等差数列的五个公式

小学等差数列三个公式
介绍它
三个常见的等差数列公式分别是首项公式、项数公式和等比数列
公式。

首项公式即求解等差数列前n项和公式，公式为Sn=n(a1+an)/2，其中S是该等差数列的前n项和，a1是等差数列的第一项，an是等差
数列的第n项。

项数公式即求解等差数列的项数，公式为n= (S/A)+(1/2)，其中
S为该等差数列的前n项和，A为该等差数列的公差，n为该等差数列
的项数。

等比数列的公式为an = a1 * q ^ (n – 1) ，其中a1
为等比数列的首项，q为等比数列的公比，an为等比数列的第n项。

上面这三个公式都是对等差数列中不同问题的求解，对于初学者
来说，这些公式是解决等差数列问题的基础，在学习中首先要掌握这
三个公式，然后理解它们的原理，再通过这三个公式去解决实际问题。

在中学课堂上，数学老师平时会经常给学生提出很多等差数列的
问题，学生们要想算出其结果，就需要用到上面说的三个等差数列公式，以此来熟练掌握和运用首项公式、项数公式和等比数列公式。

上面介绍了三个常见的等差数列公式，以及其原理与应用，都可
以帮助我们更好地解决等差数列问题，初学者们应该先掌握这三个公式，多加练习，使自己的掌握程度更加深入，从而达到更好的学习效果。

等差数列的公差公式等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列基本公式:末项=首项+(项数-1)×公差项数=(末项-首项)÷公差+1等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列基本公式:末项=首项+(项数-1)×公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)×公差和=(首项+末项)×项数÷2通项公式等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)以上n均属于正整数.推论1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a 3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+ 1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.若m+n=2p,则am+an=2ap4.其他推论和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差推论3证明若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+a n=ap+aq如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d同理得,ap+aq=2a1+(p+q-2)d又因为m+n=p+q ;a1,d均为常数若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq注：1.常数列不一定成立2.m,p,q,n大于等于自然数等差中项在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.。

等差数列求和公式等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

注意：以上n均属于正整数。

一、其他结论首项：末项：通项公式：项数：公差：如：数列1,3,5,7,……,97,99 公差就是d=3-1=2 将推广到，则为a1,a2,a3....an,n=奇数，Sn=（a（（n-1）/2)）*((n-1）/2)二、特殊性质1.在数列中,若,则有:①若,则am+an=ap+aq.②若m+n=2q,则am+an=2aq.2.在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。

三、求和公式设首项为, 末项为, 项数为, 公差为, 前项和为, 则有:①;②;③;④ , 其中..当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数的图象上一群孤立的点。

利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。

求和推导证明：由题意得：Sn=a1+a2+a3+。

+an①Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。

+a1②①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2Sn==n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An）。

等差数列三条公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有一定的规律性。

在等差数列中，有三条重要的公式，分别是求前n项和、求通项公式和求项数的公式。

下面将依次介绍这三条公式。

一、求前n项和的公式：对于等差数列，求前n项和是常见的问题。

我们可以通过一个简单的公式来求解。

设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则前n项和Sn可表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。

这个公式的推导过程比较简单，就不再赘述。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以通过这个公式来求其前4项和：a1 = 1, an = 7, n = 4Sn = (1 + 7) * 4 / 2 = 8 * 2 = 16二、求通项公式的公式：通项公式是指等差数列中第n项与公差、首项之间的关系式。

对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1) * d其中，an为第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。

这个公式的推导过程也是比较简单的，可以通过观察数列的规律得到。

例如，对于等差数列2, 5, 8, 11，我们可以通过这个公式来求其第5项：a1 = 2, d = 3, n = 5an = 2 + (5 - 1) * 3 = 2 + 12 = 14三、求项数的公式：有时候，我们知道等差数列的首项、公差和前n项和，想要求项数n。

这个时候，我们可以利用求根公式来解决。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则项数n可表示为：n = (2 * Sn - a1) / d + 1这个公式的推导过程较为复杂，主要是通过求解一元二次方程来得到。

但是在实际应用中，我们可以直接使用这个公式来求解。

例如，对于等差数列3, 6, 9, 12，我们知道a1 = 3, d = 3，前n 项和Sn = 18，希望求解项数n，可以使用这个公式：n = (2 * 18 - 3) / 3 + 1 = 36 / 3 + 1 = 12 + 1 = 13以上就是等差数列中三个重要的公式：求前n项和的公式、求通项公式的公式和求项数的公式。

等差数列所有公式大全等差数列是数学中常见的一个概念，它在数学和实际生活中都有着重要的应用。

在学习等差数列时，掌握其相关公式是非常重要的。

本文将为大家详细介绍等差数列的所有公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用等差数列的知识。

1. 等差数列的定义。

在介绍等差数列的公式之前，我们先来回顾一下等差数列的定义。

等差数列是指一个数列，其中相邻两项之间的差值都相等。

换句话说，如果一个数列满足每一项与它的前一项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式。

等差数列的通项公式是等差数列中最为重要的公式之一。

通项公式可以用来表示等差数列中任意一项的值。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示等差数列中第n项的值。

3. 等差数列的前n项和公式。

除了通项公式之外，等差数列还有一个重要的公式，那就是前n项和公式。

前n项和公式可以用来表示等差数列前n项的和。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)。

其中，Sn表示等差数列前n项的和。

4. 等差数列的性质。

除了上述的公式之外，等差数列还有一些重要的性质。

首先，等差数列中任意三项可以构成一个等差数列。

其次，等差数列中任意一项都可以表示为它前面的项与公差的和。

另外，等差数列中任意一项与它对称的项之和都相等。

5. 等差数列的应用。

等差数列在实际生活中有着广泛的应用。

比如，等差数列可以用来表示物理学中的等加速度运动，经济学中的等差增长，以及工程学中的等差数列模型等。

掌握等差数列的公式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。

总结：通过本文的介绍，我们详细了解了等差数列的所有公式，包括通项公式、前n 项和公式以及等差数列的性质和应用。

希望本文能够帮助大家更好地掌握等差数列的知识，提高数学水平，同时也能够更好地应用等差数列的知识解决实际问题。

小学奥数等差数列公式公式1：求和公式：等差数列求和=（首项+末项）×项数÷2，即：Sn=(a1+an)×n÷2；公式2：通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差，即：an=a1+(n-1)×d；公式3：项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。

上述三个公式必须掌握此外，还有一个中项定理，也掌握：中项定理：对于作意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

例1：建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2，d=4，利用公式求出an=2106，则：n=（an-a1）÷d+1=527这堆砖共有则中间一项为a264=a1+（264-1）×4=1054.方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.则中间一项为（a1+an）÷2=1054a1=2，d=4，an=2106，这堆砖共有1054×527=555458（块）.此题利用中项定理和等差数列公式均可解！例2：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解：根据题意可列出算式：（2+4+6+8+...+2000）-（1+3+5+ (1999)解法1：能够看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000.例3：100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？解：方法1：要求和，我们能够先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：由题可知：（首项+末项）×100÷2=8450，求出：（首项+末项）=169。

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等差数列通项公式、求和公式：
等⽐数列抄通项公式、求和公式：
拓展阅读：等⽐数列和等差数列有什么区别
等⽐数列是前⼀项除以后⼀项等于⼀个固定常数q；
通项公式an=a1·q(n-1)；
等差数列是前⼀项与后⼀项的差是常数；
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d；
等⽐数列是指前⼀个数和后⼀个数的⽐相同,；
如:1,3,9,27，……
等差数列是指前⼀个数和后⼀个数的差相同，
如：1，4，7，10，13，，16，……
等⽐数列是前⼀项除以后⼀项等于⼀个固定常数q；
通项公式an=a1·q(n-1),
等差数列是前⼀项与后⼀项的差是固定常数；
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d；
⼀个差相等，⼀个⽐相等。

【导语】世间最可宝贵的就是今天，最易丧失的也是今天；愿你在未来的⼀年中，⽆限珍惜这每⼀个今天。

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公式1：求和公式：等差数列求和=（⾸项+末项）×项数÷2，即：Sn=(a1+an)×n÷2； 公式2：通项公式：第n项=⾸项+（n-1）×公差，即：an=a1+(n-1)×d； 公式3：项数公式：项数=（末项-⾸项）÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。

上述三个公式必须掌握 此外，还有⼀个中项定理，也掌握： 中项定理：对于作意⼀个项数为奇数的等差数列来说，中间⼀项的值等于所有项的平均数，也等于⾸项与末项和的⼀半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

例1：建筑⼯地有⼀批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都⽐其上⾯⼀层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间⼀层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，这是⼀个等差数列. ⽅法1： a1=2，d=4，利⽤公式求出an=2106， 则：n=（an-a1）÷d+1=527 这堆砖共有则中间⼀项为a264=a1+（264-1）×4=1054. ⽅法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）. 则中间⼀项为（a1+an）÷2=1054 a1=2，d=4，an=2106， 这堆砖共有1054×527=555458（块）. 此题利⽤中项定理和等差数列公式均可解！ 例2：求从1到2000的⾃然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差. 解：根据题意可列出算式： （2+4+6+8+...+2000）-（1+3+5+ (1999) 解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是⼀个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是⼀个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以： 原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2 =1000. 解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即 原式=1000×1=1000. 例3：100个连续⾃然数（按从⼩到⼤的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？ 解： ⽅法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来. 100个连续⾃然数构成等差数列，且和为8450，则： 由题可知：（⾸项+末项）×100÷2=8450，求出：（⾸项+末项）=169。

数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。

求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。

一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。

例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。

1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。

二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。

例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。

2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。

例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。

3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。

4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。

已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。

等差数列项数计算公式等差数列在数学中可是个相当有趣的家伙！咱们今天就来好好聊聊等差数列项数的计算公式。

先给大家举个例子哈，比如说有这么一个等差数列：3，7，11，15，19......那怎么知道它一共有多少项呢？这就需要用到咱们的项数计算公式啦。

咱们假设等差数列的首项为\(a_1\)，末项为\(a_n\)，公差为\(d\)，项数为\(n\)。

那项数\(n\)的计算公式就是：\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)。

咱们就拿刚刚那个例子来说，首项\(a_1 = 3\)，公差\(d = 4\)（因为 7 - 3 = 4，11 - 7 = 4 等等），假设末项\(a_n = 35\)，那项数\(n\)就等于：\(\frac{35 - 3}{4} + 1 = \frac{32}{4} + 1 = 8 + 1 = 9\)，也就是说这个数列一共有 9 项。

我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这也太难了吧！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。

”然后我就带着他从最基础的等差数列开始，一项一项地分析，慢慢他就明白了。

其实啊，这个公式理解起来并不难。

比如说一个等差数列，每一项都比前一项多 5，首项是 2，末项是 52。

那我们先用末项减去首项，52 - 2 = 50，这 50 就是从首项到末项增加的数值总和。

然后除以公差 5，得到 10，这说明从首项到末项，一共增加了 10 次。

但是别忘了，首项本身也算一项，所以要再加 1，就是 11 项啦。

在做练习题的时候，有的同学会粗心，忘记加 1，结果就出错了。

还有的同学会把公差算错，这可得仔细喽！咱们再深入想想，这个公式为啥是这样的呢？其实就是通过一次次的差值计算，算出有多少个公差的间隔，再加上首项那一项，就是总的项数啦。

大家在运用这个公式的时候，一定要认真仔细，看清楚首项、末项和公差，别弄错了。

只要多练习几道题，熟练掌握，就会发现这其实是个很简单很有用的公式。