导数在研究函数中的应用导数与函数单调性

[利用导数研究函数的单调性]《导数与函数的单调性》教学反思

【--个人简历表格】

本节课采用导学案引导自学法。 首先，复习函数单调性的定义，单调性又名增减性，判断函数的单调性有两种方法：图像法和定义法。 然后，要求学生自行阅读课本P57—P58，完成表格，表格将课本实例分析中的8个函数全部罗列出来，完成后观察表格的第3列和第6列，说明导数的正负与函数的单调性有何关系？学生易得出结论。从而说明判断函数的单调性还可以用导数法。 接下来，讲解例1，实际操作，说明如何利用导数判断函数单调性，根据讲解过程，让学生总结求解的一般步骤，并做了2个练习。 很不巧，此时下课铃声响了，本节教学任务没有完成。 本节课，我设计了三个题型，仅完成了一个。 课堂时间之所以把控的不好，原因很多，我反思之后，主要原因有以下两点: (1)学生基础差，对单调性的知识点掌握不扎实，且自主学习习惯尚未养成，导致阅读课本填表格的时间过长。我在想，是否可以让学生提前复习单调性的概念，并预习课本完成表格，以提高课堂效率。其实，本来也是这样打算的，但由于对学生的学习态

度不自信，所以放弃了，想着课堂上也能完成，结果估计不足。应该对学生多一点信心和耐心，行为习惯的养成不是一朝一夕能做到的。 (2)例1中，求导后的计算涉及到不等式的求解，学生对此知识点的把握也不是很到位，教师只能先带领学生回忆不等式的解法，再进行例1的求解。如此，时间又被耽误了。对于这一点，我也预估不足，说明我在备课时，对学情的分析不足。

ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡＯＸＵＥ　ＣＡＮＫＡＯ　舾　｜ｕ　辑｜　搿辨　黪秘ｌ　瓣。瓣｜　

例谈导数在研究函数的单调性中的应用　

河南开封第二十五中学（４７５０００）　王付奇　

函数是高中数学中极为重要的内容，而导数则是研　

究函数性质的重要且有力的ｌＴ具，特别是对于函数的单　

调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析．同时利　

用导数研究函数的单调性是导数的最基本、最重要的应　

用之一，是进一步研究函数的极值、最值等其他重要性　

质的基础．利用导数求函数的单调性的关键是解不等　

式，特别是含有参数的不等式既是重点，也是难点．下面　

通过例题说明导数在研究函数的单调性中的应用．　

一、求函数的单调区间　

【例１】　已知＿厂（　）一　。＋ｎ　＋　＋ｎ，求　二＝＝ｆｏｒ）　

的单调区间．　

解：由厂（　）一ｚ。＋ｎ　＋　＋“得　

厂（　）一３ｚ　＋２“　＋１．　

（１）当一√３≤＆≤√３时，　（ｚ）≥０，则ｆ（ｚ）在　

（～ｍ，＋一）上为增函数．　

（２）当“＜一√３或“＞√３时，由　（　，）＝＝＝０得　

“＋　巧　一“、／／　二　ｚ　一——　～　２一—～　＿。　

由厂（　）＞０得＿厂（　）在（一。。，　），（　。，＋ｏｏ）上为　

增函数，巾　，　（ｚ）＜０得＿，’（　）在（　，ｚ：）上为减函数．　

利用导数求函数的单调区间是一类常见问题，其中　

含参数的函数的单调性问题既是重点，也是难点．其着　

重考查学生对分类讨论的思想方法的理解和掌握，特别　

是含参数的一元二次不等式的解法．　

二、已知函数单调－陡。求参数的取值范围　

【例２】　已知函数厂（　’）一（　一２ａｘ）ｅ　（ｎ∈Ｒ）在　

［～１，１］上是单调函数，求“的取值范围．　

解：对函数，、（　）求导数得　

（　）一（－１，　＋２ｘ　２“ｚ～２ａ）ｅ　．　

令　（　）＝０，得３７　＋２（１－－ａ）　一２ａ一０，则　

一“一１～￣／ｎ。＋１，３７７一＆一１＋￣／ｎ　＋１．　

由，　（　）＞０得，　（　）在（一ｃ＝－×＝一，　），（ｚ：，＋ｃ。）上为　

２０１３年第２期　中学数学月刊　・　２５　・　

“导数在研究函数单调牲中的应用”韵教学设计与反恩　

范晖　（江苏省木渎高级中学　２１５１０１）　

导数在研究函数单调性中的应用是学习的　

重点，也是学习的难点．以下内容是这节课的教学　

设计与反思，试图帮助学生突破重点、解决难点．　

１　教学目标　

（１）了解函数的单调性与导数的关系，能利　用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多　

项式函数的单调区间．　

（２）通过实例，借助几何直观探索并了解函　

数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数　

方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数在　

研究函数性质中的一般性和有效性．　

２　教学重点和难点　

重点：利用导数研究函数的单调性．　

难点：发现和揭示导数的正、负与函数单调性　

的关系．　３　教学过程　

３．１　问题导入　问题１　作出下列函数的图象：　

（１）ｆ（ｘ）一ｚ。；（２）ｆ（ｘ）一ｌｏｇ￣Ｘ．　

师：先请两个学生在黑板上分别作出上述两　

个函数的图象（图１、图２），其余同学在草稿纸上　

作，然后观察函数的图象并判断函数的单调性．　

一　

．ｒ　｜一　

／　ｙ　Ｊ　

０　１　

图１　图２　

生：函数－厂（　）一ｚ。在区间（一。。，＋。。）上是　

单调递增函数；函数＿厂（ｚ）一ｌｏｇ￣ｘ在区间（Ｏ，　

＋。。）上是单调递减函数．　

师：导数和函数的单调性有着怎样的联系　

呢？　生：因为导数和函数的单调性都是对函数变　

化趋势的一种描述，所以导数和函数的单调性有　

着必然的联系．　师：请同学们过图象上的点作出图象的切线，　

发现了什么？　生：图１中的切线斜率为正，图２中的切线斜　

率为负．　

师：回顾导数的几何意义，说明了什么？　

生：函数，（　）一ｚ　在区间（一。。，＋。。）上的　

导数为正；函数ｆ（ｘ）－－ｌｏｇ￣ｚ在区间（０，＋ｃ×。）上　的导数为负．　

师：上面回答是否正确呢？　

对于函数厂（　）一　。，Ｖ　∈（一。。，＋。。），　

，　（ｚ）一３ｘ。≥０；　

对于函数，（ｚ）＝＝＝ｌｏｇ￣ｘ，Ｖ　ｚ∈（０，＋Ｃｘ３），　

导数在函数单调性中的应用

利用导数判断函数的单调性是高考必考内容之一，是高考考查的重点，其主要题型以函数单调区间的求解，单调性的证明，求参变量的取值范围为主。而熟练掌握导数与函数单调性的关系是解题的突破口。

题型一、函数单调性的证明

例1：已知a>0，且a≠1，证明函数y=ax-xlna在（-∞，1）内是减函数。

分析：此题是利用导数证明单调性的问题，直接利用导数的符号与函数单调性的关系证明即可。

解：y`=axlna-alna

当a>0时

因为y`=lna(ax-a)，lna>0，ax

所以y`<0，即y在（-∞，1）上是减函数

当0

因为lna<0，ax>a

所以y`<0，即y在（-∞，1）上是减函数

点评：在求解一个函数单调区间时，函数的导数往往可以化成两个基础函数的积或商的形式，我们要在基础函数成立的基础上加以讨论。

题型二、确定函数的单调区间

例2：确定函数f（x）=x2-x3的单调区间

分析：根据求函数的单调区间的步骤，先求出f’（x），然后解不等式f’（x）>0，可得单调递增区间，再解不等式f’（x）<0得单调递减区间。

解：因为f’（x）=2x-3x2，令2x-3x2>0，解得320x

所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，32）

令2x-3x2<0，解得x>32或x<0

所以，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（32，+∞）

点评：使y’>0的取值区间如为一个，则此区间为其单调区间，如为两个或两个以上，在各自区间上均为单调函数，在这里不能将这两个区间并起来。如：此函数单调递减区间写成 （-∞，0）∪（32，+∞）就错了，这是一个取值范围，而在其上函数不具有单调性。

题型三、求参变量的范围

例3：已知函数f（x）=ax3-x2+x-5在（-∞，+∞）上是单调递增函数，求a的取值范围。

解：f’(x)=3ax2-2x+1

因为f（x）在R上单调递增

所以，f’(x)≥0