九年级上相似三角形同步练习

4.3 相似三角形一、选择题（共8小题）1. 如图所示，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于( )A. 5B. 6C. 7D. 42. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值为( )A. 7B. 5C. 7或5D. 无数个3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )A. 5B. 8.2C. 6.4D. 1.84. 已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3，4，5，如果△DEF的周长为6，那么△DEF中某条边的边长不可能是( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. 35. 如图所示，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(1,1)，(4,1)，(6,1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A. (6,0)B. (6,3)C. (6,5)D. (4,2)6. 如图所示，在钝角三角形ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A. 3 s或4.8 sB. 3 sC. 4.5 sD. 4.5 s或4.8 s7. 已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△AʹBʹCʹ的两边长分别为1和3，如果△ABC与△AʹBʹCʹ相似，那么△AʹBʹCʹ的第三边长应该是( )A. 2B. 22C. 62D. 338. 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是( )A. AB2=BC⋅BDB. AB2=AC⋅BDC. AB⋅AD=BD⋅BCD. AB⋅AD=AD⋅CD二、填空题（共6小题）9. 已知△ABC的三边分别是4，5，6，与它相似的△AʹBʹCʹ的最长边为12，则△AʹBʹCʹ的周长是．10. 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是线段AC的中点，点E在线段AB上，且△ADE∽△ABC，则AE=．11. 如图所示，∠ACB=∠ADC=90∘，AB=5，AC=4，若△ABC∽△ACD，则AD=．12. 如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=6，D为BC中点，E是线段AB上一动点，若△BDE∽△BAC，则BE=．13. 如图所示，在长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是AB边上一点（不与点A，B重合），F是BC边上一点（不与B，C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF=．14. 如图所示，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=k(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若x△OCD∽△ACO，则直线OA的表达式为．三、解答题（共6小题）15. 如图所示，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36∘，∠D=107∘，△ABC∽△DAC．求：（1）AB 的长．（2）CD 的长．（3）∠BAD 的大小．16. 如图所示，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ，点 E ，F 分别在 AB ，AC 上，BE =AF ，FG ∥AB 交线段 AD 于点 G ，连接 BG ，EF ．（1）求证：四边形 BGFE 是平行四边形；（2）若 △ABG ∽△AGF ，AB =10，AG =6，求线段 BE 的长．17. 如图所示，已知 △ABG ∽△FBD ，F 是 AB 的中点，求证：BD CD =AE EC ．18. 如图所示，点 C ，D 在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形，且 △ACP ∽△PDB ．（1）求 ∠APB 的大小 ⋅（2）说明线段 AC ，CD ，BD 之间的数量关系．19. 如图所示，已知，在平面直角坐标系中有四点：A (―2,4)，B (―2,0)，C (2,―3)，D (2,0)，设 P 是 x 轴上的点，且 PA ，PB ，AB 所围成的三角形与 PC ，PD ，CD 所围成的三角形相似，请求出所有符合上述条件的点 P 的坐标．20. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，问：是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2 ?请说明理由．答案1. B2. C3. D4. D5. B6. A7. A8. A9. 3010. 9411. 16512. 65513. 53或3214. y=2x15. （1）∵△ABC∽△ADC，∴ABAD =BCAC，即AB2=64，∴AB=3．（2）∵△ABC∽△ADC，∴BCAC =ACDC，即64=4DC，∴CD=83．（3）∵△ABC∽△ADC，∴∠CAD=∠B=36∘，∠BAC=∠D=107∘，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107∘+36∘=143∘.16. （1）∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE．∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（2）BE=3.6．17. ∵△ABG∽△FBD，∴∠G=∠BDF．∴DF∥AG．∵F是AB的中点，∴DF是△ABG的中位线．∴BD=DG．又∵DF∥AG，∴DGCD =AEEC．∴BDCD =AEEC．18. （1）因为△PCD是等边三角形，所以∠PCD=60∘．所以∠ACP=120∘．因为△ACP∽△PDB，所以∠APC=∠B．所以∠APC+∠CPB=∠B+∠CPB．所以∠APB=∠ACP=120∘．（2）因为△ACP∽△PDB，所以AC:PD=PC:BD．所以PD⋅PC=AC⋅BD．因为△PCD是等边三角形，所以PC=PD=CD．所以CD2=AC⋅BD．19. 设OP＝x(x>0)．（1）如图 1 所示，若点P在AB的左边，有两种可能：①若△ABP∽△PDC，则PB:CD≡AB:PD，∴(x―2):3=4:(x+2)，解得x=4．∴点P的坐标为(―4,0)．②若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝PB:PD，∴4:3＝(x―2):(x+2)，解得x=―14．不存在．（2）如图 2 所示，若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝BP:PD，∴4:3=(x+2):(2―x)，解得x=2．7∴点P的坐标为,0．②若△ABP∽△PDC，则AB:PD＝BP:CD，∴4:(2―x)=(x+2):3，方程无解．（3）如图 3 所示，若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝BP:PD，∴4:3=(2+x):(x―2)．∴x=14．∴点P的坐标为(14,0)．②若△ABP∽△PDC，则AB:PD＝BP:CD，∴4:(x―2)=(x+2):3，∴x=4或x=―4（舍去）．∴点P的坐标为(4,0)．综止所述，点P的坐标为,0，(14,0)，(4,0)，(―4,0)．20. （1）∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，∴aa1=k，∴a=ka1．又∵c=a1，∴a=kc．（2）取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2．此时aa1=bb1=cc1=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1．（3）不存在这样的△ABC和△A1B1C1．理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1，又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c．∴b=2c．∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a，故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。

《25.3 相似三角形》同步练习一、基础过关 1.如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( )A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F2.若△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为1∶2,则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（ ） A. 1∶2B. 2∶1C. 1∶4D. 4∶13.已知四条线段是成比例线段，即dcb a =，下列说法错误的是（ ） A ．ad=bc B.bad b c a =++ C. d bc bd a -=-D ．2222dc b a =4..如图，已知//，//，分别交于点，则图中共有相似三角形（ ）A.4对B.5对C. 6对D.7对5.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A.32B.76C. 236D.6.下列四组图形中，不是相似图形的是（）7.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为( )A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm8.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）二、综合训练9.如图，在△ABC中，DE∥BC,23DEBC,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为。

10.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________。

11.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 。

12.若0234x y z ==≠，则23x y z+= 。

浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

25.3 相似三角形一、选择题1．下列命题正确的是( )A ．两个等腰三角形相似B ．有一条边相等的两个等腰三角形相似C ．有一个角相等的两个等腰三角形相似D ．顶角相等的两个等腰三角形相似2．已知△ABC △△DEF ，∠A ＝50°，∠E ＝60°，则△C 等于 ( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°3．[2019·唐山乐亭县期中]如图18－K －1，△ADE ∽△ABC .若AD ＝2，BD ＝4，则△ADE 与△ABC 的相似比是 ( )A ．1∶2B ．1∶3C ．2∶3D ．3△24．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝4，AC ＝8.若△ABC △△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1最长边的长为16，则△A 1B 1C 1其他两边的长分别为( )A ．A 1B 1＝8，B 1C 1＝10 B ．A 1B 1＝5，B 1C 1＝8C ．A 1B 1＝10，B 1C 1＝8D ．A 1B 1＝10，B 1C 1＝4图18－K －1 图18－K －25．[2019·哈尔滨]如图18－K －2，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是 ( ) A.AD AB ＝AE EC B.AG GF ＝AE BD C.BD AD ＝CE AE D.AG AF ＝AC EC二、填空题6．如图18－K －3，△AED ∽△ABC ，其中△1＝△B ，则AD △______＝______△BC ＝______△AB .图18－K －3 图18－K －47．如图18－K －4，在菱形ABCD 中，EF ∥BC ，AE BE ＝13，EF ＝3，则CD 的长为________.三、解答题8．如图18－K －5，为了测量水塘边A ，B 两点之间的距离，在可以看到A ，B 的点E 处，取AE ，BE 延长线上的D ，C 两点，使CD △AB .如果量得CD ＝5米，AD ＝15米，ED ＝3米，请求出A ，B 两点之间的距离．图18－K －59．如图18－K －6，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 交于点H .(1)求证：△EDH △△FBH ；(2)若BD ＝6，求DH 的长．图18－K －610如图18－K －7，已知在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC ＝6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．如果以A ，D ，E 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，且相似比为13，求AD 和AE 的长．图18－K －71．D 2.C3．B [解析] △AD ＝2，BD ＝4，∴AB ＝AD ＋BD ＝6，∴AD ∶AB ＝1△3.∵△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的相似比是1△3.故选B.4．C5．C [解析] A 项，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC，故A 项错误； B 项，∵DE ∥BC ，△AG GF ＝AE EC，故B 项错误； C 项，∵DE ∥BC ，∴BD AD ＝CE AE，故C 项正确； D 项，∵DE ∥BC ，∴△AGE ∽△AFC ，∴AG AF ＝AE AC，故D 项错误． 故选C.6．AC ED AE7．12 [解析] △在菱形ABCD 中，EF ∥BC ，AE BE ＝13，EF ＝3， ∴△AEF ∽△ABC ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AE AB ＝14， ∴EF BC ＝AE AB， ∴3BC ＝14，解得BC ＝12， ∴CD ＝12.8．解：△CD△AB ，∴△DCE ∽△ABE ，∴CD ∶BA ＝ED△EA ，即5△BA ＝3△(15－3)，解得BA ＝20，即A ，B 两点之间的距离为20米．9．解：(1)证明：△在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 是AB 的中点，∴DC ＝12AB ＝BE ，DC ∥BE ， ∴四边形DCBE 是平行四边形，∴FB ∥DE ，∴△EDH ∽△FBH.(2)由(1)知，BC ∥DE ，BC ＝DE.∵FB ＝12BC ， ∴FB ＝12DE. ∵△EDH ∽△FBH ，△DE BF ＝DH BH＝2. ∵DH ＋BH ＝6，∴DH ＝4.10解：根据题意，应分两种情况讨论：(1)当△ADE△△ABC 时，AD AB ＝AE AC ＝13， 即AD 8＝AE 6＝13， ∴AD ＝83，AE ＝2. (2)当△AED△△ABC 时，AE AB ＝AD AC ＝13， 即AE 8＝AD 6＝13， ∴AD ＝2，AE ＝83. 综上所述，AD 和AE 的长分别是83，2或2，83.。

九年级相似三角形同步测试题（时间90分钟，共120分）学校 班级 姓名 学号一、精心选一选，相信你选得准（10×3′=30′）1、若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．１∶22、下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60 o的两个直角三角形相似，其中正确的说法是 A ．②④ B ．①③ C ．①②④ D ．②③④ （ ） 3、如图1所示，给出下列条件： （ ） ①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠； ③AC AB CD BC=； ④2AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44、如图2，在正方形网格上，若使⊿ABC ∽⊿PBD,则点P 应在（ ） A.P1处 B.P2处 C.P3处 D.P4处5、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之和是（ ） A ．15cm B ．18cmC ．21cm D ．24cm6、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）A7、如图3所示，已知点E F 、分别是ABC △中AC AB 、边的中点，BE CF 、相交于点G ，2FG =，则CF 的长为（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．6A .8、如图3，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ） A ．12mB ．10mC ．8mD ．7m9、如图是福娃京京设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P 处放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处,已知 AB ⊥BD ，CD ⊥BD, 且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米,那么该古城墙的高度是（ ）A. 6米B. 8米C. 18米D.24米10、在△ABC 中，AB=6,AC=4,点P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 于Q,若以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AQ 的长为（ ） A ．43B ． 3C ．43或3 D ．34或3二、细心填一填，相信你填得对（10×3′=30′）1、在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图6所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 千米2、已知ΔABC 的三边长之比为3∶4∶5，与其相似的DEF △的周长为36，则DEF △最长边的长为.3、如图7，∠DAB ＝∠CAE ，请补充一个条件：，使△ABC ∽△ADE ．4、如图8，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ∥AB ，且BD=3，CD=2，则下底AB 的长是.5、如图9，在ABC △中，DE BC ∥，若123AD DE BD ===，，，则BC =．6、三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图10所示）.现测得20cm 50cm OA OA '==，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．7、如图11，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）量得零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度_____x mm =．8、如图12，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CFAD=． 9、如图13，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高米．【答案】1.10、如图14，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是．【答案】144;三、耐心做一做，相信你的能力（共60′）1、（6分）如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．2、（6分）如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G ．求证：13GE GD CE AD ==．3、（8分）如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm,AC=12cm,动点D 从A 点出发沿AB 运动到B 点，动点E 从C 点出发沿CA 运动到A 点，点D 运动的速度是1cm/s ，点E 运动的速度为2cm/s, 如果两点同时运动，那么当以点A,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求两点运动的时间？4、（8分）如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 21。

29．5相似三角形的性质1.如果两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对应的高的比为_______，对应角分线的比为____2.已知：如图1，在A B C △中，D E ∥B C ，D E 分别与A B 、A C 相交于D 、E ，:1:3A D AB =．若2D E =，则BC =_________．3.若A B C △的周长为20cm ，点D E F ，，分别是A B C △三边的中点， 则D E F △的周长为（ ） Ａ．5cmＢ．10cmＣ．15cmＤ．20cm 34.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍5. 线段A B C D ，在平面直角坐标系中的位置如图2所示，O 为坐标原点， 若线段A B 上一点P 的坐标为()a b ，，则直线O P 与线段C D 的交点的 坐标为 ．6. 如图3，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，DOE S ∆∶COB S ∆＝4∶9， 则AE ∶EC 为（ ）A 、2∶1B 、2∶3C 、4∶9D 、5∶4图17. 如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点AD ∶BC ＝3∶7，则AO ∶OC ＝ ，AOD S ∆∶BOC S ∆＝ ，AOD S ∆∶AOB S ∆＝ 。

8．两个相似三角形面积之差为9cm 2，对应的中线的比是2∶3，这两个三角形的面积分别是 。

9. 如图5，在△ABC 中，AB ＝14cm ，95=BDAD ，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12cm ，求△ADE 的面积和周长。

参考答案1.１:４，１:４ ２.6 ３.Ｂ ４.D 5. (22)a b --， 6. A 7.3∶7，9∶49, 3∶7 8. 18 cm 2，27 cm 29. 分析：由AB ＝14cm ，CD ＝12cm 得ABC S ∆＝84，再由DE ∥BC 可得△ABC ∽△ADE ，有2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB AD S S ABCADE 可求得ADE S ∆，利用勾股定理求出BC 、AC ，再用相似三角形的性质可得△ADE 的周长。

北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（01）一、选择题（共9小题）1．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m＝时，n的值为（）A．4﹣2B．2﹣4C．﹣D．2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．3．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA：O1A1＝k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③＝k；④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2．成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：15．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015．若h1＝1，则h2015的值为（）A．B．C．1﹣D．2﹣6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD 于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH 上．若AB＝5，BG＝3，则△GFH的面积为何？（）A．10B．11C．D．二、填空题（共10小题）10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长是．11．如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC＝2，则EF的长是．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1＝2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为．14．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+＝．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是．16．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为．17．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④BC﹣BF＝EH其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）．18．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n 为正整数）19．如图，正方形ABCB1中，AB＝1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015＝．三、解答题（共11小题）20．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4＝0，求△ABC的面积．21．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．（1）求证：P A•PB＝PD•PC；（2）若P A＝，AB＝，PD＝DC+2，求点O到PC的距离．22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．23．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若＝，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．24．如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM＝DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE＝BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD＝1：2，且CM ＝2，则线段DG＝．25．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．26．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB＝90°，OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′＝BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB＝θ是否成立？请说明理由．27．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．28．如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝．（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．29．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（01）参考答案一、选择题（共9小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．D；6．C；7．C；8．C；9．D；二、填空题（共10小题）10．6；11．5；12．；13．3.6；14．1；15．18；16．5；17．①③；18．；19．2（）2014；三、解答题（共11小题）20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（06）一、选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（）A．B．C．D．2．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（）A．B．C．2D．33．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED 的值为（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：54．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．5．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝，则△CEF的面积是（）A．B．C．D．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC＝（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：27．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，AD＝CD，CE 平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF＝AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM＝AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD ＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（）A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae9．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙10．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN 的面积比为（）A．B．C．D．11．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A．B．C．D．12．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a13．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF的面积为（）A．1B．2C．3D．414．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．815．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD 相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC 于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（共9小题）16．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝．17．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：BE＝．18．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．19．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．20．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．21．如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形，且A1、A2、A3…在AC边上，B1、B2、B3…在AB边上．则线段B n∁n的长用含n的代数式表示为．（n为正整数）23．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝..24．如图，AB是⊙O的直径，，AB＝5，BD＝4，则sin∠ECB＝．三、解答题（共6小题）25．如图l，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC于点0，F是线段AO上的点（与A，0不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BE，BF．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．27．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究∠ABC 与∠ACN的数量关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．29．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F 在边AB上，点G在边BC上．（1）求证：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．30．如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD＝AE．（1）求证：AB＝AC（2）若BD＝4，BO＝2，求AD的长．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（06）参考答案一、选择题（共15小题）1．B；2．B；3．A；4．C；5．A；6．D；7．D；8．A；9．D；10．B；11．A；12．C；13．D；14．D；15．B；二、填空题（共9小题）16．5；17．3：5；18．16；19．；20．5；21．；22．（）n；23．；24．；三、解答题（共6小题）25．；26．；27．；28．；1.8或2.5；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（07）一、选择题（共1小题）1．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN＝PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共9小题）2．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为．3．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD＝，BP＝，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF＝．4．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若＝2，则＝．6．正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE＝DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB＝3，AG＝，则线段EH的长为．7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．8．如图所示，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP+BP＝．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4cm，则EF+CF的长为cm．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（共7小题）11．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．12．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．13．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．14．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．15．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；（2）在图②中，若AP1＝2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE 面积的最大值．16．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．17．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．（1）求证：AC＝AD+CE；（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（07）参考答案一、选择题（共1小题）1．D；二、填空题（共9小题）2．7；3．；4．2.4cm或cm；5．或；6．或；7．（2，4﹣2）；8．12；9．5；10．①②④；三、解答题（共7小题）11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；。

4.5《相似三角形判定定理的证明》同步练习一、选择题1.下列语句正确的是( )A.在△ABC 和△A ´B ´C ´中,∠B=∠B ´=90°,∠A=30°,∠C ´=60°,则⊿ABC 和⊿A ´B ´C ´不相似;B.在⊿ABC 和⊿A ´B ´C ´中,AB=´5,BC=7,AC=8,A ´C ´=16,B ´C ´=14,A ´B ´=10,则⊿ABC ∽⊿A ´B ´C ´;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.如图，在正三角形ABC 中，D 、AC AD E 分别在AC 、AB 上，且＝31，AE ＝BE ，则有（ ） A.△AED ∽△BED B.△AED ∽△CBD C.△AED ∽△ABD D.△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)3．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm5．如图33－7，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( )A ．∠BAD ＝∠CAEB ．∠B ＝∠D C.BC DE ＝AC AE D.AB AD ＝AC AE图33－7 图33－86．如图33－8，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形 （填相似或不相似）8. 如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。