导数的应用之导数与函数的单调性(导学案)

函数的单调性与导数导学案

课题 函数的单调性与导数

学习目标 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

学习重点 探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

学习难点 探索函数的单调性与导数的关系。

教学方法 问题启发式

学生学习过程 师生合作探究

复习 1：导数的几何意义

复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法（图像法，定义法）

问题提出：判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）

那么如何判断;,0,sin)(xxxxf的单调性呢？

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数105.69.4)(2ttth的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(tthtVh的图像。

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最

尝试用图像和定义去解决。

【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？

通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地， 。

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地， 。

高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现)(')(thth和这两个函数图像有什么联系吗?

问题2：结合函数xy，2xy，3xy，

导数与函数单调性

【课标要求】

1．掌握函数的单调性与导数的关系．

2．能利用导数研究函数的单调性．

3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

【核心扫描】

1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点)

2．利用导数证明一些简单不等式．(难点)

3．常与不等式、方程等结合命题教学过程：

一、复习引入、回顾思考

1.导数的几何意义:

2.常见函数的导数公式：

3.求导法则：

4.思考：

（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？

（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,yx2yx的单调性，如何进行？

（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？

（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？ 有没有捷径？

5．探究活动、观察与表达

通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？

填表（表格1）

填表（表格2） 函数解析式 定义域 图像(草) 单调性 导数 导数的正负

32()233616fxxxx()yfxx()25yfxx()34yfxx

二、建构数学

探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.

从函数342xxy的图象

可以看到：

探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系

结论：一般地,设函数y＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间

注： 函数解析式 定义域 图像(草) 单调性 导数 导数的正负

y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率正负 f′(x)导数正负

(2，+∞) （）函数

(－∞，2) （）函数 ()2xyfx1()()2xyfx3()logyfxx12()logyfxx

第 1 页 共 5 页 1.1 导数与函数的单调性(一)学案（含答案）

1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性一学习目标

1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点函数的单调性与导数思考1已知函数1y2x1，2y3x，3y2x，请判断它们的导数的正负与它们的单调性之间的关系答案1y20，y2x1是增函数；2y30，y3x是减函数；3y2xln20，y2x是增函数思考2观察图中函数fx，填写下表导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性00锐角上升增加的00钝角下降减少的梳理函数的单调性与导数符号的关系导数符号单调性在某个区间内，fx0在这个区间内，函数yfx是增加的在某个区间内，fx0在这个区间内，函数yfx是减少的1函数fx在定义域上都有fx0，则函数fx在定义域上是减少的2函数fx在某区间内是增加的，则一定有fx0.3函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大类型一函数与导数的图像间的关系例11fx是函数yfx的导函数，若yfx的图像如图所示，则函数yfx的图像可能是考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图像确定原函数图像答案D解析由导函数的图像可知，当x0时，fx0，即函数fx为增函数；当0x2时，fx0，即fx为减函数；当x2时，fx0，即函数fx为增函数观察选项易知D正确2设函数fx在定义域内可导，yfx的图像如图所示，则导函数yfx的图像可能为考点第 2 页 共 5 页 函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数的图像答案D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像反思与感悟函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像跟踪训练1在同一坐标系中作出三次函数fxax3bx2cxda0及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是ABCD考点题点答案C解析当fx0时，yfx是增加的；当fx0时，yfx是减少的故可得，中函数图像的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误类型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间1yx2lnx；2yxb0考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间解1函数yx2lnx的定义域为0，，又y.若y0，即解得x1；若y0，即解得0x

- 1 - §3.3.1函数的单调性与导数(第 1课时)

[自学目标]:

1. 会熟练求导，求函数单调区间，证明单调性。

2. 会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况

[重点]: 会熟练用求导，求函数单调区间

[难点]: 证明单调性

[教材助读]:

1、复习回顾：求导公式和运算法则

（1）常函数：

（2）幂函数 ：

（3）三角函数 ：

（4）对数函数的导数:

（5）指数函数的导数:

运算法则：

2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系

在某个区间(a,b)内,如果________,那么函数()yfx在这个区间内单调递增; 如果()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调________. 如果恒有'()0fx，则()fx是________。

[预习自测]

1、 已知导函数()fx 的下列信息:

当1 < x < 4 时, ()0;fx

当 x > 4 , 或 x < 1时, ()0;fx

当 x = 4 , 或 x = 1时, ()0.fx

试画出函数()fx的图象的大致形状.

探究一：利用单调性求单调区间

判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

32(1) ()3; (2) ()23;fxxxfxxx

(3) ()sin,(0,); fxxxx 32(4) ()23121.fxxxx

- 2 - （5） xxyln （6）33xyex

探究二：利用单调性判断函数图象

如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时,

函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.