考:①通过寻找确定位置, 发展初步的空间观念；②通过学习用坐标的位置, 渗透数形结合思想解决问题：通过运用确定点坐标, 发展学生的应用意识。

情感态度:①通过建立平面直角坐标系和确定坐标系中点的坐标, 培养学生合作交流与探索精神；②通过介绍数学家的故事, 渗透理想和情感的教育。

３、重难点根据本章知识内容以及学生对坐标横纵坐标书写易出错误, 确定本节重难点为:重点: 认识平面坐标系难点: 根据点的位置写出点的坐标一、教法分析针对学初一学生的年龄特点和心理特征, 以及他们现有知识水平, 通过科学家发现点的坐标形成的经过启迪学生思维, 通过小组合作与交流及尝试练习, 促进学生共同进步, 并用肯定和激励的言语鼓舞、激励学生。

平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。

它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。

通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。

坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。

x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。

两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。

坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。

x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。

在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。

坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。

一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。

坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。

根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。

第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。

坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。

坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。

平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。

例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。

类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。

旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。

例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。

通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。

缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。

例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。

类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。

初二数学上学期期中知识点总结及对应例题初二数学上学期期中知识点总结及对应例题初二数学上学期期中知识点总结勾股定理、实数、平面直角坐标系概念勾股定理内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果三角形一边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

若a、b、c三个正整数满足a2＋b2＝c2，则称a，b，c为一组勾股数。

无限不循环小数。

有理数和无理数统称为实数。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。

正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。

一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

一般地，形如a(a0)的二次根式式子，叫做二次根式，a叫做被开方数。

解读（1）要在直角三角形中；（2）没有直角三角形，要先通过作辅助线来构造直角三角形，再利用勾股定理解决相关问题。

（1）先要确定最大边（不妨设为c，另两条边长分别为a，b）；（2）计算并比较c与ab的值的关系。

（1）三个数必须是正整数；（2）最大数的平方等于较小的两个数的平方和。

（1）是小数；（2）是无限不循环的。

（1）注意它的分类；（2）注意它的几种形式。

（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性质。

（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的非负性。

（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性质；（3）掌握它与平方根的同与异。

（1）被开方数必须是非负数；（2）开的是二次方根。

（3）注意a2及a的区别2222对应例题例1勾股定理的逆定理例2勾股数例6无理数实数平方根例7算术平方根立方根例4例14例3最简二次根式被开方数的因数是整数，因（1）被开方的每个因式的指数都低于根指数2；式是整式；被开方数中不含（2）被开方数中不含分母。

例8、例5能开得尽方的因数或因式。

在平面内，两条互相垂直且有公共点数轴组成平面直角坐标系（x轴、y轴、原点）关于x、y轴对称的点或者图形的坐标变化；关于原点对称的点或者图形的坐标变化图形的变化包括：等比扩大，等比缩小，横向压缩，纵向压缩，横向拉伸，纵向拉伸，平移，翻转（1）读出点的坐标及根据坐标找点（2）四个象限及坐标轴上点的坐标的特征（3）点到坐标轴的距离和到原点距离的求法；（点到点距离的求法）（1）关于坐标轴对称的点或图形的坐标变化（2）关于原点对称的点或图形的坐标变化例9例10例11例12例17例13例16平面直角坐标系对称与坐标变化坐标变化与图形形状变化之间的关系（1）图形横纵坐标扩大或缩小相同的倍数（2）图形横（纵）坐标不变，纵(横)坐标扩大（缩小）到原来的a倍（3）图形横(纵)坐标不变，纵(横)坐标加(减)a（4）图形横(纵)坐标不变，纵(横)坐标乘函数、一次函数、正比例函数考点常量和变量定义在某一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；数值发生变化的量叫做变量。

平面直角坐标系一、本节学习指导本节把重点放在几个象限内点的表示方法上，把四个象限里点的的符号牢牢的记在脑子里。

然后做一些相关练习题就可以掌握，这一节属于比较简单的章节。

二、知识要点1、坐标数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

注意：1、数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫这个点在数轴上的坐标。

2、数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都有唯一的一个实数与之对应。

平面直角坐标系：由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。

横向的是x轴，纵向的是y轴。

说明：平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示，这对有序实数对就叫这点的坐标，如上图点A的坐标用（2,2）这有序实数来表示，（即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能更改），坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。

【重点】2、象限及坐标平面内点的特点四个象限：如图，平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

【重点】注：1、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限。

如上图，点B（4,0）和点C（0,-2）不在任何象限。

坐标平面内点的位置特点：①、坐标原点的坐标为（0,0）；②、第一象限内的点，x、y同号，均为正；③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；④、第三象限内的点，x、y同号，均为负；⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；⑥、横轴（x轴）上的点，纵坐标为0,即（x,0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）【重点】⑦、纵轴（y轴）上的点，横坐标为0,即（0,y），所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）【重点】例：若P（x,y），已知xy>0,则P点在第______象限；已知xy<0,则P点在第_____象限。

分析：xy>0说明x,y同号，所以是在第一或第三象限，xy<0说明x,y异号，所以是在第二或第四象限点到坐标轴的距离：坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离。

平面直角坐标系图
平面直角坐标系图是一种用来描述平面上点的位置的图
形表示方法。

它由两条垂直的线段组成，一条为水平的x轴，另一条为垂直的y轴，它们的交点为原点O。

在平面直角坐标系图中，每个点都可以用两个数值（x，y）来表示，其中x代表横坐标，y代表纵坐标。

横坐标和纵
坐标的取值范围可以是整数，也可以是实数。

平面直角坐标系图可以用来表示直线、曲线和各种形状
的图形。

对于直线来说，可以通过给出一点和该直线的斜率来确定；对于曲线来说，可以通过给出一组点来确定。

图形的形状可以通过连续的点来表示，通过连接这些点可以画出图形的轮廓。

在平面直角坐标系图中，可以进行一些基本的图形操作，比如平移、旋转、缩放和翻转。

平移是指将图形沿着x轴或y
轴方向移动，旋转是指将图形绕着原点或其他点旋转一定角度，缩放是指按照比例因子改变图形的大小，翻转是指将图形关于x轴或y轴进行镜像。

平面直角坐标系图可以应用于各个领域，比如几何学、
物理学、计算机图形学等。

在几何学中，可以用平面直角坐标系图来研究点、线、面的性质和关系。

在物理学中，可以用平面直角坐标系图来描述物体的位置和运动。

在计算机图形学中，可以用平面直角坐标系图来绘制图形和进行图形处理。

总的来说，平面直角坐标系图是一种简单而有效的工具，用于描述平面上点的位置和图形的形状。

它在各个领域都有广
泛的应用，是理解和研究相关问题的基础工具之一。

通过学习和掌握平面直角坐标系图的相关知识，可以提高对平面几何和图形的理解能力，并应用于实际问题的求解。

X平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a,b ）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点 不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P （ x, y ）所在的象限 —►横、纵坐标X 、y 的取值的正负性;（2 ）点P （ X, y ）所在的数轴 —*■横、纵坐标X 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点p （a,b ），则（1） 点P 到X 轴的距离为b ；（ 2 ）点P 到y 轴的距离为（3） 点P 到原点o 的距离为PO = .a 2 b 26、 平行直线上的点的坐标特征：a ）在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b ）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;d bJ_____ P(a,b) 1____________ 1-3 -2 -1 0 -1-2 -31a X点A 、B 的纵坐标都等于m ；象限 横坐标X 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限负 负 第四象限正负b YC点C、D的横坐标都等于n ；，nD 'XX7、对称点的坐标特征:8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:a)若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 b)若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，贝Um基本练习：练习 仁在平面直角坐标系中，已知点 P ( m 5,m2 )在x 轴上，贝U P 点坐标为 _________2练习2 :在平面直角坐标系中，点P ( m 2, 4 ) 一定在 _____________ 象限；2练习3 :已知点P ( a 1, a 9)在x 轴的负半轴上，则 P 点坐标为___________________ ;练习4 :已知X 轴上一点A (3 , 0) , y 轴上一点B ( 0 , b ),且AB=5，则b 的值为 ______________ ; 练习5 :点M (2 , - 3)关于x 轴的对称点N 的坐标为 _______________ ;关于y 轴的对称点P的坐标为 ________ ;关于原点的对称点 Q 的坐标为 ___________ 。

一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成几何结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x λ＞0y′＝μ·y μ＞0的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．用坐标法解决几何问题[例1] [思路点拨] 首先在平行四边形ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系,设出点A,B,C,D 的坐标,再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明] 如图,以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系．设B(a,0),C(b,c),则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2,由对称性知D(b －a,c),所以|AB|2＝a 2,|AD|2＝(b －a)2＋c 2,|AC|2＝b2＋c2,|BD|2＝(b－2a)2＋c2,|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab),|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab,所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则(1)如果图形有对称中心,选对称中心为原点；(2)如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求证：|AC|＝|BD|.证明：取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系．设A(－a,h),B(－b,0),则D(a,h),C(b,0)．∴|AC|＝b＋a2＋h2,|BD|＝a＋b2＋h2.∴|AC|＝|BD|,即等腰梯形ABCD中,|AC|＝|BD|.2．在△ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|,求证：△ABC为等腰三角形．证明：作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示．设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|,所以由距离公式得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d),即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．因为d－b≠0,所以－b－d＝c－d,即－b＝c,所以O为线段BC的中点．又因为OA ⊥BC,所以|AB|＝|AC|. 所以△ABC 为等腰三角形．用平面直角坐标系解决实际问题[例2] 已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2 km,现准备在荒漠上围垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A,且与AB 成30°的角,现要对整条水沟进行加固改造,但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固,问暂不加固的部分有多长．[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C,D,由围墙总长为8 km,得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2, 由椭圆的定义知,点C 的轨迹是以A,B 为焦点,长轴长2a ＝4,焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图所示),则点C 的轨迹方程为x 24＋y23＝1(y≠0)．易知点D 也在此椭圆上,要使平行四边形ACBD 的面积最大,则C,D 为此椭圆短轴的端点,此时,面积S ＝12×23×2＝2 3 km 2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y23＝1(y≠0)内,故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长,如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋1，x 24＋y 23＝1得13x 2＋8x －32＝0,则x 1＋x 2＝－813,x 1x 2＝－3213,那么弦长L ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813,故暂不加固的部分长为4813km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便．因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算,得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1 km 处,原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l,但在A 村的西北方向400 m 处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问：埋设地下管线l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(－1 000,0),由W 位于A 的西北方向及 |AW|＝400,得W(－2002,2002)．由直线l 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°,得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0. 于是点W 到直线l 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以埋设地下管线l 的计划可以不修改．4.如图所示,A,B,C 是三个观察站,A 在B 的正东,两地相距6 km,C 在B 的北偏西30°,两地相距4 km,在某一时刻,A 观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为 1 km/s,4 s 后B,C 两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B 两点的直线为x 轴,以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x,y), 则A(3,0),B(－3,0),C(－5,23)．因为|PB|＝|PC|,所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3,BC 的中点D(－4,3),所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又因为|PB|－|PA|＝4,所以点P 必在以A,B 为焦点的双曲线的右支上, 双曲线方程为x 24－y25＝1(x≥2)．②联立①②,解得x ＝8或x ＝－3211(舍去),所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．[例3] 伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝4y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x′2＋y′216＝1,求曲线C的方程．[解] 设P(x,y)为曲线C 上的任意一点．把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝4y代入x′2＋y′216＝1,得x 2＋y 2＝1,故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变,即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝13y′，将其代入4x 2－9y 2＝1,得4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x′2－9·⎝ ⎛⎭⎪⎫13y′2＝1.整理得x′2－y′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2－y′2＝1.6．若函数y ＝f(x)的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x′＋π6,求函数y ＝f(x)的最小正周期．解：由题意,把变换公式代入方程y′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,故f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f(x)的最小正周期为2π2＝π.一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y后,曲线C 变为曲线x′2＋y′2＝1,则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝0 B ．25x 2＋9y 2＝1 C ．9x 2＋25y 2＝0D ．9x 2＋25y 2＝1解析：选B 把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1,得25x 2＋9y 2＝1,∴曲线C 的方程为25x 2＋9y2＝1.3．圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后所得图形的焦距为( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：选C 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′2，y ＝y′3，代入x 2＋y 2＝1,得x′24＋y′29＝1,该方程表示椭圆,∴椭圆的焦距为29－4＝2 5.4．在同一平面直角坐标系中,将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x′y ＝12y′ B.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x y′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x′y ＝2y′D.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x y′＝2y解析：选D 设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，则μy＝ sin λx ,即y ＝1μsin λx ,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝2y.二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后,曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝13y′，代入y ＝cos x,得13y′＝cos 12x′,即y′＝3cos x′2. 答案：y′＝3cos x′26．将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝－2λ，1＝2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y7．已知f 1(x)＝cos x,f 2(x)＝cos ωx(ω>0),f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的,则ω为________．解析：函数f 2(x)＝cos ωx ,x ∈R(ω>0,ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的,所以13＝1ω,即ω＝3.答案：3 三、解答题8．在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝13y 后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝3y′.①(1)将①代入5x ＋2y ＝0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0,表示一条直线． (2)将①代入x 2＋y 2＝1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是x′214＋y′219＝1,表示焦点在x 轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形,斜边BC 的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明：|AM|＝12|BC|.证明：以Rt △ABC 的直角边AB,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B(b,0),C(0,c),则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由于|BC|＝b 2＋c 2,|AM|＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2, 故|AM|＝12|BC|.10．在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程． (1)曲线y ＝2sin x4变换为曲线y ＝sin 2x ；(2)圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程 y ＝sin 2x 改写为y′＝sin 2x′,设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，代入y′＝sin 2x′得μy＝sin 2λx , 即y ＝1μsin 2λx,与原曲线方程比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝14，1μ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝18x ，y′＝12y.即先使曲线y ＝2sin x4上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18,得到曲线y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤148x ＝2sin 2x,再将其纵坐标缩短到原来的12,得到曲线y ＝sin 2x.(2)将变换后的椭圆方程x 29＋y 24＝1改写为x′29＋y′24＝1,设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx λ>0，y′＝μy μ>0，代入x′29＋y′24＝1得λ2x 29＋μ2y 24＝1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22y 2＝1,与x 2＋y 2＝1比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝2y.即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍,得到椭圆x 29＋y 2＝1,再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍,得到椭圆x 29＋y 24＝1.。

平面直角坐标系基础一、平面直角坐标系1．有序实数对有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，． 注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2．平面直角坐标系在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．3．象限x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 4．点的坐标对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，． 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．二、坐标平面内特殊点的坐标特征1．各象限内点的坐标特征点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，； 点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，； 点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，； 点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，．2．坐标轴上点的坐标特征点()P x y ，在x 轴上⇔0y =，x 为任意实数； 点()P x y ，在y 轴上⇔0x =，y 为任意实数； 点()P x y ，即在x 轴上，又在y 轴上⇔00x y ==，，即点P 的坐标为()00，．3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点()P x y ，在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x y =；点()P x y ，在第二、四象限夹角的角平分线上⇔0x y +=．4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．5．坐标平面内对称点的坐标特征点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点是()22M m a n b --，．三、用坐标表示地理位置1． 直角坐标系法先确定原点，然后画出x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．2． 方位角法从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．四、中点坐标公式已知坐标系中两点()()1122A a b B a b ，，，.则A 、B 的中点C 坐标为121222a a b b ++⎛⎫⎪⎝⎭，设点()C x y ，,则12a x a x -=-即()2a b ，12x a a x -=-,所以122a a x +=.同理求出122b by +=例题精讲一、 点的位置的确定1、 平面直角坐标系【例1】 电影票上“6排3号”,记作()6,3,则8排6号记作_________ 【答案】（8,6）【例2】 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AC =，3AB =，若点A 在坐标原点，点B 在x 轴上．（1）在平面直角坐标系中画出三角形ABC ；（2）求点B ，C 的坐标．【答案】（1）如图，则11AB C △，21AB C △，22AB C △，12AB C △为所求．（2）11AB C △：()13,0B ，()10,2C ；21AB C △：()23,0B -，()10,2C ；22AB C △：()23,0B -，()20,2C -；12AB C △：()13,0B ，()20,2C -【例3】 在平面直角坐标系内，已知点(122)A k k --，在第三象限，且k 为整数，求k 的值．【答案】∵点(122)A k k --，在第三象限，∴120k -<，20k -<，解得：122k <<，又∵k 为整数，1k =【例4】 某市有A B C D 、、、四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图6所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．【答案】平安大道所在的直线所在的直线为x 轴，过D 点垂直于平安大道所在的直线为y 轴建立直角坐标系，(10,4)A 、(6,4)B -、(2,2.5)C -、(03)D -，【例5】 王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x 轴、y 轴．只知道游乐园D 的坐标为(22)-，，你能帮她求出其他各景点的坐标？【答案】00F （，），()()()04322133A B C E ---，，，，（，），，【例6】如图表示赵明同学家所在社区的主要服务办公网点．点O表示赵明同学家，点A 表示存车处，点B表示副食店．点C表示健身中心，点D表示商场，点E表示医院，点F表示邮电局，点H 表示银行，点L表示派出所，点G表示幼儿园．(1)请以赵明同学家为坐标原点，建立平面直角坐标系，并用坐标分别表示社区的主要服务网点的位置．(图中的1个单位表示50m)(2)利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程是①建立______选择一个____________为原点，确定x轴、y轴的____________；②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．【答案】(1)A(－150，50)，B(150，200)，C(－250，300)，D(450，－400)，E(500，－100)，F(350，400)，G(－100，－300)，H(300，－250)，L(－150，－500)．(2)略．【例7】温州一位老人制作的仿真郑和宝船尺寸如图，已知在某一直角坐标系中点A坐标为（9，0），请你直接在图中画出该坐标系，并写出其余5点的坐标．【答案】解：坐标系如图所示：各点的坐标为：(52)F-，，，(52)C-，，(90)B，，(52)D-，，(52)E--2、极坐标【例8】 如图，根据指令（S,A ）(说明：S 0，单位：厘米；0oA 180O )，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，若机器人站在M 处. （1）给机器人下了一个指令（2，60O ），机器人移到了B 点，请你画出机器人从M 到B 的运动路径；（2）若机器人从M 运动到了C 点，20O CMA ∠=,则给机器人下了一个什么指令.【答案】(1)略 （2）（3，20o -）二、 点的坐标特征【例9】 （1）已知点()23P x x +，在x 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．（2）已知点()23P x x +，在y 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________． （3）已知点()23P x x +，在坐标轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．【答案】（1）3x =-，()5-3Q ，（2）0x =，()23Q ，（3）Q 点坐标为()53-，或()23，【例10】 给出下列四个命题，其中真命题的个数为( )．①.坐标平面内的点可以用有序数对来表示；②.若a ＞0，b 不大于0，则P (－a ，b )在第三象限内； ③.x 轴上的点，其纵坐标都为0；④.当m ≠0时，点P (m 2，－m )在第四象限内． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【例11】 点P 2b ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第二象限，点Q ()2a b ，在第（ ）象限A 一B 二C 三D 四 【答案】D【例12】 如图是传说中的一个藏宝岛图,藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图,现今的寻宝人没有原来的地图,但知道在该图上有两次大石头()()2182A B ，，，,而藏宝地的坐标是（6,6）,试设法在地图上找到藏宝地点．【答案】⑴任取1个单位长度（如1厘米），以1个单位长为直角边作直角DEF∆,使6DE=个单位，EF=个单位；⑵连结AB，以F为圆心，AB长为半径，在射线FD上截取FG=AB；⑶过点G作GH⊥FE，垂足为点H；⑷分别以A、B为圆心，GH，FH的长为半径画弧，在AB的下侧得到点C．⑸延长BC至点P，使CP=BC．⑹过P作OX⊥BP，则OX就是X轴所在直线．⑺如图，在射线PO上截取PO=4PB，则O就是坐标原点；⑻过点O作直线OY⊥OX⑼以BC的长为单位长度，射线AC的方向为X 轴正方向，射线CB的方向为y轴正方向,建立直角坐标系，即可找到（6,6）的藏宝地点．FHGED【例13】已知()32A-，、()32B--，、()32C-，为长方形的三个顶点，⑴建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A、B、C三点；⑵能根据这三个点的坐标描出第四个顶点D，并写出它的坐标吗？⑶描点后并进一步判断点A、B、C、D分别在哪一象限？⑷观察A、B两点，它们的坐标有何特点，位置有何特点？B与C呢？A与C呢？⑸直线AB、直线BC有何特征，你能用符号语言表达直线AB、直线BC上任一点的坐标吗？⑹求出线段AB、BC的长度，并求出长方形ABCD的面积．【答案】⑴略⑵()32D，⑶A：第二象限；B：第三象限；C：第四象限；D：第一象限⑷A、B坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x轴对称．B、C坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，位置特点：关于y轴对称．A、C坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．⑸直线AB y∥轴，直线BC x∥轴，直线AB上任一点可表示为()3y-，，直线BC上任一点可表示为()2x-，⑹4AB=，6BC=，24ABCDS=长方形．【例14】长方形ABCD，长6宽4，建立适当的直角坐标系，使其中B点的坐标（-3，-2），并利用这个直角坐标系表示其余顶点的坐标．【答案】因为(32)B --，，且6BC =，BC x ∥轴，所以(32)C -，，同理(32)D ，，(32)A -，．【例15】 x 取不同的值时，点(11)P x x -+，的位置不同，讨论当点P 在不同象限或不同坐标轴上时，x 的取值范围；并说明点P 不可能在哪一个象限．【答案】(1)当1x =-时，点P 在x 轴的负半轴上；(2)当1x =时，点P 在y 轴的正半轴上； (3)当1x >时，点P 在第一象限； (4)当－1＜x ＜1时，点P 在第二象限； (5)当x ＜－1时，点P 在第三象限； (6)点P 不可能在第四象限【例16】 试分别指出坐标平面内以下各直线上各点的横坐标、纵坐标的特征以及与两条坐标轴的位置关系．(1)在图1中，过A (－2，3)、B (4，3)两点作直线AB ，则直线AB 上的任意一点P (a ，b )的横坐标可以取______，纵坐标是______．直线AB 与y 轴______，垂足的坐标是______；直线AB 与x 轴______，AB 与x 轴的距离是______.图1(2)在图1中，过A (－2，3)、C (－2，－3)两点作直线AC ，则直线AC 上的任意一点Q (c ，d )的横坐标是______，纵坐标可以是______．直线AC 与x 轴______，垂足的坐标是______；直线AC 与y 轴______，AC 与y 轴的距离是______． (3)在图2中，过原点O 和点E (4，4)两点作直线OE ，我们发现，直线OE 上的任意一点P (x ，y )的横坐标与纵坐标______，并且直线OE ______∠xOy ．图2【答案】(1)任意实数，3；垂直，(0，3)，平行，3．(2)－2，任意实数；垂直，(－2，0)，平行，2． (3)相等，平分．三、 坐标与距离【例17】 已知点()1,34m m --到x 轴、y 轴的距离相等，则该点坐标为 ． 【答案】11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭．【例18】 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．CPBD O A xy【解析】 此题难度稍大，充分考查学生对图的阅读能力、分情况讨论能力及空间想像能力．可以发现当ODP △ 为腰长是5的等腰三角形时，有3种情况：第一种，5OD OP ==，第二种，锐角三角形5OD PD ==，第三种，钝角三角形5OD PD ==，可分别求得P 的坐标为(34)，，(24)，或(84)，．【答案】(34)，，(24)，或(84)，[备注：如果是人教版的学生，没有学习勾股定理，此题可不讲]【例19】 在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【答案】50×6÷40＝7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【例20】如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点(12)，，则“炮”位-，，“象”位于(32)-于点( )．A.(13)-，-， D.(22)-， C.(12)， B.(21)【答案】B【例21】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()，，，如=-f m n m nm n，，规定以下两种变换①()()，，，如(21)(21)，，．=--g=--，，；②()()g m n m n(21)(21)f=-按照以上变换有：4g f-，等于（），，，，那么[(32)]=-=-f g f-[(34)](3)(34)A.(32)---， D.(32)，-， C.(32)， B.(32)【答案】A【点评】本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．【例22】有一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B 、D ；不在小区内的违章建筑有A 、E 、C四、关于中点坐标【例23】 如图，已知长方形ABCD 的边长3AB =，6BC =，求A 、B 两点的中点坐标及A 、D 两点的中点坐标．yxD CBA【答案】略【例24】 已知点(23)A ，，点C 为点A 与点B 的中点，(3.55)C ，，求点B 的坐标. 【答案】（5,7）课后作业1. 直角梯形ABCD 在直角坐标系中的位置如图，若5AD =，A 点坐标为(27)-，，则D 点坐标是（ ）y xODC BAA.(22)，B.(212)，C.(37)，D.(77)，【答案】C2. 点(1)P m m --，在第三象限，则m 的取值范围是______． 【答案】01m <<3. 在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点()P a b ，规定以下三种变换：（1）()()f a b a b =-，，，如(13)(13)f =-，，；（2）()()g a b b a =，，，如(13)(31)g =，，；（3）()()h a b a b =--，，，如(13)(13)h =--，，．按以上变换规律，求{[(53)]}g f h -，的值．【答案】（3，5）．4. 第二象限内的点()P x y ，满足9x =，24y =，则点P 的坐标是_________【答案】∵点()P x y ，在第二象限，∴0x <，0y >，又∵9x =，24y =，∴9x =-，2y =∴点P 的坐标是(92)-，．。

平面直角坐标系知识点总结温故知新规定了_________、_________和_________的直线叫做数轴.平面直角坐标系在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴,这就建立了平面直角坐标系.把水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上的方向为正方向.两条数轴的交点O叫做坐标原点.如下图（1）所示.轴横轴或x 轴图（1）平面直角坐标系坐标在平面直角坐标系中,任何一点都可以用一对有序实数对来表示,叫做点的坐标.点与有序实数对是一一对应的.如下页图（3）所示,点P的坐标是这样确定的:通过点P向x轴作垂线,垂足在x轴上对应的数就是点P的横坐标;通过点P向y轴作垂线,垂足在y轴上对应的-,其横数就是点P的纵坐标.规定:横坐标在前,纵坐标在后,所以点P的坐标为()3,2坐标为2-,纵坐标为3.注意:（1）在求点的坐标时,x轴上对应的数是横坐标,y轴上对应的数是纵坐标.（2）求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们用小括号括起来.（3）如果点在x 轴（横轴）上,其纵坐标为0;如果点在y 轴（纵轴）上,其横坐标为0;如果点在原点,其横坐标、纵坐标均为0,坐标为()0,0.x 轴上到原点的距离为a （0>a ）的点的坐标为()0,a 或()0,a -;y 轴上到原点的距离为b （0>b ）的点的坐标为()b ,0或()b -,0.（4）知道一个点的坐标,可以在平面直角坐标系中描出点（即确定点的位置）;知道一个点在平面直角坐标系中的位置,可以求出点的坐标.（5）点的位置与点的坐标之间的转换关系是数形结合思想的一个重要应用.结论1 已知点P 的坐标为()n m ,,若点P 在x 轴上,则0=n ;若点P 在y 轴上,则0=m ;若点P 在原点,则0,0==n m .（点在坐标轴上的特征）图（3）坐标的确定方法习题1. 如图（2）所示,（1）点A 的坐标是_________; （2）点B 的坐标是_________; （3）点C 的坐标是_________; （4）点D 的坐标是_________; （5）点E 的坐标是_________; （6）点F 的坐标是_________;（7）点G 的坐标是_________.习题2. 如图（4）所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________; （2）点B 的坐标是_________; （3）点C 的坐标是_________; （4）点D 的坐标是_________; （5）点E 的坐标是_________.图（4）图（5）提示 把平面直角坐标系放在正方形网格中研究点的坐标非常方便,同时根据坐标也很容易描出一些点.以后,在研究一次函数、反比例函数的图象和性质时,也可以借助于正方形网格.习题3. 如图（5）所示,在平面直角坐标系中描出以下各点:()1,2A ,()2,1B ,()3-,0C ,()0,3D .分析:x 轴上对应的数是横坐标,y 轴上对应的数是纵坐标,在书写坐标时,横坐标在前,纵坐标在后,因此,点()1,2A 与点()2,1B 表示的不是同一个点. 横坐标为0的点在y 轴上,纵坐标为0的点在x 轴上,反过来亦成立. 习题4. 若点()1,3++m m A 在x 轴上,则点A 的坐标是 【 】 （A ）()2,0- （B ）()0,2 （C ）()0,4 （D ）()4,0- 习题5. 若点()2,3-a M 在y 轴上,则a 的值是_________.习题6. 若点()3P在原点,则=a+b,2-a_________,=b_________.。

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧(0,1,2,3)(1,2,3)12()(,)23()12(,)23⎧⎧⎨⎪---⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩⎩ 自然数整数负整数有理数整数有限小数无限循环小数正分数分数小数负分数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数实数一、知识概念1.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。

0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a 才有算术平方根。

2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。

3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。

4.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

5.数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是06.根式运算))0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a baba b a ab b a 7.实数的分类二、考点1．规定：一个数的平方等于﹣1，记作i 2＝﹣1，于是可知i 3＝i 2×i ＝（﹣1）×i ，i 4＝（i 2）2＝（﹣1）2＝1……，按照这样的规律，i 2019等于（）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．若|a |＝4， t ，且a +b ＜0，则a ﹣b 的值是（）A ．1，7B ．﹣1，7C ．1，﹣7D ．﹣1，﹣73．如果t tt 1.333，t tt 2.872，那么tt ⺁约等于（）A ．28.72B ．0.2872C ．13.33D ．0.13334．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程mx﹣4x+16＝0的一个解，则m的值为（）A．﹣4B．2C．4D．65．估计2 t 2的值介于下列哪两个整数之间（）A．2和3B．3和4C．4和5D．5和66．16的算术平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．87．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．68．下列说法错误的有（）个①互为相反数的数的立方根也互为相反数；② 不是整式；③算术平方根等于它本身的数只有零；④实数和数轴上的点一一对应；⑤任何两数相加，和不小于任何一个加数．A．1B．2C．3D．49．在 ，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，t t， ，0这些数中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．设 t t h h t h h t t h h t t h ．其中a，b，c，d是正实数，且满足a+b+c+d＝1．则p满足（）A．p＞5B．p＜5C．p＜2D．p＜311．t h（ ）2＝．12．元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为．13．已知甲数是 的平方根，乙数是t t 的立方根，则甲、乙两个数的积是．14．（t 1.733）2的算术平方根是．15．若|a| ，则 t 的相反数是．16．若一个数a的相反数等于它本身，则tt t t h h t t ．17．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“＜”连接：，t ，0，t ．18．如果一个正数a的两个平方根分别是x+2和3﹣2x，求：（1）x和这个正数a的值；（2）22﹣a的立方根．19．（1）计算： t h t 䁑h（2）求x的值：（x﹣5）3＝﹣8（3） h t h t⺁t t h（4）|7 |﹣| |20．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是 t的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．21．已知A h h h h t是m+n+3的算术平方根，B h h h是m+2n的立方根，求B﹣A的值．22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜7＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 2．请解答：（1） ⺁的整数部分是，小数部分是．（2）如果t的小数部分为a，t 的整数部分为b，求a+b t的值；（3）已知：x是3h t的整数部分，y是其小数部分，请直接写出x﹣y的值的相反数．23．如图是一块正方形纸片．（1）如图1，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为dm．（2）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由？24．如图，正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上点A 表示的数为﹣1，正方形ABCD 的面积为16．（1）数轴上点B 表示的数为；且BF（2）将正方形ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A ′B ′C ′D ′，移动后的正方形A ′B ′C ′D ′与原正方形ABCD 重叠部分的面积为S ．①当S ＝4时，画出图形，并求出数轴上点A ′表示的数；②设正方形ABCD 的移动速度为每秒2个单位长度，点E 为线段AA ′的中点，点F 在线段BB ′上，䁑BB ′．经过t 秒后，点E ，F 所表示的数互为相反数，直接写出t 的值．25．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①t 表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是．平面直角坐标系一、知识框架二、知识概念1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表：2.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16，则点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.设两定点分别为A ，B ，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，设动点M (x ，y )， 则由|MA |2＋|MB |2＝16，可得(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，化简得轨迹方程x 2＋y 2＝4.故选A.2．将正弦曲线y ＝sin x 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线方程为( )A ．y ＝sin 3xB ．y ＝3sin xC ．y ＝sin 13xD ．y ＝13sin x解析：选A.伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝y ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝y ′，代入y ＝sin x . 得y ′＝sin 3x ′，即所求曲线方程为y ＝sin 3x .故选A.3．在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 后得到的直线方程为( )A ．3x －4y ＋1＝0B ．3x ＋y －1＝0C ．9x －y ＋1＝0D ．x －4y ＋1＝0解析：选C.由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝12y ′，代入方程3x －2y ＋1＝0，得9x ′－y ′＋1＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为9x －y ＋1＝0.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后变换为____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.代入曲线y ＝13cos 2x ，得y ′＝cos x ′，即y ＝cos x . 答案：y ＝cos x用坐标法解决平面几何问题1.已知▱ABCD ，求证：AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．[证明] 如图所示，以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (b ，c )． 因为AD →＝BC →＝(b －a ，c )， 所以D (b －a ，c )． 所以AB 2＝a 2，AD 2＝(b －a )2＋c 2， AC 2＝b 2＋c 2， BD 2＝(b －2a )2＋c 2.因为AC 2＋BD 2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， 而AB 2＋AD 2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab . 所以AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．建立适当的平面直角坐标系的常用方法(1)如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；(4)如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．已知矩形ABCD ，对于矩形所在的平面内任意一点M ，求证：AM 2＋CM 2＝BM2＋DM 2.证明：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，M (x ，y )， 则AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )，BM 2＋DM 2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )， 所以AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.求轨迹方程问题2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测点A (4，0)，B (6，0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？[解] (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，因为点D (8，0)在抛物线上，所以a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0. y ＝4或y ＝－94(舍去)，所以y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．所以C 点的坐标为(6，4)，|AC |＝25，|BC |＝4，所以当航天器离观测点A，B的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令．(1)求轨迹方程的一般步骤(2)求轨迹方程应注意的问题选择适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标．在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)，设P(x，y)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．平面直角坐标系中的伸缩变换及其应用3.在平面直角坐标系下，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得到的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后得到的曲线C ′的焦点坐标．[解] (1)设A ′点的坐标为(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .由于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2， 所以x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)即为所求． (2)设B 点坐标为(x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′， 由于B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，所以x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，所以B (－1，1)即为所求．(3)设直线l 上任意一点为P (x ，y )，经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，即y ′＝x ′，所以y ＝x 即为所求直线l ′的方程． (4)设双曲线C 上任意一点为P (x ，y )， 经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入方程x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，即x ′29－y ′216＝1，所以曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，可见仍为双曲线，所以焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)即为所求．(1)伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系如下：关系类型变换前 变换后 点P(x ，y )(λx ，μy )函数曲线Cy ＝f (x )y ′＝μf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′方程曲线Cf (x ，y )＝0 f⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′，1μy ′＝0(2)①已知变换前的曲线方程及伸缩变换求变换后的曲线方程；求解方法为代点转移法． ②已知变换后的曲线方程及伸缩变换求变换前的曲线方程，求解方法为代点转移法． ③已知变换前后的曲线方程求伸缩变换；求解方法为待定系数法．1.给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )A ．点M (3，5)经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x5y ′＝3y ，变换后得到点M ′的坐标为(5，3)B ．函数y ＝2(x －1)2＋2经过平移变换φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －1y ′＝y －2后再进行伸缩变换φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝18y最后得到的函数解析式为y ＝x 2C ．若曲线C 经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 变换后得到的曲线方程为x 2－y 2＝1，则曲线C的方程是4x 2－9y 2＝1D ．椭圆x 216＋y 29＝1经过伸缩变换φ后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x 轴上解析：选D.对于A ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5代入⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x 5y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5y ′＝3，故M ′(5，3)，正确；对于B ：y ＝2(x －1)2＋2经φ1变换后得到y ＝2x 2，再将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝8y ′代入得8y ′＝8x ′2即y ′＝x ′2，因此最后所得函数解析式为y ＝x2正确；对于C ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 代入x ′2－y ′2＝1得4x 2－9y2＝1，故变换前方程为4x 2－9y 2＝1也正确；对于D ：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，则当λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x 2＋y 2＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形为椭圆x 2＋y 29＝1，此时焦点在y 轴，故D 不正确．2．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.平移变换与伸缩变换的综合应用4.将正弦曲线y ＝sin x ，先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得到曲线C 1，再将C 1进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y得到曲线C 2，求曲线C 2的函数解析式． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋π3y ＝y ′＋1， 代入y ＝sin x 得y ′＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，故曲线C 1是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1得 13y ′＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ′＋π3－1，即曲线C 2的函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3.解决平移变换与伸缩变换应注意的问题(1)在三角函数图象变换中，左右平移和上下平移合在一起就是一个平移变换，反过来一个平移变换也可以分解成一个左右平移和一个上下平移．同样周期变换和振幅变换合在一起就是一个伸缩变换，反过来一个伸缩变换也可以分解成一个周期变换和一个振幅变换．(2)对坐标平面内一条曲线进行变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移所得曲线一般情况下是不同的．1.分别求伸缩变换φ1和平移变换φ2，使函数y ＝2cos (πx －3)＋2经过伸缩变换φ1变为y ＝cos(x －3)＋1，再经过平移变换φ2变为y ＝cos x .解：设φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0代入y ′＝cos(x ′－3)＋1得μy ＝cos(λx －3)＋1，即y ＝1μcos(λx －3)＋1μ，又y ＝2cos (πx －3)＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝πμ＝12，即φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝πx y ′＝12y ，设φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋hy ′＝y ＋k 代入y ′＝cos x ′得y ＋k ＝cos(x ＋h )．即y ＝cos(x ＋h )－k ，又y ＝cos(x －3)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－3k ＝－1即φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3y ′＝y －1. 2．将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，求曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的最小正周期及最大值．解：由φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，得φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，λ>0，y ＝1μy ′，μ>0，将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线的方程为y ′＝3μsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λx ′＋π3，由题意，得3μ＝1，2λ＝1，故λ＝2，μ＝13.则曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的方程为y ′＝13cos 2x ′，所以变换后的曲线的最小正周期为π，最大值为13.1．对数轴的理解(1)数轴上的点组成的点集与实数集之间建立了一一对应关系．(2)数轴是最简单的坐标系，也可以认为是一维坐标系，它的三要素是：①原点；②正方向；③单位长度．(3)在数轴上确定点的位置，只需用它对应的实数即可，即每一个实数都能在数轴上唯一确定一个点．2．对平面直角坐标系的理解(1)建立了平面直角坐标系之后，坐标平面内的所有点组成的点集与有序数对(x ，y )组成的集合{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}之间就建立了一一对应关系，因此我们可以把坐标平面内所有点组成的点集直接写成{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}．(2)平面直角坐标系，也可以认为是二维直角坐标系，它的三要素是：①两数轴互相垂直且有公共原点；②x 轴(横轴)水平放置方向向右，y 轴(纵轴)竖直放置方向向上；③两轴上取相同的单位长度．(3)要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对(x ，y )．对于平面内的一点P ，如图1，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足在x 轴，y 轴上对应的数x ，y 分别叫做点P 的横坐标，纵坐标，有序实数对(x ，y )叫做点P 的坐标，点P (x ，y )在各个象限内的符号如图2所示．3．对平面直角坐标系中的伸缩变换的理解 (1)变换中的系数均为正数．(2)在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换．(3)设平面直角坐标系中，变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0将点P (x ，y ) 变换到点P ′(x ′，y ′)．当λ>1时，为横向伸长变换；当0<λ<1时，为横向缩短变换； 当μ>1时，为纵向伸长变换；当0<μ<1时，为纵向缩短变换．(4)在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新、旧坐标，P ′(x ′，y ′)是坐标变换后的点的坐标，P (x ，y )是坐标变换前的点的坐标．在具体解题时，用x ′，y ′表示出x ，y ，然后代入坐标变换前的方程，可得坐标变换后的方程．(5)由函数y ＝f (x )的图象到函数y ＝Af (ax )(a >0，A >0)的图象，其变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1a x (a >0)，y ′＝Ay (A >0)，其中(x ，y )是变换前点的坐标，(x ′，y ′)是变换后点的坐标． (6)在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线、双曲线伸缩后仍为双曲线、抛物线伸缩后仍为抛物线，而圆伸缩后可能是椭圆或圆．4．结合由y ＝sin x 变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的过程理解伸缩变换 (1)周期变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝y 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin ωx 的图象．(2)振幅变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝xy ′＝Ay 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝A sin x的图象．(3)将y ＝sin x 的图象经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝Ay后得到y ＝A sin ωx 的图象． (4)将y ＝sin x 的图象经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 后就得到y ＝sin(x ＋φ)＋B 的图象．(5)将y ＝sin x的图象先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 再进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωx y ′＝Ay后就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋AB 的图象．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A ．椭圆B ．比原来大的圆C ．比原来小的圆D ．双曲线 解析：选D.由伸缩变换的意义可得．2．点(1，2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2，3)C ．(2，－3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：选D.把(1，2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.3．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ＝3cos 12x . 答案：y ＝3cos x24．求满足由椭圆4x 2＋9y 2＝36变成圆x ′2＋y ′2＝1的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.又4x 2＋9y 2＝36可化为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1. 与λ2x 2＋μ2y 2＝1比较，得λ2＝19，μ2＝14，又因为λ>0，μ>0，所以λ＝13，μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标缩为原来的13，纵坐标缩为原来的12，即可得到圆x ′2＋y ′2＝1.[A 基础达标]1．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (2，3)，C (3，1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 解析：选A.|AB |＝(2－1)2＋(3－2)2＝2， |BC |＝(3－2)2＋(1－3)2＝5， |AC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形．选A.2．将点P (－2，2)变换为P ′(－6，1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝2yB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12yD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：选C.设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy ，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ×(－2)1＝μ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3μ＝12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .3．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2，2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.因为点M (2，2)在直线x ＋y －4＝0上，故动点P 的轨迹是过点M 且垂直于直线x ＋y －4＝0的直线，选A.4．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标也缩为原来的12B ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12解析：选D.设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy 代入y ′＝12sin 12x ′得μy ＝12sin λ2x ，即y ＝12μsin λ2x ，与y ＝sin x 比较知⎩⎪⎨⎪⎧12μ＝1λ2＝1即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝12，因为λ>1是伸长，0<μ<1是缩短． 所以应选D.5．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝2，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝1 B ．9x 2＋100y 2＝1 C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋89y 2＝1解析：选A.将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝2中得50x 2＋72y 2＝2，即25x 2＋36y 2＝1.6．△ABC 中，已知B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为____________．解析：因为△ABC 的周长为10，所以|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4.所以A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6，2c ＝4.所以a ＝3，c ＝2，b 2＝5.所以A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)7．在平面直角坐标系中，方程x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 后得到的直线方程为________．解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入方程x －2y ＋1＝0，得6x ′－2y ′＋3＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为6x －2y ＋3＝0. 答案：6x －2y ＋3＝08．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y变换后得到的曲线在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3上的值域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝12y ′，代入y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6得12y ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，即y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因为－π3<x <π3，所以－π6<x ＋π6<π2. 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6>－33， 所以所求值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞9．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：如图，以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，D (0，2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB |＝4. 所以曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22， 所以a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. 所以曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.10．将椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1变换成圆x 2＋y 2＝1，写出变换过程．解：令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1代入(x －2)29＋(y －1)24＝1得x ′29＋y ′24＝1，所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1后得到椭圆x 29＋y 24＝1，再令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3y ′＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′，代入x 29＋y 24＝1，得x ′2＋y ′2＝1.所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1，再经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3y ′＝y 2后就得到圆x 2＋y 2＝1.[B 能力提升]11．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)，四边形ABCD 在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y (a ＞0)的作用下变成正方形，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.12 D ．23解析：选C.把点A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y 得经过变换后的点的坐标是A ′(－a ，0)，B ′(a ，0)，C ′(a ，1)，D ′(－a ，1)，由|A ′B ′|＝|A ′D ′|且a ＞0，得2a ＝1，即a ＝12.故选C.12．将圆x 2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y变换后得到曲线的离心率等于________．解析：将圆x2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y 变换后得到曲线方程为x ′225＋y ′216＝1，故a 2＝25，b 2＝16，c ＝a 2－b 2＝3，离心率e ＝c a ＝35.答案：3513．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面内求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的值最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．所以所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ， 即为正三角形ABC 的重心．14．(选做题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)因为e ＝33， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，所以b 2a 2＝23.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， 所以b ＝21＋1＝ 2.所以b 2＝2，a 2＝3. 因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )． 那么线段PF 1的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2.设M (x ，y )，由于MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，t 2－y ，PF 1→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN →·PF 1→＝2x ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＝0，y ＝t ，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。

平面直角坐标系知识点（一）有序数对1、有序数对：用两个数来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的意义，我们把这种有挨次的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）。

2、坐标：数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示，这个数(或数对)叫做这个点的坐标。

（二）平面直角坐标系1、平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，并且有公共原点的数轴。

这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。

2、X轴：水平的数轴叫X轴或横轴。

向右方向为正方向。

3、Y轴：竖直的数轴叫Y轴或纵轴。

向上方向为正方向。

4、原点：两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。

对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。

（三）坐标对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x 轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

（四）象限1、象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个局部，也叫四个象限。

右上面的叫做第一象限，其他三个局部按逆时针方向依次叫做其次象限、第三象限和第四象限。

象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。

一般，在x轴和y轴取一样的单位长度。

2、象限的特点：1、特别位置的点的坐标的特点：（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。

（2）第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；其次、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（3）在任意的两点中，假如两点的.横坐标一样，则两点的连线平行于纵轴；假如两点的纵坐标一样，则两点的连线平行于横轴。

2、点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号；3、三大规律（1）平移规律：点的平移规律左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移→横坐标不变，纵坐标上加下减。

图形的平移规律，找特别点。

（2）对称规律关于x轴对称→横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称→横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。