(完整word版)等差数列通项公式

等差数列通项公式等差数列通项公式是数学中非常重要的内容之一，它可以帮助我们计算等差数列中任意一项的值。

等差数列通项公式是通过观察等差数列的特点而得出的，下面将详细介绍等差数列通项公式的推导和应用。

一、等差数列的定义与特点等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。

数列中的每一项可以表示为首项加上某个常数倍数的公式，即 an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

等差数列有以下几个重要的特点：1. 相邻两项之差为常数，即an+1 - an = d，其中d为公差。

2. 等差数列的任意一项都可以由首项和公差来确定。

3. 等差数列的前n项和可以通过通项公式来计算。

二、等差数列通项公式的推导要得到等差数列的通项公式，我们可以通过观察等差数列的特点进行推导。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，我们可以找到如下的规律：a2 = a1 + da3 = a2 + d...an = a(n-1) + d我们可以看出，第n项与第n-1项之间的差为d，那么第n项与首项之间的差为(n-1)倍的公差d。

使用这个规律，我们可以得到等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d这个公式就是等差数列的通项公式，通过这个公式我们可以根据首项和公差快速计算出等差数列中任意一项的值。

三、等差数列通项公式的应用等差数列的通项公式在数学和物理中都有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用场景。

1. 求解等差数列中某一项的值：通过通项公式，我们可以根据首项和公差计算等差数列中任意一项的值。

这在数学计算和物理问题中常常会遇到，通过等差数列的公式可以方便地求解问题。

2. 求解等差数列的前n项和：等差数列的前n项和可以通过公式 Sn = (a1 + an) * n / 2 来计算，其中Sn表示前n项和。

这个公式可以用来求解等差数列中一段连续数的和，也可以用来计算数列中一共有多少项。

3. 应用于物理学中的运动学问题：在物理学中，等差数列的通项公式常常用来描述运动的变化规律。

等差数列的通项公式等差数列的通项公式是数学中常见的概念之一，它可以用来求解数列中任意一项的数值。

在本文中，我们将详细介绍等差数列的定义、性质以及推导等差数列的通项公式。

一、等差数列的定义与性质在数学中，等差数列是指一个数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，则等差数列的一般形式可以表示为：a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d在等差数列中，第n项可以表示为：$$a_n = a + (n-1)d$$同时，等差数列中任意三项的关系可以表示为：$$a_{n} = a_{m} + (n - m) \cdot d$$其中，m和n表示项的位置。

二、等差数列的通项公式的推导现在我们来推导等差数列的通项公式。

我们假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。

首先，我们可以通过观察前几项的差值，得到以下关系：$$a_2 - a_1 = a_3 -a = a_3 - 2a_2 + a_1 = ... = a_n - (n-1)a_1$$根据等差数列的性质，我们可以得到下面的等式：$$d = a_n - a_{n-1} = (a + (n-1)d) - (a + (n-2)d) = d$$将上述等式中的d代入到前面的关系式中，可以得到：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$这就是等差数列的通项公式。

三、等差数列的应用等差数列的通项公式在实际问题中有广泛的应用。

例如，我们可以利用等差数列的通项公式来求解各种数值问题，如求等差数列的第n 项的具体数值、求等差数列的前n项和等。

以下是一个具体的例子：已知某等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。

根据等差数列的通项公式，代入a=3、d=4、n=10，我们可以计算得到：$$a_{10} = a + (n-1)d = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 9 \cdot 4 = 3 + 36 = 39$$因此，该等差数列的第10项为39。

等差数列两个通项公式
小朋友，等差数列的通项公式可有意思啦！
让我来给你讲讲吧。

比如说有一个等差数列，它就像我们排队一样，每个数都有自己的位置和规律。

咱们先来说说第一个通项公式：an = a1 + (n - 1)d 。

这里面的a1 呢，就是这个队伍里排在最前面的那个数，就像是班长一样，是开头的老大。

n 呢，就是这个数在队伍里排第几。

d 呢，就是相邻两个数之间的差距，就好像大家一步一步走，每一步的距离都一样，这个距离就是d 。

比如说有个等差数列是2，5，8，11，14……这里a1 就是2，d 就是3 。

那第5 个数是多少呢？咱们用公式算算，n = 5 ，a5 = 2 + (5 - 1)×3 = 2 + 12 = 14 ，你看，这不就和咱们数列里的第5 个数一样嘛！
再来说说第二个通项公式：an = am + (n - m)d 。

这个公式就更好玩啦！am 就是队伍里已经知道的某个数，比如咱们知道第3 个数是8 ，那am 就是8 ，m 就是3 。

然后咱们想知道第7 个数是多少，n 就是7 ，就能算出第7 个数啦！
这两个通项公式就像是两把神奇的钥匙，能帮咱们打开等差数列的秘密大门！
你说，数学是不是很神奇呀？难道你不觉得这些公式就像魔法咒语一样，能让我们找到数列里隐藏的宝藏？咱们学会了这些公式，就能在数学的世界里畅游啦！
我的观点就是：等差数列的这两个通项公式虽然看起来有点复杂，但是只要我们多练习，多思考，就能把它们变成我们的好帮手，让我们更轻松地解决数学问题！。

等差数列及其通项公式等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式可以用来表示数列中的任意一项，这个公式可以根据数列的已知条件来推导得出。

下面我们来详细介绍等差数列以及它的通项公式。

首先，我们需要知道等差数列的核心特点：每一项与它的前一项之差是一个固定的常数，我们将这个常数称为公差，通常用字母d来表示。

这个公差d可以是正数、负数或零，但是它一定是一个固定的常数。

例如，数列1、4、7、10、13就是一个等差数列，其中公差d等于3、这个数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，n表示数列的项数。

根据通项公式，我们可以计算出等差数列中的任意一项。

例如，在上面的数列中，要计算第6项的值，我们可以代入n=6，a1=1，d=3，得到a6=1+(6-1)3=16除了通项公式，还有其他用于计算等差数列的公式。

如果已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，我们可以计算出数列的末项an、数列的和Sn等。

等差数列的末项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中n表示数列的项数。

例如，在上面的数列中，要计算末项的值，我们可以代入n=5，a1=1，d=3，得到a5 = 1 + (5-1)3 = 13等差数列的和公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中n表示数列的项数，a1表示数列的首项，an表示数列的末项。

例如，在上面的数列中，要计算前5项的和，我们可以代入n=5，a1=1，an=13，得到S5 = (5/2)(1 + 13) = 35等差数列在数学中有广泛的应用，特别是在代数、几何和物理等领域。

它们被广泛用于建模和解决实际问题，例如计算距离、速度、时间等。

总结起来，等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与它的前一项之差都相等。

等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项，同时还有其他公式可以用于计算数列的末项和数列的和。

等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈． 二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。

等差数列的公式的推导：累加法3。

等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。

若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。

如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公 差为2n d ． 2。

等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。

下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。

首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。

3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。

象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。

一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。

(完整版)等差数列的通项公式总结完整版等差数列的通项公式总结等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

通项公式是指可以直接通过数列的位置来计算该位置上的数值的公式。

等差数列的定义设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列可表示为：$a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...$。

通项公式对于等差数列，可以通过通项公式直接计算任意位置上的数值。

下面是完整版的等差数列通项公式总结：1. 首项 $a_1$：已知首项和公差，可以直接得到首项的值。

$$a_1 = \text{首项的值}$$2. 公差 $d$：已知首项和第二项，可以直接计算公差的值。

$$d = a_2 - a_1$$3. 第$n$项 $a_n$：(a) 已知首项、公差和位置，可以直接计算第$n$项的值。

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$(b) 已知首项、公差和末项，可以通过末项逆推得到第$n$项的值。

$$a_n = a_{\text{末项}} - (n - 1) \cdot d$$4. 末项 $a_{\text{末项}}$：已知首项、公差和项数，可以直接计算末项的值。

$$a_{\text{末项}} = a_1 + (n - 1) \cdot d$$5. 项数 $n$：(a) 已知首项、公差和第$n$项，可以直接计算项数的值。

$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$(b) 已知首项、公差和末项，可以直接计算项数的值。

$$n = \frac{a_{\text{末项}} - a_1}{d} + 1$$总结等差数列是一种常见的数列形式，通过通项公式可以方便地计算数列中任意位置上的数值。

根据已知条件的不同，可以通过通项公式计算首项、公差、项数、第$n$项和末项。

这些公式提供了简单而实用的方法来解决等差数列相关的问题。

等差数列及其前n 项和【课前回顾】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．4．与等差数列各项的和有关的性质(1)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (2)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (4)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n＝S 2n －1T 2n －1.【课前快练】1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134解析：选A 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45. 4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8，若a n ＝0，则n ＝________. 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ， 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：55．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152考点一 等差数列的基本运算1．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[易错提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．2．等差数列前n 项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；若已知通项公式，则使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，同时注意与性质“a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…”的结合使用．【典型例题】1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2＝25，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.3．(2018·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72考点二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.【典型例题】(2018·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[思维路径](1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n ＝1,2可解得．(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其关键应推出a n ＋1n ＋1－a n n 为常数，对所给条件进行必要的变形即可．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .【针对训练】1．(2018·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三 等差数列的性质及前n 项和的最值1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．理清等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，即为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．【典型例题】1．在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．2．已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{a n}的前100项的和为() A．－200 B．－100C．－50 D．0[学审题]①由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；②结合函数的性质知a50＋a51＝－2.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝100(a1＋a100)2＝50(a50＋a51)＝－100.【针对训练】1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝() A．95B．100C．135 D．80解析：选B由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()A．6 B．7C．12 D．13解析：选C因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *，∴k ＝23.4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7×(－2－14)＝－112，又a 1＝3，所以a 8＝－109.5．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A.34 B ．1 C.43D.32解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 59．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________.解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11， 所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3. 答案：310．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：1011．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 12．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日解析：选B 设n 日相逢，则依题意得103n ＋n (n －1)2×13＋97n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝1125×2，整理得n 2＋31n －360＝0， 解得n ＝9(负值舍去)，故选B.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，则下列命题错误的是( ) A ．若a n >0，则S n >0 B ．若S n >0，则a n >0C ．若a n >0，则{S n }是单调递增数列D ．若{S n }是单调递增数列，则a n >0解析：选D 由等差数列的性质可得：∀n ∈N *，a n >0，则S n >0，反之也成立．a n >0，d >0，则{S n }是单调递增数列．因此A 、B 、C 正确．对于D ，{S n }是单调递增数列，则d >0，而a n >0不一定成立．14．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0， 解得m ＝5.答案：516．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12， 则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， ∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n 4. 17．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式以及S n 的表达式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，S 4＝4a 1＋6d ＝16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，n ∈N *. (2)由(1)知，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b n －b 1＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1(n ≥2)，∴b n ＝3n －22n －1. 当n ＝1时，b 1＝1也符合上式， ∴b n ＝3n －22n －1(n ∈N *)． 18.已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.。

等差数列的通项公式等差数列是数学中常见且重要的概念，它在许多实际问题中都有广泛的应用。

在研究等差数列时，我们经常需要计算其中的某个特定位置的项，这时通项公式就起到了重要的作用。

本文将介绍等差数列的通项公式及其推导，以及一些实例应用。

一、等差数列的定义与性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值固定。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列的第n项。

根据等差数列的定义和通项公式，可以得到等差数列的一些基本性质：1. 等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。

2. 等差数列的前n项和可以用求和公式表示为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)。

3. 等差数列的前n项和与项数n成正比，当n趋向于无穷大时，前n项和趋向于无穷大。

二、等差数列通项公式的推导等差数列的通项公式可以通过数学归纳法来推导。

首先，我们验证当n=1时，通项公式成立：a1 = a1 + (1-1)da1 = a1，成立。

假设当n=k时，通项公式成立，即ak = a1 + (k-1)d。

接下来，我们验证当n=k+1时，通项公式也成立：ak+1 = a1 + (k+1-1)dak+1 = a1 + kd + dak+1 = a1 + (k-1)d + 2dak+1 = ak + 2d由假设可知 ak = a1 + (k-1)d，带入上式可得：ak+1 = a1 + (k-1)d + 2dak+1 = a1 + (k+1-1)d因此，假设成立，通项公式对于任意正整数n均成立。

三、等差数列通项公式的应用等差数列的通项公式在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些实例应用：1. 求解数列中的某一特定项根据通项公式，我们可以根据已知的首项和公差，计算出数列中的任意一项。

这在金融投资、工程建设等领域中经常用到。

2. 求解等差数列的前n项和通过等差数列的前n项和公式，我们可以快速计算等差数列的前n项的总和。

等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一个元素间的差都是相等的。

其通项公式可以用于求出数列中任意一个元素的值，也可以用于表示数列的全体元素。

本文将详细介绍等差数列的通项公式，希望对学习数学的读者有所帮助。

一、等差数列的定义和性质等差数列是数列中的每一项都与前一项之差相等的数列。

具体来说，若数列 ${\\left[a_{n}\\right]}_{n\\ge 1}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=d\\ (n\\ge1)$，则称其为公差为 $d$ 的等差数列。

1. 等差数列的前 $n$ 项和公式等差数列的前 $n$ 项和可以用以下公式表示：$$S_n=\\frac{n}{2}\\left(a_{1}+a_{n}\\right)$$其中，$S_n$ 表示等差数列前 $n$ 项的和，$a_{1}$ 表示数列的首项，$a_{n}$ 表示数列的第 $n$ 项。

2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指能够求出数列中任一项 $a_{n}$ 的公式。

假设等差数列的公差为 $d$，首项为 $a_1$，则其通项公式为：$$a_{n}=a_{1}+(n-1) d\\qquad (n \\geqslant 1)$$这个公式表示了等差数列中第 $n$ 项与首项之间的差距。

更一般地，我们可以将通项公式表示为：$$a_{n}=a_{m}+(n-m) d\\qquad (m,n \\in Z)$$其中，$m$ 表示已知数列中的任意一项，而 $n$ 则表示需要求解的数列中的项数。

根据这个公式，我们可以轻松地求出等差数列中的任意一项。

3. 等差数列的性质等差数列还具有以下性质：（1）等差数列的公差决定了每一项之间的差距。

（2）等差数列的前 $n$ 项和与项数 $n$ 的关系是二次函数。

（3）等差数列经常被用于解决数学中的各种问题，如运用数列的差等于比的方法。

二、等差数列的求解在使用通项公式求解等差数列时，需要知道数列中的至少两个数。

等差数列通项公式等差数列是一种常见的统计数据，它具有规律性，以其特有的数学模型进行研究和应用，可以用来解决和处理各种数学问题。

而等差数列的通项公式就是一个强大的工具，可以用来解决大多数的等差数列问题。

首先，通过对等差数列的通项公式，可以快速确定给定数列的公差（d），这是确定等差数列最基本的要求。

通过给定的等差数列前两项的值a1和a2，可以算出等差数列的公差d，如下公式：d＝a2－a1 其次，通过等差数列的通项公式，可以快速确定给定数列前n项和S_n，通过给定等差数列前n项的值a1，a2，a3，…，an和公差d，可以算出给定数列的前n项和S_n，如下公式：S_n＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n/2[2a1＋(n－1)d]而等差数列的通项公式可以给出等差数列任意项的值an，通过给定等差数列前n项的值a1，a2，a3，…，an和公差d，可以算出任意数列项an-1、an、an+1等，如下公式：an=a1+(n-1)d 再者，等差数列的通项公式可以求出数列的和，通过给定数列的前n项和S_n和公差d，可以求出给定数列的总和，这对一般等差数列的处理帮助很大，如下公式：Sn＝2a1＋(n－1)d最后，等差数列的通项公式可以求出任意项的值，通过给定数列的前n项和S_n和公差d，可以求出任意项an的值，方便求解一般等差数列问题，如下公式：a1＝Sn－(n－1)d/2综上所述，等差数列的通项公式可以用来快速求解等差数列的公差，前n项和，各项的值以及总和，这里同时提供了求解等差数列的基本几何意义，可以用来直观地理解等差数列的性质，因此等差数列的通项公式得到了广泛的应用。

例如，在实际应用中，可以利用等差数列的通项公式来确定某等差数列投资收益率，要确定这个投资收益率，可以求出等差数列前n 项和S_n，然后求出投资收益率，如下等差数列：37500＋(n-1)2500＝Sn，因此投资收益率为2500每年。

另外，等差数列的通项公式还可以用来解决有关几何图形的问题。

(完整word)1-2-1-1等差数列的认识与公式运用.学生版.本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算.一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义:从第二项起，每一项都比前一项大（或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差:等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 :一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列:末项=首项+(项数1-）⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列:末项=首项-（项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式:项数=（末项-首项）÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） （若1n a a >）;11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >）．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用(完整word)1-2-1-1等差数列的认识与公式运用.学生版.譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15)、、（46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1） 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列?若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

等差数列的通项与求和公式等差数列是数学中常见的数列形式，它的每个元素与前一个元素之间的差值都是相等的。

在解决等差数列相关问题时，我们需要了解通项公式和求和公式，这两个公式是解题的基础。

本文将介绍等差数列的通项公式和求和公式，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。

一、等差数列的通项公式在等差数列中，通项是指数列中的第n个元素。

为了求解通项公式，我们需要知道等差数列的首项和公差。

首项是数列中的第一个元素，用字母a表示；公差是每个元素与前一个元素之间的差值，用字母d表示。

设等差数列的第n个元素为an，通项公式的一般形式可以表示为：an = a + (n-1)d其中，a为首项，d为公差，n为元素的位置。

通项公式告诉我们，通过已知的首项、公差和元素位置，我们可以求得等差数列的任意一个元素。

例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，我们可以计算第5个元素的值：a = 1d = 3n = 5an = 1 + (5-1) * 3 = 13因此，该等差数列的第5个元素为13。

二、等差数列的求和公式除了通项公式，求和公式也是解决等差数列问题常用的工具。

求和公式可以帮助我们计算等差数列中指定范围内的元素之和。

设等差数列的首项为a，末项为l，元素个数为n，求和公式的一般形式可以表示为：Sn = (n/2)(a + l)其中，Sn表示等差数列的和。

求和公式告诉我们，通过已知的首项、末项和元素个数，我们可以求得等差数列的和。

例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，我们可以计算前3个元素的和：a = 1l = 7n = 3Sn = (3/2)(1 + 7) = 12因此，该等差数列前3个元素的和为12。

三、示例为了帮助读者更好地理解等差数列的通项公式和求和公式，我们提供以下示例。

示例一：考虑等差数列3, 6, 9, 12, 15，我们可以计算第6个元素的值：a = 3d = 3n = 6an = 3 + (6-1) * 3 = 18因此，该等差数列的第6个元素为18。

等差数列中的通项公式介绍等差数列是高中数学中非常基础的一个概念，指的是一个数列中每一个项与它之后的项的差都是一个定值。

因为其简单易懂的特点，在生活中被广泛应用，比如利率、工资增长等等。

而这一系列数字的和以及如何求其中某个项，则需要通过通项公式来完成。

本文将介绍等差数列中的通项公式。

公式推导要求等差数列中第n个数，我们需要知道它前面的n-1个数的和以及等差差值d。

设此数列的前n项和为S(n)，则S(n)=a1+a2+...+a(n-1)+an。

其中，a1为第一个数，an为第n个数。

又因为，a(n-1)=a1+(n-2)d，所以S(n)=a1+a2+...+a(n-1)+a1+(n-2)d+an，化简得到：S(n)=n(a1+an)/2又因为a(n-1)=a1+(n-2)d，所以an=a1+(n-1)d，代入上式得到：S(n)=n(a1+a1+(n-1)d)/2化简得到：S(n)=n(2a1+(n-1)d)/2又因为a1=S(1)，所以：S(n)=(n/2)(a1+a(n-1))其中，a(n-1)=a1+(n-2)d，代入上式最终得到：S(n)=(n/2)(a1+a1+(n-2)d)上述式子可以用来求得等差数列前n项之和。

而通项公式的推导如下：设等差数列的第n项为An，则：An=a1+(n-1)d又因为a1+(n-1)d=An，所以：d=An-a1/(n-1)代入上式得到：An=a1+(n-1)(An-a1)/(n-1)化简得到：An=a1+(n-1)(An-a1)上式可以用来求解等差数列中任意一项的数值，这就是等差数列的通项公式。

应用举例例如，某个数列的第一项为3，公差为5，我们需要求解该数列中第30项的值。

首先，使用通项公式求解第30项的公式：A30=3+(30-1)5=148其次，使用前n项和的公式求解前30项的和：S(30)=(30/2)(3+148)=2250结论等差数列中的通项公式主要用于解决通项部分的问题。

等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等。

等差数列的通项公式是用来确定数列中任意一项的数学表达式。

在本文中，我们将介绍等差数列的通项公式及其应用。

1. 什么是等差数列？等差数列是数学中非常重要且常见的数列类型。

具体而言，它是一种数列，其中每一项与它的前一项之差保持相等。

等差数列可以写为{a，a+d，a+2d，a+3d，...}，其中a表示首项，d表示公差。

2. 通过观察等差数列的的规律，我们可以得出它的通项公式。

设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。

那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d这个公式告诉我们，等差数列的任意一项可以通过首项和公差来计算得出。

通过这个公式，我们可以轻松计算等差数列中任意一项的值。

3. 等差数列的求和公式除了通项公式之外，等差数列还有一个重要的公式，即求和公式。

这个公式可以用来计算等差数列前n项的和。

设等差数列的首项为a，公差为d，前n项的和为Sn。

那么等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)通过这个求和公式，我们可以迅速计算等差数列前n项的和，而不需要逐项相加。

4. 等差数列的应用等差数列的通项公式和求和公式在数学和实际问题中都有着广泛的应用。

在数学中，等差数列的性质经常被用于解题和证明。

在实际生活中，等差数列的应用也非常广泛。

例如，我们可以用等差数列的通项公式来计算某个位置上的数值，或者用求和公式来计算等差数列的总和。

总结：等差数列是数学中一种常见且重要的数列类型。

通过等差数列的通项公式和求和公式，我们可以轻松计算等差数列中任意一项的值和前n 项的和。

这些公式不仅在数学中有着广泛的应用，也可以在实际生活中帮助我们解决问题。

熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，对我们的数学学习和日常生活都是非常有益的。

等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（ （注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。

8、 在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。

数列等差通项公式
数列等差通项公式是指在等差数列中，每一项与它前一项之差都是相等的固定值，这个固定值就叫做公差。

假设等差数列的首项为
a1，公差为d，那么这个等差数列的第n项an可以用如下公式推导出来：
an = a1 + (n - 1) × d
其中，n表示这个等差数列的项数。

这个等差数列的通项公式可以用来求解各项的值，以及求出在某个区间内所有项的和。

利用数列等差通项公式，我们可以在更快的时间内计算出各项的值和总和，从而更好地应用到实际生活或工作中。

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