“圆” 专题训练(拓展)

“圆” 专题训练（拓展）

一、知识梳理。

具体内容 重 点 知 识

圆的认识(一) 1、圆的特征：圆是一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。

2、圆规画圆的方法：a.把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；b.把针尖的一只脚固定在一点上；c.把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画一个圆。

3、圆各部分名称：圆心用字母O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。

4、圆有无数条直径，无数条半径；同（等）圆内的直径都相等，半径都相等。

5、圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，圆的半径决定圆的大小。

圆的认识（二） 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。

2、同一圆内半径与直径的关系：在同一圆里，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=。

3、图形的旋转对称性：正方形绕中心点旋转一周，与原图形重合四次；等边三角形绕中心点旋转一周，与原图形重合三次；圆绕中心点旋转一周，与原图形重合无数次。

圆的周长 1、圆的周长的意义：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径大的圆的周长大，直径小的圆的周长小。

2、圆周率的意义：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14

3、圆的周长计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=d或C=2r。

4、圆的周长计算公式应用：

（1） 已知圆的半径，求圆的周长：C=2r 。

（2） 已知圆的直径，求圆的周长：C=d 。

（3） 已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷（2）。

（4） 已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷。 圆的面积 1、圆的面积的意义：圆形物体所占平面的大小就是圆的面积。

2、圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是S=r2.

3、圆的面积计算公式的应用

（1） 已知圆的半径，求圆的面积：S=r2。

（2） 已知圆的直径，求圆的面积：r=，S=r2或S=（）2。

（3） 已知圆的周长，求圆的面积：r=C÷2，S=r2或S=（C÷2）2。

4、圆环的意义：是指两个半径不相等的圆，当圆心重合时的两圆之间的部分；也可以概括说是；两个半径不等的同心圆之间的部分。

5、圆环的计算方法：用S表示圆环的面积，圆环的面积计算公式为S=R2-r2或S=(R2-r2)。

6、圆环面积的计算公式的应用：

（1） 已知外圆半径和内圆半径，求圆环的面积：S=R2-r2或S=(R2-r2)。

（2） 已知圆环内、外圆的直径，求圆环的面积：S=（D÷2）2-(d÷2)2。

（3） 已知内圆直径和环宽（L），求圆环的面积：S=()2-()2或S=(+L)2-()2。

（4） 已知外圆直径和环宽（L），求圆环的面积：S=（）2-()2。或S=

（）2-()2。

（5） 已知内圆周长和环宽，求圆环的面积：S=（+L）2-()2。

（6） 已知外圆周长和环宽，求圆环的面积：S=()2-()2。

二、例题精讲。

例1、在一个边长为21分米的正方形纸板上，想剪出半径是1.5分米的圆，最多可以剪几个？

【分析】半径是1.5分米的圆，直径就是1.5×2=3（分米）。而正方形纸板的边长为21分米，所以横着在正方形纸板上就可以剪出21÷3=7（个）半径是1.5分米的圆，竖着也可以剪出7个半径是1.5分米的圆。因此，在一个边长为21分米的正方形纸板上，最多可以剪出49个半径是1.5分米的圆。

解：1.5×2=3（分米）

21÷3=7（个）

7×7=49（个）

答：最多可以剪49个。

小结：在研究正方形纸板或长方形纸板上最多可以剪几个圆这类问题时，通常我们先求出在正方形纸板或长方形纸板上横着可以剪几个圆，再求竖着可以剪几个圆，然后用它们相乘就可以得到正方形纸板或长方形纸板上最多可以剪几个圆。

例2、张师傅用铁丝把3根直径均为10厘米的圆柱捆在一起（不计接头），把3根圆柱捆一周要用多少厘米铁丝？

解法一

【分析】如果把3根圆柱并排捆在一起，排成“一”字形（如图一）由图一可以看出，捆好这3根圆柱所用的铁丝的长度等于4条直径的长度+1根圆柱横截面的周长。

解：10×4+10×3.14=71.4（厘米）

答：把3根圆柱捆一周要用71.4厘米铁丝。

解法二

【分析】如果把3根圆柱捆成“品”字形（如图二），不难看出，这样捆一周需要铁丝的长度等于3条直径的长度+1根圆柱横截面的周长。

解：10×3+10×3.14=61.4（厘米）

答：把3根圆柱捆一周要用61.4厘米铁丝。

例3、草场上有一个木屋，木屋的底面是一个边长3米的正方形，点A是木屋的一角，在A点有一木桩，用6米长的绳子拴着一匹马，这匹马的活动范围有多大？

【分析】在绳子被拉直的情况下马的活动范围最大，应是以6米为半径的圆和以3米为半径的2个圆（如下图），这些面积的和就是马的活动范围。

解：3.14×62×+3.14×32××2

=3.14×36×+3.14×9××2

=3.14×27+3.14×9×

=98.91（米2）

答：这匹马的活动范围是98.91米。

三、专题特训。

1、在一个直径是10米的圆形场地周围栽树，每隔1.57米栽一棵，一共可以栽多少棵？

2、小明骑一辆车轮外直径为80厘米的自行车，绕长度为200.96米的操场转圈，如果车轮每分转80圈，小明骑自行车绕操场一圈大约需要多长时间？

3、猫和狗在一个直径是100米的圆周上的同一点向相反的方向运动，猫每分走12.56米，狗每分走18.84米。当猫和狗相遇时，猫比狗少走了多少米？

4、两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是4分米，另一个轮子转1周时，它要转4周，另一个轮子的直径是多少？

5、一根长125.6分米的绳子，正好绕一棵树干10圈，树干横截面的面积是多少平方分米？

6、已知图中圆的面积是28.26厘米，那么正方形的面积是多少平方厘米？

7、拥军社区修建一个圆形花坛，周长是25.12米，在花坛周围又修了一条宽1米的环形小路。小路的面积是多少？

8、已知半圆的周长是51.4厘米，求这个半圆的直径是多少厘米？

9、一块边长为10米的正方形草地（如图），在相对的顶点上各有一棵树，树上各拴着一头牛，绳长都是10米。两头牛都能吃到草的面积是多少平方米？

10、奥运五环（如下图），假设每个外圆的半径都是8厘米，内园的半径都是6厘米，两圆每个相交处的面积大约是4平方厘米，这个图形的面积是多少平方厘米？

参考答案

1、解：在一个圆形的场地栽树，要先求出这个圆形场地的周长。因为每1.57米就栽一棵，所以周长中有多少个1.57米就能栽多少棵树。

10×3.14÷1.57=20（棵）

答：一共可以栽20棵。

2、解：这道题要求的是一圈要用多长的时间，可以用总路长除以速度便可以求出。总路长是200.96米，速度就是自行车80圈的距离，所以先求出自行车一周的长度再乘以80圈就是小明的骑自行车的速度了。

200.96米=20096厘米

20096÷（80×3.14×80）=1（分）

答：小明骑自行车绕操场大约需要1分钟。

3、解：这道题实际是相遇问题。这个圆的周长就是猫和狗的总路程，根据它们的速度可以求出它们的速度和，这样就可以求出它们的相遇时间。再用相遇时间乘以速度差便是猫比狗在同一时间里少走的路程。

100×3.14÷（18.84+12.56）=10（分）

10×（18.84-12.56）=62.8（米）

答：当猫和狗相遇时，猫比狗少走了62.8米。

4、解：3.14×4×4÷3.14=16（分米）或4×4=16（分米）

答：另一个轮子的直径是16分米。

5、解：要想求树干的横截面，要知道树干的直径。树干的直径用树干的周长除以3.14。树干的周长为125.6÷10。即

（125.6÷10÷3.14÷2）2×3.14=12.56（分米2）

答：树干的横截面的面积是12.56分米2。

6、解： 方法一，28.26÷3.14 =9（平方厘米）

整数范围内只有3×3=9，所以可知圆的半径为3厘米，直径为6厘米。

正方形的面积：6×6=36（平方厘米）

方法二，正方形边长等于2r，它的面积等于2r·2r=4r2，所以可先求出r2.

28.26÷3.14=9（平方厘米）

正方形的面积：4×r2=4×9=36（平方厘米）

答：正方形的面积是36平方厘米。

7、解：这道题是对圆环面积的练习，要先求出圆形花坛的半径，（25.12÷3.14÷2）。再根据条件，利用圆环的面积：S=R2-r2，可以求出小路的面积。

25.12÷3.14÷2=4（米）

3.14×（4+1）2-3.14×42=28.26（米2）

答：小路的面积是28.26米2。

8、解：设这个半圆的直径是x厘米。

x+×3.14x=51.4

2.57x=51.4

X=20

答：这个半圆的直径是20厘米。

9、解：两头牛都能吃到草的面积如图所示：

3.14×102××2-10×10=57（米2）

或（3.14×102×-10×10×）×2=57（米2）

答：两头牛都能吃到草的面积是57平方米。

10、解：(3.14×82-3.14×62)×5-4×8=407.6（平方厘米）

答：这个图形的面积是407.6平方厘米。