2009考研数二真题及解析

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2009

数学(二)试题第1页 (共18) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 函数3sinxxfxx的可去间断点的个数为 ( )

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 无穷多个.

(2) 当0x时,sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小,则 ( )

(A) 11,6ab. (B) 11,6ab.

(3) 设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy,则点0,0 ( )

(A) 不是,fxy的连续点. (B) 不是,fxy的极值点.

(4) 设函数,fxy连续,则222411,,yxydxfxydydyfxydx ( )

(A) 2411,xdxfxydy. (B) 241,xxdxfxydy.

(5) 若fx不变号,且曲线yfx在点1,1处的曲率圆为222xy,则函数fx

在区间1,2内 ( )

(A) 有极值点,无零点. (B) 无极值点,有零点.

(6) 设函数yfx在区间1,3上的图形为

2009

数学(二)试题第2页 (共18) 则函数0xFxftdt的图形为 ( )

(A) (B)

(7) 设,AB均为2阶矩阵,**,AB分别为,AB的伴随矩阵,若2,3AB,则分块矩阵

OABO的伴随矩阵为 ( )

(A) **32OBAO. (B) **23OBAO.

(8) 设,AP均为3阶矩阵,TP为P的转置矩阵,且100010002TPAP.

若1231223(,,),(,,)PQ,则TQAQ为 ( )

(A) 210110002. (B) 110120002. 2009

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 曲线21022,ln(2)tuxeduytt在点(0,0)处的切线方程为 .

(10) 已知1kxedx,则k .

(11) 10limsinxnenxdx .

(12) 设()yyx是由方程1yxyex确定的隐函数,则220xdydx .

(13) 函数2xyx在区间01，上的最小值为 .

(14) 设,为3维列向量,T为的转置,若矩阵T相似于200000000,则T=

_____________.

三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分9分)

求极限401cosln(1tan)limsinxxxxx

(16)(本题满分10 分)

计算不定积分1ln1xdxx (0)x.

(17)(本题满分10分)

设,,zfxyxyxy,其中f具有二阶连续偏导数,求dz与2zxy.

(18)(本题满分10分)

设非负函数yyx0x满足微分方程20xyy.当曲线yyx过原点时,其与直线1x及0y围成的平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体的体2009

数学(二)试题第4页 (共18) 积.

(19)(本题满分10分)

计算二重积分Dxydxdy,其中22,112,Dxyxyyx.

(20)(本题满分12分)

设()yyx是区间(,)内过点(,)22的光滑曲线,当0x时,曲线上任一点处的法线都过原点；当0x时,函数()yx满足0yyx.求函数()yx的表达式.

(21)(本题满分11分)

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数fx在,ab上连续,在(,)ab可导,则存在,ab,使得fbfafba.

(Ⅱ)证明：若函数fx在0x处连续,在0,0内可导,且0limxfxA,则0f存在,且0fA.

(22)(本题满分11分)

设

111111042A,1112

(Ⅰ)求满足22131,AA的所有向量23,；

(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,,证明：123,,线性无关.

(23)(本题满分11分)

设二次型

2221231231323,,122fxxxaxaxaxxxxx

(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；

(Ⅱ)若二次型f的规范形为2212yy,求a的值.

2009

数学(二)试题第5页 (共18) 2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数为（）

A1. B2. C3. D无穷多个.

【答案】C

【解析】

3sinxxfxx

则当x取任何整数时，fx均无意义

故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30xx的解1,2,30,1x

320032113211131limlimsincos132limlimsincos132limlimsincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

故可去间断点为3个，即0,1

（2）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小，则（）

A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab.

【答案】A

【解析】2()sin,()(1)fxxaxgxxlnbx为等价无穷小，则

222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxfxxaxxaxaaxaaxgxxbxxbxbxbx洛洛230sinlim166xaaxabbaxa 36ab 故排除,BC. 2009

数学(二)试题第6页 (共18) 另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0x故1.a排除D.

所以本题选A.

（3）设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）

A不是,fxy的连续点. B不是,fxy的极值点.

C是,fxy的极大值点. D是,fxy的极小值点.

【答案】 D

【解析】因dzxdxydy可得,zzxyxy

2222221,0,1zzzzABCxxyyxy

又在（0，0）处，0,0zzxy

210ACB

故（0，0）为函数(,)zfxy的一个极小值点.

（4）设函数,fxy连续，则222411,,yxydxfxydydyfxydx（）

A2411,xdxfxydy. B241,xxdxfxydy.

C2411,ydyfxydx. D.221,ydyfxydx

【答案】C

【解析】222211(,)(,)xxdxfxydydyfxydx的积分区域为两部分：

1(,)12,2Dxyxxy，2(,)12,4Dxyyyxy

将其写成一块(,)12,14Dxyyxy

故二重积分可以表示为2411(,)ydyfxydx，故答案为C. 2009

数学(二)试题第7页 (共18)

（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（）

A有极值点，无零点. B无极值点，有零点.

C有极值点，有零点. D无极值点，无零点.

【答案】 B

【解析】由题意可知，()fx是一个凸函数，即''()0fx，且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))yy，而'(1)1f，由此可得，''(1)2f

在[1,2]上，'()'(1)10fxf，即()fx单调减少，没有极值点.

对于(2)(1)'()1(1,2)fff，（拉格朗日中值定理）

(2)0f而 (1)10f

2009考研数学(二)真题及参考答案

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2009年研究生入学统一考试

数学二试题与解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数为（）

A1. B2. C3. D无穷多个.

（2）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小，则（）

A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab

（3）设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）

A不是,fxy的连续点. B不是,fxy的极值点.

C是,fxy的极大值点. D是,fxy的极小值点.

（4）设函数,fxy连续，则222411,,yxydxfxydydyfxydx（）

A2411,xdxfxydy. B241,xxdxfxydy.

C2411,ydyfxydx. D.221,ydyfxydx

（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（）

A有极值点，无零点. B无极值点，有零点.

C有极值点，有零点. D无极值点，无零点.

（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为

1 ()fx-2 0 2 3 x-1 O 狮子1213 免费为大家分享

则函数0xFxftdt的图形为（）

A. B.

C. D.

（7）设A，B均为2阶矩阵，**AB，分别为A，B的伴随矩阵.若23AB，，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（）

2009考研数一真题及解析

第1页共16页2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.

(1)当0x

时,

sinfxxax

与2ln1gxxbx

是等价无穷小,则()(A)1

6ab

.(B)1

6ab

.(C)1

6ab

.(D)1

6ab

(2)如图,正方形

,1,1xyxy

被其对角线划分

为四个区域

1,2,3,4

kDk

,cos

DIyxdxdy



则

14max



()

(A)

.(B)

(C)

.(D)

(3)设函数

yfx

在区间

1,3上的图形为

则函数

Fxftdt



的图形为()

(A)

(B)-1

-111

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第2页共16页

(C)

(D)

(4)设有两个数列

nnab

,若lim0



,则()

(A)当

nb



收敛时,

1nn

nab



收敛.(B)当

nb



发散时,

1nn

nab



发散.

(C)

当

nb



收敛时,22

1nn

nab



收敛.(D)

当

nb



发散时,22

1nn

nab



发散.

(5)设

123,,

是3维向量空间3R的一组基,则由基

12311

23

到基

122331,,

的过渡矩阵为()

(A)101

220

033



.(B)120

023

103



.(C)111

246

111

246

111

246













.(D)111

1999考研数二真题及解析

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)

(1) 曲线sin2costtxetyet，在点0,1处的法线方程为

(2) 设函数yyx由方程23lnsinxyxyx确定，则0xdydx

(3) 25613xdxxx

(4) 函数22xyx在区间13,22上的平均值为

(5) 微分方程24xyye的通解为

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)

(1) 设21cos,0(),0xxxfxxgxx，其中gx是有界函数，则()fx在0x处 ( )

(A) 极限不存在.

(B) 极限存在，但不连续.

(D) 可导.

(2) 设15sin00sin,1xxttxdtxtdtt，则当0x时x是x的 ( )

(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小

(C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小

(3) 设()fx是连续函数，Fx是()fx的原函数，则 ( )

(A) 当()fx是奇函数时，Fx必是偶函数.

(B) 当()fx是偶函数时，Fx必是奇函数.

(D) 当()fx是单调增函数时，Fx必是单调增函数.

(4) “对任意给定的0,1，总存在正整数N，当nN时，恒有2nxa”是数列nx

2012考研数二真题及解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f

（A）1(1)(1)!nn （B）(1)(1)!nn

（C）1(1)!nn （D）(1)!nn

（3）设an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的

(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.

（C)必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.

（4）设2kxkeIe sinxdx(k=1,2,3),则有D

（A）I1< I2

（5）设函数f (x,y) 可微，且对任意x,y 都有(,)fxyx >0,(,)fxyy<0,f(x1,y1)

(x2,y2)成立的一个充分条件是

(A) x1> x2, y1< y2. (B) x1> x2, y1>y1.

（6）设区域D由曲线,1,2,sinyxxy围成，则)(15dxdyyx

)(2)(2)()(DCBA

（7）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）

（A）123,, （B）124,,

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2009考研数二真题及解析

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