2010考研数学二真题及答案解析

格式：doc
大小：1013.00 KB
文档页数：14

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)

(1) 函数222111xxfxxx的无穷间断点的个数为( )

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

(2) 设12,yy是一阶线性非齐次微分方程ypxyqx的两个特解,若常数，使12yy是该方程的解,12yy是该方程对应的齐次方程的解,则( )

(A) 11,22. (B) 11,22.

(3) 曲线2yx与曲线ln(0)yaxa相切,则a ( )

(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.

(4) 设,mn是正整数,则反常积分210ln1mnxdxx的收敛性 ( )

(A) 仅与m的取值有关. (B) 仅与n的取值有关.

(5)设函数(,)zzxy,由方程(,)0yzFxx确定,其中F为可微函数,且20F,则zzxyxy( )

(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.

(6) 2211limnnnijnninj ( )

(A) 1200111xdxdyxy. (B) 100111xdxdyxy.

(7) 设向量组12I:,,,r可由向量组12II:,,,s线性表示,下列命题正确的是( )

(A) 若向量组I线性无关,则rs. (B) 若向量组I线性相关,则rs.

(8) 设A为4阶实对称矩阵,且2AAO,若A的秩为3,则A相似于 ( )

(A) 1110. (B) 1110.

二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.)

(9) 3阶常系数线性齐次微分方程220yyyy的通解为y.

(10) 曲线3221xyx的渐近线方程为.

(11) 函数ln120yxx在处的n阶导数0ny=.

(12) 当0时,对数螺线re的弧长为.

(13) 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽w以3cm/s的速率增加.则当cm12l ,cm5w时,它的对角线增加的速率为.

(14)设,AB为3阶矩阵,且132,2ABAB，,则1AB=.

三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分11分)

求函数2221()()xtfxxted的单调区间与极值.

(16)(本题满分10分)

( I ) 比较10lnln1nttdt与10lnnttdt1,2,n的大小,说明理由；

( II ) 记10lnln1nnuttdt1,2,n,求极限limnnu.

(17)(本题满分10分)

设函数()yfx由参数方程22,(1)()xtttyt所确定,其中()t具有2阶导数,且

5(1)(1)6.2，已知223,4(1)dydxt求函数()t.

(18)(本题满分10分)

一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数kg/m3)

(19) (本题满分11分)

设函数(,)ufxy具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250uuuxxyy,确定a,b的值,使等式在变换,xayxby下化简为20u.

(20)(本题满分10分)

计算二重积分22 sin1cos2DIrrdrd,其中,|0sec,04Drr.

(21) (本题满分10分)

设函数()fx在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且(0)0f,1(1)3f,证明：存在1(0,)2,1(,1)2,使得22()()=.ff

(22)(本题满分11分)

设110111aAb，,已知线性方程组Axb存在两个不同的解．

( I ) 求,a;

( II ) 求方程组Axb的通解.

(23)(本题满分11 分)

设0141340Aaa,正交矩阵Q使得TQAQ为对角矩阵,若Q的第1列为1(1,2,1)6T,求,aQ.

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题参考答案

一、选择题

(1)【答案】 (B).

【解析】因为2221()11xxfxxx有间断点0,1x,又因为

22000(1)11lim()lim1lim1(1)(1)xxxxxfxxxxxx,

其中220011lim11,lim11xxxxxx,所以0x为跳跃间断点.

显然112lim()1122xfx,所以1x为连续点.

而211(1)1lim()lim1(1)(1)xxxxfxxxx,所以1x为无穷间断点,故答案选择B.

(2)【答案】 (A)．

【解析】因12yy是0yPxy的解,故12120yyPxyy,所以

1122()0yPxyypxy,

而由已知 1122,yPxyqxyPxyqx,所以

0qx, ①

又由于一阶次微分方程ypxyqx是非齐的,由此可知0qx,所以0．

由于12yy是非齐次微分方程yPxyqx的解,所以

1212yyPxyyqx,

整理得 1122yPxyyPxyqx,

即 qxqx,由0qx可知1, ②

由①②求解得12,故应选(A)．

(3)【答案】 (C).

【解析】因为曲线2yx与曲线ln(0)yaxa相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2axx,即(0)2axx.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2yx上,当2ax时2ay；在lnyax上,2ax时, lnln222aaaya.

所以ln222aaa.从而解得2ae.故答案选择(C).

(4)【答案】 (D).

【解析】0x与1x都是瑕点.应分成

22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx,

用比较判别法的极限形式,对于2120ln1mnxdxx,由于121012[ln(1)]lim11mnxnmxxx.

显然,当1201nm,则该反常积分收敛.

当120nm,1210[ln(1)]limmxnxx存在,此时2120ln1mnxdxx实际上不是反常积分,故收敛.

故不论,mn是什么正整数,2120ln1mnxdxx总收敛.对于2112ln1mnxdxx,取01,不论,mn是什么正整数,

1211211[ln(1)]limlimln(1)(1)01(1)mnmxxxxxxx,

所以2112ln1mnxdxx收敛,故选(D).

(5) 【答案】 (B).

【解析】122212122221xzyzyzFFFFFyFzFzxxxxxFFxFFx,

112211yzFFFzxyFFFx,

1212222yFzFyFFzzzxyzxyFFF．

(6) 【答案】 (D).

【解析】222211111()nnnnijijnnninjninj22111()()nnjinnjni

12220211111limlim,11()nnnnjjndyjnjnyn

1011111limlim,11()nnnniindxininxn

2222111111limlim()()nnnnnnijjinnjnininj

221(lim)nnjnnj1(lim)nninni

1120011()()11dxdyxy11200111dxdyxy.

(7) 【答案】 (A)．

【解析】由于向量组I能由向量组II线性表示,所以(I)(II)rr,即

11(,,)(,,)rsrrs

若向量组I线性无关,则1(,,)rrr,所以11(,,)(,,)rsrrrs,即rs,选(A).

2011年考研数学二真题及解析

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问2011年考研数学二考试真题试题及答案

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

2011全国硕士研究生入学统一考试数学二真题答案解析

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于

弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问您所下载的资料来源于

弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于

弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心

获取更多考研资料，请访问

2011年考研数学二真题及答案解析

一、选择题部分

1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。则DE/AB的值等于（）。

A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3

答案：A

解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。

设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。

由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。

在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。

设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。

在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。

因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。

所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。

2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。

A．1/2 B．1/3 C．1 D．3

答案：D

解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。

设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。

由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。

又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。

当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。

当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。

考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题及答案解析

一、选择题：1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;

1下列反常积分中收敛的是

A∫1√𝑥+∞2𝑑𝑥 B∫𝑙𝑛𝑥𝑥+∞2𝑑𝑥

C∫1𝑥𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑𝑥 D ∫𝑥𝑒𝑥+∞2𝑑𝑥

答案D;

解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;

∫1√𝑥+∞2𝑑𝑥=2√𝑥|2+∞=+∞；

∫𝑙𝑛𝑥𝑥+∞2𝑑𝑥=∫𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑(𝑙𝑛𝑥)=12(𝑙𝑛𝑥)2|2+∞=+∞；

∫1𝑥𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑𝑥=∫1𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑(𝑙𝑛𝑥)=ln?(𝑙𝑛𝑥)|2+∞=+∞；

∫𝑥𝑒𝑥+∞2𝑑𝑥=−∫𝑥+∞2𝑑𝑒−𝑥=−𝑥𝑒−𝑥|2+∞+∫𝑒−𝑥+∞2𝑑𝑥

=2𝑒−2−𝑒−𝑥|2+∞=3𝑒−2,

因此D是收敛的;

综上所述,本题正确答案是D;

考点高等数学—一元函数积分学—反常积分

2函数𝑓(𝑥)=lim𝑡→0(1+𝑠𝑖𝑛𝑡𝑥)𝑥2𝑡在-∞,+∞内

A连续 B有可去间断点

C有跳跃间断点 D有无穷间断点

答案B 解析这是“1∞”型极限,直接有𝑓(𝑥)=lim𝑡→0(1+𝑠𝑖𝑛𝑡𝑥)𝑥2𝑡

=𝑒lim𝑡→0𝑥2𝑡(1+𝑠𝑖𝑛𝑡𝑥−1)=e 𝑥lim𝑡→0𝑠𝑖𝑛𝑡𝑡=𝑒𝑥(𝑥≠0),

𝑓(𝑥)在𝑥=0处无定义,

且lim𝑥→0𝑓(𝑥)=lim𝑥→0𝑒𝑥=1,所以 𝑥=0是𝑓(𝑥)的可去间断点,选B;

考研数学二真题及解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1））若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（）

(A)12ab (B)12ab (C)0ab (D)2ab

【答案】A

【解析】0011cos12limlim,()2xxxxfxaxaxa在0x处连续11.22baba选A.

（2）设二阶可导函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff且''()0fx，则（）

【答案】B

【解析】

()fx为偶函数时满足题设条件，此时0110()()fxdxfxdx，排除C,D.

取2()21fxx满足条件，则112112()2103fxdxxdx，选B.

（3）设数列nx收敛，则（）

()A当limsin0nnx时，lim0nnx()B当lim()0nnnxx时，lim0nnx

()C当2lim()0nnnxx时，lim0nnx()D当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx

【答案】D

【解析】特值法：（A）取nx，有limsin0,limnnnnxx，A错；

取1nx，排除B,C.所以选D.

（4）微分方程的特解可设为

（A）22(cos2sin2)xxAeeBxCx（B）22(cos2sin2)xxAxeeBxCx

（C）22(cos2sin2)xxAexeBxCx（D）22(cos2sin2)xxAxeeBxCx

【答案】A

【解析】特征方程为：21,248022i 故特解为：***2212(cos2sin2),xxyyyAexeBxCx选C.

下载提示

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2010考研数学二真题及答案解析

合集下载

2011年考研数学二真题及解析

2011年考研数学二真题及答案解析

考研数学二真题及答案解析

考研数学二真题及解析

文档推荐

最新文档