2009考研数学二真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学考试

数学二试题及答案解析

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1) 函数3sinxxfxx的可去间断点的个数为

A 1 B 2 C 3 D 无穷多个 【答案】C

【解析】由于3sinxxfxx,则当x取任何整数时,fx均无意义.

故fx的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30xx的解

1,2,30,1x.

320032113211131limlim,sincos132limlim,sincos132limlim.sincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

故可去间断点为3个,即0,1.

(2) 当0x时,sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小,则

A11,6ab B11,6ab C11,6ab D11,6ab

【答案】A

【解析】 22000()sinsinlimlimlim()ln(1)()xxxfxxaxxaxgxxbxxbx

22002301cossinlimlim36sinlim1,66xxxaaxaaxbxbxaaxabbaxa洛洛

36ab,故排除,BC.

另外,201coslim3xaaxbx存在,蕴含了1cos0aax0x,故1.a排除D.

所以本题选A.

(3) 设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy,则点0,0

A 不是,fxy的连续点 B 不是,fxy的极值点

C 是,fxy的极大值点 D 是,fxy的极小值点 【答案】D

【解析】因dzxdxydy可得,zzxyxy.

2222221,0,1zzzzABCxxyyxy,

又在0,0处,0,0zzxy,210ACB,

故0,0为函数(,)zfxy的一个极小值点.

(4) 设函数,fxy连续,则222411,,yxydxfxydydyfxydx

A 2411,xdxfxydy B241,xxdxfxydy

C 2411,ydyfxydx D221,ydyfxydx 【答案】C

【解析】222211(,)(,)xxdxfxydydyfxydx的积分区域为两部分：

1(,)12,2Dxyxxy,2(,)12,4Dxyyyxy,

将其写成一块(,)12,14Dxyyxy,

故二重积分可以表示为2411(,)ydyfxydx,故答案为C.

(5) 若fx不变号,且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy,则函数fx在区间1,2内

A 有极值点,无零点 B 无极值点,有零点

C 有极值点,有零点 D 无极值点,无零点 【答案】B

【解析】由题意可知,()fx是一个凸函数,即()0fx,且在点(1,1)处的曲率

322||12(1())yy,而(1)1f,由此可得,(1)2f.

在[1,2]上,()(1)10fxf,即()fx单调减少,没有极值点.

对于(2)(1)()1(1,2)fff,(拉格朗日中值定理)

(2)0f而(1)10f,由零点定理知,在[1,2]上,()fx有零点.故应选B.

（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为：

则函数0xFxftdt的图形为

AB

CD

【答案】D

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yfx的图形可见，其图像与x轴及y轴、0xx所围的图形的代数面积为所求函数()Fx，从而可得出几个方面的特征：

①0,1x时，()0Fx，且单调递减。

②1,2x时，()Fx单调递增。

③2,3x时，()Fx为常函数。

④1,0x时，()0Fx为线性函数，单调递增。

⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为D。

（7）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为

A**32OBAO. B**23OBAO.

C**32OABO. D**23OABO. 【答案】 B

【解析】根据CCCE若111,CCCCCC

分块矩阵00AB的行列式22012360AABB（）即分块矩阵可逆

11110000066000100BBAAABBBBAAA

10023613002BBAA

（8）设,AP均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TPAP，若1231223(,,),(,,)PQ，则TQAQ 为

A.210110002 B. 110120002

C.200010002 D.100020002 【答案】 A

【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001QE，即：

12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002TTTTQPEQAQPEAPEEPAPEEE

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为

【答案】2yx

【解析】221222ln(2)22tdyttttdtt

2(1)1(1)1ttdxedt

所以 2dydx

所以 切线方程为2yx

（10）已知+1kxedx,则k 【答案】2

【解析】001122limbkxkxkxbedxedxek

因为极限存在所以0k

210k

2k

（11）n1limesin0xnxdx 【答案】0

【解析】令sinsincosxxxnIenxdxenxnenxdx

2sincosxxnenxnenxnI

所以2cossin1xnnnxnxIeCn

即11020cossinlimsinlim()1xxnnnnxnxenxdxen

122cossinlim()110nnnnnenn

（12）设()yyx是由方程xy1yex确定的隐函数，则2x=0dy=dx2 【答案】3

【解析】对方程xy1yex两边关于x求导有1yyxyye，得1yyyxe

对1yyxyye再次求导可得22()0yyyxyyeye，

得22()yyyyeyxe (*)

当0x时，0y，010(0)1ye，代入(*)得

20032(0)((0))(0)(21)3(0)yyeye

（13）函数2xyx在区间01，上的最小值为 【答案】2ee

【解析】因为22ln2xyxx，令0y得驻点为1xe。

又22222ln2xxyxxxx，得21120eyee，

故1xe为2xyx的极小值点，此时2eye，

又当10,xe时，0yx；1,1xe时，0yx，故y在10,e上递减，在1,1e上递增。

而11y，002022lnlimlim11lim222ln000limlim1xxxxxxxxxxxxxyxeeee，

所以2xyx在区间01，上的最小值为21eyee。

(14)设，为3维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于200000000，则T=

【答案】2

【解析】因为T相似于200000000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T的特征值是2,0,0，而T是一个常数，是矩阵T的对角元素之和，则T2002。

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求极限401cosln(1tan)limsinxxxxx

【解析】244001ln(1tan)1cosln(1tan)2limlimsinsinxxxxxxxxxx

22201ln(1tan)lim2sinsinxxxxxx201ln(1tan)1lim2sin4xxxx

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分1ln(1)xdxx (0)x

【解析】方法一：令1xtx得22212,1(1)tdtxdxtt

2222222222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)1ln(1)()1ln(1)11111ln(1)11114(1)4(1)2(1)ln(1)111ln1412(1)1111ln(1)ln41ttdttdttttdttdtttttdtttttttCtttxxxxxxx原式1112(1)111ln(1)ln(1)(1).22CxxxxxxxxxCx