数列5

[课堂练通考点]

1．(2013·安徽“江南十校”高三联考)已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a2n(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝( )

A．－1或2 B．0或2

C．2 D．1

解析：选C 由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a2n，

解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)，

又bn＋1bn－1＝b2n＝2bn(n≥2)，

所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.

2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时.若a6＝1，则m所有可能的取值为( )

A．{4,5} B．{4,32}

C．{4,5,32} D．{5,32}

解析：选C an＋1＝ an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时，注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32.

3．(2013·武汉武昌联考)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．

解析：由题意知等差数列{an}的公差d＝a3－a12＝2，则a4＝8，a5＝10，设所加的数为x，依题意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.

答案：－11

4．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．

解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，

由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，

所以由题意可得21－2n1－2≥100，即2n≥51，

而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.

答案：6

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.

当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，

故an＝2n－1(n∈N*)．

又数列{bn}为等比数列，设公比为q，

∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.

∴bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.

Tn＝c1＋c2＋c3＋„＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋„＋(2n－1)

＝(21＋22＋„＋2n)－n＝21－2n1－2－n.

所以Tn＝2n＋1－2－n.

[课下提升考能]

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}( )

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列

D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

解析：选C ∵Sn＝an－1(a≠0)，∴an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，

即an＝ a－1，n＝1，a－1an－1，n≥2.

当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．

2．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：

p1：数列{an}是递增数列；

p2：数列{nan}是递增数列；

p3：数列ann是递增数列；

p4：数列{an＋3nd}是递增数列．

其中的真命题为( )

A．p1，p2 B．p3，p4

C．p2，p3 D．p1，p4

解析：选D 设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但ann＝1＋1n是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．

3．(2013·湖南省五市十校联合检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为( )

A．2n－1 B．n

C．2n－1 D.32n－1

解析：选D 由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，

∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，

两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，

又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，

∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，

∴an＝32n－1.

4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，„为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a2 012－5＝(

)

A．2 018×2 012 B．2 018×2 011

C．1 009×2 012 D．1 009×2 011

解析：选D 结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋„＋n＋2.所以a2 012－5＝4＋5＋„＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D.

5．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往

返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．

解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋„＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋„＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋„＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋„＋0＋10＋20＋„＋100)＝2 000米．

答案：2 000

6.创新题设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 013项和为________．

解析：由“凸数列”的定义，可知，b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，„，故数列{bn}是周期为6的周期数列，又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，故数列{bn}的前2 013项和S2 013＝b1＋b2＋b3＝1－2－3＝－4.

答案：－4

7．(2014·济南高考模拟考试)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.

(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝bn＋2an＋2(n∈N*)，求证：cn＋1

解：(1)由an＋1＝2Sn＋1①，

得an＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)②，

①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，

∴an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)，

又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，∴an＝3n－1.

∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，

∴bn＝3n－6.

(2)证明：∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，

∴cn＝3n3n＋1＝n3n，

∴cn＋1－cn＝1－2n3n＋1<0，

∴cn＋1

即cn＋1

8．(2013·惠州调研)已知点1，13是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn－Sn－1＝Sn

＋Sn－1(n≥2)．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}的通项cn＝bn·13n，求数列{cn}的前n项和Rn；

(3)若数列1bnbn＋1的前n项和为Tn，问Tn>1 0002 009的最小正整数n是多少？

解：(1)∵f(1)＝a＝13，∴f(x)＝13x，

a1＝f(1)－c＝13－c，

a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，

a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.

又数列{an}成等比数列，

∴a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，

∴c＝1.

又公比q＝a2a1＝13，

∴an＝－2313n－1＝－213n(n∈N*)．

∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝Sn＋Sn－1(n≥2)，bn>0，Sn>0，

∴Sn－Sn－1＝1，

∴数列{Sn}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，

Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.

当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；

又b1＝c＝1满足bn＝2n－1，

∴bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)∵cn＝bn13n＝(2n－1)13n，

∴Rn＝c1＋c2＋c3＋„＋cn，

Rn＝1×131＋3×132＋5×133＋„＋(2n－1)×13n， ①

13Rn＝1×132＋3×133＋5×134＋„＋(2n－3)×13n＋(2n－1)×13n＋1. ②

由①－②得，