高数学《平面向量》教案
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向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
2、教学目标
（1）知识目标：理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；
（2）技能目标：理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
（3）能力目标：了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；
（4）德育目标：通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力。
3、教学重点：
本节重点是向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示。
4、教学难点：
向量概念的理解
5、学法：
引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量.对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系．由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义，且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份，地位和作用. 对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向．讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系．
6、教具：多媒体或实物投影仪，尺规
7、授课类型：新授课
8、教学过程
【活动阶段】通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些（物理）量
问题1：（多媒体演示）老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？
学生：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
教师分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量。
问题2：请同学指出现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
学生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向；
教师分析：同学们所举的例子都是很典型的既有大小又有方向的量；在我们数学既有大小又有方向的量我们称之为向量。
点评：教师通过一个简单的“猫抓老鼠”的实例激发学生的学习兴趣，再通过分析结果解析猫抓不到老鼠的原因，从而引出有大小和方向的量，即向量；实例通俗易懂，有趣味，现象到抽象过度自然。
【过程阶段】通过分析实例，把具体实例抽象成数学问题，具体到普遍性，引导学生对向量由感性认识升华到对数学理论知识的理解，引导学生去总结发现数学概念中向量的定义
问题3：通过前面的分析，同学们总结一下，向量的概念是什么？即满足什么条件的量才叫向量？
学生：既有大小又有方向的量我们称之为向量；满足两个条件：①是有大小：②是有方向
点评：让学生自己发现，总结归纳出向量的概念（启发学生思考，激活他们的思维，让学生对向量概念有着深刻的印象）。
【对象阶段】通过提问问题，引导学生去发现、归纳出向量数量的区别；向量的表示；特俗向量；相等向量；相反向量；共线（平行）向量等需要我们了解注意的问题
问题3：数量与向量有何区别？
学生：数量只有大小，没有方向；向量有大小和方向；
教师分析：数量（即实数）只有大小，没有方向，例如：-1，0，3；而向量是有方向和大小的，例如我们前面提到的力、速度、加速度等等。
问题4：物理中的力我们是如何表示的？那么向量又应该怎么样表示？
学生：有向线段
教师分析：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
如图：（多媒体演示）向量可用有向线段AB表示，
其中A为起点，B为终点
问题5：我们在书写的时候应该怎么样书写才能把数量
和向量却别开呢？
学生：为了表示有方向，要加→，即a、b、c等，或者是AB；
教师分析：用字母a、b、c等表示或者是用有向线段的起点与终点字母AB表示；
问题6：向量的大小如何表示？
学生：就是表示它的有向线段的长度
教师分析：向量的大小就是表示它的有向线段的长度，我们成其为向量的模，用数学符号：
|AB|表示；
问题7：实数有大小和相等，那么向量呢？也有大小和相等吗？
学生1：有
学生2：不一定（一脸的疑惑）
教师分析：因为向量是有大小和方向的量，所以不能比较大小；但只要满足方向相同，模相等，那我们就说这两个向量是相等的。（给出了相等向量必须满足的条件：方向相同；A(起点) B
（终点） a 模相等。）
问题8：如果把向量a从平面内的某一位置平移到另一位置，结果会怎么样？即方向会改变吗？模呢？你能得出什么结论？
学生1：不会，把向量a从平面内的某一位置平移到另一位置：向量a还是向量a；
学生2：向量是可以随便平移的
教师分析：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.
问题9：实数中我们有任何数加上0还是原来的数；任何数×1结果还是原来的数；那么在向量中有没有类似的性质？
学生：零向量？1向量？（有点不够自信）
教师解析：向量中有着它的特殊向量：就是零向量，用0表示；单位向量（常用e表示），而不是1向量
问题10：这两个向量有什么特殊性质呢？
学生：长度为零，长度为1
教师进一步分析：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量（强调：如图，只要是模为1的向量都是单位向量）；说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
问题11：既然向量不能比较大小，除了相等，还有其他的关系吗？
学生：还可以分为平行和不平行
教师分析：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
特别说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ平行，记作ａ∥ｂ
（3）平行向量也叫共线向量这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．。
问题12：向量平行（共线）于我们平面几何中的直线平行（线段共线）一样吗？
学生：应该不一样吧
教师分析：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系（3）线段的共线指的是两条线段同在一条直线上。
点评：通过问答结合，逐步引导学生深入理解向量的关系和性质，只有学生自己发现问题，再通过自己的思考解决的问题才能在脑海中形成自己的知识体系 【图式阶段】通过前三个阶段，学生对向量有了一定的理解；本阶段即让学生知道本课主要学习内容是什么？如何应用来解决实际问题？这节课我们学到了那些知识？
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3：下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（FEDOCB,,）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本88页练习
师生共同总结本课知识：
（1）向量的概念；（2）向量的表示；（3）特殊向量；（4）向量的关系（相等、平行）
点评：通过一系列的问答，再次激发学生思维，对向量有关内容的回放，为后面向量的应用和运算打下坚实的基础。
