新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数北师大版(含答案)

单元过关检测二 函数与基本初等函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，是奇函数且在区间(0，＋∞)上为减函数的是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x 3C ．y ＝3－xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2．[2024·黑龙江哈师大附中期末]已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋2，x ≤1，log 2（x 2－1），x >1，则f (f (0))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．24．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13成立是不等式x 2<1成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2024·福建宁德模拟]函数f (x )＝x －log 2(4x＋1)的部分图象大致为( )6．若a 、b 、c 都是正数，且4a＝6b＝9c，那么( ) A ．ac ＋bc ＝2ab B ．ab ＋bc ＝ac C ．2c ＝2a ＋1b D ．1c ＝2b －1a7．菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会渐渐失去簇新度．已知某种蔬菜失去的簇新度h与其采摘后时间t (小时)满意的函数关系式为h ＝m ·a t.若采摘后20小时，这种蔬菜失去的簇新度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的簇新度为40%.那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50%簇新度(参考数据lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．23小时B ．33小时C ．50小时D ．56小时8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －6|，x ≥03x ＋6，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满意f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A ．[4，6]B ．(4，6)C ．[－1，3]D ．(－1，3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列函数中，与函数y ＝x ＋2不是同一个函数的是( ) A ．y ＝(x ＋2)2B ．y ＝3x 3＋2C ．y ＝x 2x＋2 D ．y ＝x 2＋210．[2024·河北秦皇岛模拟]已知函数f (x )＝lg (x 2＋100－x )，g (x )＝21＋2x ，F (x )＝f (x )＋g (x )，则( )A ．f (x )的图象关于(0，1)对称B ．g (x )的图象没有对称中心C ．对随意的x ∈[－a ，a ](a >0)，F (x )的最大值与最小值之和为4D ．若F （x －3）＋x －3x －1<1，则实数x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)11．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若定义函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．函数f (x )在定义域上不具有单调性 C ．函数f (x )的值域为[0，1] D ．方程f (x )＝12 022存在多数个实数根 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0－|log 3x |，x >0，若g (x )＝f (f (x ))＋1，则下说法正确的是( )A ．当a >0时，g (x )有4个零点B ．当a >0时，g (x )有5个零点C ．当a <0时，g (x )有1个零点D ．当a <0时，g (x )有2个零点 [答题区] 题号 1 2 3 4 5 6 答案 题号 7 8 9 10 11 12 答案三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝ln (ax )，若f (e)＝1，则a ＝________． 14．若函数y ＝a x(a >0，a ≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a 的值为________．15．[2024·新高考Ⅱ卷]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________． ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数．16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤23＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，当a ＝2时，f (4)＝________；若该函数的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f (x )＝a 2x－a x＋2a (a >0且a ≠1)的图象经过点A (1，6). (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的最小值．18．(12分)计算：(1)(4＋23)12－4×8－23－27×－32＋3a ·a －1÷3a －1·3a 2；(2)log 23·log 34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋12lg 16－19．(12分)已知函数f (x )＝ln x －m .(1)若函数g (x )＝f (x )＋e x 在区间(1e ，1)内存在零点，求实数m 的取值范围；(2)若关于x 的方程f (e x＋1)＝x2有实数根，求实数m 的取值范围．20．(12分)今年某城市一家图书生产企业安排出版一套数学新教辅书，通过市场分析，全年需投入固定成本30万元，印刷x (0<x ≤100)(万本)，需另投入成本C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30x －x 22，0<x ≤5，61x ＋100x －3752，5<x ≤100，由市场调研知，每本书售价为60元，且全年内印刷的书当年能全部销售完．(1)求出今年的利润L (x )(万元)关于年产量x (万本)的函数关系式； (2)今年年产量为多少本时，企业所获利润最大？求出最大利润．21．(12分)[2024·河南郑州模拟]已知f(x)＝log2(1－a·2x＋4x)，其中a为常数．(1)当f(1)－f(0)＝2时，求a的值；(2)当x∈[1，＋∞)时，关于x的不等式f(x)≥x－1恒成立，试求a的取值范围．22．(12分)已知定义在R上的函数f(x)＝2x4x＋a是偶函数．(1)求a的值；(2)推断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性并证明；(3)解不等式：f(－x2＋4x－7)<f(x2－x＋1).单元过关检测二 函数与基本初等函数1．答案：A解析：对于A ：由幂函数的性质可知y ＝x －1是奇函数且在（0，＋∞）上为减函数，故A 正确；对于B ：由幂函数的性质可知y ＝x 3是奇函数且在（0，＋∞）上为增函数，故B 错误；对于C ：易知y ＝3－x 是非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：易知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，故D 错误．2．答案：A解析：因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，因为25>16，所以2513>1613，即a <c ，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，因为13>15，所以1615<1613，所以b <a ，综上，b <a <c .故选A.3．答案：A解析：f （f （0））＝f （3）＝log 28＝3.故选A. 4．答案：B解析：解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13，得x <1，解不等式x 2<1，得－1<x <1，又（－1，1）⊆（－∞，1），所以不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13成立是不等式x 2<1成立的必要不充分条件．故选B.5．答案：A解析：f （0）＝0－log 2（40＋1）＝－1<0，解除C 选项.4x＋1>0，f （x ）的定义域为R ，f （－x ）＝－x －log 2（4－x＋1）＝－x －log 24x＋14x ＝－x －[log 2（4x ＋1）－log 24x ]＝－x ＋2x －log 2（4x ＋1）＝x －log 2（4x＋1）＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，解除D 选项．f （1）＝1－log 2（41＋1）＝1－log 25<1－log 24＝－1＝f （0），所以B 选项错误，故A 选项正确．故选A.6．答案：D解析：由于a ，b ，c 都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c ＝log M 9.∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1a ＋1c ＝2b ，即1c ＝2b －1a .故选D.∵1a＋1c ＝2b，即bc ＋ab ＝2ac ，故A 、B 错误．7．答案：B解析：由题意，采摘后20小时，这种蔬菜失去的簇新度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的簇新度为40%，可得⎩⎪⎨⎪⎧h （20）＝ma 20＝0.2h （30）＝ma 30＝0.4，解得a ＝2110，m ＝0.05，所以h （t ）＝0.05×⎝ ⎛⎭⎪⎫2110t，令h （t ）＝0.05×⎝ ⎛⎭⎪⎫2110t＝0.5，可得2t10＝10，两边同时去对数，故t ＝10·lg 10lg 2＝100.3≈33小时．8．答案：B解析：因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －6|，x ≥03x ＋6，x <0，即f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x <06－2x ，0≤x ≤32x －6，x >3，设f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，x 1<x 2<x 3，作出函数f （x ）的图象如图所示：由图象可知，点（x 2，f （x 2））、（x 3，f （x 3））关于直线x ＝3对称，则x 2＋x 3＝6， 由图可知，x 1∈（－2，0），因此，x 1＋x 2＋x 3＝x 1＋6∈（4，6）. 9．答案：ACD解析：y ＝x ＋2的定义域为R .对于A ，y ＝（x ＋2）2的定义域为[－2，＋∞），与y ＝x ＋2的定义域不同，不是同一函数；对于B ，y ＝3x 3＋2＝x ＋2定义域为R ，与y ＝x ＋2定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，y ＝x 2x＋2的定义域为{x |x ≠0}，与y ＝x＋2定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x 2＋2＝|x |＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥0－x ＋2，x <0，与y ＝x ＋2的对应关系不同，不是同一函数．故选ACD.10．答案：ACD解析：由题意知f （x ）的定义域为R ，因为f （x ）＋f （－x ）＝lg 100＝2，所以f （x ）的图象关于（0，1）对称，故A 正确；因为g （x ）的定义域为R ，且g （x ）＋g （－x ）＝2，所以g （x ）的图象关于（0，1）对称，故B 不正确；因为F （x ）＝f （x ）＋g （x ），所以F （x ）的图象关于（0，2）对称，所以对随意的x ∈[－a ，a ]（a >0），F （x ）最大值与最小值之和为4，故C 正确；由F （x －3）＋x －3x －1<1，得F （x －3）＋x －3x －1－1＝F （x －3）－2x －1<0，又F （x ）在R 上单调递减，且F （0）＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －3<0x －1<0，解得x >3或x <1，故D正确．故选ACD.11．答案：BD 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－[－12]＝－12－（－1）＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－[12]＝12－0＝12，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，故A 错误；∵函数f （x ）的定义域为R ，又∵f （x ＋1）＝（x ＋1）－[x ＋1]＝x －[x ]＝f （x ），∴函数f （x ）＝x －[x ]是周期为1的函数，当0≤x <1时，f （x ）＝x －[x ]＝x －0＝x ，则作出其图象如图所示，故函数f （x ）在定义域上不具有单调性，故B 正确；由图得其值域为[0，1），故C 错误；令y ＝12 022，依据其为周期为1的函数，可得到两函数有多数个交点，故方程f （x ）＝12 022存在多数个实数根，故D 正确．故选BD.12．答案：AC解析：当a >0时，令f （x ）＝t ，由f （t ）＋1＝0，解得t ＝13或t ＝3或t ＝－2a .作出函数f （x ）的图象，如图1所示，易得f （x ）＝t 有4个不同的实数解，即当a >0时，g （x ）有4个零点．故A 正确，B 错误；当a <0时，令f （x ）＝t ，所以f （t ）＋1＝0，解得t ＝13或t ＝3或t ＝－2a（舍）.作出函数f （x ）的图象，如图2所示，易得f （x ）＝t 有1个实数解，即当a <0时，g （x ）有1个零点．故C 正确，D 错误．故选AC.13．答案：－1e2解析：由f （x ）是奇函数，则f （－e ）＝－f （e ）＝－1，∴f （－e ）＝ln a （－e ）＝－1.则a ＝－1e 2.14．答案：2解析：由题意，函数y ＝a x（a >0，a ≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3， ①当a >1时，函数y ＝a x 单调递增，故y max ＝a 1＝a ，y min ＝a 0＝1，故a ＋1＝3，∴a ＝2； ②当1>a >0时，函数y ＝a x 单调递减，故y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a ，故a ＋1＝3，∴a ＝2（舍去），综上：a ＝2.15．答案：f （x ）＝x 4（答案不唯一，f （x ）＝x 2n（n ∈N *）均满意）解析：取f （x ）＝x 4，则f （x 1x 2）＝（x 1x 2）4＝x 41 x 42 ＝f （x 1）f （x 2），满意①，f ′（x ）＝4x 3，x >0时有f ′（x ）>0，满意②， f ′（x ）＝4x 3的定义域为R ，又f ′（－x ）＝－4x 3＝－f ′（x ）， 故f ′（x ）是奇函数，满意③. 16．答案：5 （1，2]解析：当a ＝2时，f （4）＝3＋log 24＝3＋2＝5；若函数的值域是[4，＋∞），故当x ≤2时，满意f （x ）＝6－x ≥4，当x >2时，由f （x ）＝3＋log a x ≥4，所以log a x ≥1，若0<a <1，当x >2时，log a x <0不成立；若a >1，函数y ＝log a x 为增函数，所以log a 2≥1⇔log a 2≥log a a ⇒1<a ≤2，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.17．解析：（1）将A （1，6）代入f （x ）得：a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3（舍），故f （x ）＝22x－2x＋4.（2）易知f （x ）＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋154≥154，当x ＝－1时取等号，故f （x ）的最小值为154.19．解析：（1）因为函数f （x ）＝ln x －m 与y ＝e x 在（1e ，1）都是增函数，所以函数g （x ）＝f （x ）＋e x ＝ln x ＋e x －m 在（1e，1）也是增函数，因为函数g （x ）在区间（1e，1）内存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln 1e ＋1－m <0，ln 1＋e －m >0，解得0<m <e.所以实数m 的取值范围为（0，e ）.（2）关于x 的方程f （e x＋1）＝x2有实数根等价于关于x 的方程2m ＝2ln （e x＋1）－x有实数根，所以存在实数x 使2m ＝ln （e x＋1）2－ln e x＝ln （e x ＋1）2e x＝ln （e x＋1ex ＋2）成立．因为e x＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2（当且仅当e x＝1ex ，x ＝0时取等号），所以ln （e x＋1ex ＋2）≥ln （2＋2e x·1ex ）＝2ln 2，所以实数m 的取值范围是[ln 2，＋∞）.20．解析：（1）当0<x ≤5时，L （x ）＝60x －（30x －x 22）－30＝x 22＋30x －30；当5<x ≤100时，L （x ）＝60x －61x －100x ＋3752－30＝3152－（x ＋100x），综上所述，L （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋30x －30，0<x ≤5，3152－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，5<x ≤100.（2）当0<x ≤5时，L （x ）max ＝L （5）＝2652；当5<x ≤100时，L （x ）＝3152－（x ＋100x），L （x ）在（5，10）上单调递增，在（10，＋∞）上单调递减；此时L （x ）max ＝L （10）＝2752，所以当x ＝10，即今年年产量为10万本时， 该企业所获利润最大，且最大利润为2752万元．21．解析：（1）f （1）－f （0）＝2得log 2（1－2a ＋4）－log 2（1－a ＋1）＝log 24⇒log 2（5－2a ）＝log 24（2－a ）⇒5－2a ＝8－4a ⇒a ＝32.11（2）log 2（1－a ·2x ＋4x ）≥x －1＝log 22x －1⇒1－a ·2x ＋4x ≥2x －1⇒a ≤2x ＋12x －12，令t ＝2x ，∵x ∈[1，＋∞），∴t ∈[2，＋∞），设h （t ）＝t ＋1t －12，则a ≤h （t ）min ，∵h （t ）在[2，＋∞）上为增函数⇒t ＝2时，h （t ）＝t ＋1t －12有最小值为2，∴a ≤2. 22．解析：（1）依题意，函数f （x ）＝12x ＋a ·2－x ，因f （x ）是R 上的偶函数，即∀x ∈R ，f （－x ）＝f （x ），因此，∀x ∈R ，2x ＋a ·2－x ＝2－x ＋a ·2x ⇔（2x －2－x ）a ＝2x －2－x，而当x ≠0时，2x －2－x ≠0，于是得a ＝1，所以a 的值是1.（3）依题意，f （－x 2＋4x －7）<f （x 2－x ＋1）⇔f （x 2－4x ＋7）<f （x 2－x ＋1），而x 2－4x ＋7＝（x －2）2＋3>0，x 2－x ＋1＝（x －12）2＋34>0， 由（2）知，x 2－4x ＋7>x 2－x ＋1，解得x <2，所以原不等式的解集是（－∞，2）.。

课时规范练9　二次函数与幂函数基础巩固组1.(2021辽宁沈阳高三月考)若幂函数f(x)=(3m2-2m)x3m的图象不经过坐标原点,则实数m的值为( )A.1 3B.-13C.-1D.12.二次函数f(x)的图象经过(0,3),(2,3)两点,且f(x)的最大值是5,则该函数的解析式是( )A.f(x)=2x2-8x+11B.f(x)=-2x2+8x-1C.f(x)=2x2-4x+3D.f(x)=-2x2+4x+33.(2021辽宁锦州高三月考)设a>0,b>0,若a2+2a=b2+3b,则( )A.a<bB.a>bC.2a=3bD.3a<4b4.(2021山东临沂高三月考)已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上单调递增.若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.[0,4]D.(-∞,0]∪[4,+∞)5.(2021浙江湖州高三期中)已知函数f(x)=(m2-m-5)x m2-6是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断6.(2021天津和平高三月考)已知函数f(x)=x4-x2,则下列结论错误的是( )A.f(x)的图象关于y轴对称B.方程f(x)=0的解的个数为2C.f(x)在(1,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为-147.若幂函数y=f(x)的图象经过点(27,3),则幂函数f(x)在定义域上( )A.既不是奇函数也不是偶函数B.是偶函数C.是增函数D.是减函数8.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),下列说法正确的是( )A.若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上单调递减B.存在a∈R,使得f(x)为偶函数C.若f(0)=f(2),则f(x)的图象关于x=1对称D.若a2-b-2>0,则函数h(x)=f(x)-2有2个零点9.(2021浙江台州高三期末)已知函数f(x)=(x2-2x-3)(x2+ax+b)是偶函数,则f(x)的值域是 .综合提升组10.(2021天津静海高三一模)已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln2),c=f(5-12),则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a11.若函数f(x)=(x-1)|x+a|在区间(1,2)上单调递增,则下列选项中不满足条件的实数a的值是(　)A.0B.2C.-2D.-312.(2021河南郑州高三月考)若函数f(x)=mx2+(n-1)x+2(m>0,n>0)的单调递增区间为1 2 ,+∞,则1m+1n的最小值为 .13.(2021四川宜宾高三月考)已知函数f(x)=x2+ax+1(a>0).(1)若f(x)的值域为[0,+∞),求关于x的方程f(x)=4的解;(2)当a=2时,函数g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在[-2,1]上有三个零点,求实数m的取值范围.创新应用组14.(2021浙江丽水高三二模)已知f (x )=x 2-2x ,对任意的x 1,x 2∈[0,3],方程|f (x )-f (x 1)|+|f (x )-f (x 2)|=m 在[0,3]上有解,则实数m 的取值范围是( )A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}课时规范练9　二次函数与幂函数1.B 解析:由题意得3m 2-2m=1,解得m=1或-13,①当m=1时,f (x )=x 3,函数图象经过原点,不合题意;②当m=-13时,f (x )=x -1,函数图象不经过原点,符合题意,故m=-13.2.D 解析:二次函数f (x )的图象经过(0,3),(2,3)两点,则图象的对称轴为直线x=1.又由函数的最大值是5,可设f (x )=a (x-1)2+5(a ≠0).于是3=a+5,解得a=-2.故f (x )=-2(x-1)2+5=-2x 2+4x+3,故选D .3.B 解析:因为a>0,所以a 2+3a>a 2+2a=b 2+3b ,所以a 2+3a>b 2+3b ,又因为函数f (x )=x 2+3x ,在(0,+∞)上单调递增,且a>0,b>0,所以a>b ,故选B .4.C 解析:由题意可知函数f (x )的图象开口向下,对称轴为x=2(如图).若f (a )≥f (0),从图象观察可知0≤a ≤4.5.A 解析:因为函数f (x )=(m 2-m-5)x m 2-6是幂函数,所以m 2-m-5=1,解得m=-2或m=3.因为对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以m 2-6>0,所以m=3(m=-2舍去),所以f (x )=x 3.对任意的a ,b ∈R ,a+b>0,即a>-b ,所以f (a )>f (-b )=-f (b ),所以f (a )+f (b )>0,故选A .6.B 解析:因为f (x )=x 4-x 2的定义域为R ,显然关于原点对称,又因为f (-x )=(-x )4-(-x )2=x 4-x 2=f (x ),所以y=f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,故A 正确;令f (x )=0,即x 2(x+1)(x-1)=0,解得x=0,x=1或x=-1,方程f (x )=0的解的个数为3,故B 错误;令t=x 2,g (t )=t 2-t=t-122-14,当x>1时,函数t=x 2,g (t )=t 2-t 都单调递增,故f (x )在(1,+∞)单调递增,故C 正确;由当t=12时,g (t )取得最小值-14,故f (x )的最小值是-14,故D 正确,故选B .7.C 解析:因为y=f (x )是幂函数,设f (x )=x a ,因为其图象过点(27,3),即f (27)=27a =3,解得a=13,于是得f (x )=x 13,且f (x )的定义域为R ,显然f (x )在定义域R 上是增函数,C 正确;f (-x )=(-x )13=-x 13=-f (x ),则f (x )是奇函数,故选C .8.B 解析:对于选项A,若a 2-b ≤0,则f (x )=|(x-a )2+b-a 2|=(x-a )2+b-a 2在区间[a ,+∞)上单调递增,故A 错误;对于选项B,当a=0时,f (x )=|x 2+b|显然是偶函数,故B 正确;对于选项C,取a=0,b=-2,函数f (x )=|x 2-2ax+b|可化为f (x )=|x 2-2|,满足f (0)=f (2),但f (x )的图象不关于直线x=1对称,故C 错误;对于选项D,如图,a 2-b-2>0,即a 2-b>2,则h (x )=|(x-a )2+b-a 2|-2有4个零点,故D 错误.9.[-16,+∞)　解析:因为f (x )=(x 2-2x-3)(x 2+ax+b )是偶函数,所以{f (-3)=f (3)=0,f (1)=f (-1)=0,代入得{9-3a +b =0,1+a +b =0,解得{a =2,b =-3,所以f (x )=(x 2-2x-3)(x 2+2x-3)=(x 2-3)2-4x 2=x 4-10x 2+9=(x 2-5)2-16≥-16,故f (x )的值域为[-16,+∞).10.C 解析:由2f (2)=f (16)可得2·2α=24α,因为1+α=4α,所以α=13,即f (x )=x 13.由此可知函数f (x )在R 上单调递增.而log 42=lo g 22lo g 24=12,ln2=lo g 22lo g 2e ,5-12√因为1<log 2e <2,所以lo g 22lo g 24<lo g 22lo g 2e ,于是log 42<ln2,又因为1√12,所以5-12<log 42,故a ,b ,c 的大小关系是b>a>c ,故选C .11.C 解析:根据题意可知f (x )={x 2+(a -1)x -a ,x ≥-a ,-x 2-(a -1)x +a ,x <-a ,对于y=x 2+(a-1)x-a 及y=-x 2-(a-1)x+a ,其图象的对称轴均为直线x=1-a 2.当1-a 2≥-a ,即a ≥-1时,作出f (x )的大致图象(为方便说明,略去y 轴以及坐标原点,如图1).图1图2由图可知,此时要满足题意,只需使-a ≥2或1-a 2≤1,解得a ≤-2或a ≥-1,故a ≥-1;当1-a 2<-a ,即a<-1时,作出f (x )的大致图象(为方便说明,略去y 轴以及坐标原点,如图2).由图可知,此时要满足题意,只需使-a ≤1或1-a 2≥2,解得a ≥-1或a ≤-3,故a ≤-3.综上所述,a ≥-1或a ≤-3.故选C .12.4　解析:函数f (x )图象的对称轴为直线x=-n -12m =12,故m+n=1,所以1m +1n =1m +1n (m+n )=2+n m +m n ≥2+2√n m ·m n =4,当且仅当m=n=12时等号成立,从而1m +1n的最小值为4.13.解(1)因为f (x )的值域为[0,+∞),所以f (x )min =f -a 2=14a 2-12a 2+1=0.因为a>0,所以a=2,则f (x )=x 2+2x+1.因为f (x )=4,所以x 2+2x+1=4,即x 2+2x-3=0,解得x=-3或x=1.(2)g (x )=[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1在[-2,1]上有三个零点等价于方程[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0在[-2,1]上有三个不同的根.因为[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0,所以f (x )=m+1或f (x )=m-1.因为a=2,所以f (x )=x 2+2x+1.结合f (x )在[-2,1]上的图象(图略)可知,要使方程[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0在[-2,1]上有三个不同的根,则f (x )=m+1在[-2,1]上有一个实数根,f (x )=m-1在[-2,1]上有两个不等实数根,即{1<m +1≤4,0<m -1≤1,解得1<m ≤2.故m 的取值范围为(1,2].14.D 解析:因为f (x )=(x-1)2-1,x ∈[0,3],则f (x )min =-1,f (x )max =3.要对任意的x 1,x 2∈[0,3],方程|f (x )-f (x 1)|+|f (x )-f (x 2)|=m 在[0,3]上有解,取f (x 1)=-1,f (x 2)=3,此时任意的x ∈[0,3],都有m=|f (x )-f (x 1)|+|f (x )-f (x 2)|=4,其他m 的取值,方程均无解,则m 的取值范围是{4},故选D .。

第八节函数与方程【课标标准】 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合详细连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．必备学问·夯实双基学问梳理1．函数的零点(1)函数零点的概念对于一般的函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：(3)零点存在性定理：假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得________．2．二分法对于在区间上图象连绵不断且________的函数，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点逐步靠近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[常用结论]1．若连绵不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．图象连绵不断的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号．3．连绵不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连绵不断)，则f(a)f(b)＜0.( )(4)若f(x)在区间[a，b]上连绵不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( )2．(教材改编)x 1234 5f(x)－4－2147在下列区间中，函数()必有零点的区间为( )A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)3．(教材改编)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是________．4．(易错)(多选)已知函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连绵不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是( ) A．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内B．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内C．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内D．函数f(x)的两个零点不行能同时在区间(1，2)内5．(易错)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．关键实力·题型突破题型一函数零点所在区间的判定例 1 (1)[2024·安徽安庆一中月考]函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为( ) A． B．C． D．(2)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点(3)[2024·河南南阳模拟]已知函数f(x)＝81ln x－－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝( )A．1 B．2 C．3 D．4题后师说判定函数零点所在区间的2种方法巩固训练1(1)[2024·河北唐山模拟]在下列区间中，函数f(x)＝e x＋2x－3的零点所在的区间为( )A． B．C． D．(2)设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点肯定位于下列哪个区间( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，3)题型二零点个数的判定例 2 (1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)[2024·辽宁沈阳模拟]已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－|x|零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(3)已知函数f(x)＝则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3题后师说判定函数零点个数的3种方法巩固训练2(1)[2024·山东济宁模拟]函数f(x)＝的零点个数为( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)函数f(x)＝－log2x－1的零点个数为________．题型三函数零点的应用角度一依据函数零点的个数求参数例 3[2024·安徽巢湖一中月考]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k(x－1)有4个零点，则实数k的取值范围为________．题后师说已知函数零点个数求参数范围，常利用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，精确画出两个函数的图象，利用图象写出满意条件的参数范围．巩固训练3[2024·河北沧州模拟]已知f(x)＝，若函数y＝f(x)－kx－没有零点，则实数k的取值范围是( )A． B．C． D．[1，＋∞)角度二依据函数零点所在的区间求参数例 4(1)[2024·河南焦作模拟]若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为( )A．(1，e2) B．(1，2)C．(1，e2＋1) D．(2)若函数f(x)＝4x－2x－a在区间[－1，1]上有零点，则实数a的取值范围是________．题后师说依据函数零点所在区间求参数范围的常用方法巩固训练4[2024·黑龙江双鸭山一中月考]设k为实数，函数f(x)＝2x＋x2－k在上有零点，则实数k的取值范围为________．第八节函数与方程必备学问·夯实双基学问梳理1．(1)f(x)＝0 (2)实根x轴零点(3)f(a)·f(b)<0 f(x0)＝02．f(a)·f(b)<0 一分为二零点夯实双基1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.答案：B3．解析：因为y＝2x，y＝x3是增函数，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内单调递增．又f(0)＝－1<0，f(2)＝10>0，所以f(0)f(2)<0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一的零点．故选B.答案：14．解析：因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连绵不断的，所以零点两侧函数值异号，又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0，若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确．若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，故A正确．综上两种状况，可知选项C错误，D正确．故选ABD.答案：ABD5．解析：若a＝0，则f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，即－x－1＝0，得x＝－1，故符合题意；若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数．故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－，综合所述a＝0或a＝－.答案：0或－关键实力·题型突破例1 解析：(1)由已知得f(x)＝x＋log2x为(0，＋∞)上的递增函数，f＝＋log2＝－log23<0，f＝＋log2＝－<0，f＝＋log2＝－log23＝(5－log227)>0，f(1)＝1>0，由零点存在定理可知，f(x)在区间存在零点，故选C.(2)(图象法)令f(x)＝0，得x＝ln x，作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，明显y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．故选D.(3)因为函数y＝81ln x与y＝－－80在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因为f(2)＝81ln 2－83<0，f(3)＝81ln 3－81>0，f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故k＝2.故选B.答案：(1)C (2)D (3)B巩固训练1 解析：(1)函数f(x)＝e x＋2x－3的定义域为R.因为函数y＝e x，y＝2x－3均为增函数，所以f(x)＝e x＋2x－3为R上的增函数．又f(0)＝e0＋2×0－3＝－2<0，f＝＝<0，f＝＋2×－3＝－2<0，f＝＋2×－3＝>>0.由零点存在定理可得：f(x)的零点所在的区间为.故选C.(2)(图象法)h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)．故选A.答案：(1)C (2)A例2 解析：(1)由于函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，故函数在(1，3)上有唯一零点，也即在(0，＋∞)上有唯一零点．故选B.(2)当x<1时，y＝|x|＋2－|x|＝2，所以不存在零点；当x≥1时，t＝x＋－|x|＝>0，也不存在零点，所以函数y＝f(x)－|x|的零点个数为0.故选A.(3)由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，则函数f(x)－2|x|零点的个数即函数f(x)与函数y ＝2|x|的交点个数．作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为2.故选C.答案：(1)B (2)A (3)C巩固训练2 解析：(1)因为f(x)＝，令f(x)＝0，当，解得x＝－2；当，解得x＝3，f(x)的零点有－2和3共2个．故选B.(2)函数f(x)＝－log2x－1的零点个数即为－log2x－1＝0⇒＝log2x＋1的解的个数，即为y＝，y＝log2x＋1两个函数的交点个数，画图可知有1个交点．答案：(1)B (2)1例3 解析：因为g(x)＝f(x)－k(x－1)有4个零点，所以方程f(x)＝k(x－1)有4个实数根，画出f(x)＝的图象，以及y＝k(x－1)，则两函数的图象有4个公共点．其中直线y＝k(x－1)经过定点(1，0)，斜率为k.当直线与f(x)相切时，联立，Δ＝(1－2k)2－4k2＝0，可求出k＝，由图可知，当0<k<时，方程f(x)＝k(x－1)有4个交点，故k的取值范围为.答案：巩固训练3 解析：令y＝f(x)－kx－＝0，可得f(x)＝与y＝kx＋，若要使函数y＝f(x)－kx－没有零点，则两函数的图象没有交点，在同始终角坐标系中，作出两函数的图象如图所示，函数y＝kx＋过定点，由图象可得实数k的取值范围是k≥.故选B.答案：B例4 解析：(1)∵f(x)＝ln x＋x2－a，故f′(x)＝＋2x>0在区间(1，e)上恒成立，∴f(x)在(1，e)上单调递增．又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，即，解得a∈(1，e2＋1)．故选C.(2)∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝(2x－)2－，∵x∈[－1，1]，∴2x∈，∴(2x－)2－∈，∴实数a的取值范围是.答案：(1)C (2)巩固训练4 解析：因为f(x)＝2x＋x2－k在上单调递增，且有零点．所以，解得1≤k≤3.答案：。

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2014·周口期中试题)函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．R[答案] C[解析] 函数的定义域就是使函数式有意义的自变量x 的取值范围，本题中要求⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，所以x ≥－1且x ≠0，故选C. (理)(2014·南阳市一中月考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，得－13<x <1，所以选B.2．(文) (2011·南京月考)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝1xC ．y ＝－(12)xD ．y ＝[答案] B[解析] 由对数函数和幂函数的单调性可知，A ，D 在(0，＋∞)递增；由指数函数的单调性可知y ＝(12)x 在R 内单调递减，故y ＝－(12)x 递增；由反比例函数y ＝1x 的图像可知，函数在(0,1)上是减函数，故选B.(理)(2014·河南质量调研)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2x D ．f (x )＝－tan x[答案] C[解析] f (x )＝1x 在定义域上是奇函数，但不单调．f (x )＝－x 为非奇非偶函数．f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.3．(文)(2014·太原调研) 已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0(x >0)π(x ＝0)π2＋1(x <0)，则f (f (f (－1)))的值等于( ) A ．π2－1 B ．π2＋1 C ．π D ．0[答案] C[解析] f (－1)＝π2＋1，所以f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π，选C.(理)(2014·太原调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (43)＋f (－43)的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4[答案] B[解析] 本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，43>0，∴f (43)＝2×43＝83.－43<0，∴f (－43)＝f (－43＋1) ＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝2×23＝43，∴f (43)＋f (－43)＝83＋43＝4. 4．(文)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A.13B.36C.33D.24[答案] D[解析] 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8， 所以x －12＝8－12＝18＝24，选D.(理)(2014·汕头一模) 已知集合A ＝{x ∈R|2x <e }，B ＝{x ∈R|1x >1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ∈R|0<x <log 2e }B ．{x ∈R|0<x <1}C ．{x ∈R|1<x <log 2e }D ．{x ∈R|x <log 2e }[答案] B[解析] 因为集合A ＝{x ∈R|2x <e }＝{x ∈R|x <log 2e }． B ＝{x ∈R|1x >1}＝{x ∈R|0<x <1}，所以A ∩B ＝{x ∈R|0<x <1}．5．(2014·河北省高阳中学高三上学期第一次月考)已知函数f (x )＝ln(21－x ＋a )(a 为常数)是奇函数，则实数a 为( )A ．1B ．－3C ．3D ．－1[答案] D[解析] 函数在x ＝0处有意义，所以f (0)＝ln(2＋a )＝0，得a ＝－1.6．(2014·大同一中上学期期中考试)设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．Q <R <P B ．R <Q <P C ．Q <P <R D ．R <P <Q [答案] B[解析] 题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，它们都是增函数，从而知0<log 32<1，log 23>1，log 2(log 32)<0，因此选B.7．(2014·南昌调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中abc <0，则函数图像可能是( )[答案] C[解析] a <0时，开口向下，因为abc <0，所以b ，c 同号，对于A 、由图像可知c >0，则b >0，∴－b 2a >0，选项A 不符合题意，由B 图可知c <0，故b <0，∴－b2a <0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项B 不符合题意，当a >0时，因为abc <0，所以b ，c 异号，由C ，D 图可知c <0，故b >0，∴－b2a<0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项D 不符合题意，C 符合，故选C.8．(2014·广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥01，x <0，若f (4)＝f (0)，f (2)＝2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 因为f (4)＝f (0)，f (2)＝2，所以16＋4b ＋c ＝c 且4＋2b ＋c ＝2，解得b ＝－4，c ＝6，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥01，x <0.当x ≥0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得x 2－4x ＋6－x ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.当x <0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得1－x ＝0，解得x ＝1，不成立，舍去．所以函数的零点个数为2个，选C.9．(2014·湘西州联考)函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3，＋∞)[答案] B[解析] 令g (x )＝6－ax ，∵对数的底数a >0，∴g (x )在[0,2]上为减函数， 又∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴a >1且6－2a >0， 即1<a <3.10．(文)(2014·东北三校联考)能够把圆O x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是( )A ．f (x )＝e x ＋e －x B ．f (x )＝ln 5－x5＋xC ．f (x )＝tan x 2D ．f (x )＝4x 3＋x[答案] A[解析] 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A 中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图像不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不为“和谐函数”；B 中，f (0)＝ln 5－05＋0ln1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；C 中f (0)＝tan0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；D 中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”；故选A.(理)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．γ>α>βB ．β>α>γC ．α>β>γD ．β>γ>α[答案] A[解析] g ′(x )＝1，所以由g (α)＝g ′(α)得α＝1.h ′(x )＝1x ＋1，所以由h (β)＝h ′(β)得ln(β＋1)＝1β＋1，由图像可知0<β<1，φ′(x )＝3x 2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ2>0，即γ>1，所以γ>α>β，选A.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)计算3log 32＋lg 12－lg5的结果为________．[答案] 1[解析] 由对数恒等式知3log 32＝2，根据对数运算法则知lg 12－lg5＝lg(12÷5)＝lg 110＝－1，∴3log 32＋lg 12－lg5＝2－1＝1.(理)(2014·苏北四市高三调研)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．[答案] x ＝log 34[解析] 两边同乘以3(3x －1)，整理得： 13·(3x )2－43·3x －8＝0，解得x ＝log 34.12．(文)(2014·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值为________．[答案] 0或3[解析] 当a >0时，f (a )＝log 3a ＝1，解得a ＝3； 当a ≤0时，f (a )＝(13)a ＝1，解得a ＝0.综上a ＝0或3.(理)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 本题是分段函数，1－a 与1＋a 哪个大于1，哪个小于1不确定，因此分类讨论，a >0时，1－a <1,1＋a >1，f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a,2－a ＝－1－3a ，a ＝－32<0，不合题意，舍去；同理a <0时，得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，a＝－34，符合题意．故a ＝－34.13．(文)(2014·东莞市一模)已知方程x 2＋2x ＋2a －1＝0在(1,3]上有解，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－7，－1)[解析] 由x 2＋2x ＋2a －1＝0，参变量分离得 2a ＝－(x ＋1)2＋2，记f (x )＝－(x ＋1)2＋2，且x ∈(1,3]， 所以－14≤f (x )≤－2，即－14≤2a <－2. 故实数a 的取值范围为[－7，－1)．(理)(2014·唐山市摸底考试)若存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] a >0[解析] ∵存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立，∴a >(4x －2x )min ，∴令y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14，∵x >0，∴2x >1，∴y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14>0，∴a >0.14．(2014·山西省大同一中期中考试)对于函数f (x )定义域中任意的x 1, x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2) ，②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2，当f (x )＝ln x 时，上述结论中正确结论的序号是________． [答案] ②④[解析] 把函数f (x )＝ln x 代入结论①②：ln(x 1＋x 2)＝ln x 1ln x 2，ln(x 1x 2)＝ln x 1＋ln x 2，结合对数的运算法则，知②正确，①错误；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0说明x 1<x 1时，f (x 1)>f (x 2)从而f (x )为减函数，但函数f (x )＝ln x 是增函数，故③错误；④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2等价于ln x 1＋x 22>ln x 1＋ln x 22⇔ln x 1＋x 22>ln(x 1x 2)12⇔x 1＋x 22>x 1x 2，当x 1，x 2>0且x 1≠x 2时，上式显然成立．故④也是正确的．15．(文)(2014·南京调研)定义在R 上的函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |，满足f (2x －1)>f (x ＋1)，则x 的取值范围是________．[答案] x >2或x <0[解析] 因为函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，由f (2x －1)>f (x ＋1)，得|x ＋1|<|2x －1|，解得x >2或x <0.(理)已知函数f (x )＝lg(x ＋x 2＋1)＋x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则a 的取值范围是________．[答案] {a |a >1，或a <－2} [解析] f (－x )＝lg(x 2＋1－x )－x＝lg(1x 2＋1＋x)－x ＝－lg(x 2＋1＋x )－x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )递增，故x ∈R 时，f (x )递增，所以 f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)， ∴1－a 2<a －1，解得a >1，或a <－2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)用定义证明函数f (x )＝x 2＋2x－1在(0,1]上是减函数．[解析] 证明一个函数为单调函数，根据定义设x 1，x 2为所给区间上的任意两个实数，且x 1<x 2，然后作差f (x 1)－f (x 2)，但一定要注意的是，对差f (x 1)－f (x 2)，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个容易判断正负的因式之积，从而很快可以得出差f (x 1)－f (x 2)是正是负．证明：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0,1]，则x 2－x 1>0,0<x 1x 2<1，x 1＋x 2<2，2x 1x 2－(x 1＋x 2)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋2x －11－x 22－2x －12＝(x 21－x 22)＋2(1x 1－1x 2) ＝(x 2－x 1)[2x 1x 2－(x 1＋x 2)]>0.∴函数f (x )＝x 2＋2x －1在(0,1]上是减函数．17．(本小题满分12分)(文) (2014·洛阳部分重点中学教学检测) 已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析] ∵x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数， ∴当x >0时，－x <0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2， 故当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋3x －2. ∴当x ∈[1，32]时，f (x )是增函数；当x ∈[32，3]时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f (32)＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94.(理)(2014·长沙调研)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a >0，a ≠1)． (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．[解析] (1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋k ＝4 ①(log 2a )2－log 2a ＋k ＝k ②由②得log 2a ＝0或log 2a ＝1， 解得a ＝1(舍去)或a ＝2， 由a ＝2得k ＝2.(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为74.18．(本小题满分12分)(文)(2014·合肥第一次质检)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立． 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 其图像的对称轴为直线x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上递减．即只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1.所以m 的取值范围为m ∈(－∞，－1)．(理)(2014·山东潍坊模拟) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >00，x ＝0x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值．(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解析] (1)设x <0，则－x >0,∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.(2) 根据(1)中所求m ＝2，利用函数的图像，可知函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)单调递减，在(－1,1)单调递增，又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )图像可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1a －2≤1，∴1<a ≤3. 从而实数a 的取值范围是(1,3]．19．(本小题满分12分)(文)(2014·南昌市月考)已知f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，g (x )＝λf (x )，(1)求实数a 的值；(2)若g (x )≤x log 2x 在x ∈[2,3]上恒成立，求λ的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝ln(e 0＋a )＝0，解得a ＝0.(2)由(1)f (x )＝x ，不等式g (x )≤x log 2x 为λx ≤x log 2x ，∵x∈[2,3]，∴λ≤log2x.在x∈[2,3]时，log2x的最小值为log22＝1，故λ≤1.∴λ的取值范围是(－∞，1]．(理) (2014·南通市调研)设函数f(x)＝a x－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围．[解析](1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2，当k＝2时f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)，f(－x)＝－f(x)成立，函数f(x)是奇函数，∴k＝2.另解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴a－x－(k－1)a x＝－a x＋(k－1)a－x，整理得(k－2)(a x＋a－x)＝0，又∵a x＋a－x≠0，∴k＝2.(2)f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1.∵a x单调递减，a－x单调递增，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2＋tx)<f(x－4)，∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.20．(本小题满分13分)(2014·吉安一中上学期期中考试) 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a 11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；(2)若关于x的方程F(x)－m＝0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围．[解析] (1)F (x )＝2f (x )＋g (x )＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x (a >0且a ≠1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，所以函数F (x )的定义域为(－1,1)．令F (x )＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0(*)方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x )，(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.经检验x ＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0，所以函数F (x )的零点为0.(2)m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x(0≤x <1) m ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋41－x－4)， a m ＝1－x ＋41－x－4， 设1－x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝t ＋4t在区间(0,1]上是减函数， 当t ＝1时，此时x ＝1，y min ＝5，所以a m ≥1.①若a >1，则m ≥0，方程有解；②若0<a <1，则m ≤0，方程有解．21．(本小题满分14分)(文)某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低3x 4元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f (x )(单位：万元)，(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f (x )的最大值，以及f (x )取得最大值时x 的值．[解析] (1)依题意，产品升级后，每件的成本为1000－3x 4元，利润为200＋3x 4元，年销售量为1－2x万件 纯利润为f (x )＝(200＋3x 4)(1－2x)－x ＝198.5－400x －x 4(万元) (2)f (x )＝198.5－400x －x 4≤198.5－2×400x ×x 4＝178.5 等号当且仅当400x ＝x 4此时x ＝40(万元)即f (x )的最大值是178.5万元，以及f (x )取得最大值时x 的值40万元．(理)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解析] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－51x －10000x ＋1450－250＝1200－(x ＋10000x)． 所以L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250(0<x <80)，1200－(x ＋10000x )(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000 此时，x ＝10000x，即x ＝100时L (x )取得最大值1000万元．因为950<1000 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．。

课时规范练5　二次函数与一元二次方程、不等式基础巩固组1.(2021山东烟台高三月考)已知集合A={x|(-x+3)(x+2)<0},B={x|(x+4)(x-2)>0},则A ∩B=( )A.{x|x<-4或x>3}B.{x|x>3}C.{x|x<-4}D.{x|-3<x<-2}2.(2021湖南长沙高三月考)若a<0,则关于x 的不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为( )A.x 2<x<1aB.x 1a<x<2C.x x<1a 或x>2 D.x x<2或x>1a3.(2021河北唐山高三期中)集合A={x||x|<2},B={x|x 2-2x-m ≥0}.若A ∪(∁R B )={x|-2<x<4},则实数m=( )A.-4B.4C.8D.-84.(2021浙江余姚高三检测)关于x 的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为x 1m <x<2,则实数m 的取值范围为( )A.(0,+∞)B.(0,2)C.12,+∞ D.(-∞,0)5.(2021广东深圳高三期中)已知函数f (x )=ax 2+bx+c (ac ≠0),若f (x )<0的解集为(-1,m ),则下列说法正确的是( )A.f (m-1)<0B.f (m-1)>0C.f (m-1)必与m 同号D.f (m-1)必与m 异号6.(2021安徽蒙城五校联考)在关于x 的不等式x 2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2个整数,则实数a 的取值范围是( )A.(-3,5)B.(-2,4)C.[-3,5]D.[-2,4]7.(2021甘肃兰州高三月考)对于任意实数x ,不等式(a-2)x 2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.{a|a<2}B.{a|a ≤2}C.{a|-2<a<2}D.{a|-2<a ≤2}8.函数y=√lo g 13(4x 2-3x )的定义域为 .9.(2021湖南衡阳高三期末)对于实数x ,当n ≤x<n+1(n ∈Z )时,规定[x ]=n ,则不等式4[x ]2-36[x ]+45<0的解集为 .综合提升组10.(2021湖北荆州高三月考)已知集合A=x -12≤x<2,集合B={x|x 2-(a+2)x+2a<0},若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( )A.-∞,-12B.-∞,-12C.-12,2 D.-12,211.(2021浙江余姚高三期中)已知关于x 的不等式组{x 2-2x -8>0,2x 2+(2k +7)x +7k <0整数解仅有一个,则实数k 的取值范围为( )A.(-5,3)∪(4,5)B.[-5,3)∪(4,5]C.(-5,3]∪[4,5)D.[-5,3]∪[4,5]12.(2021河北石家庄高三期中)若关于x 的不等式1ax 2+bx+c<0(ab>1)的解集为空集,则T=12(ab -1)+a (b +2c )ab -1的最小值为( )A.√2 B.2 C.2√2 D.413.(2021湖北武汉高三期中)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,∀x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.√5-12,+∞ B.[2,+∞)C.[-1,+∞)D.[3,+∞)创新应用组14.(2021重庆八中高三模拟)已知函数f(x)=12x+1+e x-e-x,若不等式f(ax2)+f(1-2ax)≥1对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(0,e]B.[0,e]C.(0,1]D.[0,1]15.(2021江苏泰州高三月考)在脱贫攻坚过程中,某地干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户养羊,每万元可创造利润0.15万元.进行技术指导后,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值.课时规范练5　二次函数与一元二次方程、不等式1.A　解析:由题意A={x|x<-2或x>3},B={x|x<-4或x>2},所以A∩B={x|x<-4或x>3},故选A.2.B　解析:方程(ax-1)(x-2)=0的两个根为x=2和x=1a ,因为a<0,所以1a<2,故不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为x 1a<x<2.3.C 解析:因为集合B={x|x 2-2x-m ≥0},所以∁R B={x|x 2-2x-m<0}.又A={x|-2<x<2},A ∪(∁R B )={x|-2<x<4},所以4是方程x 2-2x-m=0的一个根,即42-2×4-m=0,解得m=8.当m=8时,∁R B={x|-2<x<4},此时A ∪(∁R B )={x|-2<x<4},符合题意,所以m=8,故选C .4.D 解析:不等式可化为m x-1m (x-2)>0,因为此不等式的解集为x 1m<x<2,所以必有m<0且1m<2,即m<0.5.D 解析:因为f (x )<0的解集为(-1,m ),所以-1,m 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个实数根,且a>0,m ≠0,因此f (x )=a (x+1)(x-m ).所以f (m-1)=-am 与m 必异号,且无法判定-am 的符号,故选D .6.D 解析:关于x 的不等式x 2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a )<0,当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a };当a=1时,不等式的解集为⌀;当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1},要使不等式的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是[-2,4],故选D .7.D 解析:当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立,符合题意;当a-2≠0时,由题意知{a -2<0,4(a -2)2+16(a -2)<0,解得-2<a<2.综上,-2<a ≤2,故选D .8.-14,0∪34,1　解析:函数y=√lo g 13(4x 2-3x )的定义域应满足0<4x 2-3x ≤1,解得-14≤x<0或34<x ≤1.9.{x|2≤x<8}　解析:令t=[x ],则不等式化为4t 2-36t+45<0,解得32<t<152,而t=[x ],所以32<[x ]<152,由[x ]的定义可知x 的取值范围是2≤x<8,即不等式的解集为{x|2≤x<8}.10.A 解析:由题意可知A ⫋B.又B={x|x 2-(a+2)x+2a<0}={x|(x-a )(x-2)<0},①当a<2时,B={x|a<x<2},若A ⫋B ,则a<-12;②当a>2时,B={x|2<x<a },此时A ⫋B 不成立;③当a=2时,B=⌀,A ⫋B 不成立.综上所述,a<-12,故选A .11.B 解析:{x 2-2x -8>0,2x 2+(2k +7)x +7k <0⇒{(x -4)(x +2)>0,(x +k )(2x +7)<0⇒{x <-2或x >4,(x +k )(2x +7)<0.①当-k<-72,即k>72时,{x <-2或x >4,-k <x <-72⇒-k<x<-72.∵不等式组整数解仅有一个,-k 在[-5,-4)之间时不等式组整数解只有-4一个,∴-5≤-k<-4,∴4<k ≤5.②当-k=-72,即k=72时,(x+k )(2x+7)=x+72·(2x+7)=2x+722≥0恒成立,∴不等式组解集为⌀,不满足题意.③当-k>-72,即k<72时,{x <-2或x >4,-72<x <-k .∵不等式组整数解仅有一个,-k 在(-3,5]之间时,不等式组整数解只有-3一个,∴-3<-k ≤5,∴-5≤k<3.综上,实数k 的取值范围为[-5,3)∪(4,5].12.D 解析:依题意有1a >0,b 2-4c a ≤0,得c ≥a b 24,则T=12(ab -1)+a (b +2c )ab -1≥1+2ab +a 2b 22(ab -1),令ab-1=m ,则m>0,故T ≥1+2(m +1)+(m +1)22m =m 2+2m+2≥4,当且仅当m=2时,等号成立,故选D .13.B 解析:f (x )=x 2+4x+1+a=(x+2)2+a-3≥a-3,令t=f (x ),则t ≥a-3,则原问题转化为f (t )=t 2+4t+1+a ≥0在t ≥a-3时恒成立.易知函数f (t )的图象关于直线t=-2对称,当-2<a-3,即a>1时,函数f (t )在[a-3,+∞)上单调递增,所以只需f (a-3)≥0,即a 2-a-2≥0,解得a ≤-1(舍去)或a ≥2;当a-3≤-2,即a ≤1时,只需f (-2)≥0,即a-3≥0,无解.综上所述,实数a 的取值范围是[2,+∞),故选B .14.D 解析:∵f (x )=12x +1+e x -e -x ,∴f (x )+f (-x )=12x +1+e x -e -x +12-x +1+e -x -e x =12x +1+12-x +1=1.令g (x )=f (x )-12,则g (x )+g (-x )=0,可得g (x )是奇函数.又g'(x )=12x +1'+(e x -e -x )'=e x +e -x -2x ln2(2x +1)2=e x +1e x −ln22x +12x +2,利用基本不等式知e x +1e x ≥2,当且仅当e x=1e x ,即x=0时,等号成立,ln 22x +12x +2≤ln 24,当且仅当2x =12x ,即x=0时,等号成立,故g'(x )>0,可得g (x )是增函数.由f (ax 2)+f (1-2ax )≥1得f (ax 2)-12≥-f (1-2ax )+12=-f (1-2ax )-12,即g (ax 2)≥-g (1-2ax )=g (2ax-1),即ax 2-2ax+1≥0对∀x ∈R 恒成立.当a=0时,显然成立;当a ≠0时,需{a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,得0<a ≤1.综上可得0≤a ≤1,故选D .15.解(1)由题意,得0.15(1+0.25x )(10-x )≥0.15×10,整理得x 2-6x ≤0,解得0≤x ≤6,又x>0,∴0<x ≤6.故x 的取值范围为(0,6].(2)由题意知网店销售的利润为0.15(a-0.875x )x 万元,技术指导后,养羊的利润为0.15(1+0.25x )(10-x )万元,则0.15(a-0.875x )x ≤0.15(1+0.25x )(10-x )恒成立.又0<x<10,∴a≤5x8+10x+1.5恒成立.又5x8+10x≥5,当且仅当x=4时,等号成立,∴0<a≤6.5,即a的最大值为6.5.。

函数与基本初等函数综合测试卷（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）（2024·湖南·二模）已知函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式可能为（ ）A ．f (x )=―2x 2|x |―1B ．f (x )=―2x 2|x |+1C ．f (x )=―2x|x |―1D ．f (x )=―2|x |x 2―12．（5分）（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=x 2―2ax,x ≥1a 2x ―1,x <1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,45)B ．(0,45]C ．(0,1)D ．(0,1]3．（5分）（2024·天津南开·二模）已知a =，b =logc=）.A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >c >a4．（5分）（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v km s 和燃料的质量M (kg)、火箭（除燃料外）的质量m (kg)的函数关系是v =2000ln 11000M =8m 时，火箭的最大速度为v 1；当1000M =4m 时，火箭的最大速度为v 2．则v 1―v 2≈（参考数据：ln 252251≈0.004）（ ）A ．8.0km/sB ．8.4km/sC ．8.8km/sD ．9.0km/s5．（5分）（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数f (x )定义域为R ，且函数f (x )与f (x +1)均为偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )是减函数，设a =b =c =f log a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c6．（5分）（2024·重庆·模拟预测）已知函数f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且f (x )=x,0≤x <1―x +2,1≤x ≤2，则不等式xf(x ―1)<0在(―2,2)上的解集为（ ）A ．(―2,―1)B ．(―2,―1)∪(0,1)C ．(―1,0)∪(0,1)D ．(―1,0)∪(1,2)7．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f (x )=e x ,x ≤0,ln x,x >0,g (x )=x ―3,方程f (g (x ))=―3―g (x )有两个不同的根，分别是x 1,x 2,则 x 1+x 2=（ ）A ．0B ．3C ．6D ．98．（5分）（2024·湖南邵阳·三模）已知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ，记g (x )=f ′(x )，函数f (2x +3)的图象关于点(―1,1)对称．若对任意x ∈R ，有f (x +3)=x +f (3―x )，则下列说法正确的是（ ）A ．g (x )不为周期函数B ．f (x )的图象不关于点(1,1)对称C ．g (211)=12D ．f (985)=1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2024·福建泉州·模拟预测）已知a >0，b >0，且a +b =4，则（ ）A ．a +2b >4B ．(a ―1)(b ―1)>1C ．log 2a +log 2b ≥2D ．2a +≥810．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知函数f (x )=e x +2x ―2,g (x )=2ln x +x ―2的零点分别为x 1,x 2，则（ ）A ．2x 1+x 2=2B ．x 1x 2=e x 1+ln x 2C ．x1+x 2>43D ．2x 1x 2<11．（5分）（2024·新疆·三模）已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，对任意实数x ，y 满足f (x +y )―f (x ―y )=2g (x )f (y )，f (2)+f (1)=0且f (2)⋅f (1)≠0，则下列结论正确的是A ．f (0)=0B ．g (1)=―12C ．f (x )为奇函数D ．2024n =1f (n )=202412．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x )对任意x,y ∈R 恒有f (x +y )=f (x )+f (y )，且当x <0时，f (x )<0,f (2)=3，则下列结论中正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )在R 上单调递增C ．|f (x )|≤3的解集为[―2,2]D ．若f (x )―4<3m 2+am 对∀x ∈[―2,2],a ∈[―4,4]恒成立，则实数m 的取值范围为―13第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。