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导数的应用1-导函数图象及单调性

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全国名校高中数学优质课时专题训练汇编（附详解）

1．利用导数判断函数的单调性的方法：

如果函数()yfx在x的某个开区间内，总有()0fx，则()fx在这个区间上是增函数；如果函数()yfx在x的某个开区间内，总有()0fx，则()fx在这个区间上是减函数．

2．利用导数研究函数的极值：

已知函数()yfx，设0x是定义域内任一点，如果对0x附近的所有点x，都有0()()fxfx，则称函数()fx在点0x处取极大值，记作0()yfx极大．并把0x称为函数()fx的一个极大值点．

如果在0x 附近都有0()()fxfx，则称函数()fx在点0x处取极小值，记作0()yfx极小．并把0x称为函数()fx的一个极小值点．

极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．

3．求函数()yfx的极值的方法：

第1步 求导数()fx；

第2步 求方程()0fx的所有实数根；

第3步 考察在每个根0x附近，从左到右，导函数()fx的符号如何变化．如果()fx的符号由正变负，则0()fx是极大值；如果由负变正，则0()fx是极小值．如果在()0fx的根0xx的左右侧，()fx的符号不变，则0()fx不是极值．

4．函数()fx的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值．

求函数最大（小）值的方法：

第1步 求()fx在指定区间内所有使()0fx的点；

第2步 计算函数()fx在区间内使()0fx的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．

题型一：原函数与导函数的图象 知识内容

典例分析

板块三.导数的应用 全国名校高中数学优质课时专题训练汇编（附详解）

【例1】 函数()fx的导函数图象如下图所示，则函数()fx在图示区间上（ ）

Oyx A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点

【例2】 函数()fx的定义域为开区间()ab，，导函数()fx在()ab，内的图象如图所示，则函数()fx在开区间()ab，内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

baOyx

【例3】 若函数2()fxxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数()fx的图象不过第几象限?

【例4】 若函数2()fxxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数()fx的图象可能为（ ）

D.C.B.A.xyOxyOxyOOyx

【例5】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ） 全国名校高中数学优质课时专题训练汇编（附详解）

D.C.B.A.OtsOtsstOOts

【例6】 设()fx是函数()fx的导函数，()yfx的图象如下图所示，则()yfx的图象可能是（ ）

-121OyxD.C.B.A.12121221xyOxyOxyOOyx

【例7】 已知函数fx的导函数fx的图象如右图所示，那么函数fx的图象最有可能的是（ ）

-11 f '(x) yxO

【例8】 已知函数()yxfx的图象如右图所示（其中()fx是函数()fx的导函数），下面四个图象中()yfx的图象大致是（ ） 全国名校高中数学优质课时专题训练汇编（附详解）

-1-2-1211Oyx

D.C.B.A.-1-2-2-121Oyx2112xyO12-1-2-2-112xyO12-1-2-2-1-1-2-2-121Oyx21

【例9】 ()fx是()fx的导函数，()fx的图象如图所示，则()fx的图象只可能是（ ）

2yxO

2222D.C.B.A.OxyOxyyxOOxy

【例10】

如果函数yfx的图象如图，那么导函数()yfx的图象可能是（ ）

xyy=f(x)

yyyxxxyxDCBA 全国名校高中数学优质课时专题训练汇编（附详解）

【例11】 设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

D.C.B.A.yyyyxxxxOOOO

【例12】 如图所示是函数()yfx的导函数()yfx图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）

Oyx432-2 A．在区间(20)，内()yfx为增函数

B．在区间(03)，内()yfx为减函数

C．在区间(4)，内()yfx为增函数

D．当2x时()yfx有极小值

【例13】 如果函数()yfx的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 全国名校高中数学优质课时专题训练汇编（附详解）

12-3-2-1543210 yx

①函数()yfx在区间13,2内单调递增；

②函数()yfx在区间1,32内单调递减；

③函数()yfx在区间(4,5)内单调递增；

④当2x时，函数()yfx有极小值；

⑤当12x时，函数()yfx有极大值；

则上述判断中正确的是___________．

【例14】 函数321()2fxxx的图象大致是 （ ）

DCBA1xyyxyxyxOOOO

【例15】 已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（ ）

A．2lnfxxx B．2lnfxxx

C．lnfxxx D．lnfxxx

yx1O

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【教育专用】高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值导数与函数的单调性教案1北师大版选修2_2

【教育专用】高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值导数与函数的单调性教案1北师大版选修2_2

教育学习+K12

教育学习+K12 导数与函数的单调性（一）

一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数单调性的判定

教学难点：函数单调区间的求法

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．

（二）．新课探究

1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动

中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1

（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t

变化的函数'()()9.86.5vthtt的图

像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入

水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．

2．函数的单调性与导数的关系 教育学习+K12

教育学习+K12 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3.3-3，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．

在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；

导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)

导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)

导数在函数中的应用

一、知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

条件 f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

形如山峰

形如山谷

极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值

极值点 x0为极大值点 x0为极小值点

3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

二、例题精讲 + 随堂练习

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )

(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )

解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.

(3)函数的极大值也可能小于极小值.

(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

高中数学第三章导数应用31函数的单调性与极值导数与函数的单调性1北师大版2-2.

高中数学第三章导数应用31函数的单调性与极值导数与函数的单调性1北师大版2-2.

- 1 - 导数与函数的单调性（一）

一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数单调性的判定

教学难点：函数单调区间的求法

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．

（二）．新课探究

1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动

中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1

（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t 变化的函数'()()9.86.5vthtt的图

像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入

水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．

2．函数的单调性与导数的关系 - 2 - 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3.3-3，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．

在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；

[k12精品]高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值导数与函数的单调性教案1北师大版选修2_2

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k12精品

K12精品文档学习用 导数与函数的单调性（一）

一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数单调性的判定

教学难点：函数单调区间的求法

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．

（二）．新课探究

1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动

中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1

（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t

变化的函数'()()9.86.5vthtt的图

像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入

水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．

2．函数的单调性与导数的关系 k12精品

K12精品文档学习用 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3.3-3，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．

在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；