全国高三高中数学单元试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.4.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE ∥平面PAD;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC;(2)BC ⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA ⊥平面ABCD,PA=2,M 、N 分别为PB 、PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD;(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q 的平面角的余弦值.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD 、EF 的中点.(1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF. 14.如图所示,四棱锥E ABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB ⊥ED;(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN ⊥AC;(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E 在棱PC 上,=λ,若DE ∥平面PAB,求λ的值.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析 （2） 【解析】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF,所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF. ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,即∠A 1B 1F=∠AA 1B,故BA 1⊥B 1F.所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角.在矩形AA 1B 1B 中,AB=,AA 1=2,得BH=.在Rt △BHC 1中,BC 1=2,BH=,得sin ∠BC 1H==.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.【答案】（1）见解析 （2）【解析】(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,所以OBDE,OG=OD=2.同理,设G′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OCDF,OG′=OD=2. 又由于G 和G′都在线段DA 的延长线上,所以G 与G′重合.在△GED 和△GFD 中,由OB DE 和OC DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S △OBE =,而△OED 是边长为2的正三角形,故S △OED =.所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED =.过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F OBED 的高,且FQ=,所以=FQ·S 四边形OBED =. 3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8【解析】解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.·PD,(3)==S△DBC=6,PD=4,又S△DBC所以=8.4.如图,四棱锥P ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB.又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF,同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,因此MN⊥平面EFG,又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:法一连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.(2)解:连接BN,如图所示,由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC.又A′N=B′C′=1,故====.8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DM∥EF.又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥平面A′DE.(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接CE,因为∠ABC=120°,在△BCE中,可得CE= a.在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E的中点N,连接NM,NF,则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,则cos∠FMN=,所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）见解析（2）30°（3）存在，2∶1【解析】(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.解:(2)设正方形边长为a,则SD=a,又OD=a,所以∠SDO=60°,连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P AC D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角P AC D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE;(2)求证:AM⊥平面ADF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)法一连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD交于点Q.在△ACE中,Q为AC中点,P为AE中点,∴PQ∥CE.又PQ⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,∵Q、G分别为BD、BA的中点,∴QG∥AD.又∵AD∥BC,∴QG∥BC,∵QG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴QG∥平面BCE.同理可证,PG∥平面BCE.又PG∩QG=G,∴平面PQG∥平面BCE,∴PQ∥平面BCE.(2)∵M为EF中点,∴EM=MF=EF=AB=2,又AB∥EF,∴四边形ABEM是平行四边形,∴AM=BE=2.在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,∴AM⊥AF.又DA⊥平面ABEF,AM⊂平面ABEF,∴DA⊥AM.∵DA∩AF=A,∴AM⊥平面ADF.14.如图所示,四棱锥E ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB⊥ED;(2)线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,∵EA=EB,∴EO⊥AB,∵AB∥CD,AB=2CD,∴BO CD.又因为AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,所以AB⊥DO.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.(2)解:存在满足条件的点F,=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.因为F为EA中点,所以FG AB,因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为DF⊄平面BCE,CG⊂平面BCE,所以DF∥平面BCE.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.【答案】（1）(3+)a2（2）见解析（3）见解析【解析】解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴FD⊥AC.又DN∩FD=D,∴AC ⊥平面FDN,又GN ⊂平面FDN,∴GN ⊥AC.(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.∵G 是DF 的中点,∴GHCD. 又M 是AB 的中点,∴AM CD.∴GH ∥AM 且GH=AM, ∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH. ∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC, ∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.【答案】（1）见解析 （2）当x=3时,有最大值,最大值为3 【解析】(1)证明:取AF 的中点Q,连接QE 、QP,则QP DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC,所以QP EC,即四边形PQEC 为平行四边形,所以CP ∥EQ,又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF,故CP ∥平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.故=··2·(6-x)·x=(6x-x 2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3,∴当x=3时,有最大值,最大值为3.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明:(1)连接AC 1,BC 1,则AN=NC 1,因为AM=MB,所以MN ∥BC 1.又BC 1⊂平面BCC 1B 1,MN ⊄平面BCC 1B 1,所以MN ∥平面BCC 1B 1.(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面,A 到A′的位置,此时A′BCB 1为菱形,可知PA+PC=PA′+PC,A′C 即为PA+PC 的最小值,此时BB 1⊥A′C, ∴BB 1⊥PA′,BB 1⊥PC,即BB 1⊥PA,BB 1⊥PC, ∴BB 1⊥平面PAC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明:(1)∵E 、H 分别是PA 、AB 的中点,∴EH ∥PB.又EH ⊂平面EFH,PB ⊄平面EFH,∴PB ∥平面EFH.(2)∵PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥AB.又∵AB ⊥AD,PA∩AD=A,∴AB ⊥底面PAD.又∵PD ⊂平面PAD,∴AB ⊥PD.Rt △PAD 中,PA=AD=2,F 为PD 的中点, ∴AF ⊥PD.又∵AF∩AB=A,AF ⊂平面AHF,AB ⊂平面AHF,∴PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.【答案】（1）见解析（2）60°（3）【解析】(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,∴BD=2,BC=4,∴DC=2,则BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,∵PD⊥平面ABCD,∴BD⊥PD,而PD∩CD=D,∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内,∴BD⊥PC.解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,∴FG⊥平面PDC,∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,∴tan∠FDG=,∴∠FDG=60°.∴直线AB与平面PDC所成角为60°.(3)连接EF,∵DF∥AB,∴DF∥平面PAB.∵DE∥平面PAB,∴平面DEF∥平面PAB,∴EF∥AB,如图所示,∵AD=1,BC=4,BF=1,∴==,∴=,即λ=.。

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“如果x⊥y，y∥z，则x⊥z”是假命题，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形可能是() A．全是直线B．全是平面C．x，z是直线，y是平面D．x，y是平面，z是直线2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直二、填空题1.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．2.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .2.如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .3.如图，点C 是以AB 为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝BC .(1)证明：EO ∥平面ACD ；(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形可能是( )A ．全是直线B ．全是平面C ．x ，z 是直线，y 是平面D ．x ，y 是平面，z 是直线【答案】D【解析】当x 、y 、z 是A 、B 、C 中的几何图形时，命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是真命题，故选D.2.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【答案】C【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．故选C.4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l与β斜交．5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．故选D.6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.故选C.二、填空题1.已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．【答案】充分不必要【解析】E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．2.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．【答案】②④【解析】①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)【答案】①③【解析】过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，得AA 1⊥MN ，①正确；过M ，N 分别作MR ⊥A 1B 1，NS ⊥B 1C 1于点R ，S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M ，N 分别是AB 1，BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，所以A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③正确．三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，∴EC ∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA .∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面BEC 且EC ∩BC ＝C ， ∴平面BEC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面BEC ，∴BE ∥平面PDA .(2)连接AC ，交BD 于点F ，连接NF ，∵F 为BD 的中点，∴NF∥PD且NF＝PD，又EC∥PD且EC＝PD，∴NF∥EC且NF＝EC.∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.2.如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.3.如图，点C是以AB为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝BC.(1)证明：EO∥平面ACD；(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)如图，取BC的中点M，连结OM、ME.在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，∴OM∥AC，在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝BC＝CM，∴四边形MCDE为平行四边形，∴EM∥DC，∴面EMO∥面ACD，又∵EO⊂面EMO，∴EO∥面ACD.(2)∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，又∵面BCDE⊥面ABC，面BCDE∩面ABC＝BC，∴AC⊥面BCDE，又∵AC⊂面ACD，∴面ACD⊥面BCDE.。

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．45.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．3.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．三、解答题1.如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(3)当四棱锥P-ABCD 的体积等于时，求PB 的长．3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】A【解析】过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②【答案】C【解析】由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β【答案】B【解析】根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故选B.5.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确．二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．【答案】①②【解析】由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．【答案】①③【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.3.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．【答案】【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，t＝AK＝＝1；当F运动到C点时，在Rt△ADF中，易得AF＝，且AG＝，GF＝，又易知Rt△AGK∽Rt△ABF，则，又AB＝2，AK＝t，则t＝.∴t的取值范围是.三、解答题1.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.【答案】见解析【解析】(1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．【答案】【解析】(1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.(2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴S＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.菱形ABCD∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA ⊥AB .在Rt △PAB 中，PB ＝ ＝＝.3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】(1)法一因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2.所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .法二因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D .如图1，取AB 的中点G ，连接DG .图1在△ABD 中，由AB ＝2AD ，得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .(2)如图2，连接AC ，A 1C 1.设AC ∩BD 于点E ，图2连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .。

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π2.已知等边三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.2.已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且，，过点作垂直于平面，交球于，则棱锥的体积为 . 全国高三高中数学专题试卷答案及解析 一、选择题1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】A【解析】几何体为一个长方体与一个半圆柱体的组合，其中长方体的长宽高为4,2,2，体积为16；半圆柱体的高为4，底面为半径为2的半圆，体积为，因此几何体的体积为，选A. 【考点】三视图2.已知等边三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设正三角形的中心为，连接，分析知经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.连结，因为是正三角形的中心，三点都在球面上,所以平面，结合平面，可得，因为球的半径.球心到平面的距离为1，得，所以在中，,又因为为的中点，是等边三角形，所以，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径，可得截面面积为.故选C.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．二、填空题1.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.【答案】1∶24【解析】因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=S △ADE•h/S △ABC•H ＝=1：24【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积2.已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且，，过点作垂直于平面，交球于，则棱锥的体积为 . 【答案】. 【解析】如图所示，过球心，∴，∴. 【考点】空间几何体的体积计算.。

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知sin 2α＝，则cos2＝ ()．A．B．C．D．2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝b，则角A等于()．A．B．C．D．3.的值是()．A．－B．－C．D．4.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－5.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．二、填空题1.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.2.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．三、解答题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝(1)求b的值；(2)求sin 的值．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知sin 2α＝，则cos2＝ ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为cos2＝＝＝，所以cos2＝＝＝，选A.2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝b，则角A等于()．A．B．C．D．【答案】D【解析】在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B＝sin B，∴sin A＝.又A为锐角，∴A＝.3.的值是()．A．－B．－C．D．【答案】C【解析】原式＝＝＝＝sin 30°＝4.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.5.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理，AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC cos B＝()2＋32－2××3cos ＝5.∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝＝.二、填空题1.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.【答案】5【解析】由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，则cos A＝.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得：72＝b2＋62－12b×，解之得b＝5(舍去负值)．2.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．【答案】－【解析】设△ABC的三边a，b，c成公比为的等比数列，∴b＝a，c＝2a.则cos C＝＝＝－3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．【答案】＋1【解析】由B＝，C＝，知A＝，由正弦定理得，解得c＝2.所以三角形的面积为bc sin A＝×2×2sin.因为sin ＝sin＝，所以bc sin A＝2××＝＋1.三、解答题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)由A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C.又A＋B＋C＝π，∴B＝，故cos B＝.(2)由已知，b2＝ac，又cos B＝.根据余弦定理，得cos B＝＝＝，∴a＝c，因此A＝C＝B＝，故sin A sin C＝2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝(1)求b的值；(2)求sin 的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)在△ABC中，由，且b sin A＝3c sin B，a＝3，∴a sin B＝3c sin B，∴c＝1，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝，可得b＝.(2)由cos B＝，得sin B＝，进而得cos 2B＝2cos2B－1＝－，sin 2B＝2sin B cos B＝.所以sin＝sin 2B cos－cos 2B sin＝3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【答案】（1）－（2）【解析】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，∴cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，由正弦定理，有，所以，sin B＝. 由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝.。

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.函数y＝a x－3＋3恒过定点________．2.函数y＝的定义域是________．3.函数f(x)＝(a2－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．4.已知函数f(x)＝a＋是奇函数，则常数a＝________.5.函数y＝1＋|x－1|的值域为__________.6.函数y＝a x－(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)7.以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)①f(x)＝lnx；②f(x)＝e x；③f(x)＝e x－x；④f(x)＝e x＋x.8.设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a、b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．9.设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2)若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.10.已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．11.已知f(x)＝(e x－1)2＋(e－x－1)2，则f(x)的最小值为________．(x)＝取函数f(x)＝2－12.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK|x|.当K＝时，函数f(x)的单调递增区间为________．K二、解答题1.已知x∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．2.已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y＝－4＋2的最大值和最小值．3.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.4.画出函数y＝的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程＝k无解？有一个解？有两个解？5.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．6.设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(3)求函数的值域．7.若函数f(x)＝a x(a>1)的定义域和值域均为[m，n]，求实数a的取值范围．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.函数y＝a x－3＋3恒过定点________．【答案】(3，4)【解析】当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)．2.函数y＝的定义域是________．【答案】【解析】由8－16x≥0，所以24x≤23，即4x≤3，定义域是3.函数f(x)＝(a2－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．【答案】(－，－1)∪(1，)【解析】由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a|＜，即－＜a＜－1或1＜a＜.4.已知函数f(x)＝a＋是奇函数，则常数a＝________.【答案】－【解析】由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－.5.函数y＝1＋|x－1|的值域为__________.【答案】(1，2]【解析】设y′＝u，u＝|x－1|.由于u≥0且y′＝u是减函数，故0<|x－1|≤1，则1＜y≤2.6.函数y＝a x－(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)【答案】④【解析】当a>1时，y＝a x－为增函数，且在y轴上的截距0<1－<1，故①②不正确；当0<a<1时，y＝a x－为减函数，且在y轴上的截距1－<0，故④正确．7.以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)①f(x)＝lnx；②f(x)＝e x；③f(x)＝e x－x；④f(x)＝e x＋x.【答案】④【解析】若f(x)＝e x＋x，则f(x＋1)＝e x＋1＋x＋1＝e·e x＋x＋1>e x＋x＋1＝f(x)＋1.8.设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a、b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．【答案】g(a)<0<f(b)【解析】易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．9.设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2)若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.【答案】(1){x|0<x≤1} (2)①②③【解析】(1)因为c>a>0，c>b>0，a＝b且a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，所以0<2a≤c，所以≥2.≥1，所以0<x≤1.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即＝2，即x＝2，＝log2(2)由a、b、c是△ABC的三条边长，知a＋b>c，因为c>a>0，c>b>0，所以0<<1，0<<1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝a x＋b x－c x＝c x>c x＝c x·>0，①正确；令a＝2，b＝3，c＝4，则a、b、c可以构成三角形，而a2＝4，b2＝9，c2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a，c>b，且△ABC为钝角三角形，则a2＋b2－c2<0.因为f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确10.已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．【答案】∪【解析】因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a＝－，所以f(x)＝－－，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是∪11.已知f(x)＝(e x－1)2＋(e－x－1)2，则f(x)的最小值为________．【答案】－2【解析】将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x＋e－x)2－2(e x＋e－x)－2，令t＝e x＋e－x，则g(t)＝t2－2t－2＝(t－1)2－3，t∈[2，＋∞)，所以，最小值为－2.(x)＝取函数f(x)＝2－12.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK|x|.当K＝时，函数f(x)的单调递增区间为________．K【答案】(－∞，－1)【解析】函数f(x)＝2－|x|＝，作图易知f(x)≤K ＝x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．二、解答题1.已知x ∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值． 【答案】最小值，最大值57. 【解析】f(x)＝－＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝2＋.∵x ∈[－3，2],∴≤2－x ≤8.则当2－x ＝，即x ＝1时，f(x)有最小值；当2－x ＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.2.已知9x －10×3x ＋9≤0，求函数y ＝－4＋2的最大值和最小值．【答案】y max ＝2.y min ＝1【解析】由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0，解得1≤3x ≤9，∴0≤x≤2.令()x ＝t ，则≤t≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －)2＋1，当t ＝即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.3.已知函数f(x)＝|2x －1－1|.(1)作出函数y ＝f(x)的图象；(2)若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c <4.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)f(x)＝其图象如图所示．(2)证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c <4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c <4.综上知，总有2a ＋2c <4.4.画出函数y ＝的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程＝k 无解？有一个解？有两个解？【答案】当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．【解析】由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．5.已知函数f(x)＝x 3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x ∈R ，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(－x)3＝－x 3＝－x 3＝x 3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x >1，即a x －1>0，所以＋>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a 的取值范围是a>16.设a ＞0，f(x)＝是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(3)求函数的值域．【答案】（1）a ＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上为增函数（3）[2，＋∞)【解析】(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是＝＋3a ，即.因为a ＞0，故a ＝1.(2)设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(－1)． 因为3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3)因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．7.若函数f(x)＝a x (a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，求实数a 的取值范围．【答案】1<a<【解析】由题意，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f′(x)＝a x lna －1，令f′(x)＝0，得x ＝log a＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴1<a<.。

全国高三高中数学单元试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，为虚数单位，且，则（ ）A ．，B ．C ．D ．2.（曲线在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）A ．―9B ．―3C ．9D ．153.（理）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.（文）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为（ ） A ．B ．C ．D ．5.i 是虚数单位，若集合S=，则（ ） A ．B ．C ．D ．6.设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2006(x )＝（ ）A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx7.函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8.．函数y="f(x)" 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（ ） A ．第I 象限B ．第II 象限C ．第Ⅲ象限D ．第IV 象限9.（理）等于（ ）A ．1B ．C ．D ．10.（文）下列式子中与相等的是（）（1）；（2）；（3）（4）。

A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）11.．对于上的任意函数，若满足，则必有（）A．B．C．D．12.曲线在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．13.设，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．14.（理）若，令，则的值为（）（其中）A．1B．C．D．15.（文）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．二、填空题1.曲线在点（1，1）处的切线方程为。

全国高三高中数学单元试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．2.设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．3.已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点, 若△ 是正三角形,则这个椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．4.过椭圆中心的直线与椭圆交于A 、B 两点,右焦点为F 2,则△ABF 2的最大面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 5.已知双曲线的两个焦点分别为,过作垂直于x 轴的直线,与双曲线的一个交点为P,且,则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．C ．3D ．6.二次曲线,当时,该曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．7.P 是椭圆上的点,是椭圆的焦点,若且. 则此椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．8.已知定点A 、B,且|AB|=4,动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．5 9.设,则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）20081103A．B．C．D．10.对于抛物线上任意一点Q,点都满足.则的取值范围是（）A．B．(-∞,2)C．[0,2]D．(0,2)11.抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A．B．C．D．312.设双曲线的半焦距为,直线过两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为（）A．2B．2或C．D．二、填空题1.如果过两点和的直线与抛物线没有交点,那么实数的取值范围是2.对任意实数,直线与椭圆恒有公共点,则的取值范围是3.设抛物线的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是4.抛物线上有两点A、B,且|AB|=6.则线段AB的中点M到y轴的最小距离为 .三、解答题1.（本小题满分10分）P是椭圆上的点, 是椭圆的左右焦点,设.求的最大值与最小值的差.2.（本小题满分12分）点P到M(-1,0)、N(1,0)的距离之差为2m,到x轴、y轴的距离之比为2.求m的取值范围.3.（本小题满分12分）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线A P的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.4.（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围.5.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中,有一个以为和焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x , y轴的交点分别为A、B,且向量.求:（1）点M的轨迹方程；（2）的最小值.6.（本小题满分12分）P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线,且与共线.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.全国高三高中数学单元试卷答案及解析一、选择题1.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由已知得渐近线方程为:,∴再求出最后计算得2.设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由平面几何知识和椭圆的定义知，故. ∴D 正确3.已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点, 若△ 是正三角形,则这个椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】画草图,设正△的边长为,则,由椭圆的定义得, 则.4.过椭圆中心的直线与椭圆交于A 、B 两点,右焦点为F 2,则△ABF 2的最大面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】5.已知双曲线的两个焦点分别为,过作垂直于x轴的直线,与双曲线的一个交点为P,且,则双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．【答案】D【解析】由已知易得 ,6.二次曲线,当时,该曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题设条件得,此曲线为双曲线,∴由得. 故选C.7.P是椭圆上的点,是椭圆的焦点,若且. 则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出草图(如右图),由得. ∴由椭圆的定义得 , ∴.再由勾股定理得 . ∴.8.已知定点A、B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是（）A． B． C． D．5【答案】C点处【解析】由题设条件可知,点P在以A、B为焦点且靠近点B的双曲线的一支上(如图所示).由右图可得P在P1|PA|取得最小值.∵|AO|="2," . ∴.9.设,则二次曲线的离心率的取值范围为（）20081103A．B．C．D．【答案】D【解析】∵ ,∴ ,∴.∴ . ∴.10.对于抛物线上任意一点Q,点都满足.则的取值范围是（）A．B．(-∞,2)C．[0,2]D．(0,2)【答案】B【解析】设点Q的坐标为由,得.整理得, ∵ ,∴即恒成立.∴故选B.11.抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】为抛物线上任意一点. 则.∴点P到直线的距离为∴.数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.12.设双曲线的半焦距为,直线过两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为（）A．2B．2或C．D．【答案】D【解析】由已知, 直线的方程为:即.则原点到直线的距离为: . 由已知得,又.∴. 两边同除以并整理得: .解得. 从而均满足双曲线的离心率.由条件,可得 . 故.选D.二、填空题1.如果过两点和的直线与抛物线没有交点,那么实数的取值范围是【答案】【解析】联立直线AB方程与抛物线方程,消去y,得关于x的二次方程没有实根,得到△=.2.对任意实数,直线与椭圆恒有公共点,则的取值范围是【答案】[-1，3]【解析】对对任意实数,直线恒过点. 椭圆的方程可化为. 由已知条件得: 点在椭圆上或的内部,即. 解得.3.设抛物线的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是【答案】【解析】由已知易得Q(2,0).设直线的方程为.∵直线与抛物线有公共点, ∴方程组实数解,即有实数解.故△=, ∴.4.抛物线上有两点A、B,且|AB|=6.则线段AB的中点M到y轴的最小距离为 .【答案】2【解析】设抛物线的焦点为F,准线为.点M到y轴的距离为d.过A,B,M分别作的垂线(如右图所示).则MM1是直角梯形ABB1A1的中位线,∴|MM1|==又由抛物线的定义知.当且仅当AB过点F时取等号. ∴.故线段AB的中点M到y轴的最小距离为2.三、解答题1.（本小题满分10分）P是椭圆上的点, 是椭圆的左右焦点,设.求的最大值与最小值的差.【答案】解:由已知得. 设P(x , y)，………………………………3分由椭圆的焦半径公式得, 又.………7分∴. 故.故的最大值与最小值的差为1. ………10分【解析】略2.（本小题满分12分）点P到M(-1,0)、N(1,0)的距离之差为2m,到x轴、y轴的距离之比为2.求m的取值范围.【答案】解:设点P的坐标为(x , y),依题意得,即①因此,点P(x , y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||<|MN|="2." ………………4分∵||PM|-|PN||="2|m|>0," ∴0<|m|<1. 因此,点P在以M、N为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上,故②…………………………………7分将代①入②,解得 .∵,∴.解得.即m的取值范围为.………………………………12分【解析】略3.（本小题满分12分）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线A P的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.【答案】解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得则2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=. ∴点P的坐标是(,).…………………6分（2）直线AP的方程是－+6="0. " 设点M(,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又－6≤≤6,解得="2. " 椭圆上的点(,)到点M的距离为,则,由于－6≤≤6, ∴当=时,取得最小值.………………………………12分【解析】略4.（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围.【答案】解：（1）两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0．∴上述条件等价于∵，∴上述条件等价于．即当且仅当时，经过抛物线的焦点.…………………………………6分（2）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程 , ∴.为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即.设的中点的坐标为，则，.由点在上, 得，于是.故即得在轴上截距的取值范围为.………………………………12分【解析】略5.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中,有一个以为和焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x , y轴的交点分别为A、B,且向量.求:（1）点M的轨迹方程；（2）的最小值.【答案】解：（1）设椭圆的方程为. 由已知,可得∴曲线C的方程为∴求导得设,因P为C上,所以有,由此得切线AB的方程为:设A(x , 0)和B(0 , y). 由切线方程得.由得M的坐标为(x , y),由满足C的方程,得点M的轨迹方程为: .…………………………………6分（2）∵∴当且仅当即时,上式取等号. 故的最小值为3. ………………………………12分【解析】略6.（本小题满分12分）P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线,且与共线.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【答案】解:如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为.又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即.…………………………………4分①当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得故四边形面积令=得.…………………………………8分∵=≥2 .当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数.∴.②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=. ∴S=|PQ||MN|=2.综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为.………………………………12分【解析】略。

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝(21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是________．2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝a 100·＋a 101，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200＝________．3.设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．4.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________．5.已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.6.若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 8.在正项等比数列{a n }中，a 5＝，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．9.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2010＝________．二、解答题1.设无穷数列{a n }满足：n ∈Ν，a n <a n ＋1，a n ∈N ．记b n ＝aa n ，c n ＝aa n ＋1(n ∈N *)． (1)若b n ＝3n(n ∈N *)，求证：a 1＝2，并求c 1的值；(2)若{c n }是公差为1的等差数列，问{a n }是否为等差数列，证明你的结论． 2.已知数列a n ＝n －16，b n ＝(－1)n |n －15|，其中n ∈N *. (1)求满足a n ＋1＝|b n |的所有正整数n 的集合；(2)若n≠16，求数列的最大值和最小值；(3)记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m ＝S 2n (m ＜n)的有序整数对(m ，n)．3.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有.4.已知数列{a n }中，a 1＝2，n ∈N *，a n ＞0，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋1＝.(1)求{S n }的通项公式；(2)设{b k }是{S n }中的按从小到大顺序组成的整数数列． ①求b 3；②存在N(N ∈N *)，当n≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围．5.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 6.正项数列{a n }的前项和满足：－(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <.7.已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．8.设不等式组所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．9.已知数列{a n }，其前n 项和为S n .(1)若对任意的n ∈N ，a 2n －1，a 2n ＋1，a 2n 组成公差为4的等差数列，且a 1＝1，＝2013，求n 的值；(2)若数列是公比为q(q≠－1)的等比数列，a 为常数，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝1＋.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝(21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是________． 【答案】7、8【解析】由S n 解出a n ＝(－n 2＋15n －9)，再解不等式(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n<9.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝a 100·＋a 101，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200＝________． 【答案】100 【解析】∵＝a 100＋a 101且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，∴a 100＋a 101＝1，∴S 200＝＝100×(a 1＋a 200)＝100×1＝100.3.设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 【答案】【解析】设a 2＝t ，则1≤t≤q≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t≥1，所以q≥max{t ，}，故q 的最小值是.4.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________． 【答案】64【解析】依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.5.已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 【答案】64 【解析】＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋×2＝64.6.若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．【答案】n 2－n【解析】由条件得即故a n ＝n 2－n7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 【答案】－49 【解析】由条件得nS n ＝，对f(x)＝求导可得f(x)在上递减，在上递增，分别计算n ＝6和n ＝7可得，当n ＝7时nS n ＝最小为－49.8.在正项等比数列{a n }中，a 5＝，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．【答案】12【解析】根据条件求得a n ＝2n －6，则不等式化为2n －1>(*)，n> ，解得<n<，即1≤n≤12，将n ＝13代入(*)式检验，经检验不成立，故最大正整数n 的值为12.9.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2010＝________． 【答案】4【解析】由题意得，a 3＝a 1·a 2＝6，定义f(x)＝x 的个位数，则a 4＝f(a 3·a 2)＝8，依此类推，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，a 9＝6，a 10＝8，到此为止，看出一个周期，a 9＝a 3，a 10＝a 4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2010－2＝2008，2008＝6×334＋4，所以a 2010＝a 6＝4.二、解答题1.设无穷数列{a n }满足：n ∈Ν，a n <a n ＋1，a n ∈N ．记b n ＝aa n ，c n ＝aa n ＋1(n ∈N *)． (1)若b n ＝3n(n ∈N *)，求证：a 1＝2，并求c 1的值；(2)若{c n }是公差为1的等差数列，问{a n }是否为等差数列，证明你的结论． 【答案】（1）6，证明见解析（2）是【解析】(1)因为a n ∈N ，所以若a 1＝1，则b 1＝aa 1＝a 1＝3矛盾，若a 1≥3＝aa 1，可得1≥a 1≥3矛盾，所以a 1＝2.于是a 2＝aa 1＝3，从而c 1＝aa 1＋1＝a 3＝aa 2＝6.(2){a n }是公差为1的等差数列，证明如下：a n ＋1>a n n≥2时，a n >a n －1，所以a n ≥a n －1＋1a n ≥a m ＋(n －m)，(m<n)aa n ＋1＋1≥aa n ＋1＋a n ＋1＋1－(a n ＋1)，即c n ＋1－c n ≥a n ＋1－a n ，由题设，1≥a n ＋1－a n ，又a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a n ＝1，即{a n }是等差数列．2.已知数列a n ＝n －16，b n ＝(－1)n |n －15|，其中n ∈N *. (1)求满足a n ＋1＝|b n |的所有正整数n 的集合；(2)若n≠16，求数列的最大值和最小值；(3)记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m ＝S 2n (m ＜n)的有序整数对(m ，n)． 【答案】（1）{n|n≥15，n ∈N *}（2）(n ＝18)，最小值-2(n ＝17)（3）S 16＝S 14，m ＝7，n ＝8【解析】(1)a n ＋1＝|b n |，n －15＝|n －15|. 当n≥15时，a n ＋1＝|b n |恒成立；当n<15时，n －15＝－(n －15)，n ＝15(舍去)． ∴n 的集合为{n|n≥15，n ∈N *}． (2)＝.(ⅰ)当n>16时，n 取偶数时，＝，当n ＝18时，＝，无最小值；n 取奇数时，＝－1－，n ＝17时，＝－2，无最大值． (ⅱ)当n<16时，＝. 当n 为偶数时，＝＝－1－. n ＝14时，＝－，＝－； 当n 为奇数时，＝＝1＋，n ＝1时，＝1－＝，n ＝15时，＝0.综上，最大值为(n ＝18)，最小值－2(n ＝17)．(3)当n≤15时，b n ＝(－1)n －1(n －15)，a 2k －1b 2k －1＋a 2k b 2k ＝2(16－2k)≥0，当n>15时，b n ＝(－1)n (n －15)，a 2k －1b 2k －1＋a 2k b 2k ＝2(2k －16)>0，其中a 15b 15＋a 16b 16＝0， ∴S 16＝S 14，m ＝7，n ＝8.3.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有.【答案】（1）a 2＝4.（2）a n ＝n 2，n ∈N *（3）见解析 【解析】(1)解：∵＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N ．∴当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－－1－＝a 2－2.又a 1＝1，∴a 2＝4. (2)解：∵＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N ．∴2S n ＝na n ＋1－n 3－n 2－n ＝na n ＋1－，①∴当n≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －，②由①－②，得2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)， ∵2a n ＝2S n －2S n －1，∴2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∴＝1，∴数列是以首项为＝1，公差为1的等差数列．∴＝1＋1×(n －1)＝n ，∴a n ＝n 2(n≥2)，当n ＝1时，上式显然成立． ∴a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明：由(2)知，a n ＝n 2，n ∈N *， ①当n ＝1时，＝1<，∴原不等式成立． ②当n ＝2时，＝1＋<，∴原不等式成立．③当n≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)， ∴， ∴＝<1＋＝1＋＝1＋＝1＋＝，∴当n≥3时，∴原不等式亦成立． 综上，对一切正整数n ，有.4.已知数列{a n }中，a 1＝2，n ∈N *，a n ＞0，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋1＝.(1)求{S n }的通项公式；(2)设{b k }是{S n }中的按从小到大顺序组成的整数数列． ①求b 3；②存在N(N ∈N *)，当n≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围． 【答案】（1）S n ＝1＋（2）①6②N ∈[761，840] 【解析】(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴(S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n －2)＝2；即(S n ＋1)2－(S n )2－2(S n ＋1－S n )＝2，∴(S n ＋1－1)2－(S n －1)2＝2，且(S 1－1)2＝1，∴{(S n －1)2}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴S n ＝1＋.(2)①n ＝1时，S 1＝1＋1＝2＝b 1，n ＝5时，S 5＝1＋3＝4＝b 2，n ＝13时，S 13＝1＋5＝6＝b 3. ②∵2n －1是奇数，S n ＝1＋为有理数，则＝2k －1，∴n ＝2k 2－2k ＋1，当k ＝20时，n ＝761；当k ＝21时，n ＝841；∴存在N ∈[761，840]，当n≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项．5.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】∵{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项和， ∴S n ＝na ＋ d. (1)∵c ＝0，∴b n ＝＝a ＋d. ∵b 1，b 2，b 4成等比数列，∴＝b 1b 4， ∴，∴ad －d 2＝0，∴d ＝0.∵d≠0，∴a ＝d ，∴d ＝2a ，∴S n ＝na ＋d ＝na ＋2a ＝n 2a ，∴左边＝S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ，右边＝n 2S k ＝n 2k 2a ， ∴左边＝右边，∴原式成立． (2)∵{b n }是等差数列， ∴设公差为d 1， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 1 代入b n ＝，得b 1＋(n －1)d 1＝，∴n 3＋n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)对n ∈N *恒成立，∴ ∴d 1＝d.∵d≠0，∴d 1≠0.6.正项数列{a n }的前项和满足：－(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <.【答案】（1）a n ＝2n （2）见解析 【解析】(1)解：由－(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n.于是a 1＝S 1＝2，n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n. 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n. (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝，则b n ＝.T n ＝＝＝.故对于任意的n ∈N *，都有T n <.7.已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n ＝2n －1(n ∈N *)．（2）当k ＝1时，不存在p ，r ；当k≥2时，存在p ＝2k －1，r ＝4k 2－5k ＋2满足题设．【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝1；当n≥2，n ∈N *时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1；综上所述，a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)当k ＝1时，若存在p ，r 使，，成等差数列，则＝－＝.因为p≥2，所以a r <0与数列{a n }为正数相矛盾，因此，当k ＝1时不存在； 当k≥2时，设a k ＝x ，a p ＝y ，a r ＝z ，则，所以z ＝.令y ＝2x －1，得z ＝xy ＝x(2x －1)，此时a k ＝x ＝2k －1，a p ＝y ＝2x －1＝2(2k －1)－1，所以p ＝2k －1，a r ＝z ＝(2k －1)(4k －3)＝2(4k 2－5k ＋2)－1，所以r ＝4k 2－5k ＋2.综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k≥2时，存在p ＝2k －1，r ＝4k 2－5k ＋2满足题设．8.设不等式组所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）a n ＝3n(n ∈N *)（2）m≥.【解析】(1)由x ＞0，y ＞0，3n －nx ＞0，得0＜x ＜3. ∴x ＝1，或x ＝2.∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1、x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2. 则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n.∴a n ＝3n(n ∈N *)． (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝，∴T n ＝，∴T n ＋1－T n ＝，∴当n≥3时，T n ＞T n ＋1，且T 1＝1＜T 2＝T 3＝.于是T 2，T 3是数列{T n }中的最大项，故m≥.9.已知数列{a n }，其前n 项和为S n .(1)若对任意的n ∈N ，a 2n －1，a 2n ＋1，a 2n 组成公差为4的等差数列，且a 1＝1，＝2013，求n 的值；(2)若数列是公比为q(q≠－1)的等比数列，a 为常数，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝1＋.【答案】（1）n ＝1005（2）见解析【解析】(1)解：因为a 2n －1，a 2n ＋1，a 2n 组成公差为4的等差数列， 所以a 2n ＋1－a 2n －1＝4，a 2n ＝a 2n －1＋8(n ∈N *)，所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，a 2n ＋1是公差为4的等差数列，且a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＋8n. 又因为a 1＝1，所以S 2n ＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋8n ＝2 ＋8n ＝4n 2＋6n ＝2n(2n ＋3)，所以＝2n ＋3＝2013，所以n ＝1005.(2)证明：因为＋a ＝(a ＋1)q n －1，所以S n ＝(a ＋1)q n －1a n －aa n ，①所以S n ＋1＝(a ＋1)q n a n ＋1－aa n ＋1，②②－①，得(a ＋1)(1－q n )a n ＋1＝[a －(a ＋1)q n －1]a n .③ (ⅰ)充分性：因为q ＝1＋，所以a≠0，q≠1，a ＋1≠aq ，代入③式，得q(1－q n )a n ＋1＝(1－q n )a n .因为q≠－1，q≠1， 所以＝，n ∈N *，所以{a n }为等比数列，(ⅱ)必要性：设{a n }的公比为q 0，则由③得 (a ＋1)(1－q n )q 0＝a －(a ＋1)q n －1， 整理得(a ＋1)q 0－a ＝(a ＋1)q n ，此式为关于n 的恒等式，若q ＝1，则左边＝0，右边＝－1，矛盾； 若q≠±1，当且仅当时成立，所以q ＝1＋.由(ⅰ)、(ⅱ)可知，数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝1＋.。

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．3.已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．4.求曲线y ＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程． 5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sin x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a 、b 的值． 11.已知M ＝，N ＝，向量α＝.(1)验证：(MN )α＝M (Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN ＝NM .12.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A，B，C.求△ABC 在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．17.如图所示，四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD变成四边形AB′C′D的变换矩阵M.18.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ.19.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程．20.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．【答案】A′(2，0)【解析】矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．【答案】【解析】＝，解得3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．【答案】【解析】将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．【答案】x＝【解析】设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．【答案】点(0，5)【解析】设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．【答案】2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 【解析】变换矩阵为，任取椭圆上一点(x 0，y 0)， 则＝，令则又点(x 0，y 0)在椭圆F 上，故＝1，所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，即F′的解析式为2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．【答案】y ＝2sin2x 【解析】MN ＝＝，设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y′)． 则＝，所以即代入y ＝sinx 得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x.8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sinx 变为曲线C ，求曲线C 的方程．【答案】y ＝sinx 【解析】MN ＝＝，设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有＝，即所以又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝sinx 上，故y 0＝sinx 0，从而y ＝sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程． 【答案】（1）（2）x －y －4＝0.【解析】(1)不妨设M＝，则由题意得＝，＝，所以故M＝.(2)取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则＝＝，即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a、b的值．【答案】a＝2，b＝3.【解析】(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.(解法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因为(x′，y′)在直线m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y －4＝0.又点(x，y)在直线x＋y＋2＝0上，所以，解得a＝2，b＝311.已知M＝，N＝，向量α＝.(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN＝NM.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝，所以(MN)α＝M(Nα)．(2)因为MN＝，NM＝，所以这两个矩阵不满足MN＝NM.12.在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A，B，C.求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积． 【答案】【解析】因为＝，＝，＝，所以A ，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′，B′，C′.故S △A′B′C′＝A′C′|y B ′|＝13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.【答案】1【解析】由题设得MN ＝，∴·＝，·＝，·＝.可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)． 可得△O′A′B′的面积为1.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 【答案】2x ＋y ＋1＝0 【解析】由题设得MN ＝＝.设(x ，y)是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y′)， 则有＝，即＝，所以. 因为点(x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0. 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．【答案】（1）（2）(1，0)【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)， 由＝＝，得，又点M′(x′，y′)在l′上， 所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意解得(2)A ＝，得解得y 0＝0.又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1，故点P 的坐标为(1，0)．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．【答案】(k ，2k) 【解析】由＝，得而x ＋y ＝k ，所以(k 为常数)，所以直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k ，2k)．17.如图所示，四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .【答案】【解析】该变换为切变变换．设矩阵M ＝，由图知，C C′，则＝.所以3k －2＝3，解得k ＝.所以，M ＝.18.已知矩阵M ＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M 作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ. 【答案】（1）（2） 【解析】(1)因为3α＋β＝3＋＝＋＝，所以M＝＝.(2)4Mα－5Mβ＝M (4α－5β)＝＝.19.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程． 【答案】x ＋4＝0 【解析】设M ＝，则有＝，＝，∴，且，解得和，∴M ＝，∵＝＝，且m ：2x′－y′＝4，∴2(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋4＝0，∴直线l 的方程为x ＋4＝0.20.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程． 【答案】（1）（2）x ＋y ＋2＝0【解析】(1)设M＝，则有＝，＝，所以且解得和所以M＝.(2)因为＝＝且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，即直线l的方程为x＋y＋2＝0.。